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模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，全集U＝{1，2，3，4，5，6 }，则A∩(?U B)＝( )A．{1，3} B．{2，4} C．{1，6} D．{3，5}解析：因为?U B＝{1，2，4}，所以A∩(?U B)＝{2，4}．答案：B2．集合（x，y）x＋y＝52x－y＝1＝( )A．{2，3} B．{x＝2，y＝3} C．{(2，3)} D．(2，3)解析：本题中的元素是点，故答案是{(2，3)}．答案：C3．设函数f(x)＝|x－1|－2，|x|≤１，11＋x2，|x|>1，则f f12等于( )A.12 B.2541C．－95 D.413解析：f f 12＝f－32＝413.答案：D4．函数f(x)＝|log0.5x|－12x的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，可知这两个图象有两个交点，所以函数f(x)＝|log0.5x|－12x有两个零点．答案：B5．函数y＝log12(4x－x2)的值域是( )A．[－2，＋∞) B．RC．[0，＋∞) D．(0，4]解析：令t＝4x－x2，画出t＝4x－x2(t>0)的图象如图所示，则0<t≤4，所以y＝log12t∈[－2，＋∞)．答案：A6．已知f(x)为定义在R上的奇函数，在区间(－∞，0)内有1005个零点，则函数f(x)在R上的零点个数为( )A．2 009 B．2 010 C．2 011 D．2 012解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(0)＝0，图象自身关于原点对称，所以零点的个数为2×1 005＋1＝2 011.答案：C7．已知集合A＝{x|x－2≤0，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则满足条件A? C?B的集合C的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2解析：A＝{x|x－2≤0，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{x|x≤2，x∈Z}＝{0，1，2，3，4}，若A?C?B，则集合C可以是{0，1，2}，{0，1，2，3}，{0，1，2，4}，{0，1，2，3，4}，共4个．答案：B8．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则()A ．b<a<cB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b 解析：因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b<a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知a<c.综上得b<a<c.故选A.答案：A9．已知奇函数f(x)在区间[－b ，－a]上单调递减，且f(x)>0.若0<a<b ，则|f(x)|在区间[a ，b]上() A ．单调递减B ．单调递增C ．先增后减D ．先减后增解析：利用奇函数的对称性可知，函数f(x)在区间[a ，b]上单调递减，且f(x)<0，则|f(x)|在区间[a ，b]上单调递增．答案：B10．若函数f(x)＝log a (x ＋b)(其中a ，b 为常数)的图象如图所示，则函数g (x)＝a x ＋b 的大致图象是( )A B。
姓名，年级：时间：章末综合质量检测卷（二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a<错误!，则化简错误!的结果是( ）A。
2a－1 B．－错误!C.1－2a D．－错误!解析：选C 因为a<错误!，所以2a－1〈0。
于是，原式＝错误!＝错误!.2．函数y＝错误!＋lg（5－3x)的定义域是（）A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：选C 由函数的解析式得：错误!即错误!所以1≤x＜错误!。
3．已知log2m＝2.016,log2n＝1。
016，则错误!等于( ）A．2 B．错误!C．10 D．错误!解析：选B 因为log2m＝2。
016，log2n＝1。
016,所以m＝22。
016，n＝21。
016，所以错误!＝错误!＝错误!。
4．下列函数中，满足“f（x＋y）＝f（x)f(y）”的单调递增函数是( ）A．f(x)＝x3B．f（x)＝3xC．f（x）＝x错误!D．f（x）＝错误!x解析：选B 对于选项A，f（x＋y)＝(x＋y）3≠f（x)·f（y)＝x3y3，排除A;对于选项B,f(x＋y）＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)f(y），且f（x）＝3x在其定义域内是单调增函数，B正确；对于选项C，f(x＋y）＝x＋y≠f(x)f(y）＝x错误!y错误!＝错误!，排除C;对于选项D，f（x＋y）＝错误!x＋y＝错误!x错误!y＝f(x)f（y)，但f(x)＝错误!x在其定义域内是减函数，排除D.故选B。
5．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x）的图象是（)解析:选C 函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f（x)＝2x，于是f（1－x）＝21－x＝错误!x－1，此函数在R上为减函数，其图象过点（0,2），所以选项C中的图象符合要求．6．已知x＝log23－log2错误!,y＝log0。
模块综合测评〔A〕(时间:120分钟总分值:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.(2021全国1高考,理2)集合A={x|x2-x-2>0},那么?RA=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}解析解一元二次不等式x2-x-2>0,可得x<-1或x>2,那么A={x|x<-1或x>2}, 所以?RA={x|-1≤x≤2}.答案B2.函数y=的定义域为( )A. B.C. D.(-∞,2)解析要使函数有意义,那么解得<x<2,即函数的定义域为,应选B.答案B3.函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,那么以下结论正确的选项是( )A.函数|f(x)|为偶函数,且在(-∞,0)上单调递增B.函数|f(x)|为奇函数,且在(-∞,0)上单调递增C.函数f(|x|)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增D.函数f(|x|)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增解析函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,不妨令f(x)=x,那么|f(x)|=|x|,f(|x|)=|x|;∴函数|f(x)|为偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,∴命题A,B错误;函数f(|x|)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴命题C错误、D正确.应选D.答案D4.与函数y=10lg(x-1)相等的函数是( )A.y=x-1B.y=|x-1|C.y=D.y=解析y=10lg(x-1)=x-1(x>1),应选C.答案C5.假设a=22.5,b=lo2.5,c=,那么a,b,c之间的大小关系是( )A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c解析a=22.5>22=4,b=lo2.5<lo1=0,c==1,又c=>0,所以a>c>b,应选C.答案C6.假设关于x的方程x2-x-m=0在[-1,1]上有解,那么m的取值范围是( )≤m≤1 ≥-≤1 ≤m≤2解析关于x的方程x2-x-m=0在[-1,1]上有解等价于求函数m=x2-x在x∈[-1,1]上的值域, 因为函数m=x2-x在-1,上递减,在,1上递增,所以当x=时,函数取得最小值-,当x=-1时,函数取得最大值2,故实数m的取值范围是-,2.答案D7.假设定义运算a*b为:a*b=如1*2=1,那么函数f(x)=2x*2-x的值域为( )B.(0,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析f(x)=2x*2-x=∴f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上是减函数,∴0<f(x)≤1.答案B8.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),那么f(-1)=( )解析∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.答案A9.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )解析由f(x)=lg(|x|-1),知x>1或x<-1.排除C,D.当x>1时,f(x)=lg(x-1)在区间(1,+∞)上为增函数.应选B.答案B10.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.新丸经过50天后,体积变为a.假设一个新丸体积变为a,那么需经过的天数为( )解析由得a=a·e-50k,即e-50k=.∴a=·a=(e-50k·a=e-75k·a,∴t=75.答案C11.函数f(x)=假设函数f(x)在R上有两个不同的零点,那么a的取值范围是( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,0)D.(-1,0)解析当x>0时,由f(x)=0,即2x-1=0,解得x=.故由题意可得当x≤0时,令f(x)=0,即ex+a=0有一个解.所以a=-ex,而x≤0,所以0<ex≤e0=1,所以a=-ex∈[-1,0).应选C.答案C≥(x-1)lg 3对任意的x∈(-∞,1]恒成立,那么a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[0,+∞)D.[1,+∞)解析由lg≥lg 3(x-1),得≥3(x-1),1+2x+(1-a)3x≥3x,1+2x≥a·3x,即≥a对任意的x∈(-∞,1]恒成立.设f(x)=(x∈(-∞,1]),那么f(x)min=f(1)==1,∴a≤1.答案B二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.log28+lg 0.01+ln+lg+2lg 2-= .?解析log28+lg 0.01+ln+lg+2lg 2-=3-2+×3+1-2=2.答案214.函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递增区间为.?解析函数f(x)的定义域为{x|x>3或x<-1}.令t=x2-2x-3,那么y=lot.因为y=lot在区间(0,+∞)上单调递减,t=x2-2x-3在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,故所求函数的单调递增区间为(-∞,-1).答案(-∞,-1)15.函数f(x)=假设函数g(x)=f(x)-m有三个零点,那么实数m的取值范围为.?解析如图,作出函数f(x)=的图象,作出直线y=m.由图可知,该函数的图象与直线y=m有三个交点时,需m∈(0,1),此时函数g(x)=f(x)-m有三个零点.答案(0,1)16.函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,当x∈M时,那么f(x)=2x+2-3×4x的最大值为.?解析函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,∴3-4x+x2>0,即(x-1)(x-3)>0,解得M={x|x>3或x<1}.∴f(x)=2x+2-3×4x,令2x=t,那么0<t<2或t>8,∴f(t)=-3t2+t+2=-3.当t=时,f(t)取最大值,f(x)max=f.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值10分)设U=R,A={x|2x-3≤1},B={x|2<x<5},C={x|a≤x≤a+1}(a为实数).(1)求A∩B;(2)假设B∪C=B,求a的取值范围.解(1)∵2x-3≤1,∴x≤3.∴A∩B={x|2<x≤3}.(2)由B∪C=B,得C?B.∴即2<a<4.18.(本小题总分值12分)函数f(x)=log2(x+3)-2x3+4x的图象在[-2,5]内是连续不断的,对应值表如下:x -2 -1 0 1 2 3 4 5f(x) a -1 b -227(1)计算上述表格中的对应值a和b.(2)从上述对应值表中,可以发现函数f(x)在哪几个区间内有零点?说明理由.解(1)由题意可知a=f(-2)=log2(-2+3)-2×(-2)3+4×(-2)=0+16-8=8,b=f(1)=log24-2+4=4.(2)∵f(-2)f(-1)<0,f(-1)f(0)<0,f(1)f(2)<0,∴函数f(x)分别在区间(-2,-1),(-1,0),(1,2)内有零点.19.(本小题总分值12分)(2021徐汇区校级期末)函数f(x)=x2-3x+m,且f(-1)=5.(1)求不等式f(x)>-1的解集;(2)求函数f(x)在区间[-2,4]上的最值.解(1)由f(-1)=1+3+m=5,解得m=1,∴f(x)=x2-3x+1.由f(x)>-1得x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,∴f(x)>-1的解集为{x|x<1或x>2}.(2)∵f(x)=x2-3x+1=x-2-,且,所以当x=时,f(x)min=-;当x=-2时,f(x)max=f(-2)=11.20.(本小题总分值12分)函数f(x)=lg(m,n∈R,m>0)的图象关于原点对称.(1)求m,n的值;(2)假设函数h(x)=f(2x)-lg在(0,1)内存在零点,求实数b的取值范围.解(1)函数f(x)=lg(m,n∈R,m>0)的图象关于原点对称,所以f(-x)+f(x)=0,所以lg+lg=0,所以=1,即=0.所以解得(2)由h(x)=f(2x)-lg=lg-lg=lg,由题设知h(x)=0在(0,1)内有解,即方程2x-1=b-(2x)2-2x 在(0,1)内有解.b=(2x)2+2x+1-1=(2x+1)2-2在(0,1)内递增,得2<b<7.所以当2<b<7时,函数h(x)=f(2x)-lg在(0,1)内存在零点.21.(本小题总分值12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的局部数据如表所示:第t天 4 10 16 22Q/万股36 30 24 18(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P与时间t所满足的函数关系式;(2)根据表中数据求出日交易量Q与时间t的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y表示该股票日交易额(单位:万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大?最大值是多少?解(1)P=(t∈N*).(2)设Q=at+b(a≠0,a,b为常数),把(4,36),(10,30)代入,得解得所以日交易量Q与时间t的一次函数关系式为Q=-t+40,0<t≤30,t∈N*.(3)由(1)(2)可得y=(t∈N*),即y=(t∈N*).当0<t≤20时,y有最大值ymax=125万元,此时t=15;当20<t≤30时,y随t的增大而减小,ymax<(20-60)2-40=120(万元).所以在30天中的第15天日交易额最大,且最大值125万元.22.(本小题总分值12分)函数f(x)=,且f(1)=3.(1)求函数f(x)在(-∞,0)上的单调区间,并给出证明.(2)设关于x的方程f(x)=x+b的两根分别为x1,x2,试问是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2, ]及t∈[-1,1]恒成立?假设存在,求出m的取值范围;假设不存在,说明理由.解(1)∵f(1)=3,∴a=1,∴f(x)=.任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0,那么f(x2)-f(x1)=2x2+=(x2-x1).①当x1<x2≤-时,x1x2>,∴2->0.又x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在上单调递增.②当-<x1<x2<0时,0<x1x2<,∴2-<0.又x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在上单调递减.∴f(x)在(-∞,0)上的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)存在实数m.∵f(x)=x+b,∴x2-bx+1=0,|x1-x2|=.又2≤b≤,∴0≤|x1-x2|≤3.故只需当t∈[-1,1],使m2+tm+1≥3恒成立,记g(t)=mt+m2-2,只需∴∴m≤-2或m≥2.故存在实数m符合题意,其取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).。
综合质量检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．全集U ＝R ，A ＝{x |x <－3，或x ≥2}，B ＝{x |－1<x <5}，则集合{x |－1<x <2}是( )A ．(∁U A )∪(∁UB ) B ．∁U (A ∪B )C ．(∁U A )∩BD ．A ∩B[解析] 由题意知，∁U A ＝[－3,2)，又因为B ＝(－1,5)，所以(∁U A )∩B ＝(－1,2)．故选C.[答案] C2．函数f (x )＝x 2x 2－1＋lg(10－x )的定义域为( )A ．RB ．[1,10]C ．(－∞，－1)∪(1,10)D ．(1,10)[解析]要使函数f (x )有意义，需使⎩⎨⎧x 2－1>0，10－x >0，解得x <－1或1<x <10.故选C.[答案] C3．已知f (x )＝x 2－ax 在[0,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)[解析] 函数f (x )＝x 2－ax 图象的对称轴为直线x ＝a2，根据二次函数的性质可知a 2≤0或a2≥1，解得a ≤0或a ≥2.故选D.[答案] D4．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( ) ①y ＝|x |；②y ＝x 3；③y ＝2|x |；④y ＝x 2＋|x |. A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④[解析] 对于①，y ＝|x |是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于②，y ＝x 3是奇函数；对于③，y ＝2|x |是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于④，y ＝x 2＋|x |是偶函数，且值域为[0，＋∞)，所以符合题意的有①④，故选C.[答案] C5．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝log 20.2<log 21＝0，b ＝20.2>20＝1,0<c ＝0.20.3<0.20＝1，即0<c <1，则a <c <b .故选B.[答案] B6．若sin α>0且tan α<0，则α2的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一象限或第三象限D ．第三象限或第四象限 [解析] 因为sin α>0且tan α<0， 所以α位于第二象限． 所以π2＋2k π<α<2k π＋π，k ∈Z ，则π4＋k π<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k 为奇数时α2是第三象限的角，当k 为偶数时α2是第一象限的角， 所以角α2的终边在第一象限或第三象限．选C. [答案] C7.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[解析] ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4. 又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4. [答案] C8．函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[解析] 由f (x )＝2sin x －sin2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x (1－cos x )＝0，得sin x ＝0或cos x ＝1，∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0、π或2π，∴f (x )在[0,2π]的零点个数是3.[答案] B9．已知lg a ＋lg b ＝0，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )[解析] ∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，则b ＝1a ，从而g (x )＝－logb x ＝log a x ，故g (x )与f (x )＝a x 互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称．故选B.[答案] B10．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25 D ．－225 [解析] sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. [答案] B11．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增[解析] y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，由|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减． [答案] A12．将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为( )A.2π3B.π3C.π2D.π6[解析] 将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝3cos2x －sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移t (t >0)个单位，可得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则t 的最小值为π6.故选D.[答案] D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x >0的零点个数为________．[解析]令f (x )＝0，得到⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎨⎧x －2＋ln x ＝0，x >0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x >0在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x <0时的零点有一个，在x >0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 215．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－2－x，x >0，则函数y ＝f [f (x )]的值域是________．[解析] 当x ≤0时，f (x )＝3x ∈(0,1]，∴y ＝f [f (x )]＝f (3x )＝－2－3x∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12；当x >0时，f (x )＝－2－x ∈(－1,0)，y ＝f [f (x )] ＝f (－2－x )＝3－2－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫13，1. 综上所述，y ＝f [f (x )]的值域是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，116．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列命题：①f (x )的最大值为2； ②f (x )的最小正周期是π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位长度后，与函数y ＝f (x )的图象重合．其中正确命题的序号是________．[解析] f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴函数f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确；又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确；由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．[答案] ①②③④三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x＋sin x cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用“五点法”在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图．[解] f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得最小正周期T ＝π，列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π3 0 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2图象如图所示．19．(本小题满分12分) 已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝105.(1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝35，求cos β的值． [解] (1)由|AB |＝105， 得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝105，∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25， ∴cos(α－β)＝45.(2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角， ∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35. 当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2425. 当sin(α－β)＝－35时， cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0. ∵β为锐角，∴cos β＝2425.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m ，n ∈[－1,1]有f (m )＋f (n )m ＋n>0(m ＋n ≠0)．(1)判断函数f (x )的单调性； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )．[解] (1)设x 1＝m ，x 2＝－n ，由已知可得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，不妨设x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)，由函数单调性的定义可得函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数．(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，x ＋12<1－x ，解得0≤x <14.所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x <14.21．(本小题满分12分)某村电费收取有以下两种方案供用户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )(单位：元)与用电量x (单位：度)间的函数关系；(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？[解] (1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x ；当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1，∴L (x )＝⎩⎨⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30.(注：x 也可不取0)(2)当0≤x ≤30时，令L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去； 当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60，∴老王家该月用电60度．(3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x . 当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ， 解得x >25，∴25<x ≤30；当x >30时，由L (x )<F (x )，得0.6x －1<0.58x ， 解得x <50，∴30<x <50. 综上，25<x <50.故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎨⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎨⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，取φ＝－π3， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1. (2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，所以k ＝3.令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( D ) A ．A ⊆BB ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错．故选D.2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为( B ) A ．∅ B ．{1} C ．[0，＋∞)D ．{(0,1)}解析：由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1， ∵x ∈Z ，∴A ＝{－1,0,1}．当x ∈A 时，y ＝x 2＋1∈{2,1}，即B ＝{1,2}， ∴A ∩B ＝{1}．3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( B ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：A 项，函数y ＝e －x为R 上的减函数；B 项，函数y ＝x 3为R 上的增函数；C 项，函数y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数；D 项，函数y ＝|x |在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故只有B 项符合题意，故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥2，3－x ，x <2.则f (f (－1))的值为( D )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意，得f (－1)＝4，f (f (－1))＝f (4)＝4＝2.故选D.5．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 －2<0，f (1)＝e －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，∴函数f (x )＝e x－1x 的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.6．已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如图，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象可能为( C )解析：由图象及函数f (x )得a >1>b >0，g (x )即由y ＝log a x 向左平移b 个单位得到，与C 图象符合，故选C.7．实数a ＝0.22，b ＝log 2 0.2，c ＝(2)0.2的大小关系正确的是( C ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <a <cD ．b <c <a解析：根据指数函数和对数函数的性质，知b ＝log 20.2<0<a ＝0.22<1<c ＝(2)0.2. 8．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )为减函数，且f (－1)＝1，若f (x －2)≥－1，则x 的取值范围是( A )A ．(－∞，3]B ．(－∞，1]C ．[3，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f (x )在R 上单调递减．又f (－1)＝1，所以f (1)＝－1，因此f (x －2)≥－1⇔f (x －2)≥f (1)⇔x －2≤1⇔x ≤3，所以x 的取值范围是(－∞，3]，故选A.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，且函数y ＝f (x －2)在区间[0,2]上是单调减函数，则( C )A ．f (－1)<f (2)<f (0)B ．f (－1)<f (0)<f (2)C ．f (0)<f (－1)<f (2)D ．f (2)<f (－1)<f (0)解析：函数y ＝f (x －2)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的， ∵y ＝f (x －2)在区间[0,2]上是减函数， ∴y ＝f (x )在区间[－2,0]上是减函数， ∴f (－2)>f (－1)>f (0)．∵f (x )为偶函数，∴f (0)<f (－1)<f (2)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≤1，(2a －1)x －3a ＋6，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[1，＋∞)D ．[1,2]解析：由f (x )在(－∞，1]上单调递增得a ≥1. 由f (x )在(1，＋∞)上单调递增得2a －1>0， 解得a >12.由f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，所以－12＋2a ×1≤(2a －1)×1－3a ＋6，即a ≤2. 综上，a 的取值范围为1≤a ≤2.故选D.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ，x >0，若k >0，则函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意若k >0，函数y ＝|f (x )|－1的零点个数等价于y ＝|f (x )|与y ＝1交点的个数，作出示意图，易知y ＝|f (x )|与y ＝1交点的个数为4，故函数y ＝|f (x )|－1有4个零点．12．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( C )A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元解析：由题意得购物付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q ＝{x |x ∈P ∪Q ，且x ∉P ∩Q }，如果P ＝{y |y ＝4－x 2}，Q ＝{y |y ＝4x，x >0}，则P ⊙Q ＝[0,1]∪(2，＋∞)．解析：P ＝[0,2]，Q ＝(1，＋∞)， ∴P ⊙Q ＝[0,1]∪(2，＋∞)．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (ln3)＝3,e.解析：f (ln3)＝f (ln3－1)＝e(ln3－1)＝e ln3·e －1＝3e.15．已知函数f (x )＝lg(2x－b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是(－∞，1]．解析：∵要使f (x )＝lg(2x－b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x－b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x在定义域上是增函数，∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.16．设a 、b 、c 均为正实数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝log 12 a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 2b,2c＝log 12c ，则a 、b 、c 的大小关系为c <a <b .解析：由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝log 2x 函数图象交点的横坐标大于1，即得b >1；由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 12 x 交点横纵坐标均在区间(0,1)内，即0<a <1，且0<log 12 a <1，即log 12 1<log 12 a <log 1212，得12<a <1，同理得0<c <12，综上得c <a <b . 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设全集是实数集R ，集合A ＝{x |y ＝log a (x －1)＋3－x }，B ＝{x |2x＋m ≤0}． (1)当m ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x ≥0，得1<x ≤3，即集合A ＝(1,3]；由2x－4≤0，得2x≤22，x ≤2，即集合B ＝(－∞，2]． 故A ∩B ＝(1,2]，A ∪B ＝(－∞，3]． (2)∁R A ＝{x |x >3，或x ≤1}． ∵(∁R A )∩B ＝B ，∴B ⊆∁R A .①若B ＝∅，则m ≥0；②若B ≠∅，则m <0， ∴2x ≤－m ，∴x ≤log 2(－m )． ∵B ⊆∁R A ，∴log 2(－m )≤1，即log 2(－m )≤log 22，因此0<－m ≤2，－2≤m <0. 综上所述，实数m 的取值范围是[－2，＋∞)． 18．(12分)已知函数f (x )＝1－2x2x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1，＋∞)时，求函数f (x )的值域． 解：(1)函数f (x )是奇函数，f (－x )＝1－2－x2－x ＋1＝1－12x 12x ＋1＝2x －11＋2x ＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．(2)令2x＝t ，则g (t )＝1－t t ＋1＝－1＋2t ＋1.因为x ∈(1，＋∞)，所以t >2， 因此t ＋1>3,0<2t ＋1<23.所以－1<g (t )<－13， 所以f (x )的值域是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13.19．(12分)已知函数f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m ，n ∈[－1,1]有f (m )＋f (n )m ＋n>0(m ＋n ≠0)．(1)判断函数f (x )的单调性；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )． 解：(1)设x 1＝m ，x 2＝－n ，由已知可得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，不妨设x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)，由函数单调性的定义可得函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数．(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，x ＋12<1－x ，解得0≤x <14.所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )的解集为 {x |0≤x <14}．20．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ，x >12，x 2＋2x ＋a －1，x ≤12.(1)若a ＝1，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，由x >12，x －2x ＝0，得x ＝2，由x ≤12，x 2＋2x ＝0，得x 1＝0，x 2＝－2，所以f (x )的零点为2，0，－2.(2)显然，函数g (x )＝x －2x 在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－72； 函数h (x )＝x 2＋2x ＋a －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上也是增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋14.故若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，则a ＋14≤－72，解得a ≤－154，故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－154.21．(12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是二次函数，其图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)，与y 轴交于C (0,6)．(1)求y ＝f (x )(x ∈R )的解析式；(2)若方程f (x )－2a ＋2＝0有四个不同的实数根，试求a 的取值范围． 解：(1)依题意可设，当x ≥0时，f (x )＝a (x －1)(x －3)． 由f (0)＝6，得3a ＝6，所以a ＝2，此时f (x )＝2(x －1)(x －3)＝2x 2－8x ＋6(x ≥0)． 当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝2x 2＋8x ＋6. 又因为f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x 2＋8x ＋6(x <0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－8x ＋6，x ≥0，2x 2＋8x ＋6，x <0.(2)依题意f (x )＝2a －2有四个不同实数根，即y ＝f (x )与y ＝2a －2在同一坐标系中的图象有四个不同的交点．如图可知只需满足条件－2<2a －2<6，所以0<a<4，即实数a的取值范围是(0,4)．22．(12分)一片森林原面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，计划砍伐到面积一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1 4，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)求今后最多能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－⎝⎛⎭⎪⎫12110.(2)设到今年为止，该森林已砍伐了n年，则a(1－x)n＝22a，即⎝⎛⎭⎪⎫12n10＝⎝⎛⎭⎪⎫1212，n10＝12，n＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n，令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，⎝⎛⎭⎪⎫12n10≥⎝⎛⎭⎪⎫1232，n10≤32，n≤15.故今后最多还能砍伐15年．。
模块综合检测〔一〕(时间120 分钟，总分值150 分)一、选择题(本大题共12小题，每题4分，共48分)2＋1，x∈A}，那么A∩B为( ) 1．会集A＝{x |y＝1－x2，x∈Z} ，B＝{ y|y＝xA．?B．{1}C．[0，＋∞) D．{(0,1)}剖析：选 B 由1－x2≥0 得，－1≤x≤1，∵x∈Z ，∴A＝{－1,0,1}．当x∈A 时，y＝x2＋1∈{2,1}，即B＝{1,2}，∴A∩B＝{1}．x＋3x的零点所在的一个区间是( )2．函数f(x)＝2A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)剖析：选 B ∵f (x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－5<0，f(0)＝1>0，应选B.23．假设函数f(x)＝错误!那么f(log43)＝( )1 3 A.1 4 B.C．3 D．4剖析：选 C ∵log43∈(0,1)，∴f(log43)＝4 log 3 ＝3，应选 C.44.高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面以以下图，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，假设鱼缸水深为h时水的体积为v，那么函数v＝f(h)的大体图象是( )剖析：选 B 水流速度恒定，开始鱼缸中水的高度下降快，逐渐越来越慢，到达中间，尔后高度下降又越来越快，故消除选项A，C，D，选 B.5．实数a＝2，b＝log 2，c＝( 2)的大小关系正确的选项是( ) A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a剖析：选 C 依照指数函数和对数函数的性质，b＝log 20.2<0< a＝2<1< c＝( 2).6．设α∈{－1,1，12，3}，那么使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )α的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3－1＝1剖析：选 A 当α＝－1 时，y＝x ，定义域不是R；x当α＝1,3 时，满足题意；当α＝12时，定义域为[0，＋∞)．7．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，假设f(a)≤f(2)，那么实数a的取值范围是( ) A．(－∞，2]B．[－2，＋∞)C．[－2,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)剖析：选 D ∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f (x)在[0，＋∞)上是减函数，由f( a)≤f(2)，得f(| a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－ 2 或a≥2.8．函数f(x)＝4x＋ 1的图象( ) 2xA．关于原点对称B．关于y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称剖析：选 D ∵f(x)＝4x＋ 1＝2x＋2－x，x＋2－x，2x∴f(－x)＝ 2－x＋2x＝f(x)．∴f(x)为偶函数．1 9．函数f(x)＝log x，那么方程2 12|x |＝|f(x)|的实根个数是( )A．1 B． 2 C．3 D．2 006剖析：选 B 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝12 |x |及y＝|log12x|的图象如图，易得B.10．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递加，且f 13 ＝0，那么满足f(log18x)＞0的x的取值范围是( )12A．(0，＋∞) B. 0，∪(2，＋∞)18 C. 0，∪12，2 D. 0，12剖析：选B 由题意知f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以f(|log18 x|)＞f13 ，由于f(x)在[0，＋∞)上递加，所以|log18 x|＞1 1，解得0＜x＜或x＞2.3 211．函数f(x)＝|log3x|，0＜x≤9，－x＋11，x＞9，假设a，b，c均不相等，且f(a)＝f( b)＝f( c)，那么abc的取值范围是( )A．(0,9) B．(2,9)C．(9,11) D．(2,11)剖析：选C 作出f(x)的图象，可知f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,9)上是增函数，在(9，＋∞)上是减函数．∵a，b，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f( c)，且f(1)＝0，∴不如设a＜b＜c，那么0＜a＜1＜b＜9＜c＜11，又∵f(a)＝f (b)，∴－log3a＝log3b，∴ab＝1，∴abc＝c∈(9,11)，应选C.12．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采用“满一百送二十，连环送〞的酬宾促销方式，即顾客在店内花销满100元(能够是现金，也能够是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券⋯⋯当日花销最多的一位顾客共花现金70040元，若是依照酬宾促销方式，他最多能获取优惠( )A．17 000元B．17 540元C．17 500元D．17 580元剖析：选C这位顾客花的70 000 元可得奖励券700×20＝14 000(元)，只有这位顾客连续把奖励券消费掉，才能获取最多优惠，当他把14 000 元奖励券花销掉可得140×20＝2 800(元)奖励券，再花销又可获取28×20＝560(元)奖励券，560 元花销再加上先前70 040 中的40 元共花销600 元应得奖励券6×20＝120(元)，120 元奖励券花销时又得20 元奖励券．所以他总合会获取14 000＋2 800＋560＋120＋20＝17 500(元)优惠．二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)2＋3，g(x＋1)＝f(x)，那么g(3)＝________.13．设f( x)＝2x剖析：∵g(x＋1)＝f(x)＝2x2＋3∴g(3)＝f(2)＝2×22＋3＝11.答案：111，那么f(x)＝________，g(x)＝________. 14．设f( x)为奇函数，g( x)为偶函数，又f(x)＋g(x)＝x－ 1剖析：∵f( x)为奇函数，∴f(－x)＝－f( x)，g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)．又∵f(x)＋g(x )＝1，①x－1∴f(－x)＋g(－x)＝1－x－ 1即－f(x)＋g(x )＝错误!②1①＋②得2g(x)＝－ x－ 11 2＝，x＋1 x2－1∴g(x )＝1. x2－1①－②得2f(x)＝1 1＋＝x－1 x＋12x，x2－1∴f(x)＝x. x2－1答案：xx2－11x2－115．设P，Q是两个非空会集，定义会集间的一种运算“⊙〞：P ⊙Q＝{ x|x ∈P ∪Q，且x ?x，x>0}，那么P⊙Q＝________.P∩Q}，若是P＝{ y|y＝4－x2}，Q＝{ y|y＝ 4剖析：P＝[0,2]，Q＝(1，＋∞)，∴P⊙Q＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)16．函数f (x)＝2x＋1，x<1，x2＋ax，x≥1，假设f( f(0))＝4a，那么实数a等于________．剖析：∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2. ∵2>1，∴f(2)＝4＋2a，∴f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.答案： 217.如图是偶函数y＝f(x)的局部图象，依照图象所给信息，有以下结论：①函数必然有最小值；②f(－1)－f(2)>0；③f(－1)－f(2)＝0；④f(－1)－f(2)<0；⑤f(－1)＋f(2)>0.其中正确的结论有________(填序号)．剖析：由于所给图象为函数的局部图象，所以不能够确定函数必然有最小值；由图象知函数y＝f(x)在区间[1,3]上是增函数，那么f(1)－f(2)<0.又∵函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴f(－1)－f(2)<0.∵f(－1)＝f(1)>0，f(2)>0 ，∴f(－1)＋f(2)>0.答案：④⑤x－b)( b为常数)，假设x ∈18．函数f (x)＝lg(2[1，＋∞)时，f (x)≥0恒成立，那么b的取值范围是________．剖析：∵要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)上，恒有f(x)≥0，∴有2x－b≥1 在x∈[1，＋∞)上恒成立，即 2x≥b＋1 恒成立．又∵指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b＋1 成马上可，解得b≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)19．(12分)全集为实数集R，会集A＝{ x|y＝x－1＋3－x}，B＝{ x|log2x＞1}．(1)求A∩B，(?R B)∪A；(2)会集C＝{ x|1＜x＜a}，假设C?A，求实数a的取值范围．解：(1)由得A＝{ x|1≤x≤3}，B＝{ x|log2x＞1}＝{ x|x＞2}，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，(?R B)∪A＝{ x|x≤2}∪{ x|1≤x≤3}＝{ x|x≤3}．(2)①当a≤1 时，C＝?，此时C?A；②当a＞1 时，假设C?A，那么1＜a≤3.综合①②，可得 a 的取值范围是(－∞，3]．x＋2，x≤－1，x2，－1<x<2，20．(12分)函数f(x)＝2x，x≥2.(1)求f[ f( 3)]的值；(2)假设f( a)＝3，求a的值．解：(1)∵－1< 3<2，∴f( 3)＝( 3) 2＝3.而3≥2，∴f[f ( 3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a≤－1 时，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；当－1<a<2 时，f(a)＝a2，又f(a)＝3，∴a＝±3，其中负值舍去，∴a＝3；当a≥2 时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，3∴a＝(舍去)．综上所述，a＝3.21＋2x＋4xa，且当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．21．(12分)设f( x)＝lg3解：当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，须1＋2x＋4x a>0 恒成立，也就是a>－x＋4x a>0 恒成立，也就是a>－12x＋14x (x≤1)恒成立．令u(x)＝－12 x＋14 x .∵u( x)＝－12x＋14x 在(－∞，1]上是增函数，∴当x＝1 时，[u(x)]max＝－3 4.3于是可知，当a>－时，满足题意，43即 a 的取值范围为－，＋∞.422．(12分)设函数f(x)的定义域为(－3,3)，满足f(－x)＝－f(x)，且对任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f (x－y)，当x<0时，f(x)>0，f(1)＝－2.