专训2 图形中的排列规律
名师点金：图形中的排列规律都与它所处位置的序号有关，所以解题的切入点是：先设法列出关于序号的式子，再用关于序号的式子表示图形的变化规律.
图形变化规律探究
1.【2016·重庆】观察下列一组图形（如图），其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）
（第1题）
A.43
B.45
C.51
D.53
2.如图，一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出第2 016支“穿心箭”是Ｗ.
（第2题）
图形个数规律探究
三角形个数规律探究
3.【2015·山西】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的整式表示）.
（第3题）
四边形个数规律探究
4.【2016·临沂】用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（
）
（第4题）
A.2n＋1 2－1
C.（n＋1）2－1
D.5n－2
5.【中考·金华】
一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图所示方式进行拼接.
（2）若用餐的有90人，则需要这样的餐桌多少张？
点阵图形中个数规律探究
6.观察如图的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：
①4×0＋1＝4×1－3；
②4×1＋1＝4×2－3；
③4×2＋1＝4×3－3；
④；
⑤Ｗ.
…
（第6题）
（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式.
答案
1．C点拨：设图形中星星的颗数是(n为自然数)，
观察，发现规律：a1＝1＋1，a2＝1＋2＋3，a3＝1＋2＋3＋5，a4＝1＋2＋3＋4＋7，所以＝＋(2n－1)．
令n＝8，则a8＝＋2×8－1＝51.
故选C.
2.
3．(3n＋1) 点拨：方法1：因为4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3，…，所以第n个图案有1＋3×n＝(3n ＋1)个三角形．
方法2：因为4＝4＋0×3，7＝4＋1×3，10＝4＋2×3，…，所以第n个图案有4＋(n－1 )×3＝(3n＋1)个三角形．
4．C点拨：由第1个图形中小正方形的个数是22－1、第2个图形中小正方形的个数是32－1、第3个图形中小正方形的个数是42－1，可知第n个图形中小正方形的个数是(n＋1)2－1.
5．解：(1)1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6(人)，
2张长方形餐桌的四周可坐4×2＋2＝10(人)，
3张长方形餐桌的四周可坐4×3＋2＝14(人)，
…
n张长方形餐桌的四周可坐(4n＋2)人．
所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4＋2＝18(人)，
8张长方形餐桌的四周可坐4×8＋2＝34(人)．
(2)设需要这样的餐桌x张，由题意得4x＋2＝90，
解得x＝22.
答：需要这样的餐桌22张．
6．解：(1)④4×3＋1＝4×4－3
⑤4×4＋1＝4×5－3
(2)4(n－1)＋1＝4n－3(n为正整数)．
点拨：结合图形观察①、②、③等式左右两边，发现有规律可循．等式左边都是式子顺序数少1的4倍，再加上1；而等式右边，恰好是式子顺序数的4倍减3，这样④、⑤等式可以写出，进而我们可以归纳出第n个图形相对应的等式为4(n－1)＋1＝4n－3(n为正整数)．