高中数学常见题型解法归纳含详解第43招 平面向量模的求法

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。

5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。

这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。

6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。

我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。

平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。

本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。

一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。

它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。

向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。

模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。

两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。

2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。

向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。

3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。

公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。

平面向量求模的四种方法
在互联网的广泛应用中，欧几里得的平面向量求模是一般学习及应用过程中不
可或缺的技术之一。

模的定义是二维向量的长度，即向量(x,y)在二维平面上横着
画和竖着画所构成直角三角形的周长，计算二维向量模的方法有四种：
第一种是极坐标表示法，也称为极坐标公式，即|v|＝√(x^2+y^2)，该公式有
其独特的优势，可以理解为圆环边长的计算公式，非常实用。

第二种方法是三角函数，即|v|＝|x|cosθ+|y|sinθ，就是按照竖直线和水平
线的来计算，在实际计算中会使用三角函数以完成此任务。

第三种方法是勾股定理，即|v|＝√(x^2+y^2)，这是一种很容易理解的方法，
只要记住勾股定理中的数学公式，就可以很轻松地计算出模的大小。

第四种方法是解析几何的方法，即|v|＝|x|+|y|，这是比较复杂的一种方法，
对于对解析几何有较好的理解能力的人，通过这种方式可以轻松计算出模。

总结起来，计算平面向量模的方法共有四种，它们分别是极坐标表示法、三角
函数、勾股定理和解析几何的方法，有不同的应用场景，不同的人也有不同的选择方式，在互联网行业的发展中，对模的计算非常重要，可以帮助企业加快发展速度，提升企业的服务品质。

平面向量问题的几何解法和几何问题的平面向量解法|平面向量公式高考中对平面向量内容的考查，常以选择题、填空题的形式出现.而解选择题、填空题的基本要求和策略是：精确、快速.向量特殊的代数与几何身份确定了其特殊的功能，我们在备考复习中解决此类问题，常常会训练学生学会搭建一个桥梁建立起平面向量中代数与几何的联系，应用几何方法解决平面向量问题，使问题简洁化，从而顺利、快捷、精确地解决问题.另外，我们也留意到，应用平面向量求解几何问题，可避开一些繁琐的运算，同样能使问题简洁化.下面通过例子加以说明.一、利用几何解法解决平面向量问题图1【例1】已知单位向量a ，b的夹角为π3，则∣a + 2b∣= .解：由已知条件，依据平面向量的平行四边形法则，得出图1.则求∣a + 2b∣的值事实上是求平行四边形中线段OC的长.过C作CD⊥OA，垂足为D，易得AD=1，CD=3，所以OC=7，即∣a + 2b∣=7.类似的方法可以解决如下问题：〔1〕若向量满足∣a∣=∣b∣=1，ab = - 12，求∣a + 2b∣的值.〔2〕已知平面向量a、b满足∣a∣=1,∣b∣=1,a与b的夹角为π3,以a、b为邻边作平行四边形,求此平行四边形的两条对角线中较长的一条的长度.图2【例2】若两个非零向量a、b,满足∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a ∣,则向量a + b与a - b的夹角为 .解：由向量的和与差的平行四边形法则和三角形法则，可得∣a + b∣，∣a - b∣恰好是以a、b为邻边的平行四边形OACB的两对角线的长度.∵∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a∣，∴此四边形OACB为矩形.∴所以向量a + b与a - b的夹角即为∠ADC，易知∠ADC=2π3.图3【例3】设向量a = 〔cos23° ,cos67°〕和b = (cos68°,cos22°),u =a + tb (t∈R)，则∣u∣的最小值是 .解：向量a = 〔cos23° ,cos67°〕和b = (cos68°,cos22°) 可以写成:a = 〔cos23° ,sin23°〕，b = (cos68°,sin68°)，两向量a、b分别对应于单位圆上〔如图3〕的向量OA、OB ，明显∠AOB=45°，依据∣u∣的几何意义，求∣u∣的最小值事实上是求以向量a 和向量 tb为邻边的平行四边形的对角线的最小值.过A作AD∥OB，过O作OD⊥AD于D，很明显，以AO、AD为邻边所作的平行四边形OADC中线段OD的长度即为∣u∣的最小值，易得∣OD∣=22，故∣u∣的最小值为22.【例4】已知向量OB =〔2，0〕，向量OC =(2，2),向量CA =〔2cosθ，2sinθ〕，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是〔〕.A.［0，π4］B.［π4，5π12］C.［5π12，π2］D.［π12，5π12］图4解：如图4，向量CA的终点A在以点C为圆心，半径为2的圆上，OA 1 、OA 2 是圆的两条切线，切点分别为A 1 、A 2 ，在Rt△OCA1中，∣OC∣=22 ，∣CA1∣=2，∴∠COA1=π6,∠COA2=∠COA1=π6.∵∠COB=π4，∴∠A1OB=π4-π6=π12,∠A2OB=π4+π6=5π12.∴向量OA与向量OB的夹角的取值范围是［π12，5π12］,应选D.【例5】 (2021全国卷第12题)设向量a,b,c满足∣a∣=∣b∣=1,ab =-12,〈a-c,b-c〉=60°,则∣c∣的最大值等于( ).A.2B.3C.2D.1图5解:如图5,设△ABD中, AB =a , AD =b,∠DAB=120°.作△ABD的外接圆⊙O,由题意得⊙O的半径为1.在圆上任取一点C,设AC=c,则CD =b-c,CB=a-c,由几何学问易知,∠BCD=60°,即〈a-c,b-c〉=60°,由于C点的任意性,很明显,当AC过圆心,即AC为直径时,AC的长为最大,即∣c∣为最大,故∣c∣的最大值为2,选A.二、利用平面向量解决几何问题图6【例6】如图6，AD，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF 相交于一点.证明：设BE、CF相交于一点H，并设AB =b,AC =c,AH =h,则BH =h-b,CH =h-c,BC =c-b.∵BH⊥ AC,CH⊥AB ,∴〔h-b〕?c=0，〔h-c〕?b=0.∴〔h-b〕?c=〔h-c〕?b.∴h?〔c-b〕=0，即AH?BC=0.∴AH⊥BC，又AH与AD重合，∴AD、BE、CF相交于一点.图7【例7】证明：假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．已知：如图7，直线l垂直于平面α内的两条相交直线m,n．求证：l⊥α．证明：在平面α内作不与m、n重合的任意一条直线g，在l,m,n,g。

