2017届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺训练数学(文)试题(解析版)

长郡中学2017届高三五月模拟考试文科数学试卷（原创）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}20,1,2,3,|0x A B x x -⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭，则A B = A. {}0,1,2 B. {}1,2 C. {}2,3 D.{}0,2,32.设复数z 满足()11i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 3.某人到甲、乙两市一个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘制成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为 A. 4 B. 3 C. 2 D.14.给出下列四个命题，其中真命题的个数是①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本中心点(),x y ； ②“6x =”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“0x R ∃∈,使得200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈,均有2230x x ++>”；④命题“p q ∨”是真命题，则“p q ⌝∧⌝”也是真命题.A. 0B. 1C. 2D.35.若正整数N 除以正整数m 后所得的余数为n,则记为()mod N n m =，例如()104mod6=.如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的：孙子定理的某一环节，执行该框图，输入2,3,5a b c ===，则输出的N = A. 6 B. 9 C. 12 D.216.已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，522,33AB OC OA OB ==-,若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A. 3B.7. “1m =-”是“直线()1:2110l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.323 B. 503 C. 643 D.8039.若函数()2f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图像是10.已知()2sin cos 2f x x x x =-，将()f x 的图象向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g a x g a x -=+成立，则4g a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 12+B. 1C. 12- D.0 11.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点，且120PF PF ⋅=，若12,126PF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线离心率的取值范围是A. 1⎡⎤⎣⎦B. 2,1⎡⎤⎣⎦C. 2⎤⎦D.1⎤⎦12.设实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为A. 0B. 1C. 94D.3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.《九章算术》中有“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一次。

湖南省长沙市长郡中学2017届高考数学模拟冲刺试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是（）A．0∉A B．1⊆A C．D．3∈A2．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i3．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位4．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机有放回的抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12 6．（5分）已知等差数列数列{a n}满足a n+1+a n=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）若变量x，y满足的约束条件是，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=（）A．0 B．﹣2 C．2 D．149．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，P A⊥面ABC，P A= 2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．πD．16π11．（5分）已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+n与﹣3共线，则=．14．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．15．（5分）若数列{a n}是正项数列，且，则=．16．（5分）已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1，F2．已知点M 坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知c sin A=a cos C．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sin C+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）某学校为了加强学生的安全教育，对学校旁边A，B两个路口进行了8天的监测调查，得到每天路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A路口数据的平均数比B路口数据的平均数小2．（1）求出A路口8个数据的中位数和茎叶图中m的值；（2）在B路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，P A=AC，P A⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|F A|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，函数g（x）=|2x﹣1|．（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求实数a的最大值；（2）若当x∈R时，f（x）+g（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．D【解析】集合A={x∈N|0≤x≤4}∴0∈A，1∈A，∉A，3∈A故选：D．2．A【解析】故选A．3．A【解析】函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．4．C【解析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n=6，取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的基本事件个数m=4，∴取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为=．故选：C．5．A【解析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．6．B【解析】∵数列{a n}是等差数列，且a n+1+a n=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3﹣a1=8﹣4=4，∵数列{a n}是等差数列∴2d=4，即d=2，则a2+a1=4即2a1+d=4解得a1=1．故选：B．7．B【解析】经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，此时输出x，输出的值为9x+4，令9x+4≥40，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于40的概率为：．故选：B．8．B【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，得A（k，k），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2k+k=3k=﹣6，∴k=﹣2．故选：B．9．A【解析】函数y=的分母是恒为正数的增函数，分子是偶函数，值域[﹣1，1]，可以判断函数的图象随x→+∞，y→0，排除B，C，当x→﹣∞时，分母e x+1→1，分子cos x∈[﹣1，1]，函数图象不可能是D，故选：A．10．D【解析】根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC ∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根据正弦定理得出：=2r，即r=1，∵P A⊥面ABC，∴P A∥ON，∵P A=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：P AO中P A=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π故选：D11．D【解析】设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线为y=k（x+2），则=，解得k=，∴切线方程为（x+2），由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在x=2的直线上，在（x+2）中，取x=2，得y=，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a＞4，或a＜﹣4．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D．12．B【解析】根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f（x﹣2）=4+log2（x﹣2），又x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，∴4+log2x0+4+log2（x0﹣2）=10，∴=2，∴﹣2x0﹣4=0，解得：x0=1﹣（舍）或x0=1+，而3＜1+＜4，故a=3，故选：B．二、填空题13．【解析】∵，∴与不共线，∴当与共线时，，即得．故答案为：．14．3【解析】∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．15．2n2+6n【解析】由，令n=1，得，∴a1=16．当n≥2时，．与已知递推式作差，得．∴，当n=1时，a1适合上式，∴，则．∴=4（1+2+…+n）+4n=4×=2n2+6n．故答案为：2n2+6n．16．2【解析】∵，∴||cos∠MF1P=||cos∠MF1F2，∴∠MF1P=∠MF1F2，∵cos∠MF1F2=∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2﹣1=∴tan∠PF1F2=∴直线PF1的方程为y=（x+3）与双曲线联立可得P（3，），∴|PF1|=，∵sin∠MF1F2=∴=×××=，∵==，∴=2，故答案为：2三、解答题17．解：（Ⅰ）∵c sin A=a cos C，∴由正弦定理，得sin C sin A=sin A cos C 结合sin A＞0，可得sin C=cos C，得tan C=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sin C+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin B cos A，而3sin2A=6sin A cos A∴由sin C+sin（B﹣A）=3sin2A，得sin B cos A=3sin A cos A当cos A=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cos A≠0时，得sin B=3sin A，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2ab cos C∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=ab sin C=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．18．解：（1）A路口8年数据的中位数是=34.5，∵A路口8年数据的平均数是：=34，∴B路口8个数据的平均数是36，∴=36，解得：m=4；（2）B在路口的数据中取2个大于35的数据，有如下10中可能结果：（36，37），（36，36），（36，42），（36，45），（37，38），（37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45），其中“至少有一个抽取的数据不小于40”的情况如下7种：（36，42），（36，45），（37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45），故所求的概率p=．19．（1）证明：∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC⊥CD，P A∩AC=A，∴CD⊥平面P AC，而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE．∵AC=P A，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵P A⊥底面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面P AD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解法一：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面P AC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴．设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵V B﹣PCD=V P﹣BCD，∴，解得，即点B到平面PCD的距离为．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z 轴．过点C作CM⊥AD，垂足为M，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（，，0），D（0，2，0），P（0，0，3），=（﹣，，0），=（0，2，﹣3），=．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，，2）．∴点B到平面PCD的距离d===．20．解：（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．联立，解得=，x3=﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴=0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，∴=0，∴=0，解得k=，故直线方程为y=．21．解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．22．解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|F A|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．23．解：（1）由g（x）≤5⇒|2x﹣1|≤5，得﹣2≤x≤3，又f（x）≤6⇒|2x﹣a|+a≤6，得a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，故a﹣3≤x≤3，a﹣3≤﹣2，则a≤1；故a的最大值是1；（2）当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+a|+|1﹣2x|≥|2x﹣a+1﹣2x|+a=|1﹣a|+a，当x=时“=”成立，故x∈R时，f（x）+g（x）≥3等价于|1﹣a|+a≥3①，a≤1时，①等价于1﹣a+a≥3，无解，a＞1时，①等价于a﹣1+a≥3，解得：a≥2，故a的范围是[2，+∞）．。