(1)求f(2)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)假设函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．解：(1)在f(x)－f(y)＝f (x－y)中，令x＝2，y＝1，代入得：f(2)－f (1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1) ＝－4.(2) f(x)在(－3,3)上单调递减．证明以下：设－3< x1<x2<3，那么x1－x2<0，所以f( x1)－f(x2)＝f(x1－x2)>0，即f( x1)> f(x2)，所以f(x)在(－3,3)上单调递减．(3)由g(x)≤0 得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f( x－1)≤－f(3－2x)．又f( x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f( x－1)≤f(2x－3)，又f( x)在(－3,3)上单调递减，－3<x－1<3，－3<2x－3<3，所以解得0<x≤2，x－1≥2－x 3，故不等式g(x)≤0 的解集是(0,2]．23．(12分)设函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f( x＋y)＝f(x)＋f(y)，f 13 ＝1，当x>0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)若是f(x)＋f(2＋x)<2，求x的取值范围．解：(1)令x＝y＝0，那么f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝－x，得f(0) ＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R 上的奇函数．(3)任取x1，x2∈R，x1<x2，那么x2－x1>0.∵f(x2)－f(x1)＝f( x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f( x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x1)< f(x2)．故f( x)是R 上的增函数．∵ f 13 ＝1，∴ f 23 ＝ f13＋13 ＝f13 ＋f13 ＝2，∴f(x)＋f(2＋x)＝f[x＋(2＋x)]＝f(2x＋2)< f 23 .又由y＝f(x)是定义在R 上的增函数，2 2得2x＋2< ，解之得x<－.3 3故x∈－∞，－2 3 .24．(12分)为了保护环境，睁开低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转变成一种可利用的产品．该单位每个月办理二氧化碳最少为400吨，最多为600吨，月办理本钱y(元)与月办理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝122－200x＋80x000，且每办理1吨二氧化碳获取可利用的化工产品价值为100元．(1)假设该单位每个月本钱支出不高出105 000元，求月办理量x的取值范围．(2)该单位每个月能否盈利？若是盈利，求出最大利润；若是不盈利，那么国家最少需要补贴多少元才能使该单位不损失？解：(1)设月办理量为x 吨，那么每个月办理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为100x 元，那么每个月本钱支出 f (x) 为12－200x＋80 000－100x，x∈[400,600]．f(x)＝2x假设f( x)≤105 000，即122－300x－25 000≤0，x即(x－300)2≤140 000，∴300－100 14≤x≤100 14＋300.∵100 14＋300≈674>600，且x∈[400,600]，∴该单位每个月本钱支出不高出105 000 元时，月办理量x 的取值范围是{x|400≤x≤600}．(2) f(x)＝122－300x＋80 000 x＝12－600x＋90 000)＋35 000 (x2＝12＋35 000，x∈[400,600]，(x－300)2∵12＋35 000>0，(x－300)2∴该单位不盈利．由二次函数性质适合x＝400 时，f( x)获取最小值．f(x)min＝12＋35 000＝40 000. 2(400－300)∴国家最少需要补贴40 000 元才能使该单位不损失．。
模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则∁U A=( )A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},∴∁U A={3,9}.2.已知函数f (x )=,则函数的定义域为( )x -2·x +5A.{x|x ≥-2} B.{x|x ≥-5}C.{x|x ≤5}D.{x|x ≥2}f (x )得{x -2≥0,x +5≥0,即{x ≥2,x ≥-5,∴x ≥2.故选D .3.若log 2a<log 2b<0,则( )A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.b>a>1 D.a>b>1log 2a<log 2b<0得log 2a<log 2b<log 21,得0<a<b<1.故选B .4.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A.y=x 3 B.y=|x|+1C.y=-x 2+1 D.y=2-|x|A 中y=x 3是奇函数;选项C 中y=-x 2+1在(0,+∞)上单调递减;选项D 中y=2-|x|在(0,+∞)上单调递减.故选B .5.计算+lg -lg 5的结果为( )3log 3212A.2 B.1C.3D.-1+lg -lg 5=2-(lg 2+lg 5)=2-1=1.故选B .log 32126.已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值及符号如下表:x-3-2-101234y+m --5-5-n+则可判断方程ax 2+bx+c=0的两个根所在的区间是( )A.(-3,-1)和(-1,1)B.(-1,1)和(1,2)C.(-3,-1)和(2,4)D.(-∞,-3)和(4,+∞).7.函数f (x )=若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( ){log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)a>0时,-a<0,若f (a )>f (-a ),则log 2a>lo [-(-a )],即log 2a>lo a ,此时a>1;当a<0时,-a>0,若f (a )>f (-a ),g 12g 12则lo (-a )>log 2(-a ),此时0<-a<1,-1<a<0.g 128.(2018天山区校级期中)当x ≤1时,函数y=4x -2x+1+2的值域为( )A.[1,+∞) B.[2,+∞)C.[1,2)D.[1,2]4x -2x+1+2=(2x )2-2×2x +2=(2x -1)2+1.设t=2x ,∵x ≤1,∴0<t ≤2,则函数等价为y=(t-1)2+1.∵0<t ≤2,∴1≤y ≤2,即函数的值域为[1,2].9.若方程2ax 2-x-1=0在x ∈(0,1)内含有一个解,则a 的取值范围是( )A.a>1 B.a<-1C.-1<a<1D.0≤a<1f (x )=2ax 2-x-1,因为f (x )=0在(0,1)内恰有一解,所以f (0)·f (1)<0,即(-1)·(2a-2)<0,得a>1.10.函数y=lo (6+x-x 2)的单调增区间是( )g 12A.(-∞,12]B.(-2,12]C.[12,+∞)D.[12,3),需6+x-x 2>0,解得-2<x<3,故函数的定义域是(-2,3).令t=-x 2+x+6=-,(x -12)2+254则函数t 在上单调递减,[12,3)所以函数y=lo (6+x-x 2)在上单调递增.g 12[12,3)11.(2018全国3高考,理7)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C .故选D .12(12)4+(12)212.2016年在云南昭通举行的翼装飞行世界杯总决赛中,某翼人空中高速飞行,如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v (x )与时间x 的关系,若定义“速度差函数”u (x )为时间段[0,x ]内的最大速度与最小速度的差,则u (x )的图象是( ),当x ∈[0,6]时,翼人做匀加速运动,v (x )=80+x ,“速度差函数”u (x )=x.403403当x ∈[6,10]时,翼人做匀减速运动,速度v (x )从160开始下降,一直降到80,u (x )=160-80=80.当x ∈[10,12]时,翼人做匀减速运动,v (x )从80开始下降,v (x )=180-10x ,u (x )=160-(180-10x )=10x-20.当x ∈[12,15]时,翼人做匀加速运动,“速度差函数”u (x )=160-60=100,结合所给的图象,故选D .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知A={y|y=3x },B={x|y=ln(2-x )},则A ∩B= .{y|y=3x }=(0,+∞),B={x|y=ln(2-x )}=(-∞,2),则A ∩B=(0,2).14.若函数f (x )=,x ∈(-∞,b )∪(b+2,+∞)是奇函数,则a+b= .x +a2x2-1函数f (x )在区间(-∞,b )∪(b+2,+∞)上是奇函数,∴b+b+2=0,得b=-1.∴函数f (x )在区间(-∞,-1)∪(1,+∞)上是奇函数,∴f (-2)=-f (2),即=-,-2+a2×(-2)2-12+a2×22-1解之得a=0,∴a+b=-1.115.(2018浙江高考,15)已知λ∈R ,函数f (x )=当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是 .{x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是 .λ=2时,f (x )={x -4,x ≥2,x 2-4x +3,x <2.当x ≥2时,f (x )=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.当x<2时,f (x )=x 2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.综上可知,1<x<4,即f (x )≤0的解集为(1,4).分别画出y 1=x-4和y 2=x 2-4x+3的图象如图,由函数f (x )恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞). (1,3]∪(4,+∞)16.已知定义域为R 的奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f (log 4x )>0的解集是 .(-12)R 的奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f =0,(-12)可得f (x )在(-∞,0)上是增函数,且f=-f =0,(12)(-12)当log 4x>0即x>1,f (log 4x )>0即为log 4x>,解得x>2;12当log 4x<0即0<x<1,f (log 4x )>0即为log 4x>-,解得<x<1.1212综上可得,原不等式的解集为∪(2,+∞).(12,1)∪(2,+∞)(12,1)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A={x|y=},B={x|x<-4或x>2}.m +1-x (1)若m=-2,求A ∩(∁R B );(2)若A ∪B=B ,求实数m 的取值范围.m=-2,A={x|y=}={x|x ≤-1},∁R B={x|-4≤x ≤2},m +1-x ∴A ∩(∁R B )={x|-4≤x ≤-1}.(2)若A ∪B=B ,则A ⊆B.∵A={x|x ≤1+m },B={x|x<-4或x>2},∴1+m<-4,∴m<-5.18.(本小题满分12分)已知=4,求的值.x 12+x -12x +x -1+4x 2+x -2-200=4,∴x+2+x -1=16.x 12+x -12∴x+x -1=14.∴x 2+2+x -2=196,即x 2+x -2=194.∴原式==-3.14+4194-20019.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )=x (3-k )k (k ∈Z )在(0,+∞)上为增函数,(1)求实数k 的值,并写出相应的函数f (x )的解析式;(2)若函数g (x )=mf (x )+mx+1在区间[0,1]上的最大值为5,求出m 的值.已知幂函数f (x )=x (3-k )k (k ∈Z )在(0,+∞)上为增函数,故k (3-k )>0,解得0<k<3.∵k ∈Z ,∴k=1或k=2.当k=1或k=2时,f (x )=x 2满足题意.∴f (x )=x 2.(2)∵f (x )=x 2,∴g (x )=mx 2+mx+1.当m=0时,g (x )=1不合题意;当m ≠0时,函数g (x )的对称轴为直线x=-,12函数g (x )在[0,1]上是单调函数,有{m <0,g (0)=5,或{m >0,g (1)=5,解得m=2.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=log 4(4x -1).(1)求函数f (x )的定义域;(2)讨论函数f (x )的单调性;(3)求函数f (x )在区间上的值域.[12,2]由4x -1>0,得x>0,所以函数f (x )的定义域是(0,+∞).(2)函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,证明如下:设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=log 4(-1)-log 4(-1)=log 4.4x14x24x 1-14x 2-1∵0<x 1<x 2,∴1<,0<-1<-1.4x 1<4x 24x 14x2∴0<<1,即log 4<0.4x 1-14x 2-14x 1-14x 2-1∴f (x 1)<f (x 2),函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.(3)∵函数f (x )在区间上单调递增,[12,2]∴最小值为log 4(-1)=log 41=0,412最大值为log 4(42-1)=log 415.∴函数f (x )在区间上的值域为[0,log 415].[12,2]21.(本小题满分12分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,实际出厂单价不低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P=f (x )的解析式.(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1 000个利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时,一次订购量为x 0个,则x 0=100+=550(个).60-510.02(2)当0<x ≤100时,P=60;当100<x<550时,P=60-0.02(x-100)=62-;x50当x ≥550时,P=51,∴P=f (x )={60(0<x ≤100),62-x50(100<x <550),x ∈N ,51(x ≥550).(3)设销售商一次订购量为x 时,工厂获得的利润为L 元,则有L=(P-40)x={20x (0<x ≤100),22x -x250(100<x <550),x ∈N ,11x (x ≥550),当x=500时,L=6 000元;当x=1 000时,L=11 000元.22.(本小题满分12分)已知指数函数y=g (x )满足:g (3)=27,定义域为R 的函数f (x )=是奇函数.n -g (x )m +3g (x )(1)确定函数y=g (x ),y=f (x )的解析式;(2)若函数h (x )=kx-g (x )在(0,1)上有零点,求k 的取值范围;(3)若对任意的t ∈(1,4),不等式f (2t-3)+f (t-k )>0恒成立,求实数k 的取值范围.设函数g (x )=a x (a>0且a ≠1),则a 3=27,∴a=3.∴g (x )=3x .∴f (x )=.n -3xm +3x +1∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=0,即=0⇒n=1.n -12+m ∴f (x )=.1-3x3x +1+m 又f (-1)=-f (1),∴=-⇒m=3.1-13m +11-39+m ∴f (x )=.1-3x3+3x +1(2)由(1)知g (x )=3x ,又因h (x )=kx-g (x )在(0,1)上有零点,从而h (0)·h (1)<0,即(0-1)·(k-3)<0,∴k-3>0,∴k>3.∴k 的取值范围为(3,+∞).(3)由(1)知函数f (x )==-=-,1-3x3+3x +113·3x -13x+113+23·13x +1∴f (x )在R 上为减函数.又∵f (x )是奇函数,f (2t-3)+f (t-k )>0,∴f (2t-3)>-f (t-k )=f (k-t ).因f (x )为减函数,由上式得2t-3<k-t ,即对一切t ∈(1,4),有3t-3<k 恒成立.令m (t )=3t-3,t ∈[1,4],易知m (t )在[1,4]上递增,所以m (t )max =3×4-3=9,∴k ≥9,即实数k 的取值范围为[9,+∞).。
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U={x|x<6,且x ∈N *},集合A={1,3},B={3,5},则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}解析:由已知可得U={1,2,3,4,5},A ∪B={1,3,5},故∁U (A ∪B )={2,4}. 答案:C2.函数y=-1+l og 14x (x ≥4)的值域是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞)解析:∵函数y=-1+l og 14x 在[4,+∞)上单调递减,∴y ≤-1+l og 144=−2,∴所求函数的值域为(-∞,-2].答案:A3.函数y =√3x -1+1x -1的定义域为( ) A.(-∞,0] B.[1,+∞) C.[0,1)D.[0,1)∪(1,+∞)解析:函数有意义时{3x -1≥0,x -1≠0,解得x ≥0,且x ≠1.故函数定义域为[0,1)∪(1,+∞).答案:D4.下列函数中,在区间(0,+∞)内是增函数的是()A.y=x2-2xB.y=(12)x C.x=logπx D.x=x-12解析:对于A,函数y=x2-2x在区间(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增,故A不正确,B,D在(0,+∞)内为减函数;对于C,因为π>1,所以y=logπx在(0,+∞)内为增函数.答案:C5.函数f(x)=e x−1x的零点所在的区间是()A.(0,12)B.(12,1)C.(1,32)D.(32,2)解析:∵x(12)=e12−2<0,x(1)=e−1>0,∴x(12)·f(1)<0,∴函数f(x)=e x−1x的零点所在的区间是(12,1).答案:B6.设a=70.3,b=0.37,c=log70.3,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a解析:∵a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log70.3<0,∴c<b<a.答案:B7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,y=f(x)是减函数,若|x1|<|x2|,则()A.f(x1)-f(x2)<0B.f(x1)-f(x2)>0C.f(x1)+f(x2)<0D.f(x1)+f(x2)>0解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f (x )的图象关于y 轴对称.又当x<0时,y=f (x )是减函数,∴当x>0时,y=f (x )是增函数. ∴当|x 1|<|x 2|时,f (|x 1|)<f (|x 2|),即f (x 1)<f (x 2),即f (x 1)-f (x 2)<0. 答案:A8.已知一次函数f (x )=kx+b 的图象过第一、第二、第三象限,且f (f (x ))=9x+8,则f (2)等于( ) A.-10B.-4C.2D.8解析:∵f (x )=kx+b ,∴f (f (x ))=k (kx+b )+b=k 2x+kb+b.又f (f (x ))=9x+8,∴{x 2=9,xx +x =8,解得{x =3,x =2或{x =-3,x =-4.∴f (x )=3x+2或f (x )=-3x-4.又f (x )的图象过第一、二、三象限,∴f (x )=3x+2,∴f (2)=8.答案:D9.已知函数f (x )=log a (2x+b-1)(a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题图,可知函数f(x)在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由题图可知-1<log a b<0,得a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1,选A.答案:A10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析:根据映射的定义知,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.答案:A11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为()A.10%B.12%C.25%D.40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1000×2%=180(万元),纳税180·p %万元, 共纳税300·p %+180·p %=120(万元), 故p %=25%. 答案:C12.如果函数f (x )对其定义域内的任意两个实数x 1,x 2都满足不等式x (x 1+x 22)<x (x 1)+x (x 2)2,那么称函数x (x )在定义域上具有性质x .给出函数:①x =√x ;②x =x 2;③x =2x ;④x =log 2x .其中具有性质x 的是( ) A.①②B.②③C.③④D.①④解析:分别画出它们的图象,可知函数y =√x 与函数y=log 2x 满足x (x 1+x 22)>x (x 1)+x (x 2)2;函数y=x 2与函数y=2x满足x (x 1+x 22)<x (x 1)+x (x 2)2.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f (x )的图象过点(3,√274),则x (x )的解析式是____________________.解析:设f (x )=x α,则由已知得3α=√274=334,∴α=34,∴x (x )=x 34.答案:f (x )=x 3414.已知f (x )={x 2+1,x ≤0,-2x ,x >0,则x (x (1))=___________________.解析:∵f (1)=-2,∴f (f (1))=f (-2)=(-2)2+1=5.答案:515.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,并且当x ∈(0,+∞)时,f (x )=1+ln x ,则当x<0时,f (x )= . 解析:设t<0,则-t>0.∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )=1+ln x , ∴f (-t )=1+ln(-t ).又f (x )是定义在R 上的奇函数,∴-f (t )=1+ln(-t ),∴f (t )=-1-ln(-t ). ∴当x<0时,f (x )=-1-ln(-x ).答案:-1-ln(-x )16.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且函数x (x )=x (x )+x −x 有且只有一个零点,则实数x 的取值范围是___________________.解析:由题意可画出函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0的图象,如图所示,函数h (x )=f (x )+x-a 有且只有一个零点,即y=f (x )的图象与y=a-x 的图象有且只有一个交点,显然当a>1时满足条件.答案:(1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算下列各式的值:(1)2-12√2√2-1√(1-√5)0;(2)log 3√27+lg 25+lg 4+7log 72+(−9.8)0. 解:(1)原式=2-12√2√2-1−√1=2-12+2-12+√2+1−1=2×2-12+√2=√2+√2=2√2.(2)原式=log 3332+lg 100+2+1=32+2+2+1=132.18.(12分)设全集是实数集R ,集合A={x|y=log a (x-1)+√3-x },x ={x |2x +x ≤0}. (1)当m=-4时,求A ∩B 和A ∪B ; (2)若(∁R A )∩B=B ,求实数m 的取值范围.解:(1)由{x -1>0,3-x ≥0,得1<x ≤3,即集合A=(1,3];由2x-4≤0,得2x≤22,x ≤2, 即集合B=(-∞,2].故A ∩B=(1,2],A ∪B=(-∞,3]. (2)由(1)得∁R A={x|x>3,或x ≤1}.∵(∁R A )∩B=B ,∴B ⊆∁R A. ①若B=⌀,则m ≥0;②若B ≠⌀,则m<0,∴2x ≤-m.∴x ≤log 2(-m ). ∵B ⊆∁R A ,∴log 2(-m )≤1,即log 2(-m )≤log 22,因此0<-m ≤2,-2≤m<0.综上所述,实数m 的取值范围是[-2,+∞).19.(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (单位:万元)与年产量x (单位:吨)之间的函数解析式可以近似地表示为y =x 25−48x +8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,其生产的总成本最低?最低成本是多少?(2)如果每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)由y =x 25−48x +8000=15(x −120)2+5120(0≤x ≤210),所以当年产量为120吨时,其生产的总成本最低,最低成本为5120万元. (2)设该工厂年获得总利润为f (x )万元,则f (x )=40x-y=40x −x 25+48x −8000=−x 25+88x −8000=−15(x −220)2+1680(0≤x ≤210).因为f (x )在区间[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f (x )有最大值为−15(210−220)2+1680=1660.故当年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.20.(12分)已知函数f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,若当x ,y ∈[-1,1],x+y ≠0时,有(x+y )·[f (x )+f (y )]>0. (1)比较x (12)与x (13)的大小;(2)判断f (x )的单调性,并加以证明; (3)解不等式x (x +12)<x (1−2x ).解:(1)令x =12,x =−13,因为12+(-13)≠0, 由[12+(-13)][x (12)+x (-13)]>0,得x (12)>−x (-13),所以x (12)>x (13).(2)f (x )在区间[-1,1]上是增函数.证明如下:在区间[-1,1]上任取x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0.由题意(x 2-x 1)[f (x 2)+f (-x 1)]>0, 因为f (x )为奇函数, 所以(x 2-x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0. 所以f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1). 