平面向量模的计算方法
平面向量模是什么玩意儿？嘿，其实就是向量的长度呗！那怎么算平面向量的模呢？超简单！如果一个平面向量是\((x,y)\)，那它的模就等于\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。

这就好比在直角三角形里求斜边长度一样刺激！
计算的时候有啥要注意的呢？可别把向量的坐标搞错喽！不然算出来的模肯定不对头。

这就像你走路走岔了道，能到得了目的地才怪呢！
那平面向量模的计算安全稳定不？当然啦！只要你按照公式来，一步一步算，绝对不会出啥幺蛾子。

就像盖房子，只要基础打得牢，还怕它会倒？
平面向量模有啥用呢？用处可大了去了！比如在物理学中，计算力的大小啥的就经常用到。

这就好比一把万能钥匙，能打开好多知识的大门呢！
举个实际案例呗！比如说在平面直角坐标系中，有个向量\((3,4)\)，那它的模就是\(\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5\)。

哇塞，是不是很神奇？
平面向量模的计算方法就是这么简单又好用！大家赶紧用起来吧！。

【知识要点】一、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.一般用a 或AB 表示. 二、模的定义：向量AB 的长度叫向量的模，记作AB .三、求向量的模一般有两种方法 方法一：利用2||a a =求解；方法二：利用22a x y =+. 【方法讲评】 方法一 利用2||a a =求解 使用背景 一般没有坐标背景. 解题步骤 直接代入公式2||a a =化简即可.【例1】设向量a ，b 满足||1,||3,a a b =-=()0a a b ⋅-=，求|2|a b + 【点评】公式22222||()22||||cos a b a b a a b b a a b b α+=+=++=++是求向量的模常用的公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式.【反馈检测1】已知向量,a b 满足||2,||1,|| 2.a b a b ==-=（1）求a b ⋅的值；（2）求||a b +的值. 方法二 利用22a x y =+求解 使用背景 一般有坐标背景. 解题步骤 先求a 的坐标，再代入公式22a x y =+即可.【例2】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b θθθ==-<<．（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．【点评】求a b +的最大值，一般先建立三角函数模型，再利用三角函数的图像和性质分析解答.【反馈检测2】已知直角梯形ABCD ,AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.【反馈检测3】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足|1|AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A.443 B.449 C.43637+ D.433237+高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第43讲:平面向量模的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）4；（26.学科#网【反馈检测1详细解析】（1）由｜-a b ｜=2得222||24124-=-⋅+=+-⋅=a b a a b b a b ，所以12⋅=a b . （2）2221||242162+=++=+⨯+=a b a ab b ，所以||6+=a b 【反馈检测2答案】5【反馈检测2详细解析】 【反馈检测3答案】B 【反馈检测3详细解析】如图可得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴= ⎪ ⎝⎭⎝⎭y x PD CB A。

高中数学中常见的平面向量问题求解平面向量是高中数学中一种重要的概念，广泛运用于解决各种几何和代数问题。

在本文中，将介绍几个常见的平面向量问题，并给出详细的解题过程和方法。

一、向量的表示和运算在解决平面向量问题之前，首先需要了解向量的表示和运算方法。

平面向量通常用有序对表示，如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别表示向量的初始点和终点。

平面向量之间可以进行加法、减法、数量乘法和向量的数量积运算。

二、向量共线和垂直1. 向量共线若两个向量→AB和→CD平行或反平行，则可以判断它们共线。

要判断两个向量共线，可以比较它们的分量比例，如果两个向量的x和y 分量的比例相等，即(x2-x1)/(y2-y1)=(x4-x3)/(y4-y3)，则可以判断两个向量共线。

2. 向量垂直若两个向量→AB和→CD垂直，则可以判断它们的数量积为0。

要判断两个向量垂直，可以计算它们的数量积，如果数量积为0，即(→AB)·(→CD)=0，则可以判断两个向量垂直。

三、向量的模和方向角1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→AB|或AB。

计算向量的模可以使用勾股定理，即|→AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

向量的模满足非负性和三角不等式，即|→AB|≥0，|→AB|+|→BC|≥|→AC|。

2. 向量的方向角向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角，通常用α表示。

计算向量的方向角可以使用反正切函数，即α=arctan((y2-y1)/(x2-x1))。

四、向量叉乘和面积向量叉乘是一种运算，用于求解向量之间的关系和面积。

向量→AB和→CD的叉乘可以表示为(→AB)×(→CD)，其结果是一个向量，垂直于→AB和→CD构成的平面，并且模等于两个向量的模的乘积乘以它们所夹的夹角的正弦值。

五、平面向量的应用平面向量在几何和代数问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景。