北京四中111104初三数学期中试卷

初三数学试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。

3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。

4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。

一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x -2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB CO第2题图第4题图第6题图7．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x… 2- 1-0 1 23 … y…4-2 24-…下列结论：①抛物线开口向下； ②当−1<x <2时，y >0；③抛物线的对称轴是直线12x =； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大值为2. 其中所有正确的结论为( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ， ⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上 不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作 PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分．．图象是（ ）A. B.C.D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 .10．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°， 那么∠ACB 的度数为 .11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y =x 2+bx +c(a ≠0)上的两个点， 则b = ．第8题图BCAO第10题图12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m ．13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上， 过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示，则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.解：如图2，连接BC. ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径． （依据是___________________________________________）431254312OxyC BA 第13题图图1图2第12题图yx41-4O第14题图图2图1第15题图∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________）∴BC OB 21=．∵OB=2,∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ⊥abc ＜0； ⊥20a b +=； ⊥4a −2b +c >0； ⊥若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.（1）0232=++x x ； （2）01222=--x x .18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.0m n >>C D OAB第16题图20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．21. 如图，⊥ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E . 求证：（1）BD=DC ;（2）DE 是⊙O 的切线.22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？x … ... y …...23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________． （2）化简：当x >0时函数y =_________，当x <0时函数y =________.（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1） 求抛物线的对称轴；（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．25. （1）已知等边三角形ABC ，请作出△ABC 的外接圆⊙O .在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC .①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，∠C =90°.在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂直C ABO平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”.右图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”已知点P（0, 4），Q（a, 0）（1）如图1，a=4，在点A（1, 0）、B( 2, 2)、C( 2√3, 2√3) 、D( 5, 5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为.（2）如图2，a=4√3，①已知D(0 , 8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围;②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−√3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围.图1图2初三期中测试数学学科参考答案：一、选择题1、D2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A 二、填空题9、9 10、110 11、-6 12、2 13、（2，1） 14、-3，0 15、90º的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等。

数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级学号姓名分数一、选择题（每题4分，共32分．以下各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．）1．以下事件是必定事件的是（）．A．任意掷两个均匀的骰子，向上边的点数之和是 6B．掷一枚硬币，正面向上C．3 个人分红两组，必定有两个人分在一组D．翻开电视，正在播放动画片2．抛物线 2y (x1) 2 能够由抛物线2y x 平移而获得，以下平移正确的选项是（）．A．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位B．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位C．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位D．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为（）．A． 2250 cm B．2500 cm C．2 2750 cm D．1000 cm4．两圆半径分别为 2 和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的地点关系是（）．A．外离B．外切C．订交D．内切5．同时扔掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（）．1 1 3 1 A．B．C．D．4 3 4 2y N6．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P 与x 轴P 相切于点Q ，与y 轴交于M (0，2) ，N (0，8) 两点，则点P 的坐标是Mx （）．OQA．(5，3) B．(3，5) C．(5，4) D．(4，5)7．抛物线 2 1y x kx 与2y x x k 订交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（）．A．0 B． 2 C．- 1 D．1 48．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC， C 90 ，CD 6cm，A D AD＝2cm，动点P、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA、AD、DC 运P动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P抵达点A时，点Q 正好抵达点C ．B Q C设P 点运动的时间为t (s) ，△BPQ 的面积为y 2(cm ) ．以下图中能正确表示整个运动中y 对于t 的函数关系的大概图象是（）．A．B．C．D．二．填空题（每题4分，此题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm．10．函数 2 2 3( 2 2)y x x x 的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A与BC 相切于点D，交AB 于E，交AC 于F，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40 °，则图中阴影部分的面积是 AP_______________．F EBD C12．已知二次函数 2y ax bx c 知足：（1）a b c；（2）a b c ；（3）图象与x轴有2 个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①a 0 ②a b c 0 ③c 0 ④a 2b 0 ⑤b 1 2a 4三．解答题（每题5分，此题共30分）13．计算：31 150 2 2 14．用配方法解方程：2 3122x 2x 3 015．已知 2 2 1m my (m 1)x (m 3)x m ，当m 为什么值时，是二次函数？16．如图，在半径为 6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OC 为3 cm．试求：（1）弦AB 的长；（2）A⌒B 的长．OA C B17．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象的极点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y 的对应值表：x 0 2y 0 - 3 - 4 - 3 0（1）求出二次函数的分析式；yxO（2）将表中的空白处填写完好；2+bx+c的图象；（3）在右侧的坐标系中画出y=ax（4）依据图象回答：2+bx+ c的值大于0．_______________________ 当x 为什么值时，函数y=ax18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的均分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D．（1）求证：BC 是⊙O 切线；A （2）若BD =5，DC=3，求AC 的长．OB CD四．应用题（19题6分，20题5分，21题4分）19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．以下图是同一副扑克中的 4 张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从节余的 3 张牌中也抽出一张．桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；不然，我获胜．（1）请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能出现的全部结果；（2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公正吗？请说明原因．20．某体育品商铺在销售中发现：某种体育器械均匀每日可售出20 件，每件可赢利40 元；若售价减少 1 元，均匀每日便可多售出 2 件；若想均匀每日销售这类器械盈利1200 元，那么每件器械应降价多少元？若想赢利最大，应降价多少？21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的地点．（保存作图印迹，不写作法）五．解答题（此题5分）22．已知如图，正方形AEDG 的两个极点A、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为C，试判断线段AC 与线段BC 的关系．BOGAE D C六．综合运用（23、25题7分，24题8分）23．已知：对于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2- bx+ k c （c≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1．（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；2 2()的值；kc b ab（2）求代数式akc2- bx+ c=0 ②必有两个不相等的实数根．（3）求证：对于x 的一元二次方程ax24．已知：如图，在直角坐标系xoy 中，点A（2，0），点 B 在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点C，过点C 的圆的切线交x 轴于点D．（1）求B、C 两点的坐标；（2）求直线CD 的函数分析式；（3）设E、F 分别是线段AB、AD 上的两个动点，且EF 均分四边形ABCD 的周长．尝试究：当点 E 运动到什么地点时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？第24 题图25．抛物线 2 3y ax bx 交x 轴于A、B两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为直线x 1，AB 4．（1）求二次函数 2 3y ax bx 的分析式；（2）在抛物线对称轴上能否存在一点P ，使点P 到B、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明原因；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M、N 两点，若以MN 为直径的圆恰巧与x 轴相切，求此圆的半径．初三期中考试参照答案及评分标准四中一、选择题：（此题共32 分，每题 4 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C B B A D B B 二、填空题：（此题共16 分，每题 4 分）9．3 2210．- 4， 5 11． 48912．①②③⑤（少选 1 个扣 1分，多项选择或选错均不得分）三、解答题：（此题共30 分，每题 5 分）13．计算：50 2 122 0133解：原式=5 2 2 1 27 ⋯⋯⋯⋯．．4 分（化简运算对一个数给 1 分）= 4 2 28⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分14．用配方法解方程：122x 2x 3 0解：122(x4x) 3 0 ⋯⋯⋯．．1 分122(x 2 ) 5 ⋯⋯⋯．．3 分x 2 10∴x1 2 10, x2 2 10 ⋯⋯．．5 分15．已知 2 2 1m my m x m x m ，当m 为什么值时，是二次函数？( 1) ( 3)解：依题设，若原函数为二次函数，则有m 1 02m 2m 1 2⋯⋯⋯．2 分解得m=3 ⋯⋯⋯．．．5 分16．如图，在半径为 6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OC 为3 cm．试求：（1）弦AB 的长；（2）A⌒B 的长．解：依题设有OC⊥AB 于C，又∵AB 为⊙O 的弦1∴AC=BC= AB ⋯⋯⋯ 2 分2 AOC B连结OA 则 2 2AC OA OC又∵OA=6，OC=3∴AC=3 3 ∴AB=6 3 ⋯⋯⋯3 分（2）由（1）知，在Rt△ACO 中，OA=6，OC=3 ∴∠OAC=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=120°⋯⋯⋯4 分⌒∴AB = 132 OA =4 ⋯⋯⋯．．5 分2+b x+c 的图象的极点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下17．已知二次函数y=ax表是x 与y 的对应值表：x -1 0 1 2 3y 0 -3 -4 -3 0 （1）求出二次函数的分析式；解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x=1，极点坐标为（1，4）⋯⋯1 分∴二次函数分析式可变形为 2y a( x 1) 4又由图象过（0，-3），有-3= a-4，解得a=1∴二次函数分析式为 2 2 3y x x ．．．．．2 分（2）将表中的空白处填写完好；．．．．．3 分（3）在右侧的坐标系中画出y=ax2+bx+ c的图象；⋯⋯⋯4 分（4）依据图象回答：当x 为什么值时，函数y=ax2+b x+c 的值大于0．x<- 1 或x>3．．．．．5 分18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的均分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D．（1）求证：BC 是⊙O 切线；（2）若BD =5，DC=3，求AC 的长．解：（1）证明：如图1，连结OD．A ∵OA=OD，AD 均分∠BAC，O ∴∠ODA =∠OAD ，∠OAD =∠CAD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴∠ODA =∠CAD．∴OD //AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴∠ODB =∠C =90 ．B D C∴BC 是⊙O 的切线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分图1（2）解法一：如图2，过 D 作DE⊥AB 于E．A∴∠AED =∠C =90 ．又∵AD =AD，∠EAD =∠CAD，∴△AED≌△ACD．EO∴AE= A C，DE =DC =3．B在Rt△BED 中，∠BED =90 ，由勾股定理，得图2D C2 DE2BE= BD 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设AC =x（x>0），则AE= x．在Rt△ABC 中，∠C=90 ，BC=BD +DC=8，AB =x+4，由勾股定理，得2 x2+8 = （x+4）2．解得x=6．即AC=6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分解法二：如图3，延伸AC 到E，使得AE=AB．A ∵AD=AD，∠EAD =∠BAD，∴△AED≌△ABD．O∴ED =B D= 5．在Rt△DCE 中，∠DCE =90 ，由勾股定理，得B D C2 DC2CE= DE 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分图3E 在Rt△ABC 中，∠ACB=90 ，BC=BD+DC =8，由勾股定理，得AC2 + B C2= AB 2．2 即AC2+8 =（AC +4）2．解得AC=6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分19．解：（1）树状图为：共有12 种可能结果．···················································································3 分（2）游戏公正．···················································································4 分∵两张牌的数字都是偶数有 6 种结果：（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．∴桐桐获胜的概率P=612=12．··································································5 分大诚获胜的概率也为12．···········································································6 分∴游戏公正．20．某体育品商铺在销售中发现：某种体育器械均匀每日可售出20 件，每件可赢利40 元；若售价减少 1 元，均匀每日便可多售出 2 件．若想均匀每日销售这类器械盈利1200 元，那么每件器械应降价多少元？若想赢利最大，应降价多少？解：设若想盈余1200 元，每件器械应降价x 元，则有( 4 0 x ) ( 2 0x 2 ) 1 2 ⋯⋯⋯⋯⋯．2 分可解得x1 10, x2 20 ，答：若想盈余1200 元，每件器械降价10 元或20 元均可⋯⋯⋯．3 分设降价x 元时，盈余为y 元，则y (40 x)(20 2x) 0<x<40 ⋯⋯⋯．4 分分析式可变形为 2y 2(x 15) 1250 且0<15<40由此可知，当降价15 元时，最大赢利为1250 元．⋯⋯⋯⋯5 分．21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的地点．（保存作图印迹，不写作法）任作2 弦给1 分，两条中垂线各 1 分，标出并写出点O 即为所求给 1 分五．解答题（此题 5 分）22．已知如图，正方形AEDG 的两个极点A、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为C，试判断线段AC 与线段BC 的关系．解：线段AC 与线段BC 垂直且相等⋯⋯⋯1 分证明：连结AD ⋯⋯⋯2 分∵四边形AEDG 为正方形B ∴∠ADE=45°∵四边形ABCD 内接⊙O A G O∴∠B+∠ADC =180°⋯⋯．．．3 分又∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE=45°又∵AB O为⊙直径E D C∴∠ACB=90°，即AC⊥BC ⋯⋯4 分∴∠BAC=45°∴AC=BC ⋯⋯．．5分23．解：（1）解：由kx= x+2，得（k- 1）x=2．依题意k- 1≠0．∴2x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分k 1∵方程的根为正整数，k 为整数，∴k- 1=1 或k- 1=2．∴k1= 2，k2=3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2）解：依题意，二次函数y=ax2- bx+ k c 的图象经过点（1，0），∴0 =a- b+ k c，kc = b- a ．∴( 2 2 22 2 2kc) b ab (b a) b ab b abakc a(b a)ab2a2ab 2 ab 2a ab= 1.2ab a⋯3 分（3）证明：方程②的鉴别式为Δ=（- b）2- 4ac= b2- 4ac．由a≠0，c≠0，得ac≠0．证法一：（i ）若ac<0，则- 4ac>0．故Δ=b2- 4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯ 4 分（ii ）若ac>0，由（2）知a- b+kc =0，故b= a+kc．2- 4ac= （a+kc）2- 4ac= a2+2kac+（kc）2- 4ac = a2- 2kac+（kc）2+4kac- 4acΔ=b=（a- kc）2+4ac（k- 1）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∵方程kx=x+2 的根为正实数，∴方程（k- 1）x=2 的根为正实数．由x>0，2>0，得k- 1>0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2 0，∴4ac（k- 1）>0．∵（a- kc）∴Δ=（a- kc）2+4 a c（k- 1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯⋯⋯7 分证法二：（i ）若ac<0，则- 4ac>0．故Δ=b2- 4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯4 分（ii ）若ac>0，∵抛物线y= a x2- bx+kc 与x 轴有交点，∴Δ1=（- b）2- 4akc =b2- 4akc 0．（b2- 4ac）- （b2- 4akc）=4ac（k- 1）．由证法一知k- 1>0，∴ b2- 4ac> b2- 4akc 0．∴Δ= b2- 4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分综上，方程②有两个不相等的实数根．证法三：由已知， a b kc，∴ 2 2 2 22 b 4ac b 4c(b kc) (b 2c) 4(k 1)c能够证明b 2c 和c 不可以同时为0（不然a 0），而k 1 0，所以 2 0．24．解：（1）∵A（2，0），∴OA =2．作BG⊥OA 于G，∵△OAB 为正三角形，∴OG =1，BG= 3 ，∴B（1， 3 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分连AC，∵∠AOC =90°，∠ACO =∠ABO=60°．AOC 90 ，∴OC= 2 33．（第24 题）∴C（0，2 3 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分3（2）∵∠AOC =90°，∴AC 是圆的直径，又∵CD 是圆的切线，∴CD⊥AC．∴∠OCD =30°，OD=23 ．∴D（23，0）．设直线CD 的函数分析式为y=kx+ b（k≠0），b 0 2 3323k b，解得kb233则3∴直线CD 的分析式为y=2 33x ．⋯4 分3（3）∵AB=OA =2，OD= 2，CD=2 OD=34，BC=OC =32 3 ，32 3∴四边形ABCD 的周长6+．3 设AE= t，△AEF 的面积为S，则AF =3+3 ∵S=t43－t S=t，343（3+ t3）=3（3+ t339 373t．4632）．EF∵点E、F 分别在线段AB、AD 上，∴0 t3233t 2231 3∴t 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3（第24 题）∴当 t= 9 3 6 时，S 最大= 7 3 12 3 8 ．⋯⋯⋯⋯ 8 分25．（1）设抛物线的分析式为 2y a( x 1) h ，∵点B( 3，0) 、C（0，3）在抛物线上，∴4a h 0，a h 3.解得ah1，4.∴抛物线的分析式为 2 2y (x 1) 4 x 2x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2） 2 2 3 ( 1)( 3)y x x x x ，∴A（1，0），B（3，0）．∴ 2 2AC 1 3 10 ．∴PA=PB ，∴PB PC PA PC ．⋯⋯⋯．．3 分如图1，在△PAC 中，PA PC AC ，当P 在AC 的延伸线上时，PA PC AC 10 ．设直线AC 的分析式为y kx b ，∴k bb0，3.解得kb3，3.∴直线AC 的分析式为y 3x 3．当x 1 时，y 3 3 6 ．∴当点P 的坐标为（1，6）时，PA PC 的最大值为10 ．⋯⋯⋯⋯⋯．5 分（3）如图2，当以MN 为直径的圆与x 轴相切时，y r ．N∵点N 的横坐标为 1 r ，∴ 2 2y (r 1) 2(r 1) 3 r 4 ．N∴r 2 4 r ．解得1 17r ，121 17r ．⋯⋯⋯⋯⋯．．7 分22。

