北师大版数学必修四：《向量的加法与减法》导学案(含解析)

《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。

1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。

2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。

2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。

3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。

3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。

第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。

4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。

4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。

第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。

6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。

6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。

第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。

教学设计2.1 向量的加法整体设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,英主要内容是运用向量的左义和向疑相等的左义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明•同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解, 也为接下来学习向虽的减法奠泄基础，起到承上启下的重要作用•学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中，已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识•在向量加法的概念中，由于涉及到两个向虽:有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比，则能培养学生类比、迁移等能力•在实际教学中，类比数的运算，向就也能够进行运算.运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥•实际上, 引入一个新的疑后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题•教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认淸运算的左义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的•这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意, 由于向量有方向，因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题,从而使学生体会向屋运算与数的运算的联系与区别•这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点. 因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.三维目标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义•能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作岀已知两向量的和向量.2.在探究活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位豊关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向虽、共终点向量等.3.通过本节内容的学习，使学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用•培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力,初步体会向量内容与英他知识的交汇特点.重点难点教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则左义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1・（复习导入）上一忙我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并掌握了这些槪念的辨析判断•另外，向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节，我们先学习向量的加法.思路2.（问题导入）2004年大陆和台湾没有直航，因此春肖探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动:向北上20米，再向西走15米，再向东走5米，最后向南走10米，怎样计算他所在的位置?由此导入新课.推进新课新知探究提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法，猜想向量的加法,应怎样定义向屋的加法？②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同？图1活动:向虽是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成,如图1 •任大型生产车间里，一重物被天车从A处般运到B处，它的实际位移丽•可以看作水平运动的分位移疋与竖直向上运动的分位移4万的合位移.由分位移求合位移，称为位移的合成•由物理学知识我们知道，位移合成遵循平行四边形法则，即AB是以AC.AD为邻边的OACBD的对角线.数的加法启发我们，从运算的角度看•而可以认为是疋与而的和，即位移、力的合成看作向虽:的加法.讨论结果:①向呈加法的左义：如图2,已知非零向量a、b•在平而内任取一点A,作AB =a. BC =b,则向量AC叫作a与b的和，记作a+b.即a+b= AB + BC = AC .图2 求两个向量和的运算，叫作向量的加法.②向量加法的法则：1。

第二教时 向量的加法目的：1、理解向量加法的意义2、理解向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则 作几个向量的和向量。

3、理解向量加法的运算律：交换律和结合律4、数形结合的数学思想方法。

学习重点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则学习难点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则及作图方法 学习过程：一、 情景导入：（3分钟）2003年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好从台北经过香港，再抵达上海，这两次位移之和是什么？ 二、学导结合 向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 4． 船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：=+ 向量的加法 1． 定义：2．三角形法则（作图演示）：作图关键 ：平移向量使得两向量首尾相连 3．已知向量、，求作向量+及b +A BCA BCA B Cb作法：4．加法的交换律和平行四边形法则 上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则2︒向量加法的交换律：a +b =b +a问题1：两种求和法则有什么关系？向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，但两个向量共线时，三角形法则更有优势。

加法的结合律：(+) +=+ (+) 证：如图：从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

6.向量加法的多边形法则问题2：如何求平面内n （n ＞3）个向量的和向量？112231n n OA A A A A A A -++++u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L n OA =u u u u r问题3：若点O 与点An 重合，你将得出什么结论？例1：如图，一艘船从A 点出发以km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

OAa aa bbb《§2.2.1 向量加法运算及其几何意义》学案学习目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；3、掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。

学习重难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

学习过程【自主学习】1、 复习：向量的定义以及有关概念。

2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和： 。

（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和： 。

（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和： 。

（4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：_____________。

【重难点探究】1、向量加法的两个法则： （1）“三角形法则” 物理模型：位移的合成（2）“平行四边形法则” 物理模型：力的合成例1：已知向量a 、b ，求作向量a +b .C A B A B C A BCA B C2、a b +与a b +的大小关系： 一般地，有a b a b +≤+（1）当a 、b 不共线时，______a b a b ++； （2）当a 、b ___________________时，=a b a b ++；当a 、b ___________________时，=a b a b b a +-（或-）. 3、 向量加法的运算律：（1）交换律：____________________________________ （2）结合律：____________________________________。