绝密★启用前【百强校】2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：204分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若函数的导函数在区间上有零点，则在下列区间上单调递增的是（ ） A ．B ．C ．D ．2、已知函数且，则（ ）A ．50B ．60C ．70D ．803、已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．4、若不等式组表示的区域，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（ ）A ．114B ．10C ．150D ．505、已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6、某棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（ ）8、在如图所示的算法流程图中，输出的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．159、分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知，，则（ ）A ．1B ．C ．D ．11、设是虚数单位，则复数（ ） A ．B ．C ．D ．12、设全集，集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、若定义在区间上的函数满足：对，使得恒成立，则称函数在区间上有界，则下列函数中有界的是 .①；②；③；④；⑤，其中.14、抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则.15、若满足约束条件，则的最大值为 .16、已知，为的导函数，，则.三、解答题（题型注释）17、设函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围.18、已知直线（为参数），曲线（为参数）.（1）设与相交于两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.19、如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点.（1）求证：； （2）若四点共圆，且，求.20、已知函数.（1）求函数的单调区间和最小值；（2）若函数在上的最小值为，求的值；（3）若，且对任意恒成立，求的最大值.21、已知椭圆上的左、右顶点分别为，为左焦点，且，又椭圆过点.（1）求椭圆的方程；※※线※※内※※答※※题※※………订…………○…（2）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线的斜率分别为，若，证明：三点共线.22、某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中的值和频率分布直方图中的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在的概率.23、如图，在四棱锥中，平面，，，.（1）求点到平面的距离；（2）点为线段上一点（含端点），设直线与平面所成角为，求的取值范围.24、已知函数在处取最小值.（1）求的值；（2）在中，分别为内角的对边，已知，求角.参考答案1、D2、A3、A4、A5、D6、B7、D.8、D9、A10、C11、B12、A13、①④⑤14、15、16、17、（1）;（2）.18、（1）;（2）19、（1）见解析；（2）20、（1）的单调递增区间为，单调减区间为,.（2）;（3）21、（1）；（2）见解析22、（1）,，中位数为；（2）23、（1）；（2）24、（1）；（2）或【解析】1、试题分析：函数的导函数在区间上有零点,由得，所以,且函数的单调递增区间为，所以函数在区间上单调递增，故选D.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：单调递增，单调递减；反之，当在某个区间上单调递增，当在某个区间上单调递减.2、试题分析：由题意可知，，，，，所以，故选A.考点：1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法.3、试题分析：由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.4、试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域内的概率为，所以落在区域中芝麻约为,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.5、试题分析：因为点和在直线的同侧,所以，即，所以，又直线的斜率，即，所以倾斜角的范围为，故选D.考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.6、试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥，所以其体积，故选B.考点：1.三视图；2.多面体的体积.7、试题分析：将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数解析式为，故选D.考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.8、试题分析：此程序框图所表示的算法功能为，故选D.考点：程序框图.9、试题分析：分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则点构成的平面区域为一矩形，在矩形内且的区域为梯形，如下图所示，所以所求概率，故选A.考点：几何概型.10、试题分析：因为，所以，故选C.考点：向量的坐标运算.11、试题分析：,故选B.考点：复数的运算.12、试题分析：,故选A.考点：集合的运算.13、试题分析：因为，所以为有界函数；，无上界，所以②不是有界函数；的值域为，是无界函数；,因为，所以，即，所以是有界函数；对于⑤，函数为实数上连续函数，所以在区间上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.考点：1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法.14、试题分析：抛物线的焦点为,准线方程为，与双曲线的交点为，又若为等边三角形，所以，解之得：.考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.15、试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数取得最大值时的最优解为，此时.考点：线性规划.16、试题分析：因为,所以. 考点：导数的运算.17、试题分析：（1）,由可求出；（2）由（1）可转化为，作出函数的图象，数形结合可求的范围.试题解析：（1），∴，∴，.（2）由（1）知，，，的图象如图：要使解集非空，或，∴.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.18、试题分析：（1）将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线的参数方程，交用参数表示点的坐标，用参数表示点到直线的距离，即可求最小值.试题解析：（1）直线的普通方程为，的普通方程为，联立方程组解得与的交点为，则.（2）曲线为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离是，由此当时，取得最小值，且最小值为.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用.19、试题分析：（1）要证，只要证即可，由弦切角和圆周角关系可得，由角平分线性质得，又同弧上的圆周角相等，所以，即可证得；（2）由四点共圆及（1）得，设，在等腰三角形中，列出方程，解之即可.试题解析：（1）∵的平分线与圆交于点∴，，∵，∴，∴，∴.（2）因为四点共圆，所以，由（1）知，，所以.设，因为，所以，所以，在等腰三角形中，，则，所以.考点：1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质.20、试题分析：（1）求导，解不等式与可得函数的单调区间；（2）求函数的导数，分与讨论函数在区间的单调性与最小值，由求之即可；（3）由题意分离参数得对任意恒成立，构造函数，求导，的符号由分子确定，且函数在上单调递增，所以方程在上存在唯一的实根，且,由此可知函数在上递减，在上单调递增,所以，可证结论成立.试题解析：（1）因为，令，即，所以，同理，令，可得，所以的单调递增区间为，单调减区间为.所以.（2），，Ⅰ．当时，，在上单调递增，，所以，舍去.Ⅱ．当时，在上单调递减，在上单调递增，①若，在上单调递增，，所以，舍去，②若，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.③若，在上单调递减，，所以，舍去，综上所述，.（3）由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则，令，则，所以函数在上单调递增，因为方程在上存在唯一的实根，且，当时，，即，当时，，即.所以函数在上递减，在上单调递增.所以所以，又因为，故整数的最大值为3.考点：1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.21、试题分析：（1）,由椭圆过点可得，由椭圆中关系求出的值即可；（2）由（1）知，，设，由此可得，又因为，，由此可得，同理可得，所以，即可证三点共线. 试题解析：（1）由已知可得，又，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由（1）知，，设，所以，因为在椭圆上，所以，即，所以.又因为，所以.（）由已知点在圆上，为圆的直径，所以，所以（）由（）（）可得，因为直线有共同点，所以三点共线.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.22、试题分析：（1）由第一组内频数为，频率为可求出总人数为，由此可求出第二组的频率为，并可求频率直方图中，由频率之和为可求出，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取人时在和的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在的概率.试题解析：（1）因，所以，所以，，.中位数位于区间，设中位数为，则，所以，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次.（2）由题意知样本服务次数在有20人，样本服务次数在有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在和的人数分别为：和.记服务次数在为，在的为.从已抽取的6人任选两人的所有可能为：共15种，设“2人服务次数都在”为事件，则事件包括共10种，所有.考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.23、试题分析：（1）要求点到平面的距离,只要能过点作出平面的垂线即可，由题意可知平面，所以平面内的任意一条直线，因此只要在平面内过点作即可得到平面，求出的长即可；（2）由（1）可知点到平面的距离即点到平面的距离,所以，即只要求出的取值范围即可.试题解析：（1）过点作，由平面平面可知，即点到面的距离，在正中，，即点到平面的距离为.（2）∵，所以点到平面的距离即点到平面的距离，而，所以.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.24、试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得，由在处取最小值及查求得；（2）由可得，再由正弦定理求出，从而求出角的值，即可求角.试题解析：（1）因为函数在处取最小值，所以，由诱导公式知，因为，所以.所以.（2）因为，所以，因为角为的内角，所以. 又因为，所以由正弦定理，得，也就是，因为，所以或.当时，；当时，.考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.。