2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试卷1.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.抛物线y=(x+2)2−1的顶点坐标是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (−1,−2)3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100∘，则∠A的度数为( )A. 30∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘4.下列方程中，有两个相等的实数根的方程是( )A. x2+3x=0B. x2+2x−1=0C. x2+2x+1=0D. x2−x+3=05.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A. y=5(x−2)2+1B. y=5(x+2)2+1C. y=5(x−2)2−1D. y=5(x+2)2−16.如图，△OAB绕点O逆时针旋转75∘，得到△OCD，若∠AOB=40∘，则∠AOD等于( )A. 115∘B. 75∘C. 40∘D. 35∘7.如图，⊙O的半径是1，点P是直线y=−x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为( )A. √2−1B. 1C. √2D. √38.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 4mB. 7mC. 8mD. 10m9.已知某个二次函数的最小值为−1，请你写出一个符合，上述条件的二次函数的表达式为______.10.已知扇形的半径为2cm，圆心角为120∘，则此扇形的弧长是______ cm.11.A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=−x2+2x+1的图象上，则y1与y2的大小关系为______.(用“>”，“<”，“=”连接)12.若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，则m的取值范围是______.13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是__________.14.如图，MA，MB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若∠AMB=60∘，AB=√3，则⊙O的半径等于______.15.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______.16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，它的图象经过点A(1,y1)，B(−2,y2)，C(−4,0).对于下列四个结论：①y1<y2；②c=−8a；③方程ax2+bx+c=0的解为x1=−4，x2=2；④对于任意实数t，总有a(t2+9)+bt+c≤0.其中正确的结论是______(填写序号).17.解下列方程：(1)x2−5x=0；(2)2x2−x−1=0.18.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①连接OP；OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②分别以点O和点P为圆心，大于12③作直线MN，交OP于点C；④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；⑤作直线PA，PB.直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．(1)请根据上述作法完成尺规作图；(2)连接OA，OB，可证∠OAP=∠OBP=90∘，理由是______；(3)直线PA，PB是⊙O的切线，依据是______.19.已知二次函数C：y=−x2+2x+3.(1)将y=−x2+2x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在图中画出二次函数C的图象；(3)当−1≤x≤2时，利用图象直接写出y的取值范围．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,3).(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△AB2C2，请在图中画出△AB2C2；(3)连接A1C2，线段A1C2的长等于______.21. 已知关于x 的方程kx 2+(k −2)x −2=0(k ≠0).(1)求证：此方程总有实数根；(2)若k 为整数，且此方程有两个不相等的整数根，求k 的值．22. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，CD =8，BE =2.求⊙O 的半径.23. 如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为12m 的墙(AD ≤12m)，另外三边用26m 长的篱笆围成．求当矩形的边长BC 为多少m 时，菜地面积为80m 2？24. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CD 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交⊙O 于点D ，延长BA 到点P ，使得PE =PC.(1)求证：PC 与⊙O 相切；(2)若⊙O 的半径5，AC =6，求CD 的长．25. 已知函数y =x 2+bx +c(x ≥2)的图象过点A(2,1)，B(5,4).(1)直接写出y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式；(2)如图，请补全分段函数y ={−x 2+2x +1(x <2)x 2+bx +c(x ≥2)的图象(不要求列表). 并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质：______；②若此分段函数的图象与直线y =m 有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m 的取值范围；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记(2)中函数的图象与直线y =12x −1围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．26.已知，抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1).(1)求抛物线C1的对称轴；(2)平移抛物线C1：y=−x2+bx+c，使其顶点在直线y=−2x+1上，设平移后的抛物线C2的顶点的横坐标为m.求抛物线C2与y轴交点的纵坐标的最大值．(3)在(2)的条件下，抛物线C2与y轴交于点M，将其向左平移2个单位得到点N，若抛物线C2与线段BN只有1个公共点，直接写出m的取值范围．27.如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90∘，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M.(1)请写出∠ECF的度数，并给出证明；(2)求证：点M是线段AF的中点；(3)直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A和B，对于点P定义如下：以点A为对称中心作点P 的对称点，再将对称点绕点B逆时针旋转90∘，得到点Q，称点Q为点P的反转点．已知⊙O的半径为1.(1)如图，点A(2,1)，B(3,2)，点P在⊙O上，点Q为点P的反转点．①当点P的坐标为(−1,0)时，在图中画出点Q；②当点P在⊙O上运动时，求线段AQ长的最大值；(2)已知点A是⊙O上一点，点B和P是⊙O外两个点，点Q为点P的反转点．若点P在第一象限内，点B在第四象限内，当点A在⊙O上运动时，直接写出线段PQ长的最大值和最小值的差．答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B.根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.【答案】C【解析】解：∵y=(x+2)2−1，∴抛物线顶点坐标为(−2,−1)，故选：C.由二次函数顶点式求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3.【答案】B【解析】解：∵∠BOC=100∘，∴∠A=12∠BOC=50∘.故选：B.直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、Δ=9−4×1×0=9>0，故A不符合题意．B、Δ=4−4×1×(−1)=8>0，故B不符合题意．C、Δ=4−4×1×1=0，故C符合题意．D、Δ=1−4×1×3=−11<0，故D不符合题意．故选：C.根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．【解答】解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y=5(x−2)2+1，故选A.6.【答案】D【解析】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转75∘到△OCD的位置，∴∠BOD=75∘，∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=75∘−40∘=35∘.故选：D.首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=75∘，而∠AOB=40∘，然后根据图形即可求出∠AOD.此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．7.【答案】B【解析】解：∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，且OA=1，∴当OP最小时，PA最小，∴当OP与直线y=−x+2垂直时，OP最小，如图，设直线y=−x+2交x轴、y轴于点B、C，则B(2,0)，C(0,2)，∴OB=OC=2，∴BC=2√2，∴OP=1BC=√2，即OP的最小值为√2，2∴PA的最小值=√OP2−OA2=1，故选：B.连接OA、OP，由切线性质可知OA⊥PA，且OA=1，则当OP最小时，PA最小，故当OP与直线y=−x+2垂直时，PA最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得OP的值，可求得答案．本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．8.【答案】C【解析】解：设运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系为y =ax 2+bx +c ，把图中数据(0,20)，(5,22.75)，(14,21,40)代入解析式，得{25a +5b +c =22.75196a +14b +c =21.40c =20，解得{a =−0.05b =0.80c =20.00，∴y =−0.05x 2+0.80x +20.00=−0.05(x −8)2+23.20，∵−0.05<0，∴当x =8时，y 最大，故选：C.根据图中数据用待定系数法求函数解析式，再根据函数的性质求y 最大时x 的值即可．本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题关键是求出函数解析式．9.【答案】y =x 2−1(答案不唯一)【解析】解：∵抛物线y =x 2−1开口向上，顶点坐标为(0,−1)，∴函数最小值为−1，故答案为：y =x 2−1.(答案不唯一)根据二次函数顶点纵坐标为函数最值求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．10.【答案】43π【解析】解：扇形的弧长=120⋅π⋅2180=43πcm.故答案为4π3.直接利用弧长公式计算．本题考查了弧长的计算：记住弧长公式：l =nπR 180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)，在弧长的计算公式中，n 是表示1∘的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．11.【答案】<【解析】解：当x=−1时，y1=−x2+2x+1=−1−2+1=−2，当x=2时，y2=−x2+2x+1=−4+4+1=1，所以y1<y2.故答案为：<.分别计算出自变量为−2和1对应的函数值即可得到y1与y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12.【答案】m>4【解析】解：∵若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，∴Δ=b2−4ac=42−4×1×m<0.即16−4m<0，解得：m>4，故答案为：m>4.根据抛物线与x轴的没有交点，即Δ=b2−4ac<0，即可求出m的取值范围．本题主要考查抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．13.【答案】(2,1)【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2,1).故答案为：(2,1).14.【答案】1【解析】解：∵MA、MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠AMB=30∘，∠OAM=90∘，∴AM=BM，∠OMA=12∵OA=OB，∴OM是AB的垂直平分线，∵AB=√3，∴AC =√32，Rt △OAM 中，∠AOM =60∘，∵∠ACO =90∘，∴sin60∘=AC OA ，∴OA =√32√32=1，∴⊙O 的半径等于1，故答案为：1.根据切线长定理可得：AM =BM ，∠OMA =12∠AMB =30∘，∠OAM =90∘，由同圆的半径相等可知：OA =OB ，所以根据线段垂直平分线的逆定理可知：OM 是AB 的中垂线，由∠AOM =60∘，利用特殊的三角函数值或直角三角形30度的性质可得圆的半径的长．本题考查了切线长定理、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识，熟练掌握切线长定理是关键．15.【答案】12000(1+x)2=27000【解析】解：依题意得12000(1+x)2=27000，故答案为：12000(1+x)2=27000.利用今年8月份的盈利=今年6月份的盈利×(1+6月份到8月份盈利的月平均增长率)2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②③【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1，1−(−1)>−1−(−2)，∴点A 与对称轴的距离大于点B 与对称轴的距离，∴y 1>y 2.①错误．∵抛物线经过C(−4,0)，对称轴为直线x =−1，∴抛物线经过(2,0)，∴方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=−4，x 2=2，③正确．∵−b 2a =−1，∴b =2a ，由抛物线经过(2,0)可得4a +2b +c =8a +c =0，∴c =−8a ，②正确．∵抛物线开口向上，4ac−b 24a =−32a 2−4a 24a =−9a ，∴函数最小值为y=−9a，∴at2+bt+c≥−9a，即a(t2+9)+bt+c≥0，④错误．故答案为：②③．根据抛物线开口方向及点A，B与对称轴距离的大小关系可判断①，由抛物线对称轴可得a与b 的关系，由抛物线经过(−4,0)可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而判断②③，由b与a，c与a的关系可得抛物线顶点纵坐标，从而判断④．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．17.【答案】解：(1)x2−5x=0，x(x−5)=0，x=0或x−5=0，所以x1=0，x2=5；(2)2x2−x−1=0，(2x+1)(x−1)=0，2x+1=0或x−1=0，，x2=1.所以x1=−12【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x=0或x−5=0，然后解一次方程即可；(2)利用因式分解法把方程转化为2x+1=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】直径所对的圆周角为直角过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线【解析】解；(1)如图，PA、PB为所作；(2)∵OP为直径，∴∠OAP=∠OBP=90∘；故答案为：直径所对的圆周角为直角；(3)∵∠OAP=∠OBP=90∘，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵OA、OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB是⊙O的切线．故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)根据圆周角求解；(3)根据切线的判定定理求解．本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定．19.【答案】解：(1)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4；(2)由y=−(x−1)2+4得顶点坐标为(1,4)，开口向下，当x=0时，y=3，当x=3或−1时，y=0，作出函数图象如下图所示，(3)由图象可知，当x=1时，y最大值=4；当x=−1时，y最小值=0，∴当−1≤x≤2时，y的取值范围为0≤y≤4.【解析】(1)由完全平方公式化为顶点式；(2)由顶点式得到顶点坐标，再画出几个点，然后用平滑的曲线连接，从而得到二次函数的图象；(3)结合函数图象求出y的取值范围．本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是准确画出二次函数的图象．20.【答案】5【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△AB2C2即为所求；(3)线段A1C2的长=√32+42=5.故答案为：5.(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；(3)利用勾股定理求解即可．本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是周围旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵k≠0，Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)，(kx−2)(x+1)=0，，x2=−1，解得x1=2k因为该方程的两根均整数，所以2为整数，k∵方程有两个不相等的整数根，∴Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2>0，∴k≠−2，∴整数k为±1或2.【解析】(1)先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程总有两个实数根；(2)先利用因式分解法求得kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)的解为x1=2，x2=−1，然后根据整数k的整除性可确定整数k的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．22.【答案】解：连接OC，设⊙O的半径为x.∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴CE=12在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2=(x−2)2+42，解得x=5，∴⊙O的半径为5.【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键.连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.23.【答案】解：设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由题意得：x(26−2x)=80，化简得：x2−13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26−2x=16>12(不合题意舍去)，当x=8时，26−2x=10，∴BC的长为10m，答：当矩形的边长BC为10m时，菜地面积为80m2.【解析】设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由矩形的面积公式建立方程，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式等知识，解答时寻找题目的等量关系是关键．