2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 二、新课1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。

易知-(-a ) = a.（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量. →→=-00 。

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - bA作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.OabBa ba -b注意：1︒表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减向量。

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？ 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？ 变式三：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？ AOOB C5． 练习：1。

从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法预习课本P76～78，思考并完成以下问题1．向量的加法如何定义？2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？3．向量加法的运算律有哪两条？[新知初探]1．向量的加法三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，则向量AC叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四边形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A作AB＝a，AD＝b，再作平行于AD的BC＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量AC叫作向量a与b的和，表示为：AC＝a＋b[点睛](1)两个向量的和仍是一个向量．(2)用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首尾相接”，箭头从起点指向最后一个终点．(3)用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．(4)两向量共线时用三角形法则求和．2．向量的加法满足交换律和结合律 a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[点睛] 首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)()m ＋a ＋()b ＋c ＝()a ＋b ＋()c ＋m ( ) (2)AB ＋BC ＋CA ＝0 ( ) (3)||a ＋b ＝||a ＋||b ( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．对任意四边形ABCD ，下列式子中不等于BC 的是 ( ) A ．BA ＋AC B ．BD ＋DA ＋AC C ．AB ＋BD ＋DC D ．DC ＋BA ＋AD答案：C3．边长为1的正方形ABCD 中，|AB ＋BC |＝ ( ) A ．2 B. 2 C ．1 D ．2 2答案：B4．PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝________.解析：PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝PQ ＋QO ＋OM ＋MQ ＝PQ ＋OM ＋MQ ＝PQ . 答案：PQ向量求和[典例] 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ， AC ，AB 的中点，化简下列三式：(1)BC＋CE＋EA；(2)OE＋AB＋EA；(3)AB＋FE＋DC.[解](1)BC＋OE＋EA＝BE＋EA＝BA.(2)OE＋AB＋EA＝(OE＋EA)＋AB＝OA＋AB＝OB.(3)AB＋FE＋DC＝AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式正确的是()①AE＋AH＝OC；②AH＋OF＝CG＋FB；③BE＋FC＝HD＋OH；④OG＋BE＝DO.A．①③B．②④C．②③D．①④解析：选A①AE＋AH＝OC，正确；②AH＋OF＝BF＋GC，故②不正确；③BE＋FC＝HD＋OH，正确；④OG＋BE＝OD，故④不正确.利用向量的加法法则作图[典例]若正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AD＝b，AC＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小；[解]根据平行四边形法则可知，a＋b＝AB＋AD＝AC.延长AC，在AC 的延长线上作CE＝AC，则a＋b＋c＝AC＋AC＝AC＋CE＝AE(如图所示)．∴|a＋b＋c|＝|AE|＝212＋12＝2 2.利用向量加法的两种法则作图的方法法则作法三角形法则①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的起点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则①把两个已知向量的起点平移到同一点②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共起点为起点的向量就是这两个已知向量的和[活学活用]如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.向量加法的应用[典例]一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．[解]如图，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸方向的速度，OC表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，|OB|＝5(km/h)．因为四边形OACB为矩形，所以|OC|＝|AC|tan 30°＝|OB|×3＝53≈8.7(km)，|OC|＝|OA|cos 30°＝5332＝10(km)．所以船的实际速度大小为10 km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.应用向量解决问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．[活学活用]如图所示，两个力F1和F2同时作用在一个点O上，且F1的大小为3 N，F2的大小为4 N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．解：作出F1和F2的合力F，如图所示．在直角三角形AOC中，|F1|＝3，|AC|＝|F2|＝4，|F|2＝|F1|2＋|AC|2＝|F1|2＋|F2|2＝25，∴|F|＝5 N.层级一学业水平达标1．下列命题：①在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；②若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①正确．对于②，当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．对于③，应该为|a＋b|≤|a|＋|b|.2．若向量a表示向东走1 km，向量b表示向南走1 km，则向量a＋b表示() A．向东南走 2 km B．向东南走2 kmC．向东北走 2 km D．向东北走2 km解析：选A由向量加法的平行四边形法则，易得a＋b表示向东南走 2 km.3. 如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0 B．BEC．AD D．CF解析：选D BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝BF＋CB＝CF，所以选D. 4．下列命题错误的是() A．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．6. 