所以f (x )在区间[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知,f (x )在区间[-1,1]上是增函数, 所以{-1≤x +12≤1,-1≤1-2x ≤1,x +12<1-2x ,解得0≤x <16.即不等式x (x +12)<x (1−2x )的解集为[0,16).21.(12分)设f (x )=l og 121-xxx -1为奇函数,x 为常数.(1)求a 的值;(2)证明f (x )在区间(1,+∞)内单调递增;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值,不等式f (x )>(12)x+m 恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)∵f (-x )=-f (x ),∴lo g 121+xx-1-x=-lo g 121-xxx -1=lo g 12x -11-xx .∴1+xx -x -1=x -11-xx ,即(1+ax )(1-ax )=-(x+1)(x-1),∴a=-1.(2)由(1)可知f (x )=lo g 12x +1x -1. 任取x 1>x 2>1,则f (x 1)-f (x 2)=lo g 12x 1+1x 1-1-lo g 12x 2+1x 2-1=lo g 12(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1).由x 1>x 2>1易知(x 1+1)(x 2-1)>0,(x 1-1)·(x 2+1)>0,现比较(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)与1的大小.(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)-1=(x 1+1)(x 2-1)-(x 1-1)(x 2+1)(x 1-1)(x 2+1)=2(x 2-x 1)(x 1-1)(x 2+1)<0, 所以0<(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)<1,lo g 12(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)>0,即f (x 1)>f (x 2).故f (x )在区间(1,+∞)内单调递增. (3)设g (x )=lo g 12x +1x -1−(12)x,则g (x )在区间[3,4]上为增函数.∴g (x )>m 对x ∈[3,4]恒成立,∴m<g (3)=-98.∴实数m 的取值范围是m<-98.22.(12分)(1)当m 为何值时,f (x )=x 2+2mx+3m+4.①有且仅有1个零点? ②有2个零点,且均比-1大?(2)若函数F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,求实数a 的取值范围. 解:(1)①若函数f (x )=x 2+2mx+3m+4有且仅有1个零点,则等价于Δ=4m 2-4(3m+4)=0,即4m 2-12m-16=0,即m 2-3m-4=0,解得m=4或m=-1. ②设2个零点分别为x 1,x 2,且x 1>-1,x 2>-1,x 1≠x 2,则x 1+x 2=-2m ,x 1·x 2=3m+4,故只需{x =4x 2-4(3x +4)>0,(x 1+1)+(x 2+1)>0,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔{x 2-3x -4>0,-2x +2>0,3x +4+(-2x )+1>0⇔{x <-1或x >4,x <1,x >-5.故m 的取值范围是-5<m<-1.(2)F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,即|4x-x 2|+a=0有4个实数根,即|4x-x 2|=-a 有4个实数根.令g (x )=|4x-x 2|,h (x )=-a.在同一坐标系中作出g (x )和h (x )的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x 2|=-a 有4个实数根,则需g (x )的图象与h (x )的图象有4个交点, 故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a 的取值范围为-4<a<0.。
模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．12 cmC ．18 cmD ．24 cm解析：选D 根据AE ＝ED ，AB ∥EM ∥DC ，有BM ＝MC . 又EF ∥BC ，所以EF ＝MC ，于是EF ＝12BC .2．在▱ABCD 中，E 是AD 的中点，AC ,BD 交于O ，则与△ABE 面积相等的三角形有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：选C利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系．3．在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G ，交BC 于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶9D ．2∶3解析：选C 易证△ABF ≌△DAE .故知BF ＝AE . 因为AE ∶EB ＝2∶1，故可设AE ＝2x ，EB ＝x ， 则AB ＝3x ，BF ＝2x .由勾股定理得AF ＝错误!＝错误!x . 易证△AEG ∽△ABF .可得S △AEG ∶S △ABF ＝AE 2∶AF 2＝(2x )2∶(13x )2＝4∶13.可得S △AEG ∶S 四边形BEGF ＝4∶9.4．在梯形ABCD 中，AD∥BC (其中BC >AD )E ,F 分别是AB ,DC 的中点，连接EF ，且EF 交BD 于G ，交AC 于H ，则GH 等于( )A ．ADB.12(AD ＋BC )C ．BCD.12(BC －AD )解析：选D 结合平行线等分线段定理及梯形中位线定理可解决此问题．5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝135°，以A 为圆心，AB 为半径，作⊙A 交AD ,BC 于E ,F 两点，并交BA 延长线于G ，则BF 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选C ¼BF的度数等于圆心角∠BAF 的度数． 由题意知∠B ＝45°，所以∠BAF ＝180°－2∠B .6．在△ABC 中，点D ,E 分别在AB ,AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16 B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6 C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8解析：选C 对应线段必须成比例，才能断定DE 和BC 是平行关系，显然C 中的条件不成比例．7.如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB ＝12BC ，则PAPB等于( )A ．2 B.12C.3 D ．1解析：选C 利用切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝3PB 2， 则PA PB＝3.8．D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A.92，16 B ．9,4 C.92，8 D.94，16解析：选A 如右图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边中点．∴EF 綊12BC ，∴△AEF ∽△ABC ，且EFBC ＝12.∴l△DEF l△ABC ＝EF BC ＝12， 又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝92.又∵S△DEFS△ABC ＝EF2BC2＝14，又∵S △DEF ＝4， ∴S △ABC ＝16.9.如图，已知在△ABC 中，AD∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF ∶FC 等于( )A ．1∶5B ．1∶4C ．1∶3D ．1∶2解析：选C 过D 作DG 平行于AF ，交BC 于点G ，再根据平行线分线段成比例定理即可解决．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AD ＝DC ，∠ADB ＝20°，则∠ACB ，∠DBC 分别为( )A ．15°与30°B ．20°与35°C ．20°与40°D ．30°与35°解析：选B ∵∠ADB ＝20°， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝20°. 又∵BC 为⊙O 的直径，∴¼ADC 的度数为180°－40°＝140°. ∵D 为¼AC 的中点， ∴»CD的度数为70°， ∴∠DBC ＝70°2＝35°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11.(湖北高考)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．解析：由题意知CD 2＝OC 2－OD 2，OC 是半径，所以当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大．答案：212．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD＝2，DB＝4，则DE＝________.解析：由切割线定理得：AC2＝AD·AB＝2×6＝12.所以AC＝23.连接CD，可证：EC＝ED，∠A＝∠EDA.所以AE＝ED，所以ED＝AE＝EC＝12AC＝3.答案：313．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD 分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，线段AE的长为________．解析：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又因为AB＝6，BC＝3，所以∠CAB＝30°.又∠DCA＝90°－30°＝60°，而AD⊥DC，所以∠DAC＝30°，即可得出¼AE＝»BC＝»EC.所以AE＝BC＝3.答案：30° 314．如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，BD＝8，则AC＝________.解析：因为PA是圆O的切线，所以∠CAP＝∠ABC＝60°.又PE＝PA，所以△PAE为等边三角形．由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，所以PA＝3，所以PA＝PE＝AE＝3，ED ＝PE －PD ＝3－1＝2， BE ＝BD －ED ＝8－2＝6. 由相交弦定理得AE ·EC ＝BE ·ED . 所以EC ＝BE·ED AE ＝6×23＝4，所以AC ＝AE ＋EC ＝3＋4＝7. 答案：7三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，FG ∥BD 交AD 于G .求证：AG ＝DG .证明：∵AD ∥EF ∥BC ，E 是CD 的中点，∴F 是AB 的中点． 又∵FG ∥BD ，∴G 是AD 的中点．∴AG ＝DG .16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明：连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BCOD ＝ACAD .又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD .17．(本小题满分12分)如图所示，两圆内切于点T ，大圆的弦AB 切小圆于点C .TA ，TB 与小圆分别相交于点E ，F .FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证：(1) »CE＝»CF ； (2)AC ·PF ＝BC ·PT .证明：(1)设小圆的圆心为点O ，连接OC .∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB. ∵∠1＝∠3＝∠2，∴EF∥AB，∴OC⊥EF，∴»CE＝»CF.(2)∵EF∥AB，∴AEBF＝ATBT＝TETF.∵AB切小圆于点C，∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT.∴AC2BC2＝AE·ATBF·BT＝TE2TF2，ACBC＝TETF.∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，∵TF是⊙O的直径，∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，∴PTPF＝TETF，∴ACBC＝PTPF，∴AC·PF＝BC·PT.18．(本小题满分14分)如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径的圆交AC，AB于M，E.CE的延长线交⊙A于F，CM＝2，AB＝4.(1)求⊙A的半径；(2)求CE的长和△AFC的面积．解：(1)∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，∴CD＝4.在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2，∴(2＋AD)2＝42＋AD2.解得：AD＝3，即⊙A的半径为3.(2)过点A作AG⊥EF于点G，∵BC＝3，BE＝AB－AE＝4－3＝1，∴CE＝BC2＋BE2＝32＋12＝10.∵∠ADC＝90°，∴CD 为⊙A 的切线， ∴CE ·CF ＝CD 2， ∴CF ＝CD2CE ＝4210＝8510.又∠B ＝∠AGE ＝90°，∠BEC ＝∠GEA ， ∴△BCE ∽△GAE ，∴BCAG ＝CE AE 即3AG ＝103.∴AG ＝91010， ∴S △AFC ＝12CF ·AG ＝12×8510×91010＝365.。