24.【答案】(1)证明：如图，连接OC、OD，则OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90∘，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∠ACB=45∘，2∴∠AOD=2∠ACD=90∘，∵PE=PC，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠OED，∴∠PCE=∠OED，∴∠OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90∘，∴PC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切．(2)解：如图，连接BD，在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=8，∵∠PCA+∠OCA=90∘，∠B+∠OAC=90∘，∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴AP CP =CP BP =AC BC =68=34，∴CP 2=PA ⋅PB ，CP =43AP ，∴CP 2=AP(AP +10)，∴169AP 2=AP 2+10AP ，∴AP =907或AP =0(不符合题意，舍去)，∴CP =PE =1207，∴AE =PE −PA =1207−907=307，∵∠BOD =2∠BCD =90∘，OB =OD =5，∴BD =√OB 2+OD 2=√52+52=5√2，∵∠BCD =∠ECA ，∠CDB =∠CAE ，∴△CDB ∽△CAE ，∴CD AC =BD AE， ∴CD =AC⋅BD AE =6×5√2307=7√2，∴CD 的长是7√2.【解析】(1)连接OC 、OD ，先证明∠AOD =2∠ACD =90∘，再证明OCP =∠PCE +∠OCD =∠OED +∠ODC =90∘，即可证明PC 与⊙O 相切；(2)连接BD ，根据勾股定理求出BC =8，先证明△PAC ∽△PCB ，得AP CP =CP BP =AC BC =34，所以PC 2=PA ⋅PB ，即可求得AP =907，CP =PE =1207，AE =307，再由勾股定理求得BD =5√2，然后证明△CDB ∽△CAE ，即可根据相似三角形的对应边成比例求得CD =7√2.此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25.【答案】抛物线关于点(2,1)成中心对称【解析】解：(1)把A(2,1)，B(5,4)代入解析式得：{4+2b +c =125+5b +c =4， 解得{b =−6c =9， ∴y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式为y =x 2−6x +9；(2)如图所示：①性质：抛物线关于点(2,1)成中心对称，故答案为：抛物线关于点(2,1)成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0<m<2；(3)如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为(0,0)，(1,1).(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；(3)根据图象求整点坐标即可．本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．26.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1)，∴{−4+2b+c=1c=1，解得{b =2c =1， ∴抛物线C 1：y =−x 2+2x +1，∴抛物线C 1的对称轴为直线x =−22×(−1)=1；(2)∵抛物线C 2的顶点的横坐标为m ，抛物线顶点在直线y =−2x +1上， ∴抛物线顶点纵坐标为−2m +1，∴抛物线C 2的解析式为y =−(x −m)2−2m +1，将x =0代入y =−(x −m)2−2m +1得y =−m 2−2m +1， ∴抛物线与y 轴交点的纵坐标为−m 2−2m +1，∵−m 2−2m +1=−(m +1)2+2，∴抛物线C 2与y 轴交点的纵坐标的最大值为2.(3)由(2)得抛物线与y 轴交点M 坐标为(0,−m 2−2m +1)， ∴点N 坐标为(−2,−m 2−2m +1)，当m =0时，抛物线顶点坐标为M(0,1)，与点B 重合，符合题意，当m >0时，抛物线延直线y =−2x +1向下移动，不符合题意，当m <0时，抛物线延直线y =−2x +1向上移动，当点N落在抛物线上时，由点M，N的对称性可得抛物线对称轴为直线x=−1，∴m=−1，∴−1≤m≤0符合题意，当m减小，点M与点B重合时，−m2−2m+1=1，解得m=0(舍)或m=−2，∵−m2−2m+1=−(m−1)2+2，∴m<−2时，点M向下移动，∴m≤−2符合题意．综上所述，−1≤m≤0或m≤−2.【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)由C2的顶点的横坐标为m，顶点在直线y=−2x+1上，可得抛物线C2的顶点式，将x=0代入解析式求出抛物线与y轴交点纵坐标，再通过配方法求解．(3)由点M坐标可得点N坐标，由抛物线C2的顶点在直线y=−2x+1上可得抛物线的运动轨迹，结合图象求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．27.【答案】(1)解：∠ECF=45∘，理由如下：如图1，过点F作FG⊥CB于G，由旋转得：AE=EF，∠AEF=90∘，∴∠AEB+∠FEG=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABE=90∘，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90∘，∴∠BAE=∠FEG，∵∠ABE=∠EGF=90∘，∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴AB=EG，BE=FG，∴EG=BC，∴BE=CG，∴FG=CG，∵∠CGF=90∘，∴∠ECF=45∘；(2)证明：如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AB=CD，∠DBC=45∘，∵∠ECF=45∘，∴∠ECF=∠DBC，∴BD//CF，∴四边形DHFC是平行四边形，∴FH=CD，∵AB=CD，∴AB=FH，∵AB//CD，CD//FH，∴AB//FH，∴∠ABM=∠FHM，∵∠AMB=∠FMH，∴△ABM≌△FHM(AAS)，∴AM=FM，∴点M是线段AF的中点；(3)解：√2AD=2BM+FC，理由如下：∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD=√2AD，由(2)知：△ABM≌△FHM，四边形DHFC是平行四边形，∴BM=MH，HD=FC，∵BD=BM+MH+HD，∴√2AD=2BM+CF.【解析】(1)如图1，过点F作FG⊥CB于G，证明△ABE≌△EGF(AAS)，可得△CGF是等腰直角三角形，即可解答；(2)如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，证明四边形DHFC是平行四边形，得FH=CD，再证明△ABM≌△FHM(AAS)，可得结论；(3)根据(2)中的结论可解答．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②当点P在⊙O上运动时，点P关于点A的对称点P″在以T(4,2)为圆心，半径为1的圆上运动，此时点P关于点B的旋转对称点Q在圆J(3,3)为圆心，半径为1是圆上运动到，连接AJ.∵AJ=√12+22=√5，∴AQ的最大值=√5+1；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.∵PA=AP′，OP=OD，∴DP′=2AO=2，∴当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.∵∠P′BQ=∠DBG=90∘，∴∠P′BD=∠GBQ，∵BP′=BQ，BD=BG，∴△P′BD≌△QBG(SAS)，∴DP′=BG=2，∴此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，∴PQ的最大值与最小值的差是2.【解析】(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②判断出的Q的运动轨迹，可得结论；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.证明DP′=2AO=2，推出当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.证明△P′BD≌△QBG(SAS)，推出DP′=BG=2，推出此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，由此可得结论．本题属于几何变换综合题，中心对称变换，旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-，=0D ．=2，=03．若()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 为二次函数()21y x =+图象上的三点，则1y ，23,y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数()()57y x x =-+的图象的对称轴是（）A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为⊙O 直径，点,C D 在⊙O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）A ．()21.0581 1.167x -=B ．()1.05812 1.167x +=C ．()21.0581 1.167x +=D ．()21.1671 1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，表盘的半径长为（）A ．3BC ．D ．8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A ．B ．C ．D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE 的度数为．11．抛物线y ＝x 2－5x ＋6与y 轴交点的坐标是．12．如图，,PA PB 分別切⊙O 于,A B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交,PA PB 于,M N 两点，若PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．13．已知22310a a -+=，则代数式()()233a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是cm ．15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在()0,1A 和()0,2B 之间（不与A B 、重合）．下列结论：①0abc >；②93a c b +>；③40a b +=；④当0y >时，15x -<<；⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，10BD =，AB CD =，则BC 的最大值为．三、解答题17．解下列方程：(1)23610x x -+=；(2)()233x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．将ABC V 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ．(1)请在图中画出11A BC V ；(2)线段BC 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE．(1)求证：AEB ADC ≌ ；(2)连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．已知关于x 的一元二次方程()22840x k x k +--=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围．21．已知：如图，O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：作法一（如图1）作法二（如图2）①接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，以AO 的长为半径作A ，A 交O 于点B ；③作直线PB ，则直线PB 是⊙O 的切线．①连接OP ，交O 于点M ，过点M 作OP 的垂线MN ；②以点O 为圆心，以OP 的长为半径作弧，交直线MN 于点Q ；③连接OQ ，交于点B ；④作直线PB ，则直线PB 是的切线．证明：如图1，连接OB ，PO 为A 直径，∴90PBO ∠=︒．（______）∴PB OB ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．证明：……请仔细阅读，并完成相应的任务：(1)“作法一”中的“依据”是指______；(2)请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过()0,2A -，()2,0B 两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x⋅⋅⋅1-01212⋅⋅⋅y⋅⋅⋅2-0⋅⋅⋅(3)若一次函数y mx n =+的图象也经过,A B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．(1)求证：AC 是BDE V 的外接圆的切线；(2)若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；25．如图1，线段AB 及一定点,C P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7cm AB =，设,A P 两点间的距离为cm x ，,A Q 两点间的距离为1cm y ，,P Q 两点间的距离为2cm y ．小明根据学习函数的经验，分别对函数12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．/cm x 00.30.50.81 1.52345671/cmy 00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.782/cmy 00.080.090.0600.290.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12,y y 的图象．解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30︒时，AP 的长度约为______cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y ax a x a =-≠．(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC BE =，连接AE ，过C 作CF AE ⊥于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．(1)求证：AEB ACF ∠=∠；(2)用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知()1,0B -，()2,0C ，(1)写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标______；(2)已知点()112,02C m m ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2:l y x b =+上，求b 的取值范围；(3)已知点H 是直线1x =上的一点，且点H 的纵坐标小于0，()3,0C ，E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线6x =上的点()6,F h ，以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．。

2022北京四中初三（上）期中数考生须知1．本试卷共8页，共28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8学题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）．A. B. C. D.2. 抛物线=+−y x 212)(的顶点坐标是（ ）． A.1,2B. −2,1)(C. −−2,1)(D. −−1,2)(3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠=︒BOC 100，则∠A 的大小为（ ）A. 30°B. 50°C. 80°D. 100°4. 下列方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）． A. +=x x 302 B. +−=x x 2102 C. ++=x x 2102D. −+=x x 3025. 若将抛物线=y x 52先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. =−+y x 5212)(B. =++y x 5212)(C. =−−y x 5212)(D. =+−y x 5212)(6. 如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转︒75，得到OCD ，若∠=︒AOB 40，则∠AOD 等于（ ）．A. 115°B. 75°C. 40°D. 35°7. 如图，O 的半径是1，点P 是直线=−+y x 2上一动点，过点P 作O 的切线，切点为A ，连接OA ，OP ，则AP 的最小值为（ ）．A.−1B. 1C.D.8. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系=−+<y a x h k a 02)()(．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）．A. 4mB. 7mC. 8mD. 10m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 已知某个二次函数的最小值为−1，请你写出一个符合，上述条件的二次函数的表达式为______． 10. 半径为2，圆心角为120°扇形弧长为____________________． 11. −A y 1,1)(，By 2,2)(在二次函数=−++y x x 212的图象上，则y 1与y 2的大小关系为______．（用“>”，“<”，“=”连接．）12. 若抛物线=++y x x m 42与轴没有公共点，则m 的取值范围是______．13. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上，过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．14. 如图，MA ，MB 是的两条切线，A ，B 为切点，若°∠=AMB 60，=AB 的半径等于______．15. 为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为______．16. 已知二次函数=++>y ax bx c a 02)(的对称轴为直线−x =1，它的图象经过点A y 1,1)(，−B y 2,2)(，−C 4,0)(．对于下列四个结论：①<y y 12； ②=−c a 8；③方程++=ax bx c 02的解为=−x 41，=x 22；④对于任意实数t ，总有+++≤a t bt c 902)(． 其中正确的结论是______．（填写序号）．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解下列方程： （1）−=x x 502； （2）−−=x x 2102．18. 下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和外一点①连接； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆，交于（1）请根据上述作法完成尺规作图； （2）连接，OB ，可证∠=∠=︒OAP OBP 90，理由是________________________；（3）直线PA ，PB 是的切线，依据是________________________．19. 已知二次函数C ：=−++y x x 232．（1）将=−++y x x 232化成=−+y a x h k 2)(的形式； （2）在图中画出二次函数C 的图象；（3）当−≤≤x 12时，利用图象直接写出的取值范围．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，−A 1,1)(，−B 4,2)(，−C 3,3)(．（1）将ABC 先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A B C 111，请在图中画出△A B C 111；（2）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到AB C 22，请在图中画出AB C 22； （3）连接A C 12，线段A C 12的长等于______． 21. 已知关于的方程+−−=≠kx k x k 22002)()(．（1）求证：此方程总有实数根；（2）若k 为整数，且此方程有两个不相等的整数根，求k22. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，CD ＝8，BE ＝2．求⊙O 的值．的半径．23. 如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为12m 的墙（≤AD 12m ），另外三边用26m 长的篱笆围成．求当矩形的边长BC 为多少m 时，菜地面积为80m 2？24. 如图，AB 是的直径，点C 为上一点，CD 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交于点D ，延长BA 到点，使得=PE PC ．（1）求证：PC 与相切；（2）若半径5，=AC 6，求CD 的长．25. 已知函数=++≥y x bx c x 22)(的图象过点A 2,1)(，B 5,4)(．（1）直接写出=++≥y x bx c x 22)(的解析式；（2）如图，请补全分段函数⎩++≥⎨=−++<⎧x bx c x y x x x (2)21(2)22图象（不要求列表）．并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质：________________________；②若此分段函数的图象与直线=y m 有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m 的取值范围； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线=−y x 211围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．26. 已知，抛物线C 1：=−++y x bx c 2经过点A 2,1)(，B 0,1)(． （1）求抛物线C 1的对称轴；（2）平移抛物线C 1：=−++y x bx c 2，使其顶点在直线=−+y x 21上，设平移后的抛物线C 2的顶点的横坐标为m ．求抛物线C 2与轴交点的纵坐标的最大值．（3）在（2）的条件下，抛物线C 2与轴交于点M ，将其向左平移2个单位得到点N ，若抛物线C 2与线段BN 只有1个公共点，直接写出m 的取值范围．27. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在线段CB 的延长线上，连接AE ，并将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段FE ，连接AF ，BD ，CF ，线段AF 与线段BD 相交于点M ．（1）依据题意完成作图，请写出∠ECF 的度数，并给出证明； （2）求证：点M 是线段AF 的中点；（3）直接写出线段CF ，BM 和AD 的数量关系． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 和B ，对于点定义如下：以点A 为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点B 逆时针旋转90°，得到点Q ，称点Q 为点的反转点．已知的半径为1．（1）如图，点A 2,1)(，B 3,2)(，点在上，点Q 为点的反转点．①当点的坐标为−1,0)(时，在图中画出点Q ； ②当点在上运动时，求线段AQ 长的最大值；（2）已知点A 是上一点，点B 和是外两个点，点Q 为点的反转点．若点在第一象限内，点B 在第四象限内，当点A 在上运动时，直接写出线段PQ 长的最大值和最小值的差．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B 【解析】【分析】据轴中心对称图形的概念即可一一判定【详解】解：图形A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 图形B 是中心对称图形，故该选项符合题意； 图形C 不是中心对称图形，故该选项不符合题意；图形D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B【点睛】本题考查了中心对称图形识别：把一个图形绕某一点旋转︒180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. 【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可求得 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选：C ．【点睛】本题考查了根据二次函数的顶点式求顶点坐标，熟练掌握和运用根据二次函数的顶点式求顶点坐标是解决本题的关健． 3. 【答案】B 【解析】【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得∠BOC ＝2∠A ，进而可得答案．【详解】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°， ∴∠A ＝21∠BOC ＝50°． 故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4. 【答案】C 【解析】【分析】利用根的判别式逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵，∴＞=−=−⨯⨯=b ac 4941050,2故A 不符合题意；的∵，∴()24441180,b ac =−=−⨯⨯−=＞ 故B 不符合题意； ∵，∴22424110,b ac =−=−⨯⨯= 故C 符合题意； ∵，∴()21413110,=−−⨯⨯=−＜ 故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“当0,＞ 一元二次方程有两个不相等的实根，当0,= 一元二次方程有两个相等的实根，当0,＜ 一元二次方程没有实数根”是解本题的关键．5. 【答案】A 【解析】【分析】根据函数平移的法则：上加下减，左加右减进行求解． 【详解】解：∵抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位∴平移后解析式为：()2521y x =−+ 故选：A【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握函数平移的法则是解答此题的关键． 6. 【答案】D 【解析】【分析】首先根据旋转的性质可知75BOD ∠=︒，而，然后根据图形即可求出【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到，75BOD，40AOB ∠=︒，754035AOD BOD AOB ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒故选：D ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转前后对应边、对应角相等． 7. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意设(,2)P a a −+，则OP =的半径是1得1OA =，根据是的切线得90OAP ∠=︒，即可得OAP △是直角三角形，在Rt OAP △中，根据勾股定理得222AP OP OA =−，即可得222(1)1AP a =−+，根据二次函数的性质得当10a −=时，有最小值，即可得． 【详解】解：∵点是直线上∴设(,2)P a a −+，∴OP =，∵的半径是1，∴1OA =， ∵是的切线，∴90OAP ∠=︒， ∴OAP △是直角三角形，在Rt OAP △中，根据勾股定理得，222AP OP OA =− 222(2)1AP a a =+−−222441AP a a a =+−+− 22243AP a a =−+ 222(1)1AP a =−+当10a −=时，有最小值，即2011AP =+=，1AP =，故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 8. 【答案】C 【解析】【分析】将点()()()0,20,5,22.75,14,21.40分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【详解】解：根据题意知，抛物线2y ax bx c =++经过点()()()0,20,5,22.75,14,21.40，则2025522.751961421.40c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得： 1204520a b c ⎧=−⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线为21420,205y x x =−++ 所以()458m 1220x =−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭，该运动员起跳后飞行到最高点．即该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为8m ． 故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意建立二次函数的模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】21y x =− 【解析】【分析】由二次函数的最小值为1,− 可令1,0,1,a b c ===− 从而可得二次函数的解析式． 【详解】解：∵某个二次函数的最小值为，∴这个二次函数可以为：21.y x =− 故答案为：21.y x =− （答案不唯一）【点睛】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的最值构建二次函数是解本题的关键． 10. 【答案】43π 【解析】【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的弧长=120241803ππ⨯=故选：B ．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：180n rl π=是解题的关键． 11. 【答案】12y y ＜【解析】【分析】根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：二次函数()222112y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线1x =，10a =−＜，∴该抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，抛物线上点与点()33,y 关于对称轴对称，13y y ∴=，32＞， 32y y ∴＜， 12y y ∴＜，故答案为：12y y ＜．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本题的关键． 12. 【答案】4m ＞##4m < 【解析】 【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得24410,m =−⨯⨯＜再解不等式可得答案．【详解】解：∵抛物线与轴没有公共点，∴24410,m =−⨯⨯＜解得：4,m ＞ 故答案为： 4.m ＞【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，掌握“当24b ac =−△＜0时，抛物线与轴没有交点”是解本题的关键． 13. 【答案】（2，1） 【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 14. 【答案】1 【解析】【分析】根据题意得90OAM ∠=︒，可得30OMA ∠=︒，根据OA OB =得OM 是的垂直平分线，得90ACM ACO ∠=∠=︒，即可得2AC =，根据角之间的关系得30OAC ∠=︒，设OC x =，则2AO x =，在t R AOC 中，根据勾股定理得，222AC OC AO +=，进行计算得12x =，即可得． 【详解】解：，是的两条切线，∴AM BM =，90OAM ∠=︒， ∵，∴1302OMA AMB ∠=∠=︒， ∵OA OB =， ∴OM 是的垂直平分线，∴90ACM ACO ∠=∠=︒，∵∴122AC AB ==， ∴180180903060CAM ACM AMC ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒， ∴906030OAC OAM CAM ∠=∠−∠=︒−︒=︒， 设OC x =，则2AO x =， 在t R AOC 中，根据勾股定理得，222AC OC AO +=222(2)2x x += 22344x x += 112x =，212x =−（舍），则1212AO =⨯=, 故答案为：1．【点睛】本题考查了切线的性质，垂经定理，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 15. 【答案】212000127000x【解析】【分析】根据题意即可列出一元二次方程，即可解答． 【详解】解：设6月份到8月份盈利的月平均增长率为，根据题意得：212000127000x ， 故答案为：212000127000x．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，列出方程是解决本题的关键． 16. 【答案】②③##③② 【解析】【分析】根据二次函数的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大可判断①；由对称轴为1,2bx a=−=− 可得2,b a = 它的图象经过点，1640,a b c −+= 从而可判断②；由二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为：()2,0, 从而可判断③；当时，函数取得最小值289,y a b c a a a a =−+=−−=− 从而可判断④．【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，∴函数图象的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大，对称轴为直线1,2bx a=−=− ∵它的图象经过点，，而()()112,12121,−−=−−−=−+= ∴21,y y ＜ 故①不符合题意； 由对称轴为1,2bx a=−=− 可得2,b a = ∵它的图象经过点，∴1640,a b c −+=∴1641688,c a b a a a =−+=−+=− 故②符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为：()2,0, ∴方程的解为，；故③符合题意；当时，函数取得最小值289,y a b c a a a a =−+=−−=−∴对于任意实数有29,at bt c a ++≥− 即()290,a t bt c +++≥ 故④不符合题意；故答案为：②③【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练的利用二次函数的性质“判断代数式的符号，判断方程的根，代数式的最值”是解本题的关键．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】（1）120, 5.x x == （2）121, 1.2x x =−= 【解析】【分析】（1）先把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； 【小问1详解】 解：∵，∴()50,x x −= ∴0x =或50,x −= 解得：120, 5.x x == 【小问2详解】 ∵， ∴()()2110,x x +−= ∴210x +=或10,x −= 解得：121, 1.2x x =−= 【点睛】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解把原方程化为两个一次方程”是解本题的关键．18. 【答案】（1）画图见解析 （2）直径所对的圆周角是直角（3）过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【解析】分析】（1）根据题干提示语句画图即可；（2）由,OAP OBP ∠∠是直径所对的圆周角，从而可得答案； （3）由切线的判定定理直接可得答案．【小问1详解】解：如图，根据语句作图如下：【【小问2详解】 连接，，可证，理由是直径所对的圆周角是直角；故答案为：直径所对的圆周角是直角 【小问3详解】 直线，是的切线，依据是过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查的是复杂的尺规作图，作线段的垂直平分线，作圆的切线，圆周角定理的应用，切线的判定定理的应用，熟练尺规作图的方法是解本题的关键． 19. 【答案】（1）()21 4.y x =−−+ （2）画图见解析 （3）0 4.y ≤≤ 【解析】【分析】（1）利用配方法把抛物线的一般式化为顶点式即可； （2）先列表，再描点，再用平滑曲线连接即可；（3）先确定函数的最大值，再结合函数的图象求解当1,2x x =−=时的函数值，从而可得答案． 【小问1详解】 解：2214x x()214,x =−−+【小问2详解】 列表：【小问3详解】根据图象可得：当1x =时，函数取得最大值4,当时，1230,y =−−+=当2x =时，4433,y =−++= 当时，0 4.y ≤≤【点睛】本题考查的是把抛物线的一般式化为顶点式，画二次函数的图象，利用二次函数的图象确定函数的最值，熟练的画二次函数的图象是解本题的关键． 20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出B ，C 的对应点2B ，即可；(3)利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】解：作图如下：111A B C △即为所求；【小问2详解】AB C即为所求；解：作图如下：22解：如图：连接，125AC ==， 故答案为：5．【点睛】本题考查作图−平移变换与旋转变换，勾股定理等知识，解题关键是掌握平移变换、旋转变换的性质．21. 【答案】（1）证明见解析 （2）1k =±或 2.k = 【解析】【分析】（1）分两种情况讨论：当0k =时，方程为一元一次方程，当当0k ≠时，方程为一元二次方程，再证明0,≥ 从而可得答案；（2）先利用因式分解的方法解一元二次方程可得122,1x x k ==−，结合2k为整数，为整数，21k ≠−，从而可得答案． 【小问1详解】 解：对于，当0k =时，方程为220,x −−= 解得：1,x =− 方程有实数根， 当0k ≠时，()()2242k k =−−⨯− 2448k k k =−++ 244k k =++()220k =+≥，∴0≥，∴此时方程有两个实数根， 综上：总有实数根．【小问2详解】 ∵有两个不相等的整数根，∴()()210kx x −+=，且0k ≠， ∴20kx −=或10x +=， 解得：122,1x x k==−， ∵2k为整数，为整数，21k ≠−，∴1k =±或 2.k =【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 22. 【答案】⊙O 的半径为5． 【解析】分析】连接OC ，根据垂径定理求出CE ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：连接OC ，设⊙O 的半径为x ． ∵直径AB ⊥弦CD ， ∴142CE CD ==， 在Rt △OEC 中，由勾股定理可得x 2＝（x ﹣2）2+42， 解得 x ＝5， ∴⊙O 的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE 是解此题的关键． 23. 【答案】10 【解析】【分析】设矩形的边长为m x ，则m AD x =，26113m 22x AB x −⎛⎫==− ⎪⎝⎭，根据矩形的面积公式，列【出方程，即可求解．【详解】解：设矩形的边长为m x ，则m AD x =，26113m 22x AB x −⎛⎫==− ⎪⎝⎭，根据题意得： 113802x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 解得：1210,16x x ==，∵，∴10x =，答：当矩形的边长为10m 时，菜地面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，明确题意，准确列出方程是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】(1) 连接OC ，OD ，可证得=OCD ODC ∠∠，根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据平分，可得45ACD BCD ∠=∠=︒，290AOD ACD ∠=∠=︒，90OED ODE ∠+∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可证得PCE OED ∠=∠，90PCE OCD ∠+∠=︒，据此即可证得；(2)首先根据勾股定理可求得的长，()22255PC PA +=+，再由PCA PBC ∽，可得304PA AE =−，即可求得，最后由CAE CDB ∽，即可求得．【小问1详解】证明：如图：连接OC ，OD ，OC OD =，=OCD ODC ∴∠∠ AB 是的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分，45ACD BCD ∴∠=∠=︒，290AOD ACD ∴∠=∠=︒，90OED ODE ∴∠+∠=︒，PE PC =，PCE PEC ∴∠=∠，PEC OED ∠=∠，PCE OED ∴∠=∠，90PCE OCD ∴∠+∠=︒，PC ∴与相切；【小问2详解】解：90AOD BOD ，BD ∴===， AB 是的直径，90ACB ∴∠=︒，8BC ∴==，90PCO ∠=︒，PC PE =，222PC OC PO ∴+=，()()22255PA AE PA ∴++=+，2210PA AE AE PA ⋅+=， CPA BPC ∠=∠，PCA PBC ∠=∠，PAC PCB ∴∽，PC AC PB CB∴=，6=108PA AE PA ++， 得304PA AE =−，()()2230410304AE AE AE AE ∴−⋅+=−，得271003000AE AE −+=， 解得307AE =或10AE =(舍去)， CAE CDB ∠=∠，ACE DCB ∠=∠，CAE CDB ∴∽，CA AE CD DB ∴=，306CD =CD ∴=【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定定理及性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．25. 【答案】（1）抛物线的解析式为()2692y x x x =−+≥； （2）①当3x ≥时，函数值y 随着x 的增大而增大；②当02m <<时，此分段函数的图象与直线有三个公共点；（3）区域内所有整点坐标为(00)，，(1)0，，(11)，． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①结合图象即可求解；②分别两个抛物线的顶点坐标，观察图象即可求解；（3）画出图象，观察图象即可求解．【小问1详解】解：∵函数的图象过点，．∴4212554b c b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得69b c =−⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为()2692y x x x =−+≥； 【小问2详解】解：补全分段函数的图象如图所示，，①此分段函数的一条性质：当3x ≥时，函数值y 随着x 的增大而增大；②函数2221(1)2y x x x =−++=−−+，顶点坐标为(12)，， 函数2269(3)y x x x =−+=−，顶点坐标为(30)，， ∴当02m <<时，此分段函数的图象与直线有三个公共点； 【小问3详解】解：如图，观察图象，区域内所有整点的坐标为(00)，，(1)0，，(11)，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．26. 【答案】（1）直线 1.x =（2）抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为2．（3）当抛物线与线段只有一个交点时，的范围为：12m =−或5 1.m −≤−＜ 【解析】【分析】（1）把点，代入抛物线的解析式，再利用待定系数法求解二次函数的解析式，再求解对称轴方程即可；（2）设平移后的抛物线的顶点为：(),21,m m −+ 平移后的抛物线的解析式为：()221,y x m m =−−−+ 再令0,x = 建立二次函数的关系式，从而可得答案；（3） 由平移先秋季()2,2,N − 由平移后的抛物线的解析式为：()221,y x m m =−−−+分两种情况讨论：当抛物线的顶点在上时，此时抛物线与线段只有一个交点，当抛物线()221y x m m =−−−+过点()2,2N −时，可得：121,5,m m =−=− 结合（2）可得答案．【小问1详解】解：∵抛物线：经过点，，∴1,421c b c =⎧⎨−++=⎩ 解得：2,1b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线为：2+21,y x x =−+∴抛物线的对称轴为直线()2 1.21x =−=⨯− 【小问2详解】∵()22+2112,y x x x =−+=−−+抛物线的顶点坐标为：()1,2, ∵平移抛物线：，使其顶点在直线上，∴设平移后的抛物线的顶点为：(),21,m m −+∴平移后的抛物线的解析式为：()221,y x m m =−−−+当0x =时，()222112,y m m m =−−+=−++∴抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为2．【小问3详解】∵()0,2,M∴()2,2,N −∵平移后的抛物线的解析式为：()221,y x m m =−−−+ ∴当抛物线的顶点在上时，此时抛物线与线段只有一个交点， ∴212,m −+= 解得：1,2m =− 由②得：当1m =−时，抛物线为：()213,y x =−++当2y =时，此时()2132,x −++=解得：120,2,x x此时抛物线刚好经过,M N 两点，当抛物线()221y x m m =−−−+过点()2,2N −时， ∴()22212,m m −−−−+=整理得：2650,m m ++=解得：121,5,m m =−=−∴当抛物线与线段只有一个交点时，5 1.m −≤−＜综上：当抛物线与线段只有一个交点时，的范围为：12m =−或5 1.m −≤−＜ 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，构建二次函数利用二次函数的性质解决实际问题，抛物线与线段的交点问题，灵活的运用二次函数的性质是解本题的关键．27. 【答案】（1）45.ECF ∠=︒（2）证明见解析 （3）.2AD CF =+【解析】【分析】（1）先按照题意补全图形，过F 作FK BC ⊥于,K 再利用正方形的性质与旋转的性质证明,AEB EFK ≌ 可得,,AB EK BE FK == 证明,,EK BC EB KC == 可得,FK KC = 结合,FK KC ⊥从而可得答案；（2）如图，延长FK 交于,Q 证明,,ABQ MQF QF AB ∠=∠= 证明,ABM FQM ≌ 可得,AM FM = 从而可得答案；（3）由（1）（2）得：CFK 为等腰直角三角形，BKQ 为等腰直角三角形，,EK AB = 可得,,22CK CF BK BQ == 结合,BM MQ = 可得2,,BM BK == 结合正方形的性质可得.2AD BK CK CF =+=+ 【小问1详解】 解：如图，补全图形如下：过F 作FK BC ⊥于,K由旋转可得：,90,AE FE AEF =∠=︒∴90,AEB FEK ∠+∠=︒∵正方形,ABCD∴,90,AB BC ABC ABE FKE =∠=∠=︒=∠∴90,FEK EFK ∠+∠=︒∴,AEB EFK ∠=∠∴,AEB EFK ≌∴,,AB EK BE FK ==∴,,EK BC EB KC ==∴,FK KC = 而,FK KC ⊥∴45.ECF ∠=︒【小问2详解】如图，延长FK 交于,Q∵正方形,ABCD 则45,DBC ∠=︒ 而90,BKQ FKC ∠=∠=︒∴45,,BQK QBK BK QK ∠=∠=︒=∴,,ABQ MQF QF QK KF QK BE BK BE KE AB ∠=∠=+=+=+==∵,AMB FMQ ∠=∠∴,ABM FQM ≌∴,AM FM =∴是的中点．【小问3详解】由（1）（2）得：CFK 为等腰直角三角形，BKQ 为等腰直角三角形，,EK AB =∴,,22CK CF BK BQ == 又∵,ABM FQM ≌∴,BM MQ =∴2,,BM BK ==∵正方形,ABCD∴,AD BC AB ==∴.2AD BK CK =+=+ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练地利用旋转的性质解题是关键．28. 【答案】（11（2）4【解析】【分析】（1）①根据新定义画出的点，即可， ②根据定义，将作点关于的对称点为()4,2，将点()4,2，绕点,逆时针旋转90︒得到()3,3，以()3,3K 为圆心，1为半径作圆，结合图形可知的最大值为AQ '，根据点到圆的距离即可求解．（2）根据位似变换的性质，旋转的性质，找到点的轨迹，根据点到圆的距离即可求解．【小问1详解】解：①如图，点即为所求，②如图，点，， 作点关于的对称点为()4,2，将点()4,2，绕点,逆时针旋转90︒得到()3,3， 以()3,3K 为圆心，1为半径作圆，则当点在上运动时，点的轨迹为以()3,3K 为圆心，1为半径的圆， ∴线段长的最大值为AQ '；∴AK ==∴最大值为1AQ AK KQ ''=+=；【小问2详解】如图，依题意，作出点关于点的对称点，P '， ∵点在上运动，PA AP '= 所以,O O '是以为位似中心，位似比为12：的位似图形，∴O '的半径为2,根据题意，点在第四象限，作点的反转点，即将O '绕点逆时针旋转90︒， 根据旋转的性质可得O ''的半径不变，为2， ∴线段长的最大值为2PO ''+，最小值为2PO ''−，∴最大值和最小值的差为4．【点睛】本题考查了位似变换，旋转的性质，根据题意画出图形是解题的关键．。

北京四中初三期中测试题 （答题时间：120分钟 总分：120分） 一. 选择题：（每小题3分，共30分） 1．若y =（2－m ）22m x 是二次函数，则m 等于（ ） A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．不能确定 2. 二次函数y=2（x －1）2－5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ） A. 开口向上，对称轴为直线x=－1，顶点（－1，－5） B. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，5） C. 开口向下，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5） D. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5） 3. 下列抛物线中，开口向上且开口最小的抛物线为（ ） A. y=x 2+1 B. y=43x 2－2x+3 C. y=2x 2 D. y=－3x 2－4x+7 4. 已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为（ ） A. k ﹥－47 B. k ≥－47且k ≠0 C. k ﹤－47 D. k ﹥－47且k ≠0 5. 二次函数图象y=2x 2向上平移1个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的关系式为（ ） A. y=2（x+3）2+1 B. y=2（x －3）2+1 C. y=2（x+3）2－1 D. y=2（x －3）2－1 6. 如图，函数y=ax 2和y=－ax+b 在同一坐标系中的图象可能为（ ） 7. 如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，点P （a+b ，ac ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 密 封 线 内 不 要 答 题 班级：_______ 姓名：__________（7题） （8题）8．如图，两根等高的电线杆的水平距离是50米，某人在杆的底部连结上E 处，测得一根杆顶的仰角是60°，另一根杆顶的仰角为30°，则电线杆顶距地面的高度是（ ）A ．25米B ．12.5米C ．D ．米9．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，数据如图3，如果把小敏画的的三角形的面积记作S 1，小颖画的三角形的面积记作S 2，那么你认为（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12S S =D ．不能确定9题 15题图10. 抛物线的顶点坐标为P （1，3），且开口向下，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围为（ ）A. x ﹥3B. x ﹤3C. x ﹥1D. x ﹤1二. 填空题：（每小题3分，共30分）11．已知三角形三边的比是25∶24∶7，则最小角的余弦值为 ，最小角的正切值为______．12．若sin(10)α-︒=α为 ． 13. 若二次函数y=（m+8）x 2+2x+m 2－64的图象经过原点，则m= .14. 抛物线y=2x 2+bx+8的顶点在x 轴上，则b=E D C B A15．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0．16. 二次函数y=2x2－4x－1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= . 17．不论x取何值，二次函数y=－x2+6x+c的函数值总为负数，则c 的取值范围为.18、如图所示，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y( 平方厘米)与时间t（秒）之间的函数式为————19、开口向上的抛物线y=a（x+2）（x－8）与x轴交于A、B，与y 轴交于点C，且∠ACB=90°，则a= .20. 将抛物y=2x2+16x－1绕顶点旋转180°后所得抛物线为 .三.解答题：（共60分）21. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2开口方向相反，形状相同，顶点坐标为（3，5）. （1）求抛物线的关系式；（2）求抛物线与x轴、y 轴交点.坐标。

北京市北京四中九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解. （2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解.【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴83t =（2）∵PE AC ∥，∴=DP DEDA DC ， 即886-=t DE， ∴364=-DE t ， ∴336644=-+=CE t t ，∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t（3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ， 在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2222+=+CE CQ PD DE ，即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ，2573256+=-t （舍）所以当57325-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.2．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高． 问题探究（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积 问题解决（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．【答案】（1）4；（2）203；（3）存在，最小值为16216 【解析】 【分析】（1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，∵S △ABC =1BC AM=82∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4；（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，∵AD BC ∥，90D ∠=︒ ∴∠BCD=∠D=90°=∠F ∴四边形BCDF 为矩形， 又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形， ∴DF=BF=BC=4， 又∵AD ∥BC ∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA ∴∠FAB=∠EAB ∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE ∴BH=BF=4，在Rt △BCE 和Rt △BHE 中， ∵BE=BE ，BH=BC=4 ∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ） ∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ） ∴AF=AH设AD=a ，则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a 由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()22226+=-a a解得8=3a∴AE=6-a=103S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m 整理得8=4+ma m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m设△ABE 的面积为y ，则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m整理得：223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y整理得2322560+-≥y y∴()()16160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y （注：利用求根公式进行因式分解）又∵面积y ≥0∴16≥y即△ABE 的面积最小值为16． 【点睛】本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．3．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得： 10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ， ∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464， ∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题4．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝63． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝32．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．∴S S ACO ODB ∆∆＝2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，∴OA OB ＝±63（舍负取正），即OA OB ＝63． ∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝OA OB ＝63．5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）.解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC⊥s时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为137-cm2．【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出APAB=AQAC，代入得出10210t-=28t，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-5 6t2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案.（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、OD、和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-185t）2-（6-65t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍，进行计算即可.解：（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴APAB=AQAC，即10210t-=28t，解得：t=20 9,∴当t=209时，PQ∥BC.（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =．216625S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分， 则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ． 如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，∴D ，即COD ∆， 解得：OC ，h ， ∴QD=AD﹣AQ=t ．在Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2， 即h ，化简得：13t 2﹣90t+125=0， 解得：t 1=5，t 2=t ，∵t=5s 时，AQ=10cm ＞AC ，不符合题意，舍去，∴t=52． 由（2）可知，S △AQP =54∴S 菱形AQPQ′=2S △AQP =2×258=3372+cm 2． 所以存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为137-cm 2． “点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m mb a a m =-+， 即：2263m mb m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，3m）代入，得： 23m b mk b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m mm m -+≤+，化简得：32418m m -≤．∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥，∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）． （1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围； （3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，已知抛物2(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12x =． (1)求抛物线的解析式；(2) 在x 轴上方有一点P ， 连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠， 记PBC ∆的面积为S ， 求当10.5S =时点P 的坐标(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点,,C B P''为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．【答案】（1）211322y x x=--（2）(2,6)（3）19或32【解析】【分析】（1）确定点A的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；（2）确定直线AP的解析式，用m表示点P的坐标，由面积关系求S和m的函数关系式即可求解；（3）先确定点P的坐标，当'''90B PC∠=，利用根与系数的关系确定'''B C的中点E的坐标，利用''2B C PE=建立方程求解，当''''90PC B∠=时，确定点G的坐标，进而求出直线''C G的解析式，得出点''C的坐标即可得出结论．【详解】（1）∵OC OB=，且B点坐标为(3,0)，∴C点坐标为(0,3)-．设抛物线解析式为21()2y a x k=-+．将B、C两点坐标代入得254134a ka k⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得12258ak⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x=-=--．（2）如图1，设AP与y轴交于点'C．∵PAB CAB∠=∠，OA OA=，90AOC AOC∠'=∠=︒，∴AOC∆≌AOC∆'，∴3OC OC='=，∴(0,3)C'．∵对称轴l 为直线12x =， ∴(2,0)A -，∴直线AP 解析式为332y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ，∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴313(3)622PF x x x =+--=+， ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+， ∵10.5S =，∴3910.54x +=， ∴2x =．此时P 点的坐标为(2,6)．（3）如图2，由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P （），当90C PB ∠=''︒时，取''B C 的中点E ，连接PE ． 则2B C PE ''=,即224B C PE =''． 设1122(,),(,)B x y C x y ''．由211-322y x x y x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+，∴点33 (,)22E t+，222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦''，222233261(6)(1221222PE t t t=-+-=-+），∴226116664(21)2t t t+=-+，解得：19t=或6（舍去），当90PC B''''∠=︒时，延长C P''交BC于H，交x轴于G．则90,45BHG PGO∠=︒∠=︒，过点P作PG x⊥轴于点Q，则12GQ PQ==，∴(18,0)G，∴直线C G''的解析式为18y x=-+，由211-322-18y x xy x⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725xy=-⎧⎨=⎩或612xy=⎧⎨=⎩（舍去），∴(7,25)C'-'，将(7,25)C'-'代入y x t=+中得32t=．综上所述，t的值为19或32．【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）2535,0453593535,(2454359355)4t tS tt⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎨-<≤⎪+<≤．【解析】【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：37522+=，即可求解；（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；（4）分0≤t3535＜t3535＜t5【详解】解：（1）直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣1 2x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+32x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：37522+=，故点N的坐标为（5，-3）；（3）∵tan∠ACO＝2142AOCO==＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：232nm n=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：432mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO ＝∠F ′AC ，∴AF ′∥x 轴， 则点F ′（3，2）；综上，点F 的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）； （4）如图2，设∠ACO ＝α，则tanα＝12AO CO =，则sinα＝5，cosα＝5；①当0≤t ≤355时（左侧图）， 设△AHK 移动到△A ′H ′K ′的位置时，直线H ′K ′分别交x 轴于点T 、交抛物线对称轴于点S ，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ， 则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，则DT ＝'52co 5c s 2os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α， S ＝S △DST ＝12⨯DT ×DS ＝254t ； ②当355＜t 35时（右侧图），同理可得：S ＝''DGS T S 梯形＝12⨯DG ×（GS ′+DT ′）＝12⨯3+55﹣323594-； 35＜t 53594+； 综上，S ＝2535,023593535,(435935(5)1044t t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪+<≤⎪⎩．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．10．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）求直线AC的函数解析式；（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）y=﹣23x2﹣43x+2；（2）223y x=+；（3）存在，(35,22-)【解析】【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩解得2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x2﹣43x+2；（2）∵当x=0时，y=2，∴C（0，2）设直线AC的解析式为y kx b=+，把A、C两点代入得0=32k bb-+⎧⎨=⎩解得232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的函数解析式为223y x=+；（3）存在．如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N设点P坐标为（m，n）,则n=224233m m--+），PN=-m，AO=3当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，∴点C的坐标为（0,2），OC=2∵PAC PAO PCO ACOS S S S=+-212411322()3223322m m m⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯⎪⎝⎭=23m m--∵a=-1<0∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值∴b当m=()33212-=--⨯-∴当m=32-时，S△PAC有最大值n=222423435223332322m m⎛⎫--+=-⨯-⨯+=⎪⎝⎭∴当△ACP的面积最大时，P的坐标为（35,22-）．