2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤ 【答案】A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A. 【考点】集合的运算.2．设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -【答案】B【解析】试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 【考点】复数的运算.3．已知(cos ,sin )66a ππ= ，55(cos,sin )66b ππ= ，则||a b -= （ ） A ．1 B【答案】C【解析】试题分析：因为55(cos cos,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||a b -C.【考点】向量的坐标运算.4．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25【答案】A【解析】试题分析：分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则点(,)P m n 构成的平面区域为一矩形ABCD ，在矩形内且m n >的区域为梯形ABCE ，如下图所示，所以所求概率21721510ABCE ABCDS P S ===梯形矩形，故选A.【考点】几何概型.5．在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 【答案】D【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D.【考点】程序框图. 6．将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D.【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D. 【考点】1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7．某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B.【考点】1.三视图；2.多面体的体积. 8．已知点(1,2)-和在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ【答案】D【解析】试题分析：因为点(1,2)-和(3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧,所以(201)0a --+-+>，即(1)(0a a +<，所以1a <<-，又直线l 的斜率k a=，即1k <<-，所以倾斜角的范围为23(,)34ππ，故选D. 【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9．若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ）A ．114B ．10C ．150D ．50 【答案】A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.【考点】1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A1 B1 D1 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22,22p b c p a ==，所以224b c a=，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得1e =，故选A.【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质. 11．已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则1235a a a a ++++= （ ）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-= ，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯= ，故选A.【考点】1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法. 12．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞ 【答案】D【解析】试题分析：函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点,由22()10b x bf x x x-'=-==得2x b =，所以1b <<且函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，故选D. 【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.二、填空题13．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = . 【答案】2【解析】试题分析：因为1()l n (l n 1)f x a xa x a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==.【考点】导数的运算.14．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.【考点】线性规划.15．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线22(0)x py p =>的焦点为(,0)2p F ,准线方程为2p x =-，与双曲线221x y -=的交点为((,22p pA B --，又若ABF ∆为等边三角形，所以0222AF k p p -===--p =【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16．若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③t a n y x =；④x xxxe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021xe <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x xx x e e y e e---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.【考点】1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法. 三、解答题17．已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()2a b f A ===求角C . 【答案】（1）2π；（2）712π或12π【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()2f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C . 试题解析：（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=∙+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++-sin cos cos sin sin()x x x ϕϕϕ=+=+因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以sin()1πϕ+=-， 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）因为()f A =，所以cos A =A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b ==sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 2b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面B C P ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求si n α的取值范围.【答案】（1（2） 【解析】试题分析：（1） 要求点B 到平面DCP 的距离,只要能过点B 作出平面DCP 的垂线即可，由题意可知CD ⊥平面CPB ，所以CD ⊥平面CPB 内的任意一条直线，因此只要在平面CPB 内过点B 作BF PC ⊥即可得到BF ⊥平面DCP ，求出BF 的长即可；（2）由（1）可知点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离,所以sin BF MP α=，即只要求出BFMP的取值范围即可. 试题解析：（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，BF =B 到平面DCP （2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而MP ∈，所以sin BF MP α=∈. 【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.19．某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 【答案】（1）0.625,0.075n p ==,0.125a =，中位数为17；（2）23【解析】试题分析：（1）由第一组内频数为20，频率为0.25可求出总人数为20800.25M ==，由此可求出第二组的频率为500.62580n ==，并可求频率直方图中0.1255na ==，由频率之和为1可求出p ，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取6人时在[10,15)和[25,30)的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在[10,15)的概率. 试题解析：（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 【考点】1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析【解析】试题分析：（1）1||2AF a c ==-,由椭圆C过点可得b =椭圆中,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 由此可得2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k ∙=-，同理可得21QA k k ∙=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上， 所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -∙==--.又因为1234k k =，所以21PA k k ∙=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k ∙=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.（2）a =（3）3【解析】试题分析：（1）求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；（2）求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x+=，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；（3）由题意分离参数得ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x x h x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x+=， Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去. Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增，①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2l n 2()(1)x x h x x --=-，令()l n 2(1x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3.【考点】1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.22．如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】（1）见解析；（2）27π 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可. 试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因为,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠， 由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=， 所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==.【考点】1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质.23．已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）1;（2）1)4【解析】试题分析：（1）将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求AB ；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P到直线l的距离|22)2]24d θθπθ==-+，即可求最小值.试题解析：（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C 的交点为1(1,0),(,)22A B -，则||1AB =. （2）曲线2C为1cos 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P的坐标是1(cos )2θθ，从而点P 到直线l的距离是|22)2]24d θθπθ==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d取得最小值，且最小值为1)4. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用. 24．设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2-;（2）{|0}k k k k <=. 【解析】试题分析：（1）|2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围. 试题解析：（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-.（2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{|0}k k k k ><=.【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。

湖南省长沙市长郡中学2017届高三下学期临考冲刺训练文科综合试题注意事项：1。

答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘帖的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3。

答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后用0。

5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共140分）本卷共35个小题,每小题4分，共140分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡内.娃娃菜是半耐寒性蔬菜,生长周期约为55天，有肥大的肉质直根和发达的侧根，适宜生长温度为15—23℃；土层深厚肥沃、保水保肥力强的的土壤。

近几年，甘肃省永登县政府积极从日本引进娃娃菜品种，并在全县推广，目前甘肃省兰州市永登县（海拔2000～2800m)是优质娃娃菜的主产区.生产效益较高，是东部发达地区的主要供应源地。

据此完成1-3题。

1。

与日本相比，甘肃省永登县种植娃娃菜的优势自然条件是（）A。

地势平坦 B.气候凉爽 C.降水充足D。

风速较小2。

永登县娃娃菜生产效益较高，其主要原因是（）A.品质高,市场需求量大B。

根系发达，耐盐碱C。

种植历史悠久D。

市场距离较近3。

制约永登县娃娃菜远销我国东部发达地区的主要因素是（）①水源质量②种植技术③运输成本④病虫害多A。

①② B. ①④ C. ②③ D. ③④受土地开发和防洪等因素的影响，城市河流往往被两条水泥堤防牢牢控制。

目前利用废旧轮胎、石笼网与内装碎石土的生态带（生态带由抗腐蚀材料制成,只透水不透土，具有满足植物生长的孔径）联合制成的新型生态河堤受到许多城市的青睐。

湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集集合{}31|2,|log 12x A x B x x ⎧⎫=>=<⎨⎬⎩⎭，则 A. B. C. D.2.设复数（为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.3.已知是等比数列，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的大致图象是5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其意思是“有一个人走378里里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了”A. 60里B. 48里C. 36里D.24里6.据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由表中样本数据求回归直线方程，则点与直线的位置关系为是A.点在直线左侧B. .点在直线右侧C. .点在直线上D.无法确定7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为A. B. C. D.A. 向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D. .向右平移个单位9.执行如图所示的程序框图，如输入的分别为，则输出的A. B. C. D.10.已知数列的前项和为，，则当时，A. B. C. D.11.已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线平行于，则的方程为A. B. C. D.12.已知函数，若对任意[]()()22,2,30m f ma f a ∈--+>恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则的最小值为 .14.已知点，点在第二象限，且150,4AOC OC OA OB λ∠==-+，则 .15.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点，若，则的离心率等于 .16.函数()4sin 2f x x π=所有零点的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数()sin sin .3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求的单调递增区间；（2）在中，角的对边分别为，已知，试判断的形状.18.（本题满分12分）某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙”与“不患龋齿的关系”.对该校某年级800名学生进行检查，按含龋齿和不患龋齿分类，得到汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有160名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100名，按时刷牙但患龋齿的学生有240.（1）该校4名卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率；（2）是否有的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系.19.（本题满分12分）如图，菱形的边长为6，60,BAD ACBD O ∠==将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.20.（本题满分12分）已知动圆与圆(22:25E x y +=相切，且与圆都内切，记圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于点，点为线段的中点，若，求面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()21ln ,.2f x x ax x a R =-+∈ （1）当时，求函数在处的切线方程；（2）令()()()1g x f x ax =--，求函数的极值；（3）若，正实数满足()()12120f x f x x x ++=，证明：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（文）试题一、选择题 1．复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 【答案】A【解析】试题分析：1,1z i z i =-=+，对应点()1,1.【考点】复数概念及运算. 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2．已知函数(5),2(),22(),2x f x x f x e x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．1e【答案】B【解析】试题分析：2x <-时，(2016)(2016)f f -=，2x >时，函数周期为5，()(2016)1f f e ==.【考点】分段函数求值.3．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（ ） A ．118 B ．19 C ．16 D ．536【答案】B【解析】试题分析：基本事件36种，符合题意的为()()()()1,6,6,1,2,3,3,2共四种，故概率为19. 【考点】古典概型. 4．设,,a b c为三角形ABC三边长，1,a b c ≠<，若l o g l o g2l o c b cb c b c ba a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 【答案】B 【解析】试题分析：两边除以log log c b c b a a+-得()()112,log 2log log a c b c b c b c b a a-++=+-=，222a b c =-，故为直角三角形.【考点】1.解三角形；2.对数运算.5．如图所示，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MF F P = ，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN +=（ ）A ．10B ．5C ．6D ．3 【答案】A【解析】试题分析：根据椭圆的定义和比例，有()1255||||||||41022PN QN DF DF +=⋅+=⋅=. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系.6．若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A ．13 B ．13- C ．79 D ．79-【答案】A 【解析】试题分析：212cos ()1cos cos sin 6232663παππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【考点】三角恒等变换.7．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（ ）A ．8B ．．4 D ．【答案】B【解析】试题分析：设边长为a ，则31,44a a ==，故侧视图面积为4=【考点】三视图.8．定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A ．-3 C ．1 D ．3 【答案】D【解析】试题分析：()2111f x a a x=+-为增函数，故()f x 与y x =有两个交点，22()1a a x x a x+-=，化简得()22210a x a a x -++=，2111,m n mn a a +=+=，()()2223241n m n m mn a a -=+-=-++，对称轴113a =时，取得最大值，故3a =. 【考点】函数导数与不等式.9．已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）【答案】A【解析】试题分析：由于()2ln xf x x x-=+，故函数为非奇非偶函数，排除B ，C.令2ln ||0x x x-=，得3ln x x =，两个函数交点在第三象限，故零点为负数，排除D ，选A.【考点】函数图象与性质.10．