模块综合检测[学生用书P145(单独成册)] (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0.因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但是a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，选A.3．下列命题中是假命题的是( )A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R ，3x>0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0解析：选B.因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4≤2，所以B 错误，选B.4．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B ．x 210＋y 24＝1C.y 28＋x 22＝1 D ．y 210＋x 24＝1解析：选C.由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D 可得C 正确，故选C.5．函数f (x )＝x －e x＋2的单调增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选B.因为f ′(x )＝1－e x(x ∈R )，所以f ′(x )>0的解集为{x |x <0}，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)，故选B.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：选A.由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±12x .7．已知命题p ：若方程ax 2＋x －1＝0有实数解，则a ≥－14且a ≠0；命题q ：函数y ＝x2－2x 在[0，3]上的最大值与最小值之和为2.则下列为真命题的是( )A ．p 且qB ．p 且﹁qC ．p 或﹁qD ．p 或q解析：选D.由于a ＝0时，方程ax 2＋x －1＝0有实数解x ＝1，故p 是假命题；函数y ＝x 2－2x 在[0，3]上的最小值为－1，最大值为3，最大值与最小值之和为2，故q 是真命题，在四个选项中，只有p 或q 是真命题．8．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤1解析：选B.根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0，所以Δ＝(a －1)2－4≤0， 所以－1≤a ≤3.9．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0.又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .10．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的极值为( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为527解析：选A.f ′(x )＝3x 2－2px －q (x ∈R )，由题可得f ′(1)＝0，f (1)＝0，解得p ＝2，q ＝－1，故f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )>0，解得x <13或x >1，令f ′(x )<0，解得13<x <1，所以f (x )极大＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，f (x )极小＝f (1)＝0.11．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点，F 1，F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 2解析：选D.由椭圆的几何性质得a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． |PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象的是( )解析：选D.[f (x )e x]′＝[ax 2＋(2a ＋b )x ＋b ＋c ]e x ，由x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，易得a ＝c .选项A ，B 中，对称轴x ＝－b2a＝－1，所以b ＝2a ，所以f (x )＝a (x ＋1)2，当a 大于0时，与A 中图象相符，当a <0时，与B 中图象相符；选项C 中，对称轴x ＝－b2a>0，且开口向下，所以a <0，b >0，所以f (－1)＝2a －b <0，与图象相符；选项D 中，对称轴x ＝－b2a<－1，且开口向上，所以a >0，b >2a ，所以f (－1)＝2a －b <0，与图象不相符，故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数y ＝ln(x －4)的定义域为A ，集合B ＝{x |x >a }．若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数y ＝ln(x －4)有意义，则x －4>0，即x >4，即A ＝{x |x >4}．由x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，得AB ，则a <4.答案：(－∞，4)14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．解析：由已知得b a＝2，所以b ＝2a .在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝115．已知下列命题：①“x ＝2”是“x 2－4x ＋4＝0”的必要不充分条件；②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充要条件； ③“sin α＝sin β”是“α＝β”的充要条件； ④“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件． 其中为真命题的是________(填序号)．解析：x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的充要条件，①为假命题；②为真命题；③“sin α＝sin β”是“α＝β”的必要不充分条件，③为假命题；ab ≠0⇒a ≠0，但a ≠0⇒/ ab ≠0，则④为真命题．故填②④.答案：②④16．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的焦点为F (1，0)，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝________.解析：设A (2，t )，B (x ，y )，又F (1，0)， 所以FA →＝(1，t )，FB →＝(x －1，y )， 由FA →＝3FB →得1＝3(x －1)，t ＝3y ， 解得x ＝43，又B 在椭圆C 上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4322＋y 2＝1，即y 2＝1－89＝19. 又t ＝3y ，所以t 2＝9y 2＝1， 故|AF →|＝|FA →|＝12＋t 2＝ 2. 答案： 2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R ，4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(﹁p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立．Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0， 解得1≤m ≤3.因为(﹁p )∧q 为真，所以p 假，q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.所以所求m 的取值范围为[1，2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点M (m ，4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．解：(1)由抛物线的定义可得4＋p2＝5，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)把M (m ，4)代入x 2＝4y 可得m ＝±4， 所以M 点的坐标为(±4，4)， 因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0，1)， 所以a ＝1，所以双曲线的方程为y 2－x 2b2＝1(b >0)，代入M (±4，4)得b 2＝1615，b ＝415，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±1415x ， 即为y ＝±154x . 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2＋2x －ln x .(1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝0时，f (x )＝2x －ln x ，则f ′(x )＝2－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝12时，f (x )取极小值1＋ln 2，f (x )无极大值．(2)已知f (x )＝12ax 2＋2x －ln x ，且x ＞0，所以f ′(x )＝ax ＋2－1x ＝ax 2＋2x －1x.若a ＝0，由f ′(x )＞0，x ＞0得x ＞12，显然不合题意．若a ≠0，因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数， 所以f ′(x )≥0对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2恒成立，即不等式ax 2＋2x －1≥0对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2恒成立，即a ≥1－2x x 2＝1x 2－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，故a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1max，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.而当x ＝13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1取得最大值3，所以实数a 的取值范围为a ≥3.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.21．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，1)，且离心率为32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，求证|BN |为定值．解：(1)由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，且b ＝1，由椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，得a ＝2， 所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m x 24＋y 2＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0， 解得－2<m <2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫－m ，12m . |AC |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·4m 2－4×（2m 2－2）＝10－5m 2. 由l 与x 轴的交点N (－2m ，0)，得|MN |＝（－m ＋2m ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝54m 2. 所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2＝52.所以|BN |为定值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)已知对任意的x >0，ax (2－ln x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围．解：由题意知函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝a x －1x2(a >0)．(1)由f ′(x )>0解得x >1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞；由f ′(x )<0解得x <1a，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .所以当x ＝1a时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值．(2)设g (x )＝ax (2－ln x )＝2ax －ax ln x ， 则函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．g ′(x )＝2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ·1x ＋a ln x ＝a －a ln x .由g ′(x )＝0，解得x ＝e.由a >0可知，当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减． 所以函数g (x )的最大值即g (x )的极大值g (e)＝a e.要使不等式ax (2－ln x )≤1恒成立，只需[g (x )]max ≤1，即a e ≤1， 解得a ≤1e.又a >0，所以0<a ≤1e.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e .。