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC的面积是解答本题的关键．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．已知如图1，在ABC中，90ABC∠=︒，BC AB=，点D在AC上，DF AC⊥交BC于F，点E是AF的中点．（1）写出线段ED与线段EB的关系并证明；（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转()090a α︒<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明； （3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22=最小值322=． 【解析】【分析】（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值．【详解】（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF∴DE=EB∵AB=BC ，∴∠DAB=45°∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)=360°－2×135°=90°∴DE ⊥EB（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF交CB于点H∵ME=EB，点E是AF的中点∴四边形MFBA是平行四边形∴MF∥AB，MF=AB∴∠MHB=180°－∠ABC=90°∵∠DCA=∠FCB=a∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a∵∠DCF=45°，∠CDF=90°∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a∴∠DCB=∠DFM∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形∴DC=DF，BC=AB=MF∴△DCB≌△DFM(SAS)∴∠MDF=∠BDC，DB=DM∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°∴△DMB是等腰直角三角形∵点E是MB的中点∴DE=EB，DE⊥EB（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=62∵CF=32，∴AF=32∴CE=CF+FE=CF+12AF922=当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：同理，CE=EF－CF322 =【点睛】本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．12．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161A EEC=-，求nm的值．（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BE nBG m=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5π；（2）3；（3）存在，63+【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222A DCE nCB A B m==，可得CE=2nm，由161A EEC=-推出16A CEC=，推出A1C=26nm•，推出BH=A1C=26nm•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到33FGFFM FED==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.【详解】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA1=n=1，在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2， ∴BA 1=2HA 1， ∴∠ABA 1=30°，∴旋转角为30°，∵BD=22125+=，∴D 到点D 1所经过路径的长度=3055ππ⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC=-， ∴16A C EC=， ∴A 1C=26n m⋅， ∴BH=A 1C=2226n m n m -=⋅， ∴42226n m n m -=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，∴242416n n m m-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形，∴FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ，∴FG F FM FE D ==，∵∠DFM=90°，tan 3FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，∴FM DM =；在矩形ABCD 中，有AD AB ==3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3，∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6，∴NP=AB =，∴DM=AN=BP=2，∴2FM DM ===∴6PF PM MF =+=+【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.13．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB=，17CD=．保持纸片AOB不动，将纸片COD 绕点O逆时针旋转(090)αα<<角度，如图2所示．()1利用图2证明AC BD=且AC BD⊥；()2当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）7，725．【解析】【分析】(1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD≅，得出AC=BD，延长BD交AC于E，证明∠AEB=90︒，从而得到BD AC⊥.(2) 如图3中，设AC=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC=ACAB 即可解决问题【详解】()1证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．∵90AOB COD∠=∠=，∴AOC DOB∠=∠，在AOC和BOD中，OA OBAOC BODOC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD≅，∴AC BD=，CAO DBO∠=∠，∵90DBO GOB∠+∠=，∵OGB AGE∠=∠，∴90CAO AGE∠+∠=，∴90AEG ∠=，∴BD AC ⊥．()2解：如图3中，设AC x =，∵BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥，∴ABC 是直角三角形，∴222AC BC AB +=，∴222(17)25x x ++=，解得7x =，∵45ODC DBO α∠=∠+∠=，45ABC DBO ∠+∠=，∴ABC α∠=∠，∴7sin sin 25AC ABC AB α=∠==． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.14．在△AOB 中，C ，D 分别是OA ，OB 边上的点，将△OCD 绕点O 顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB ，C ，D 分别为OA ，OB 的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB 为任意三角形且∠AOB=θ，CD ∥AB ，AC′与BD′交于点E ，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS 证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．15．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=12BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610r r-= 解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，∵AC ＝8，⊙O 的半径为2， ∴OC ＝6，OE ＝2，∴CE ＝2242OC OE -= ； （2）设⊙O 的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC 22AB A C -＝6， ∵AF ＝BF ， ∴AF ＝CF ＝BF ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°， ∴∠OEC ＝∠ACB ， ∴△OEC ∽△BCA ， ∴OE OC BC BA =，即8610r r-=解得r＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】。

北京四中初三上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为（ ）． A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x = D ．直线2x =-2．已知反比例数ky x=的图象过点(2,1)，下列各点也在反比例函数图象上的点是（ ）． A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．1(2,)2D ．1(4,)23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式为（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若35ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒6．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象可能为下列中的（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，若PAO △的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）． A ．4y x = B ．4y x =-C ．8y x=D ．8y x=-xOyxOyxO yxO yOCABO DC BAPA xOy8．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大9．若抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，则t 的取值范围为（ ）．A ．13t -<<B ．13t -<≤C ．534t << D ．1t -≥10．如图，ACB △中，60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长为（ ）． A ．22 B ．263 C ．1.5D ．433二、填空题（每空4分，共24分）11．已知双曲线3y x=，如果1(1,)A b -，2(2,)B b 两点在该双曲线上，那么1b __________2b ．（比较大小）12．将抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，则旋转后抛物线的解析式为__________．13．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 2- 1- 0 1 2 3 … y…5 03-4-3-…当函数值0y <时，x 的数值范围是__________．14．已知：如图，⊙O 是的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 于点D 、E 、F ，ABC △的周长为24cm ，10cm BC =，则AE =__________cm ．15．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知8cm BC =，2cm DE =，则AD 的长为__________cm ．52OxyFE OCDABFEDCBA OCAE DB16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)和1(,0)x ，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点，下列结论：①0b >；②214ac b <；③a b >；④2a c a -<<-．其正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共18分，每题6分）17．若二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点，求此二次函数的解析式．18．已知；如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(1,2)A -、(2,)B n 两点． （1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当m kx b x+≥时x的取值范围．19．已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-．（1）m 的值为__________；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x … … 1y……（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ≤．yxOBA1221yxO20．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形． 求OAD OCD ∠+∠的度数．21．如图，PB 切⊙O 于点B ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若6BC =，:1:2AD FD =，求⊙O 的半径r 的长．22．已知21(2)y x kx k k =-+->．（1）求证：抛物线21(2)y x kx k k =-+->与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求此抛物线的解析式；（3）以（2）中的抛物线上一点(,)P m n 为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交．xy O –1–21234–1–2123423．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务： 【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． （2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为__________．【发现】通过（2）或（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．24．如图，ABC △外接圆⊙O 半径为r ，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 、BE 交于点K ，AK r =．求BAC ∠的度数．K E OCADB25．如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=︒，AB AC =，(2,0)A -、(0,1)B 、(,2)C d ． （1）求d 的值；（2）将ABC △沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B '、C '正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B C ''的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B C ''交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBDDBDBBB二、填空题（每空4分，共24分）题号 1112 13 14 15 16 答案 <21y x =--13x -<<2213②④三、解答题（本题共18分，每题6分）17．解：二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点， ∴031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴二次函数的解析式为243y x x =-+．18．解：（1）∵(1,2)A -在my x=上， ∴2m =-．∴反比例函数的解析式是2y x =-． ∵点(2,)B n 在2y x=-上， ∴212n =-=-，即(2,1)B -．∵(1,2)A -，(2,1)B -在y kx b =+上， ∴221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式是1y x =-+．（2）由函数图象可知，x 的范围为1x -≤或02x <≤．19．解：（1）由题意得12b a -=-，即2(2)12m +-=-， ∴1m =-．∴抛物线解析式为：2123y x x =+-． 令10y =，得13x =-，21x =． 列表如下：x … 3- 2-1- 0 1 … 1y…3-4-3-…描点画图如图所示：（2）如图所示，易知，当2x -≤或1x ≥时，21y y ≤．1221y xOPB1221y xO20．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴180B D ∠+∠=︒．∵四边形OABC 为平行四边形， ∴AOC B ∠=∠． 又∵2AOC D ∠=∠， ∴60D ∠=︒．连结OD ，可得AO OD =，CO OD =． ∴OAD ODA ∠=∠，OCD ODC ∠=∠．∴60OAD OCD ODA ODC D ∠+∠=∠+∠=∠=︒．21．（1）证明：如图，连接OB ． ∵PB 是⊙O 的切线， ∴90PBO ∠=︒．∵OA OB =，BA PO ⊥于D ， ∴AD BD =，POA POB ∠=∠． 又∵PO PO =， ∴PAO △≌PBO △． ∴90PAO PBO ∠=∠=︒． ∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）解：∵OA OC =，AD BD =，6BC =， ∴132OD BC ==． 设AD x =．∵:1:2AD FD =，∴2FD x =，23OA OF x ==-．在Rt AOD △中，由勾股定理，得222(3)23x x -=+． 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去）． ∴4AD =，235OA x =-=． 即⊙O 的半径的长5．22．（1）证明：∵22()41(1)(2)k k k ∆=--⨯⨯-=-， 又∵2k >， ∴20k ->．∴2(2)0k ->，即0∆>．∴抛物线21y x kx k =-+-与x 轴必有两个交点．（2）解：∵抛物线21y x kx k =-+-与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=． 解得：1x k =-或1x =． ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴(1,0)A ，(1,0)B k -． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴(0,1)C k -．∵在Rt AOC △中，tan 3OAC ∠=， ∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==，解得4k =． ∴抛物线的表达式为243y x x =-+．（3）解：当22m <-或22m >+时，x 轴与⊙P 相离． 当22m =-或2m =或22m =+时，x 轴与⊙P 相切． 当222m -<<或222m <<+时，x 轴与⊙P 相交．23．解：（1）将2t =代入抛物线E 中，得：2222(32)(12)(24)242(1)2y x x x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-； （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． （3）∵点(1,)B n -在抛物线E 上，∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中，得：(132)(1)(24)6n t t =+++-+=． 【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+， ∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-． 【应用】不是，理由如下：∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的“再生二次函数”．24．解法一：如图1，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接AN ，BN ． ∵CN 为⊙O 直径， ∴90NAC NBC ∠=∠=︒， ∵AD BC ⊥，BE AC ⊥， ∴AN BE ∥，NB AD ∥． ∴四边形ANBK 为平行四边形． ∴NB AK r ==，在Rt NBC △中，2NC r =， ∴1cos 2NB NBC NC ∠==， ∴60BNC ∠=︒， ∴60BAC BNC ∠=∠=︒．解法二：如图2，连接OA ，过点O 作OF AB ⊥于点F ． ∵90AOF OAF ∠+∠=︒，90KAE C ∠+∠=︒， 且AOF C ∠=∠， ∴OAF KAE ∠=∠．又∵OA KA r ==，90AEK AFO ∠=∠=︒， ∴AFO △≌AEK △．图1NK E O CADB F图2K E O CADB∴AF AE =， ∴2AB AE =．∴在Rt ABE △中，60BAC ∠=︒．25．解：（1）作CN x ⊥轴于点N ． 在Rt CNA △和Rt AOB △中， ∵2NC OA ==，AC AB =， ∴Rt CNA △≌Rt AOB △（HL ）．∴1AN BO ==，3NO NA AO =+= 又∵点C 在第二象限， ∴3d =-．（2）设反比例函数为ky x=，点C '和B '在该比例函数图像上， 设(,2)C m '，则(3,1)B m '+． 把点C '和B '的坐标分别代入ky x=，得2k m =；3k m =+， ∴23m m =+，3m =，则6k =， ∴反比例函数解析式为6y x=. ∴点(3,2)C '，(6,1)B '．∴直线B C ''的解析式为133y x =-+．（3）设点M 的坐标为(,0)m ，点P 的坐标为6(,)p p． 当以MP 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p +=+，解得215m =-； 当以MG 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p+=+，解得3m =； 当以MC 为平行四边形对角线时，30m p -=+，6023p+=+，解得3m =-． 综上所述，存在点121(,0)5M -，2(3,0)M ，3(3,0)M -，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形．N C'B'A'GBCAyOx11 北京四中初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为直线1x =．故选A ．2．【答案】D 【解析】∵反比例数k y x =的图象过点(2,1)，∴2k =，易知点1(4,)2在2y x =的图象上．故选D ．3．【答案】B【解析】∵半径OD 过AB 的中点C ，弦AB 的长为8，∴4BC =，90OCB ∠=︒，在Rt OCB △中，2222543OC OB BC =-=-=．故选B ．4．【答案】D【解析】根据“上加下减，左加右减”可得，所求二次函数的解析式为23(2)1y x =++．故选D ．5．【答案】D【解析】由圆周角定理可得，270AOC ABC ∠=∠=︒．故选D ．6．【答案】B【解析】由解析式可知，两个函数均过点(0,)c ；当0a >时，一次函数单调递增，二次函数开口向上；当0a <时，一次函数单调递减，二次函数开口向下．故选B ．7．【答案】D【解析】由k 得几何意义，可知142PAO S k ==△， 又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴0k <， ∴8k =-，∴反比例函数的解析式为8y x=-．故选D ．8．【答案】B【解析】由二次函数的图象可知，开口向下，∴0a <；抛物线的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(5,0)，故另一个交点为(1,0)-， ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<；又∵抛物线经过点(1,0)-，∴0a b c -+=；当2x >时，y 随x 的增大而减小．故选B ．9．【答案】B【解析】抛物线的对称轴为直线2x =，开口向上，∵抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，12∴当2x =时，48310y t t =-+-=--≤，当0x =时，30y t =->，∴13t -<≤．故选B ．10．【答案】B【解析】连接OE ，OF ．∵60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴90EOF ∠=︒． ∴222EF OE AD ==． ∵弦EF 的最小值为1，∴AD 的最小值为2，即当AD BC ⊥时，2AD =．在Rt ABD △中，60B ∠=︒，∴26cos603AD AB ==︒．故选B ． 二、填空题11．【答案】<【解析】易得13b =-，232b =，∴12b b <．故答案为<．12．【答案】21y x =--【解析】抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，顶点由(0,1)变为(0,1)-，开口方向由向上变为向下，故旋转后抛物线的解析式为21y x =--．故答案为21y x =--．13．【答案】13x -<<【解析】由表格中数据已知，当函数值0y <时，x 的数值范围是13x -<<．故答案为13x -<<．14．【答案】2【解析】设AE x =，则AF x =，又∵CD CF =，BD BE =，∴22024x +=，解得2x =．故2cm AE =．故答案为2．15．【答案】213【解析】设半圆O 的半径为r ．∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵E 为BC 弧中点，∴OE BC ⊥，∴OE AC ∥，∴22(2)AC OD r ==-，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴2224(2)84r r -+=，解得5r =． F EO C D A B13 ∴6AC =，142CD BC ==， ∴22213AD AC CD =+=．故答案 为213．16．【答案】②④【解析】由题意可知，二次函数的图象大致如图所示： 由图可知，0b <，①错误；240b ac ∆=->，∴214ac b <，②正确； ∵1122x ba +-=，121x -<<-， ∴1211222ba --<-<，即01ba <<，∵0a <，∴a b <，③错误． 又∵11cx a ⋅=，121x -<<-， ∴21ca -<<-，∵0a <，∴2a c a -<<-，④正确．故答案为②④．-1-21y x。

2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）A．36°B．33°C．30°D．27°3．（2分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣3D．x＝34．（2分）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（ ）A．1B．0C．﹣1D．﹣25．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）A．A，B，C都不在B．只有BC．只有A，C D．A，B，C6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）A．40°B．70°C．80°D．75°7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝x2﹣2ax+4．若A（a﹣1，y1），B （a，y2），C（a+2，y3）为抛物线上三点，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2分）在一化学实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为a1，a2，a3．我们规定该实验的“最佳实验数据”a是这样一个数值：a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小．依此规定，则a＝（ ）A．a1+a2+a3B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图，AB为⊙O的切线，切点为点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是 ．10．（2分）若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 ．11．（2分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O 的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是 ．12．（2分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．13．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为 ．14．（2分）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为 ．15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 ．①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1．16．（2分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）x2﹣1＝2（x+1）．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，1），B（﹣4，2），C （﹣3，3）．（1）平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1；（2）将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求线段DE的长度．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 ．（2）由②③可知，AC＝r，AB'＝πr，则MC＝ ，MA＝　（用含r的代数式表示）．（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2＝EM2，可计算得AE2＝ （用含r的代数式表示）．由此可得S正方形AEFG＝S⊙O．22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围；（3）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．23．（5分）如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA交CA 延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC＝，∠CAB＝75°，求⊙O的半径．24．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：表1 直发式x（dm）024********…y（dm） 3.84 3.964 3.96m 3.64 2.56 1.44…表2 间发式x（dm）024681012141618…y（dm） 3.36n 1.680.840 1.40 2.403 3.203…根据以上信息，回答问题：（1）表格中m＝ ，n＝ ；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．25．（6分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝5cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 AC/cm0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD/cm0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD/cm0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是 ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B．（1）若AB∥x轴，求抛物线的解析式；（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x P，y P），都有y P≥﹣3，求a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB上一点．过点D作DE⊥AC 于点E，过点D作DF⊥BC于点F，G为直线BC上一点，连接GE，M为线段GE的中点．连接MD，MF，将线段MD绕点M旋转，使点D恰好落在AB边上，记为D'．（1）①在图1中将图形补充完整；②求∠FMD'的度数．（2）如图2所示，，当点G，M，D′在一条直线上时，请直接写出∠GFM 的度数．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．对于平面内一点A，若存在边长为1的等边△ABC，满足点B在⊙O上，且OC≥OA，则称点A为⊙O的“近心点”，点C为⊙O的“远心点”．（1）下列各点：D（﹣3，0），，，中，⊙O 的“近心点”有 ；（2）设点O与⊙O的“远心点”之间的距离为d，求d的取值范围；（3）直线分别交x，y轴于点M，M，且线段MN上任意一点都是⊙O的“近心点”，请直接写出b的取值范围．2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵∠BCD＝54°，∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，∴∠A＝∠D＝36°．故选：A．3．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x＝＝1．故选：B．4．【解答】解：∵4x2+（4m+1）x+m2＝0，∴Δ＝（4m+1）2﹣16m2＝16m2+8m+1﹣16m2＝8m+1，∵有实数根，∴8m+1≥0，∴，∴最小整数值为0．故选：B．5．【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵点D是斜边AC的中点，∴AD＝CD＝250m，BD＝AC＝250m，∵250＜300，∴点A、B、C都在圆内，∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．故选：D．6．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，∴∠DAB＝40°，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∴∠ADE＝70°，故选：B．7．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∴A（a﹣1，y1）到对称轴的距离为1，B（a，y2）点为顶点，C（a+2，y3）点到对称轴的距离为2，∴y2＜y1＜y3．故选：D．8．【解答】解：根据题意：要使a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小，这M应是方差；根据方差的定义，a应该为a1，a2，a3的平均数；故a＝．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠ABO＝32°，∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°．10．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCD是正六边形，∴∠OAD＝60°，∴OD＝OA•sin∠OAB＝4×＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由切线长定理得，BF＝BG，CM＝CG，DF＝DN，EN＝EM，∴BF+CM＝BG+GC＝BC＝9，∴AF+AM＝25﹣9﹣9＝7，△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DF+AE+EM＝AF+AM＝7，故答案为：7．12．【解答】解：设圆的半径为r m，由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，所以+r＝2.5，解得r＝1.3．故答案为：1.3．13．【解答】解：由勾股定理得，，则OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∵四边形OACB是正方形，∴∠COB＝45°，∴，，，∴阴影部分的面积为．故答案为：．14．【解答】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，∴种植花卉的部分可合成长为（20﹣2x）米，宽为（18﹣x）米的矩形．根据题意得：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．故答案为：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．15．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝﹣＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故①错误，不符合题意；②当x＝1时，函数值为2，∴a+b+c＝2；故②正确，符合题意；③∵对称轴直线x＝﹣＞﹣1，a＞0，∴2a＞b，故③错误，不符合题意；④当x＝﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又∵a+b+c＝2，将a+c＝2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故④正确，符合题意；综上所述，其中正确的结论是②④；故答案为：②④．16．【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，故点B（4，0），设圆的半径为r，则r＝2，连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，故答案为：3.5．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝8＞0，∴x＝＝±，所以x1＝+，x2＝﹣；（2）x2﹣1＝2（x+1）．（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，x+1＝0或x﹣1﹣2＝0，所以x1＝﹣1，x2＝3．18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，交于点P，∴旋转中心的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．19．【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：△ABC为等腰三角形，∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，∴三角形的三边长为4、6、6，当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，∴三角形的三边长为6、6、10，②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．还可采取以下方法：由x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0得到（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，解得x＝2k或k+1，当a＝b＝2k＝6时，则a＝b＝6，k＝3，此时，三角形的边长为6，6，4；当a＝c＝k+1＝6时，则a＝c＝6，k＝5，则x＝2k＝10＝b，此时，三角形的边长为6，6，10；当b＝c时，即2k＝k+1，解得k＝1，则b＝c＝2，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去）∴综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．20．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝6．∵AB＝3AD，∴AD＝2，BD＝4．由（1）可知△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝2，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°．在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∴DE2＝BE2+BD2，∴DE＝＝2．21．【解答】解：（1）∵l⊥OA于点A，OA为⊙O的半径，∴直线l为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）∵以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C，∴AC＝r．∵纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处，∴AB'＝＝πr，∴CB′＝CA+AB′＝r+πr＝（π+1）r．∵M为CB′的中点，∴MC＝CB′＝．∴MA＝MC﹣AC＝﹣r＝．故答案为：；；（3）连接ME，如图，则ME＝MC＝．在Rt△AME中，∵AM2+AE2＝EM2，∴AE2＝EM2﹣AM2＝﹣＝[][]＝πr×r＝πr2．∴S正方形AEFG＝S⊙O．故答案为：πr2．22．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）﹣1≤y≤3．理由如下：当x＝0时，y＝3；当x＝3时，y＝0；又y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即x＝2时，y有最小值﹣1，∴当0≤x≤3时，y的取值范围为：﹣1≤y≤3；（3）设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），又∵B（3，0），∴，解得，所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x＝＝＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1），画出函数图象如图，∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），∴y1＝y2，∴x1+x2＝4．令y＝﹣1，代入BC的解析式y＝﹣x+3，得x＝4．∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，∴7＜x1+x2+x3＜8．23．【解答】（1）证明：连接OB，如图．∵OA＝OB，∠OAB＝45°，∴∠1＝∠OAB＝45°，∵AO∥DB，∴∠2＝∠OAB＝45°，∴∠1+∠2＝90°，∴BD⊥OB于B，又∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）解：作OE⊥AC于点E．∵OE⊥AC，AC＝4，∴AE＝＝2．∵∠BAC＝75°，∠OAB＝45°，∴∠3＝∠BAC﹣∠OAB＝30°．∴在Rt△OAE中，OA＝＝＝4．24．【解答】解：（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m＝3.84；在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，3.36）、（8，0）代入，得，解得：，∴这条直线的解析式为y＝﹣0.42x+3.36，当x＝2时，y＝﹣0.42×2+3.36＝2.52，表格2中，n＝2.52；故答案为：3.84，2.52；（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，4），∴设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a＜0），把（0，3.84）代入，得3.84＝a（0﹣4）2+4，解得：α＝﹣0.01，∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+4；（3）当y＝0时，0＝﹣0.01（x﹣4）2+4，解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24，∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1＝24；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为（16，3.20），∴设这条抛物线的解析式为y＝m（x﹣16）2+3.2 （m＜0），把（8，0）代入，得0＝m（8﹣16）2+3.2，解得：m＝﹣0.05，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，当y＝0时，0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，解得：x1＝8，x2＝24，∴d2＝24dm，∴d1＝d2，故答案为：＝．25．【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．故答案为：3.5cm＜x＜5cm．26．【解答】解：（1）若AB∥x轴，则A、B关于抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）的对称轴对称，∵抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B，∴A（0，3），∴B（﹣4，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，∴a＝＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣3；（2）当x＝﹣4时，y＝8a2+16a﹣3，∵y P≥﹣3，∴8a2+16a﹣3≥﹣3，a2+2a≥0，a（a+2）≥0，∴或，解得：a＞0或a≤﹣2；综上所述：a的取值范围是a＞0或a≤﹣2．27．【解答】（1）①补全图形如图1.1；②延长FM、DE，相交于H，如图1.2，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠D'DF＝135°，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠C＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE∥FC，∴∠H＝∠MFG，∵M为EG中点，∴EM＝GM，∵∠FMG＝∠HME，∴△FMG≌△HME（AAS），∴HM＝FM，∵△FDH是直角三角形，∴DM＝HM＝FM，由题意得：MD＝MD′，∴DM＝D′M＝FM，∴∠MDD′＝∠MD′D，∠MDF＝∠MFD，∴∠FMD′＝360°﹣∠MDD′﹣∠MD′D﹣∠MDF﹣∠MFD＝360°﹣2∠D′DF＝360°﹣2×135°＝90°，即∠FMD'＝90°；（2）∠GFM的度数为15°或75°．理由如下：分两种情况讨论：①如图2.1，连接EF，∵DE＝DF，在Rt△DEF中，tan∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴∠EFC＝30°，由（1）得：∠FMD'＝90°，∴FM⊥EG，∵M为线段GE的中点，∴FM垂直平分EG，∴∠GFM＝∠EFC＝15°；②如图2.2，同①可得：∠GFM＝∠EFC＝（180°﹣30°）＝75°．综上，∠GFM的度数为15°或75°．28．【解答】解：（1）如下图，观察图形可知，∴⊙O的“近心点”有F，G，故答案为：F，G；（2）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当O．B，C在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“远心点“C之间的距离最大，此时OC＝OB+BC＝+1；当A'C'⊥x轴时，点O与⊙O的“远心点”C之间的距离最小，设A'C'与x轴交于点K，∵BC'＝BA'，∴A'K＝C'K＝A'C'＝，∴BK＝＝＝，∴OK＝OB﹣BK＝＝，∴OC'＝＝＝1，综上所述，点O与⊙O的“远心点“之间的距离d的取值范围为：1≤d≤+1；（3）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当AC⊥x轴时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最大，设AC与x轴交于点G，∵BC＝BA，∴AG＝CG＝AC＝，∴BG＝＝＝，∴OG＝OB+BG＝+＝，∴OA＝＝＝，当O．，A'，C'在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最小，此时OA'＝OB+A'B＝﹣1，点O与⊙O的“近心点”之间的距离d的取值范围为﹣l≤d≤；对于直线y＝﹣x+b，令x＝0，则y＝b，即N（0，b），令y＝0，则有0＝﹣+6，解得x＝b，M（b，0）；如下图，当b取最大值时，有b＝，解得b＝，当b取最小值时，过点O作OH⊥MN，垂足为H，此时OH＝﹣1，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝b，ON＝b，∴MN＝＝2b，∵S△OMN＝OM•ON＝MN•OH，∴，解得b＝2﹣，∴b的取值范围为2﹣≤b≤．。

2013-2014第一学期四中初三年级数学期中考试试题及答案（时间：120分钟 满分：120分） ： 班级： 成绩: ____________一．选择题（每题4分，共32分）1.抛物线2(1)4y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．（1,4）B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4) 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，4sinA 5=，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B. 54 C. 43D. 553.如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ， 且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（ ） A. 2：3B.4：9 C.2：5 D.4：254.在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似 中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是（ ） A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)5.二次函数2y ax bx c =++（a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3﹣4﹣3512给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为﹣3； （2）当122x -<<时，y ＜0； （3）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．0个 6.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2． ∠DAC=∠B，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）A ．aB ．12a C ．13a D ．23a 7.若定义变换：(,)(,)f ab a b =-，(,)(,)g m n m n =-，如：(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，则((2,3))g f -=（ ）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)D ．(2,3)--8.小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象中， 观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c ＞0；⑤32a b = 你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二．填空题（每题4分共16分） 9.在△ABC 中，∠C =90°，3cos 3B a == ，则b=_________． 10.已知(-3，m ）、(1，m)是抛物线223y x bx =++的两点，则b=____.11.如图，是二次函数21y ax bx c =++和一次函数2y mx n =+的图象，观察图象写出21y y >时，x 的取值围__________．12. 已知二次函数2y ax bx c =++图象的一部分如图，则a 的取值围是______． 三．解答题（本题共30分）13.计算：. 101()8|122sin 60tan 602-︒-︒14.如图，正△ABC 中，∠ADE=60°， (1)求证：△ABD ∽△DCExyO（2）若BD=2，CD=4，求AE 的长．15.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进39)m -到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，求该建筑物AB 的高度.16. 已知抛物线2234y x kx k =-++．(1)顶点在y 轴上时，k 的值为_________. (2)顶点在x 轴上时，k 的值为_________. (3)抛物线经过原点时，k 的值为_______. 17.已知二次函数21322y x x =--+. （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值围；（3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．18.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高， E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，⋅=54sin B 求：(1)线段DC 的长；(2)tan ∠EDC 的值．四、解答题（本题共20分，19、20每小题5分21题6分22题4分）19.如图，直角△ABC中，90C∠=︒，5AB=5sin B=，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．（1）求AC、BC的长；（2）设PC的长为x，ADP∆的面积为y．当x为何值时,y最大并求出最大值．20.如图，直线3y x=和2y x=分别与直线2x=相交于点A、B，将抛物线2y x=沿线段OB移动，使其顶点始终在线段OB上，抛物线与直线x＝2相交于点C，设△AOC的面积为S，求S的取值围．21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么围时，每个月的利润不低于2200元？22、当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化. 例如：x x yy x x由抛物线22221y x mx m m =-++-①有2()21y x m m =-+-② ， 所以抛物线顶点坐标为（m ，2m －1），即x = m ③, y = 2m －1④.当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，因而y 的值也随x 值的变化而变化.将③代入④，得y=2x －1⑤. 可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式：y=2x －1；(1) 根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m, m －1）满足的函数关系式为_______. (2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线22211y x x m m m=-+++顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式.五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分） 23. 已知二次函数22-++=a ax x y（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式． （3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。

- 第一学期北京四中初三年级数学期中测试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．一元二次方程的解是（）A．B．C．或D．或2．如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（）A．9B．6C．3D．43．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．120°C．30°D．90°4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．30°C．40°D．50°5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．700m B．500m C．400m D．300m（5题）（6题）6．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．7．如图⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6则⊙O的半径为（）A．6B．13C．D．8．如图(甲)，扇形OAB的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C是上不同于A、B 的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点H在线段DE上，且EH=DE．设EC的长为x，△CEH的面积为y，图(乙)中表示y与x的函数关系式的图象可能是（）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知⊙O的周长等于6cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为_______cm．（9题）（10题）10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．11．如图，圆A、圆B的半径分别为4、2，且AB=12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直线上，且圆C与另两个圆一个外切、一个内切，则圆C的半径长可能为__________．12．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．解关于x的方程：x2+4x-2=0．15．丁丁要制作一个形状如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度．（精确到个位，）图1图2 16．请利用直尺和圆规，过定点A作⊙O的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹．17．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，求tanC的值．18．如图，在平行四边形ABCD中过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长．16．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系．设该圆弧所在圆的圆心为点D，连结AD、CD．请完成下列问题：①写出点D的坐标：D___________；②D的半径=_____（结果保留根号）；③若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为__________（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°,∠A=60°，AC=10，试求CD的长．21．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．（3）若把正方形放在直线上，让纸片ABCD按上述方法旋转，请直接写出经过多少次旋转，顶点A经过的路程是．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此方程总有两个不等的实数根、；（2）设此方程的两个实数根为、，若，求k的值．24．在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O．（1）如图①，当AC=BC时，:的值为______；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值．25．如图，已知点A（0，6），B（4，－2），C（7，），过点B作x轴的垂线，交直线AC于点E，点F与点E关于点B对称．（1）求证：∠CFE=∠AFE；（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FBC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．25．【参考答案】一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. C2. B提示：.3. B提示：四边形AOBP中，∠OAP=∠OBP=90°，∠P＝60°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°4. D提示：∠A=∠BOC.5. B提示：易证图中的两个三角形全等.6. D7. C提示：延长AO交BC于点D. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD⊥BC，且BD=CD=3，AD=BC=3，∴OD=3-1=2，在Rt△BOD中，勾股定理得OB=.8. A提示：连接OC，∵四边形ODCE是矩形，∴DE=OC=6，∴EH=4，再定性分析即可.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 3 .10.11. 5或7.提示：圆C可能与圆A内切，与圆B外切；也可能与圆B内切，与圆A 外切.12. ≤CP′≤提示：如图，连接CP、BP′，易证△APC≌△AP′B则PC=P′B=1，在等腰Rt△ABC 中，AC=2，∴BC=2在△BCP′中，有＜CP′＜，当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.14. 提示：用配方法解得：15. 解：在Rt△BEC中，∠BCE=30º,EC=51，∴BE=≈30，AE=64=CF,在Rt△AFD中，∠FAD=45º,FD=FA=51，∴CD=64—51≈13，∴CD=13cm，BE=30cm.16. 如图：17．提示：连接BD，则EF是△ABD的中位线，所以BD=4，在△BCD中，∵，∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，∴tanC=.18.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED ，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC ，∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴AF=.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.①D（2，0）②.③.设圆锥的底面半径为r，则，∴r=，∴圆锥的底面面积为④相切.理由：∵CD=，CE=，DE=5∴CD2+CE2=25=DE2∴∠DCE=90°即CE⊥CD∴CE与⊙D相切。

ABC D九年级上册期中数学试卷 （时间：120分钟总分：120分）姓名： 班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知，则锐角A 的度数是（）A ．B ．C ．D ． 2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC 等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6， AC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）A ．512B ．5131sin 2A =30︒45︒60︒75︒C．1213D．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE绕点C旋转得到△ACD，则cos∠ABC的值等于（）A.33 B.21C.31D.1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c=++的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：①0,0,a b<<②20,a b->③0,a b c++>④0,a b c-+<⑤当1x>时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③④9. 若抛物线1222-++-=mmmxxy（m是常数）的顶点是点M，直线2+=xy 与坐标轴分别交于点A、B两点，则△ABM的面积等于（）A．6B．3C．25D．2310．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点'P是点P关于BD的对称点，'PP交BD于点M，若BM=x，'OPP△的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）二、填空题（本题共18分，每小题3分）M OP'PDBACxyxyxyxyO OOODA B C48333384844811. 如果23a b b =-，那么ab=________． 12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m. 14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于；（2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．ADC B EF图①图②CEADB19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数；（2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满(1) 可求得m 的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD ．xCBA23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE =90°.（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：△CAE ∽△CBF ； （ii ）若BE =1，AE =2，求CE 的长；k FCEF==时，若BE =1，AE =2，CE =3，则k 的值等于.图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值； (3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.A26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________； (2)下表是y 与x 的几组对应值求m 的值；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.x27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点A 关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC 为等腰直角三角形，∠C =90°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ .（1）直接写出APPF的值为；（2）如图2，当α=180°时，延长BE 到D 使得ED =BE ，连接QD ，证明QD ⊥BD ；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当△AMP 为等腰三角形时，△AMP 的底角正切值为.图1 图2图3EBD29．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联；（t ，2）旋转180°得到抛物线C 2，若抛物线C 1与C 2关联，求抛物线C 2的解析式；10-=x 上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD16．（Ⅰ）561+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭……………… 3分 1332=+-1.2= ……………… 5分18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBC CDAB =．……………………4分∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分19．解：（1）∵在△ACD 中，90C ∠=︒，CD =3，AC =3，∴3tan 3CD DAC AC∠==．题号 11 12 131415 16答案 3512y y ＞2474±13<≤-t2615+∴∠DAC =30º．………………………1分∵AD平分∠BAC，∴∠BAC =2∠DAC =60º．……………2分∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30º，AC=3，∴AB =2AC =6．………………………4分tan3ACBCB==……………………5分20．解：(1) m的值为 3 ；1分(2) 二次函数为y=a（x-2）2−1 2分∵过点（3，0）∴a=1 y=x2-4x+3 3分(3) 当y>3时，x的取值范围为x<0或x>4 . 5分21. C1坐标（8,6）．22. 3160200+米23．设房价为（180+10x）元利润y=(180+10x）（50-x)-(50-x)20=-10x2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.24.（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴∠ACE=∠BCF，∴△CAE∽△CBF．（ii）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，AE：BF＝AC：BC，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，又∵AE：BF＝AC：BC＝2，AE=2，．25．（1）322++-=x x y （2）当=x ABP 面积的最大值是827. （3）82726.27. （3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证；（3） 43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分（3）)1014310--8分-+-210,(),,(),,4C2(1。