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（ ）A ．1B ．12-C ．54-D ．138- 【答案】C【解析】试题分析：4,1x y ==，循环，11,2x y ==-，循环，15,24x y =-=-，退出循环，故选C.【考点】算法与程序框图.11．已知非零向量,a b 满足||2||a b = ，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则a 和b夹角的取值范围是（ ）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 【答案】B【解析】试题分析：()'2f x x a x a b =++⋅有两个不相等的实根，22140,cos 24a a a b a b θ-⋅≥≤= ，故选B ．【考点】1.向量运算；2.函数导数.【思路点晴】函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，转化过来，意思就是函数()f x 的导数在R 上有两个不相等的实数根，函数求导后得到()'2f x x a x a b =++⋅ ，利用判别式大于零，即有22140,cos 24a a a b a b θ-⋅≥≤= ，两个向量所成的角的取值范围是[]0,π，在这个区间上，满足1cos 2θ≤的角的取值范围就是(,]3ππ.两个知识点的题目，只需要我们各个击破就可以解决.12．若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--【答案】C 【解析】试题分析：函数在(,)-∞+∞单调递增()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，1cos 1x -≤≤，所以435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.【考点】导数与单调区间.【思路点晴】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而1cos 1x -≤≤，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.解决恒成立问题有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.二、填空题13．在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 【答案】()1,+∞【解析】试题分析：依题意1,12m n m n ==+=，()y m n x x =+=，()'1,10,1x x f x e a e a a =-=-=->>.【考点】1.向量运算；2.切线方程. 14．已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 .【答案】4π【解析】试题分析：()()f x x ϕ=-，其中tan b a ϕ=，将4x π=代入，得sin ,,4424k k ππππϕϕπϕπ⎛⎫--=+=-- ⎪⎝⎭，所以tan tan 14b k a πϕπ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭，所以直线斜率为1b a -=，故倾斜角为4π.【考点】三角函数图象与性质.15．设,x y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最小值为 . 【答案】4-【解析】试题分析：M N -的最小值即min max M N -，画出可行域如下图所示，M 在点()1,2-取得最小值为2-，N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.【考点】线性规划.【思路点晴】本题的命题背景是线性规划，第一步我们就画出可行域，由图象可知，可行域为三角形.M N -的最小值即min max M N -，我们只需求出M 的最小值，减去N 的最大值即可.在图象中画出基准的4y x =-，向下平移到点()1,2-取得最小值为2-，而对于N ，这是一个减函数，由可行域可知定义域的取值范围是[]1,3-，故N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.16．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线准线为2p y =-，代入双曲线得x =焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，=p =【考点】圆锥曲线间的位置关系.【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系.先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2p y =-.将2p y =-代入双曲线的方程，可求得,A B 两点的坐标.得出坐标之后，根据题意，ABF ∆为等边三角形，也就是说AF k =，也=p =此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.三、解答题17．已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++ ，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性. 【答案】（1）1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，单调递增数列.【解析】试题分析：（1）利用1n n n a S S -=-，化简得1320n n a a +--=，进行配凑得113(1)(2)n n a a n ++=+≥，这是一个等比数列，故1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）'11(1)2n n f a a na -=+++ ，这类似一个等差数列乘以个等比数列，我们采用分组求和和错位相减法求得15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，用1n n b b +-判断出{}n b 是单调递增数列.试题解析：（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n n a a n ++=+≥又由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列，∴1*531()n n a n N -=⨯-∈.（2）∵'111()2n n n f x a a x na x --=+++ ，∴'11(1)2n n f a a na -=+++120(531)2(531)(531)n n n --=⨯-+⨯-++⨯-1230(1)5[323333]2n n n n n n ---+=+⨯+⨯++⨯-令1230323333n n n S n ---=+⨯+⨯++⨯ ，则1213323333n n n S n --=+⨯+⨯++⨯∴作差得：13324n n S +-=--，∴1'5315(6)(1)42n n n f +⨯-+=-即15315(6)42n n n n b +⨯-+=-而215315(1)(7)42n n n n b ++⨯-++=-，∴作差得：11537022n n n b b n +⨯-=--> ∴{}n b 是单调递增数列. 【考点】数列.18．如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ∆∆均是等边三角形，且平面SEF ⊥平面ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当2a =时，求三棱锥S ABC -的体积； （2）a 为何值时，BE ⊥平面SCO .【答案】（1（2）83a =. 【解析】试题分析：（1）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，SO ⊥平面ABC （2）SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =，所以124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =. 试题解析：（1）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，即31,42S ABC ABC SO V S SO -∆==∙=（2）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，∴SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥， 要使BE ⊥平面SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =， ∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平面SCO .【考点】立体几何证明垂直与求体积.19．国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）； （2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）；（2）①；②列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关.【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽70人，女生抽50人，故5,2x y ==，由此求得男生平均运动事件为 1.5小时；（2）计算2120(1545555)96 2.743 3.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120701400010000⨯=+人，女生抽取人数为1207050-=人， 故5,2x y ==， 则该校男生平均每天运动时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （2）①样本中“运动达人”所占比例是2011206=，故估计该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=人； ②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”【考点】1.频率分布直方图；2.独立性检验.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自上至下排列），O 为坐标原点，95OA OB ∙=- ，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（20y -=0y +，圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 【解析】试题分析：（1）由题意得222c a b =-，12c a =，223b a ⋅=，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，写出根与系数关系得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以2122934k y y k =-+.故21212212534k OA OB x x y y k +∙=+=-+ .所以95OA OB ∙=- ，所以221259345k k +-=-+，解得：23k =.故所求直线l 的方程为1)y x =-.设圆E 的半径为r ，因为21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ =将23k =代入||||AB PQ =解得：2331100r =.圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 试题解析：（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a∙=，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率k 存在，设l 的方程为(1)y k x =-， 联立椭圆方程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴2122934k y y k =-+.∴21212212534k OA OB x x y y k +∙=+=-+ .∵95OA OB ∙=- ，∴221259345k k +-=-+，解得：23k =.由题意可得：||||AP BQ =等价于||||AB PQ =. 设圆E 的半径为r ，∵21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ = 将23k =代入||||AB PQ =解得：2331100r =.故所求直线l 的方程为1)y x =-0y -=0y +=；圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】圆锥曲线命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 21．已知函数ln ()kx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -∀><+.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，即'1(1)0kf e-==，解得1k =；（2）先求得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，设()1l n h x x x x =--，利用导数求得()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e-≤+.设()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数求得()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0x e x -+>，所以101x x e +<<.所以21()()1x x g x h x e e-+=<+. 试题解析：（1）由ln ()x x k f x e +=，得'1ln ()x kx x x f x xe --=，(0,)x ∈+∞.由已知，得'1(1)0k f e-==，∴1k = （2）由（1），得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，(0,)x ∈+∞ 设()1ln h x x x x =--，则'()ln 2h x x =--，(0,)x ∈+∞ 令'()0h x =，得2x e -=.当20x e -<<时，'()0h x >，∴()h x 在2(0,)e -上是增函数；当2x e ->时，'()0h x <，∴()h x 在2(,)e -+∞上是减函数. 故()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+. 设()(1)xx e x ϕ=-+，则'()10x x e ϕ=->，(0,)x ∈+∞， ∴()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0xe x -+>，∴101xx e +<<. ∴21()()1x x g x h x e e-+=<+. 因此，对任意0x >，2()1g x e -<+.【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】本题考查函数导数的基本原理.首先是导数与切线的关系，题目中曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，由此建立方程可求出1k =.本题第二问，利用综合法来分析，要证21()()1x x g x h x e e-+=<+，即是证2()1h x e -<+，且101xx e +<<.我们构造两个函数，一个是()1ln h x x x x =--，一个是()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数作为工具来证明即可.22．如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10B C D B ==.（1）求AB 的长； （2）求CF DE.【答案】（1）AB =（2）1【解析】试题分析：（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，所以ABC ∆∽DBA ∆，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =∙=，AB =（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=⋅，由ABC ∆∽DBA ∆，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，故1CFDE=. 试题解析：（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴ABC ∆∽DBA ∆，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =∙=，AB = （2）根据切割线定理，知2CA CB CF =∙，2DA DB DE =∙，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=∙（） 由ABC ∆∽DBA ∆，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==， 由（）得1CFDE=. 【考点】几何证明选讲.23．已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 【答案】（1）(2,0),(0,2)；（2）6【解析】试题分析：（1）点4π对应的直角坐标为(1,1)，直线的方程为20x y +-=，圆的方程为22220x y x y +--=，联立解得交点坐标为(2,0),(0,2)；（2）P 在直线1C 上，将1c o3s i n x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(c o s s i n)60t t αα--+=，故1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 试题解析： （1）点)4π对应的直角坐标为(1,1)，由曲线1C 的参数方程知，曲线1C 是过点(1,3)-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，而曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，联立得2222020x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得：1120x y =⎧⎨=⎩，222x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，而126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 【考点】坐标系与参数方程.24．设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max A 表示数集A 中的最大数，且h=，求h 的范围. 【答案】（1）1ab a b +>+；（2）(2,)h ∈+∞【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式，解得{|01}M x x =<<.1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，1ab a b +>+；（2）h≥，h≥h ≥即2234()4()428a b a b ab h ab ab ab ++⨯≥>≥=，所以(2,)h ∈+∞. 试题解析：（1）{|01}M x x =<<，,a b M ∈，∴01,01a b <<<<，1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，∴1ab a b +>+（2）∵h≥，h ≥h ≥∴2234()4()428a b a b ab h ab ab ab++⨯≥>≥= ∴(2,)h ∈+∞. 【考点】不等式选讲.。

湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考试卷（六）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集,U =R 集合{}{|22,|M x x N x y =-≤<==，则()UMC N 等于（ ） A. [)2,0-B. []2,0-C. [)0,2D.()0,22.复数2i1iz -=+在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限3.直线()1:110l a x y -+-=和直线2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A.12B.32C.14D.344.秦九韶是我国南宋时期的数学家，蒲州（今四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4,3，则输出v 的值为（ ）A. 20B. 61C. 183D. 5485.已知曲线()()sin 0f x x x ωωω=>的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且曲线关于点()0,0x 成中心对称，若00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x =（ ）A.512πB.3πC.6π D.12π 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 96B.80+C. )9641+πD. ()9641+π7.已知实数,x y 满足211210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是（ ）A. [)0,5B. []0,5C. 5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.若0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，且23sin cos 2210π⎛⎫++= ⎪⎝⎭αα，则tan α=（ ）A.13B. 3C.17D.79.已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴12A A 上任取一点M ,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（ ） A.12B.C.D.10.下列程序框图中，输入的A 的值是（ ）A.12014 B.12015C.12016 D.12017 11.过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ,B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点()0,2，则p 等于（ ）A.25B.23C.45D.4312.若函数()()1e 20x f x x ax a -=+->在区间()0,2内有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A.e22⎫⎪⎭B. (]0,2C. e 222,2+⎛⎤ ⎥⎝⎦D.3e 4242,2+⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则()15793log a a a ++= .14.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为 .15.在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，已知,sin 2sin ,b A C B =+=则sin A = .16.已知向量()(),,1,1a m n b ==，满足2a b ⋅≥且()20a a b ⋅-≤，则a b ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知{}n a 是正项等差数列，n n *∀∈∈N .数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为.24n nS n =+ （1）求n a ；（2）设()21,nn n b a n *=-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.n T18.（本题满分12分）2017年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.（1）先求出,,,x y p q 的值，再将如图所示的频率分布直方图绘制完整；（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35名，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？19.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =且侧面11BCC B 是菱形，160.B BC ∠=（1）求证：1AB BC ⊥;（2）若11,AB AC AB BB ⊥=，且该三棱柱的体积为，求AB 的长.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，直线0x y +=与椭圆E 仅有一个公共点.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆223x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于A,B 两点，求ABO ∆的面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()1ln ,.af x x a x a x+=+-∈R（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得000011ln x a x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

湖南省长沙市长郡中学2017届高三月考试卷（六）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集,U =R 集合{}{|22,|M x x N x y =-≤<==，则()UMC N 等于（ ） A. [)2,0-B. []2,0-C. [)0,2D.()0,22.复数2i1iz -=+在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限3.直线()1:110l a x y -+-=和直线2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A.12B.32C.14D.344.秦九韶是我国南宋时期的数学家，蒲州（今四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4,3，则输出v 的值为（ ）A. 20B. 61C. 183D. 5485.已知曲线()()sin 0f x x x ωωω=>的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且曲线关于点()0,0x 成中心对称，若00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x =（ ）A.512πB.3πC.6π D.12π 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 96B.80+C. )9641+πD. ()9641+π7.已知实数,x y 满足211210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是（ ）A. [)0,5B. []0,5C. 5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.若0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，且23sin cos 2210π⎛⎫++= ⎪⎝⎭αα，则tan α=（ ）A.13B. 3C.17D.79.已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴12A A 上任取一点M ,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（ ） A.12B.C.D.10.下列程序框图中，输入的A 的值是（ ）A.12014 B.12015C.12016 D.12017 11.过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ,B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点()0,2，则p 等于（ ）A.25B.23C.45D.4312.若函数()()1e 20x f x x ax a -=+->在区间()0,2内有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A.e22⎫⎪⎭B. (]0,2C. e 222,2+⎛⎤ ⎥⎝⎦D.3e 4242,2+⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则()15793log a a a ++= .14.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为 .15.在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，已知,sin 2sin ,b A C B =+=则sin A = .16.已知向量()(),,1,1a m n b ==，满足2a b ⋅≥且()20a a b ⋅-≤，则a b ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知{}n a 是正项等差数列，n n *∀∈∈N .数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为.24n nS n =+ （1）求n a ；（2）设()21,nn n b a n *=-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.n T18.（本题满分12分）2017年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.（1）先求出,,,x y p q 的值，再将如图所示的频率分布直方图绘制完整；（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35名，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？19.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =且侧面11BCC B 是菱形，160.B BC ∠=（1）求证：1AB BC ⊥;（2）若11,AB AC AB BB ⊥=，且该三棱柱的体积为，求AB 的长.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，直线0x y +=与椭圆E 仅有一个公共点.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆223x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于A,B 两点，求ABO ∆的面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()1ln ,.af x x a x a x+=+-∈R（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得000011ln x a x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

湖南省长沙市长郡中学2017届高三下学期临考冲刺训练理科数学试题第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i i z ,43+=为虚数单位，z 是z 的共轭复数,则=z i （ ） A ．i 5354+- B ．i 5354-- C ．i 253254+- D ．i 253254-- 2。

设集合{}022<--=x x x A ，集合{}11≤<-=x x B ，则=B A （ ）A ．[]1,1-B ．(]1,1-C ．()2,1-D ．[)2,13。

如图，在平行四边形ABCD 中，2,1==AD AB ，点H G F E ,,,分别是AD CD BC AB ,,,边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=（ ）A ．23B ．23-C ．43D ．43-4。

已知锐角βα,满足552cos ,1010sin ==βα,则βα+的值为( ） A ．43π B ．4π C.6π D ．43π或4π 5。

已知双曲线()0,01:2222>>=-b a b y a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，两条渐近线分别为21l l 、，过1F 作11l A F ⊥于点A ，过2F 作22l B F ⊥于点O B ,为原点，若AOB∆是边长为3的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．192122=-y x B ．121922=-y x C 。

19322=-y xD ．13922=-y x 6。

从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标值,其频率分布表如下： 质量指标值分组 [)30,10 [)50,30 []70,50 频率 1.0 6.0 3.0则可估计这种产品质量指标值的方差为（ ）A ．140B ．142C 。

143D ．1447. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的两条相邻对称轴的距离为2π，把()x f 的图象向右平移6π个单位得函数()x g 的图象，且()x g 为偶函数，则()x f 的单调区间为（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,342,32ππππB ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,34,3ππππ C 。

2017年湖南省长沙市天心区长郡中学高考数学模拟试卷（文科）(1)一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=｛x｜y=lg（x﹣3)｝，B={x｜x≤5｝,则A∩B=（) A．｛x｜x＜3} B．｛x|x≥5｝C．{x|3≤x≤5} D．｛x|3＜x≤5} 2．已知t∈R，若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则=( ）A．2 B．4 C．6 D．83．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（）A．n≤8? B．n＞8？C．n≤7？D．n＞7？4．将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数g（x）的一个单调增区间为（）A．[0,π] B．C． D．［﹣π,0]5．在区间[﹣2，4］上随机地取一个数x,使恒成立的概率是( ）A．B． C． D．6．如图,网格纸上小正方形变长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体体积为（）A．B．C．8 D．7．已知函数,且给定条件p：“”,条件q:“|f(x)﹣m|＜2”，若p是q的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( ）A．(3，5）B．［3，5］ C．（2，4) D．[2，4]8．若圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0关于直线l对称,则l被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f(x）的大致图象是（）A．B．C．D．10．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．已知直线l与函数的图象交于A，B两点，若AB中点为点，则m的大小为( )A．B． C．1 D．212．已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD中球心O恰好在侧棱DA上，DC=2，则这个球的表面积为( ）A． B．4πC．16πD．8π二、填空题13设向量，且,则= ．14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．15．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，asinAsinB+bcos2A=2a，则角A的最大值是．16．若函数f（x）满足,当x∈[0，1］时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣4ax﹣a=0有两个不等的实根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分。