如图，在平行四边形ABCD中，(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3)AB＋AD＋CD＝________；(4)AC＋BA＋DA＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC.(2)AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO.(3)AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD.(4)AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.答案：(1)AC(2)AO(3)AD(4)07．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.答案：2 28. 如图，菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠ABC＝60°，AB＝a，AD＝b，则|a＋b|＝________.解析：因为四边形ABCD为菱形，所以|AB|＝|BC|＝1.连接AC(图略)，又∠ABC＝60°，所以△ABC 为等边三角形．因为AB ＋AD ＝AC ，所以|AB ＋AD |＝|AC |＝1， 即|a ＋b |＝1. 答案：19. 如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式： ①DG ＋EA ＋CB ； ②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋EB ＝GB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC |＝|v 1|＝2 3. |AB |＝|v 2|＝2， ∴|AC |＝|v |＝|AB |2＋|BC |2＝22＋(23)2＝4.tan θ＝|BC ||AB |＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°.层级二 应试能力达标1. 如图，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是()A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋EF＝0C．DE,＋DA＝ECD．DA＋DE＝FD解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.2. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()A．OH B．OGC．FO D．EO解析：选C设a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现a＝FO.3．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．4．向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是() A．若向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同C．若向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同解析：选D对于D，向量a＋b与b的方向相同．5．化简：(AD＋MB)＋(BC＋CM)＝________.解析：原式＝AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC)＋CM＝AD＋MC ＋CM＝AD.答案：AD6. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①AB＋CD＝________；②AB＋AF＋BC＝________；③OC＋OD＋EF＝________.解析：①AB＋CD＝AB＋AF＝AO.②AB＋AF＋BC＝AO＋BC＝AO＋OD＝AD.③OD＋OD＋EF＝OD＋OD＋OA＝OC.答案：①AO②AD③OC7. 如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8. 如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b ＋c＋d.高中数学打印版精心校对版本(2)在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，AB ＝e ， 则a ＋e ＝OA ＋AB ＝OB ，因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， 所以|OB |即|a ＋e |最大，最大值是3.。

2．1向量的加法2．2向量的减法●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：向量的加法、减法运算．难点：向量加法、减法的几何意义．(教师用书独具)●教学建议几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．●教学流程创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？⇒引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．⇒引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．⇒通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．⇒通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．一架飞机要从A 地经B 地运物资到C 地，问从A 地到B 地，与从B 地到C 地这两次位移之和是什么？【提示】 如图所示，这两次位移之和为AB →＋BC →，而实际位移为AC →. 由此可以看出AB →＋BC →＝AC →.向量AB →与向量BA →是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？ 【提示】 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即AB →＝－BA →.1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？ 【提示】 是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a －b?【提示】 先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )．－b ，即a －b 表示为从向量(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →＝( )A.BC →B.AC →C.DA →D.BD →(2)化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________. 【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O ，转化成以O 为起点的向量进行化简．【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一 原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二 在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则 原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 【解】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.图2－2－1如图2－2－1所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作b ＋c －a .【思路探究】 解答本题可用平行四边形法则作b ＋c ，再作b ＋c －a .【自主解答】 法一 以OB →、OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD →、AD →，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .。