和差变化规律课件
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(完整版)和差积商的变化规律
和、差、积、商的变化规律（一）知识点拨和、差的规律见下表（m≠0）精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？【思路】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
【练习1】1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2. 和起什么变化？【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？【思路】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。
现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
【练习2】1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？【思路】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。
两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
【练习3】1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？【思路】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。
【练习4】1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？【思路】如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。
和、差、积、商变化规律
(a-m)-(b-m)=c
(a≥b且a≥m，b>m)。
例如：
500-200=300→(500+100)-(200+100）=300，
500-200=300→(500-100)-(200-100)=300
积的变化规律：
积的变化规律
字母表示及举例
如果一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么它们的积也相应地扩大到
或(a÷n)÷b=c÷n
(a、c都是n的倍数）。
例如：
40÷5=8→ (40×5）÷5=8×5
或（40÷4)÷5=8÷4
如果被除数不变，除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，那么它们的商反而缩小到原来的几分之一或扩大到原来的几倍
用字母表示：
a÷b=c→ a÷(b×n)=c÷n
(a是b×n的倍数）
或a÷(b÷n)=c×n
(b是n的倍数）
例如：
120÷20=6→120÷(20×3）=6÷3
或120÷(20÷2)=6×2
商不变的性质：
在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。这个性质
通常被称为“商不变的性质”。
用字母表示：如果a÷b=c→ (a×n)÷(b×n)=c（n≠0)，
减少）同一个数
字母表示：
a-b=c →(a+m)-b=c+m，
(a-m)-b=c-m(a≥m)。
例如：
100-60=40→(100+50) -60=40+50，
100-60=40→(100-10）-60=40-10
如果被减数不变，减数增加（或减
少）一个数，那么它们的差反而减
少（或增加）同一个数
(a≥b且a≥m，b>m)。
例如：
500-200=300→(500+100)-(200+100）=300，
500-200=300→(500-100)-(200-100)=300
积的变化规律：
积的变化规律
字母表示及举例
如果一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么它们的积也相应地扩大到
或(a÷n)÷b=c÷n
(a、c都是n的倍数）。
例如：
40÷5=8→ (40×5）÷5=8×5
或（40÷4)÷5=8÷4
如果被除数不变，除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，那么它们的商反而缩小到原来的几分之一或扩大到原来的几倍
用字母表示：
a÷b=c→ a÷(b×n)=c÷n
(a是b×n的倍数）
或a÷(b÷n)=c×n
(b是n的倍数）
例如：
120÷20=6→120÷(20×3）=6÷3
或120÷(20÷2)=6×2
商不变的性质：
在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。这个性质
通常被称为“商不变的性质”。
用字母表示：如果a÷b=c→ (a×n)÷(b×n)=c（n≠0)，
减少）同一个数
字母表示：
a-b=c →(a+m)-b=c+m，
(a-m)-b=c-m(a≥m)。
例如：
100-60=40→(100+50) -60=40+50，
100-60=40→(100-10）-60=40-10
如果被减数不变，减数增加（或减
少）一个数，那么它们的差反而减
少（或增加）同一个数
和差积商的变化规律
和差积商的变化规律【和的变化规律】（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。
用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。
（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。
用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。
【差的变化规律】（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。
用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，（a-d）-b=c-d。
（a＞d+b）（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。
用字母表达，就是如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），a-（b-d）=c+d。
（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。
用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c。
【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。
用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。
【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。
和与差的变化规律.(精选)
和与差的变化规律一、和的变化规律（一）和不变的性质：一个加数增加几，另一个加数减少几，和不变举例：4+5=9 如果(4+3)+（5-3）则和等于9，不变（二）和的变化规律：（1）一个加数增加几，另一个加数也增加几，和增加它们的和举例：4+5=9 如果(4+3)+（5+4）则和增加3+4=7，即和9+7=16（2）一个加数减少几，另一个加数也减少几，和减少它们的和举例：4+5=9 如果(4-3)+（5-4）则和减少3+4=7，即和9-2=2 （3）一个加数增加几，另一个加数减少几，如果增加的多，则和增加，如果减少的多，则和减少举例：4+5=9 如果(4+3)+（5-2）则和增加3-2=1，即和9+1=10举例：4+5=9 如果(4+3)+（5-4）则和减少4-3=1，即和9-1=8二、差的变化规律（一）差不变的性质：被减数和减数同时增加或减少相同的数量，则差不变（二）差的变化规律：（1）被减数增加几，减数不变，则差增加几（2）被减数增加几，减数不变，则差减少几（3）被减数不变，减少增加几，则差反而减少几（4）被减数不变，减数减少几，则差反而增加几（5）被减数增加几，减数增加几，如果被减数增加的多，则差增加，如果减数增加的多，则差减少举例：9-5=4 如果(9+3)-（5+2）则差增加3-2=1，即差4+1=5举例：9-5=4 如果(9+3)-（5+5）则差减少5-3=2，即差4-2=2 （6）被减数减少几，减数减少几，如果被减数减少的多，则差减少，如果减数减少的多，则差增加举例：9-5=4 如果(9-3)-（5-2）则差减少3-2=1，即差4-1=3举例：9-5=4 如果(9-2)-（5-4）则差增加4-2=2，即差4+2=6最新文件仅供参考已改成word文本。
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四年级数学——和差积商的变化规律
商的变化规律有三条：
①被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数(0除外)，商不变。
②被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
③除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
和的变化规律有两条：
①如果一个加数增加(或减少)一个数源自不为0)，另一个加数不变，则它们的和也增加(或减少)同一个数。
③如果被减数不变，一个减数增加(或减少)一个数(不为0)，差也减少(或增加)同一个数。
积的变化规律有三条：
①一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)多少倍，积也扩大(或缩小)相同的倍数。
②一个因数扩大(或缩小)多少倍，而另一个因数缩小(或扩大)相同的倍数，它们的积不变。
③一个因数乘以(或除以)a，另一个因数乘以(或除以)b，积就乘以(或除以)ab的积。
积的变化规律有三条：
①一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)多少倍，积也扩大(或缩小)相同的倍数。
②一个因数扩大(或缩小)多少倍，而另一个因数缩小(或扩大)相同的倍数，它们的积不变。
③一个因数乘以(或除以)a，另一个因数乘以(或除以)b，积就乘以(或除以)ab的积。
商的变化规律有三条：
①被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数(0除外)，商不变。
②被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
③除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
②如果一个加数增加一个数(不为0)，另一个加数减少同一个数，和不变。
差的变化规律有三条：
①如果一个被减数增加(或减少)一个数(不为0)，减数不变，则差增加(或减少)同一个数。
①被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数(0除外)，商不变。
②被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
③除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
和的变化规律有两条：
①如果一个加数增加(或减少)一个数源自不为0)，另一个加数不变，则它们的和也增加(或减少)同一个数。
③如果被减数不变，一个减数增加(或减少)一个数(不为0)，差也减少(或增加)同一个数。
积的变化规律有三条：
①一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)多少倍，积也扩大(或缩小)相同的倍数。
②一个因数扩大(或缩小)多少倍，而另一个因数缩小(或扩大)相同的倍数，它们的积不变。
③一个因数乘以(或除以)a，另一个因数乘以(或除以)b，积就乘以(或除以)ab的积。
积的变化规律有三条：
①一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)多少倍，积也扩大(或缩小)相同的倍数。
②一个因数扩大(或缩小)多少倍，而另一个因数缩小(或扩大)相同的倍数，它们的积不变。
③一个因数乘以(或除以)a，另一个因数乘以(或除以)b，积就乘以(或除以)ab的积。
商的变化规律有三条：
①被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数(0除外)，商不变。
②被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
③除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
②如果一个加数增加一个数(不为0)，另一个加数减少同一个数，和不变。
差的变化规律有三条：
①如果一个被减数增加(或减少)一个数(不为0)，减数不变，则差增加(或减少)同一个数。
四年级和差变化规律
四年级和差变化规律
1、两个数相加，一个加数减少10，另一个加数增加10，和怎样变化？
2、两个加数相加，一个加数增加15，另一个加数减少15，和怎样变化？
3、两个数相加，一个加数增加12，另一个加数减少2，和有什么变化？
4、两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加数应怎样变化？
5、两数相加，如果一个加数增加9，要使和增加17，另一个加数应有什么变化？
6、两数相加，如果一个加数增加11，要使和减少11，另一个加数应有什么变化？
7、两数相加，如果一个加数减少16，要使和减少9，另一个加数应有什么变化？
8、两数相减，如果被减数减少10，减数也减少10，差怎样变化？
9、两数相减，如果被减数增加30，减数也增加30，差怎样变化？
10、两数相减，如果被减数增加23，减数减少23，差怎样变化？
11、两数相减，如果被减数减少18，减数增加18，差怎样变化？
12、两数相减，被减数增加20，要使差减少16，减数怎样变化？
13、两数相减，被减数减少12，要使差增加8，减数怎样变化？
14、两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数怎样变化？
15、两数相减，减数增加10，要使差减少15，被减数怎样变化？。
和差积商的变化规律
化规律：
①如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变， 那么它们的积也扩大(或缩小)相同的倍数。 ②如果一个因数扩大若干倍，而另一个因数缩小同样的倍数 ，那么它们的积不变。 180X25=（180÷4）X（25X4）=45X100=4500
商的变化规律：
①如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们 的商也扩大（或缩小）相同的倍数。 ②如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，那么它们 的商就缩小（或扩大）同样的倍数。 ③被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，他们的商不 变。 375÷25=（375X4）÷（25X4）=1500 ÷100=15
和、差的变化规律
和的变化规律：
① 如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变， 那么它们的和也跟着增加（或减少）同一个数。 ②如果一个加数增加一个数，而另一个加数减少同一个数，那 么它们的和不变。
差的变化规律：
① 如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们 的差也增加（或减少）同一个数。 ②如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的 差也减少（或增加）同一个数。 ③如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的 差不变。
①如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变， 那么它们的积也扩大(或缩小)相同的倍数。 ②如果一个因数扩大若干倍，而另一个因数缩小同样的倍数 ，那么它们的积不变。 180X25=（180÷4）X（25X4）=45X100=4500
商的变化规律：
①如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们 的商也扩大（或缩小）相同的倍数。 ②如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，那么它们 的商就缩小（或扩大）同样的倍数。 ③被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，他们的商不 变。 375÷25=（375X4）÷（25X4）=1500 ÷100=15
和、差的变化规律
和的变化规律：
① 如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变， 那么它们的和也跟着增加（或减少）同一个数。 ②如果一个加数增加一个数，而另一个加数减少同一个数，那 么它们的和不变。
差的变化规律：
① 如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们 的差也增加（或减少）同一个数。 ②如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的 差也减少（或增加）同一个数。 ③如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的 差不变。
10--变化规律1
变化规律1D10-1提示和、差的变化规律见下表（m≠0）举例1两个数相加的和是20，一个加数减少9，另一个加数增加10，和是多少？【创造力思维】令这个加法算式是A＋B=20，那么变化后的加法算式是（A—9）＋（B ＋10）=A—9＋B＋10=A＋B＋1，即变化后的加法算式的和与原来的加法算式的和相比，是减少了9，又增加了10，所以变化后的和是20—9＋10=21。
举例2两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加数应有什么变化？【创造力思维】一个加数减少8，假设另一个加数不变，和就减少8，现在要使和增加8，则另一个加数应该增加8+8=16。
举例3两数相减的差是15，被减数增加5，减数增加3，差是多少？【创造力思维】令这个减法算式是20—5=15，那么变化后的减法算式就是（20+5）-（5+3）=25-8=17。
举例4两数相减，被减数增加20，要使差减少16，减数应有什么变化？【创造力思维】被减数增加20，假设减数不变，差就增加20；现在要使差减少16，减数应增加20+16=36。
举例5被减数、减数、差相加得600，差是减数的一半。
如果被减数不变，差增加5，减数应变为多少？【创造力思维】减数与差的和即是被减数。
600里有2个被减数，被减数等于600÷2=300。
差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应为300÷（2＋1）=100，减数为300-100=200。
被减数不变，差增加5，减数应减少5，所以减数应变为200-5=195。
快练11.两个数相加得30，一个加数增加5，另一个加数增加了3，那么和是多少？2.两个数相加得25，一个加数增加了6，另一个加数也减少了7，那么和是多少？3.两个数相加，一个加数增加了15，要使和不变，另一个加数应怎样变化？D10-2快练21.两个数相加，如果一个加数增加9，要使和增加20，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少13，另一个加数应有什么变化？3.两个数相加，如果一个加数减少16，要使和减少9，另一个加数应有什么变化？快练31.两个数相减得16，被减数增加了6，减数增加了5，那么差是多少？2.两个数相减得16，被减数增加了6，减数减少了5，那么差是多少？3.两个数相减得16，如果被减数减少6，减数增加了5，那么差是多少？快练41.两数相减，被减数减少10，要使差增加6，减数应有什么变化？2.两数相减，被减数减少46，要使差减少40，减数应有什么变化？3.两数相减，减数增加20，要使差减少10，被减数应有什么变化？快练51.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是120，而差是减数的3倍。
和差积商的变化规律
和.差,积、商的变化规律（一）知识点拨和、差的规律见下表（于0精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9,另一个加数减少9,和是否发生变化？【思路】一个加数增加9,假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9,和就减少9；和先增加9,接着又减少9,所以不发生变化。
【练习1】1.两个数相加，一个数减8,另一个数加8,和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？3.两个数相加，一个数减6,另一个数减2.和起什么变化？【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10,要使和增加6,那么另一个加数应有什么变化？【思路】一个加数增加10,假如另一个加数不变，和就增加10。
现在要使和增加6,那么另一个加数应减少10 — 6=4。
【练习2】1.两个数相加，如果一个加数增加8,要使和增加15,另一个加数应有什么变化?2.两个数相加，如果一个加数增加8,要使和减少15,另一个加数应有什么变化?3.两个数相加，如果一个加数减少8,要使和减少8,另一个加数应有什么变化?【例题3】两数相减，如果被减数增加8,减数也增加8,差是否起变化？【思路】被减数增加8,假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8, 差就减少8。
两个数的差先增加8,接着又减少8,所以不起什么变化。
【练习3】1.两数相减，被减数减少6,减数也减少6,差是否起变化？2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化?3.两数相减，被减数减少10,减数增加10,差起什么变化?【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？【思路】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了 8 ・ 2=4 倍。
【练习4】1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化?2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化?3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？【思路】如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。
运算定律 和差积商的变化规律
积的变化规律
☆当一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)若干倍，它们的积也扩大(或缩小)同样的倍数
☆若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，它们的积不变
若ab=c则(an)b=c
n (a÷n)b=c÷n，(an)(b÷n)=c
(a÷n)(bn)=c
商的变化规律(整除时)
☆当除数不变，被除数扩大(或缩小)，商也随着扩大(或缩小)同样的倍数
(a+b)c=ac+bc
(a-b)c=ac-bc
乘法分配律逆运算
☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相加,等于这个数乘以这两个数的和，结果不变。
☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相减，等于这个数乘以这两个数的差，结果不变。
ac+bc=(a+b)c
ac-bc=(a-b)c
ac+c=(a+1)c
ac-c=(a-1)c
运算定律
名称
定义
字母表示
加法交换律
几个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变。
a+b=b+a
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律
几个数相乘，任意交换因数的位置，它们的积不变。
ab=ba
差的变化规律
☆当减数不变，被减数增加(或减少)，差也增加(或减少)相同的数
☆当被减数不变，减数增加(或减少)，差反而减少(或增加)相同的数
☆若被减数和减数同时增加(或都减少)相同的数，差不变
若a-b=c则(a+d)-b=c+d(a-d)-b=c-d a-(b+d)=c-da-(b-d)=c+d (a+d)-(b+d)=c(a-d)-(b-d)=c (a＞b+d)
☆当一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)若干倍，它们的积也扩大(或缩小)同样的倍数
☆若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，它们的积不变
若ab=c则(an)b=c
n (a÷n)b=c÷n，(an)(b÷n)=c
(a÷n)(bn)=c
商的变化规律(整除时)
☆当除数不变，被除数扩大(或缩小)，商也随着扩大(或缩小)同样的倍数
(a+b)c=ac+bc
(a-b)c=ac-bc
乘法分配律逆运算
☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相加,等于这个数乘以这两个数的和，结果不变。
☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相减，等于这个数乘以这两个数的差，结果不变。
ac+bc=(a+b)c
ac-bc=(a-b)c
ac+c=(a+1)c
ac-c=(a-1)c
运算定律
名称
定义
字母表示
加法交换律
几个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变。
a+b=b+a
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律
几个数相乘，任意交换因数的位置，它们的积不变。
ab=ba
差的变化规律
☆当减数不变，被减数增加(或减少)，差也增加(或减少)相同的数
☆当被减数不变，减数增加(或减少)，差反而减少(或增加)相同的数
☆若被减数和减数同时增加(或都减少)相同的数，差不变
若a-b=c则(a+d)-b=c+d(a-d)-b=c-d a-(b+d)=c-da-(b-d)=c+d (a+d)-(b+d)=c(a-d)-(b-d)=c (a＞b+d)
小学四年级奥数课件：变化规律
3，两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有 什么变化？
例5：被减数、减数、差相加得2076,差是减 数的一半。如果被减数不变，差增加42,减 数应变为多少？
思路导航： 减数与差的和即是被减数。2076里有2个被减数，被减 数等于2076÷2＝1038.差是减数的一半，也就是说减 数是差的2倍，差应为1038÷（2+1）＝346,减数为 346×2＝692。被减数不变，差增加42,减数应减少42, 所以减数应变为692－42加数 另一个加 （a） 数 （b）
±m
不变
不变
±m
和（c）
±m ±m
±m
－
不变
＋m
被减数（a） 减数（b） 差（c）
±m
不变
±m
不变
±m ±m
±m － ＋m
不变
例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个 加数减少9，和是否发生变化？
• 分析与解答：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和 就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就 减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
练习五
1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 120，而差是减数的3倍。如果差不变，被减数减 少5，减数应变为多少？
2、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 90，而差是减数的2倍。如果被减数不变，差增加 7，减数应变为多少？
3、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 180，而差比减数少8。如果被减数不变，减数减 少16，差应变为多少？
例4：两数相减，被减数减少8，要使 差减少12，减数应有什么变化？
• 分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减 少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。
和差变化规律
例4 爸爸今年43岁，露露今年15岁，再过10年 爸爸与露露相差多少岁？ 我今年15岁，爸爸今年43岁。 爸爸比我大几岁？10年后呢？
今年爸爸比露露大：43-15=28（岁） 10年后爸爸的年龄：43+10=53（岁）； 露露的年龄：15+10=25（岁）。 10年后爸爸比露露大：53-25=28（岁）。 答：再过10年爸爸与露露相差28岁。
两个数相加： 1、如果一个加数不变，另一个加数增加或减少a，和也会增
加或减少a；
2、如果一个加数增加a,另一个加数减少a，那么和不变。 3、 如果一个加数增加a,另一个加数减少b（b≠a)，那么和会 增加或减少 他们的 差
两个数相减：
（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么， 它们的差也增加（或减少）同一个数。
. 两个人的年龄差不会随着时间的变化而变化的。
例5
甲有50元，甲给乙5元后，两人的钱数相同。 两人一共有多少元？
50-5=45（元） 45+45=90（元） 答：两人一共有90元。
例6 两个数相减，如果被减数减少10，减数也减少8， 差将有什么变化？ 分析：被减数减少10，减数不变的情况下，差怎么变？ 减数减少8，被减数不变的情况下，差怎么变？ 列式解答： 10-8=2 答：差减少2。
例10
两数相减，差是1999，如果被减数不变，减 数增加29，差就变成多少？
1999-29=1970
答：差就变成1970。
例7 在一个减法算式里，被减数、减数和差的和 是180，而差比减数少8，如果被减数不变，减数 减少16，差应变为多少？ 分析： 差 减数 8 180
被减数
（1）原来的减数为： （180-8-8）÷（1+1+1+1）=41； （2）现在的减数为：41+16=57。
和与差的变化规律和错中求解
和与差的变化规律及运用一、和的变化规律（一）和不变的性质：一个加数增加几，另一个加数减少几，和不变举例：4+5=9 如果(4+3)+（5-3）则和等于9，不变（二）和的变化规律：（1）一个加数增加几，另一个加数也增加几，和增加它们的和举例：4+5=9 如果(4+3)+（5+4）则和增加3+4=7，即和9+7=16（2）一个加数减少几，另一个加数也减少几，和减少它们的和举例：4+5=9 如果(4-3)+（5-4）则和减少3+4=7，即和9-2=2（3）一个加数增加几，另一个加数减少几，如果增加的多，则和增加，如果减少的多，则和减少举例：4+5=9 如果(4+3)+（5-2）则和增加3-2=1，即和9+1=10举例：4+5=9 如果(4+3)+（5-4）则和减少4-3=1，即和9-1=8例题1两个数相加，一个加数增加5,另一个加数也增加5,和有什么变化？练习1两个数相加，一个加数减少29,另一个加数不变，和将有什么变化？两个数相加，一个加数增加21,另一个加数增加19,和有什么变化？两个数相加,一个加数减少20,另一个加数增加20,和怎么样？例题2两个数相加，如果一个加数増加80,要使和增加18,那么另一个加数应有什么变化?分析：一个加数增加80,和发生了什么变化?要使总和增加18，说明什么？（另一个加数减少了。
）从总体上把握和的增减，再确定加数的增减，是一种种逆向思维方式。
两个数相加，一个加数增加34,要使和增加45,另一个加数应该如何变化?两个数相加，一个加数减少39,要使和减少18,那么另一个加数将怎么样变化？例题3两个数相加，和是100,一个加数减少48,另一个加数不变，现在和是多少?练习3两个数相加，和是134,一个加数减少30,另一个加数增加26，现在和是多少?两个数相加，和是254,一个加数减少11,另一个加数减少37，现在和是多少?例题4小丽在做一道加法题，一个加数十位上的4看作了7,个位上的5看作了2,算得的和是87。
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• 【思路导航】一个加数10，假如另一个加数不变， 和就减少10；
• 假如一个加数不变，另一个加数增加10，和就减少 10；
• 和先增加10，接着又减少10，所以不发生变化。
和差变化规律
3
练习1：
• 1.两个数相加，一个数加15，另一个数 减15，和是否变化？
• 2.两个数相加，一个数增加6.另一个数 也增加6.和起什么变化？
根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位 上的6写成0，因此减少60。这样错写的被减数比原来减 少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正 确的差要比错误的差多50。正确的差是：189＋58=247。
和差变化规律
18
练习5：
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位 上的0错写成6，这样算得的差是198。正确的差是多少？
和差变化规律
20
和差变化规律
13
练习5：
3、在一个减法算式里，被减数、减数、差的和是180，而差比减数 少8，如果被减数不变，减数减少16，差应变为多少？
和差变化规律
14
和差变化规律
15
例题4】小华在计算两个数相加时， 把一个加数个位上的1错误地写成7， 把另一个加数十位上的3错误地写成 8，所得的和是1996。原来两个数相 加的正确答案是多少？
• 2.两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少11，另一个加 数应有什么变化？
• 3.两个数相加，如果一个加数减少16，要使和减少9，另一个加数 应有什么变化？
和差变化规律
6
【例题3】两数相减，如果被减 数增加8，减数也增加8，差是否 起变化？
• 被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；
• 假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。
• 两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变 化。
和差变化规律
7
练习3：
• 1.两数相减，被减数增加30，减数也增加30，差是否起变化？ • 2.两数相减，被减数增加23.减数减少23.差起什么变化？ • 3.两数相减，被减数减少18，减数增加18，差起什么变化？
和差变化规律
8
【例题4】两个数相减，被减数增加20， 要使差减少16，减数应有什么变化？
• 2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1. 把个位上的8错写成0，所得的和是285。正确的和是多 少？
• 3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3. 把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。正 确的和是多少？
和差变化规律
17
【例题5】王霞在计算题时，由于 粗心大意，把被减数个位上的3错 写成5，把十位上的6错写成0，这 样算得差是189。正确的差是多少？
和差变化规律
10
【例题5】被减数、减数、差相加得2076， 差是减数的一半，如果被减数不变，差增 加42，减数应变为多少？
• 被减数=减数+差 被减数=2076÷2=1038
• 差是减数的一半，减数是差的2倍，应该是1038÷ （2+1）=346
• 减数=346×2=692。
• 被减数不变，差增加42，减数应变为
• 692-42=650
和差变化规律
11
练习5：
1、在一个减法算式里，被减数、减数、差的和是120，而差是减数 的3倍，如果差不变，被减数减少5，减数应变为多少？
和差变化规律
12
练习5：
2、在一个减法算式里，被减数、减数、差的和是90，而差是减数 的2倍，如果被减数不变，差增加7，减数应变为多少？
2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上 的3错写成8，这样算得的差是268。正确的差是多少？
3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数 个位上的8错写成3.这样算得的差是632。正确的差是多 少？
和差变化规律
19
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• 被减数增加20，假如减数不变，差就增加20。 • 现在要使差减少16，那么另一个减数应增加20+16=36。
和差变化规律
9
练习4：
• 1.两数相减，被减数减少12，要使差增加8，减数应有什么变化？ • 2.两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数应有什么变化？ • 3.两数相减，减数增加10，要使差减少15，被减数应有什么变化？
• 3.两个数相加，一个数增加12，另一个 数减2.和起什么变化？
和差变化规律
4
【例题2】两个数相加，如果一 个加数减少8，要使和增加8，那 么另一个加数应有什么变化？
一个加数减少8，假如另一个加数不变，和就减少8。现在要使和增 加8，那么另一个加数应减少8+8=16。
和差变化规律
5
练Hale Waihona Puke 2：• 1.两个数相加，如果一个加数增加9，要使和增加17，另一个加数 应有什么变化？
和差变化规律
和差变化规律
1
和、差的规律见下表（m≠0）
一个加数（a）另一个加数（b）
±m 不变
不变 ±m
和（c） ±m ±m
±m
m
不变
被减数（a） ±m 不变
减数（b） 不变 ±m
差（c） ±m m
±m
±m
不变
和差变化规律
2
【例题1】两个数相加，一个加数 减少10，另一个加数增加10，和是 否发生变化？
• 根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一 个加数比原来增加了6；
• 另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这样，所得的 结果就比原来增加了6+50=56。
• 所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56） =1940。
和差变化规律
16
练习4：
• 1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8， 把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。正 确的和是多少？
• 假如一个加数不变，另一个加数增加10，和就减少 10；
• 和先增加10，接着又减少10，所以不发生变化。
和差变化规律
3
练习1：
• 1.两个数相加，一个数加15，另一个数 减15，和是否变化？
• 2.两个数相加，一个数增加6.另一个数 也增加6.和起什么变化？
根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位 上的6写成0，因此减少60。这样错写的被减数比原来减 少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正 确的差要比错误的差多50。正确的差是：189＋58=247。
和差变化规律
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练习5：
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位 上的0错写成6，这样算得的差是198。正确的差是多少？
和差变化规律
20
和差变化规律
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练习5：
3、在一个减法算式里，被减数、减数、差的和是180，而差比减数 少8，如果被减数不变，减数减少16，差应变为多少？
和差变化规律
14
和差变化规律
15
例题4】小华在计算两个数相加时， 把一个加数个位上的1错误地写成7， 把另一个加数十位上的3错误地写成 8，所得的和是1996。原来两个数相 加的正确答案是多少？
• 2.两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少11，另一个加 数应有什么变化？
• 3.两个数相加，如果一个加数减少16，要使和减少9，另一个加数 应有什么变化？
和差变化规律
6
【例题3】两数相减，如果被减 数增加8，减数也增加8，差是否 起变化？
• 被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；
• 假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。
• 两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变 化。
和差变化规律
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练习3：
• 1.两数相减，被减数增加30，减数也增加30，差是否起变化？ • 2.两数相减，被减数增加23.减数减少23.差起什么变化？ • 3.两数相减，被减数减少18，减数增加18，差起什么变化？
和差变化规律
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【例题4】两个数相减，被减数增加20， 要使差减少16，减数应有什么变化？
• 2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1. 把个位上的8错写成0，所得的和是285。正确的和是多 少？
• 3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3. 把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。正 确的和是多少？
和差变化规律
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【例题5】王霞在计算题时，由于 粗心大意，把被减数个位上的3错 写成5，把十位上的6错写成0，这 样算得差是189。正确的差是多少？
和差变化规律
10
【例题5】被减数、减数、差相加得2076， 差是减数的一半，如果被减数不变，差增 加42，减数应变为多少？
• 被减数=减数+差 被减数=2076÷2=1038
• 差是减数的一半，减数是差的2倍，应该是1038÷ （2+1）=346
• 减数=346×2=692。
• 被减数不变，差增加42，减数应变为
• 692-42=650
和差变化规律
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练习5：
1、在一个减法算式里，被减数、减数、差的和是120，而差是减数 的3倍，如果差不变，被减数减少5，减数应变为多少？
和差变化规律
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练习5：
2、在一个减法算式里，被减数、减数、差的和是90，而差是减数 的2倍，如果被减数不变，差增加7，减数应变为多少？
2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上 的3错写成8，这样算得的差是268。正确的差是多少？
3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数 个位上的8错写成3.这样算得的差是632。正确的差是多 少？
和差变化规律
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• 被减数增加20，假如减数不变，差就增加20。 • 现在要使差减少16，那么另一个减数应增加20+16=36。
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练习4：
• 1.两数相减，被减数减少12，要使差增加8，减数应有什么变化？ • 2.两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数应有什么变化？ • 3.两数相减，减数增加10，要使差减少15，被减数应有什么变化？
• 3.两个数相加，一个数增加12，另一个 数减2.和起什么变化？
和差变化规律
4
【例题2】两个数相加，如果一 个加数减少8，要使和增加8，那 么另一个加数应有什么变化？
一个加数减少8，假如另一个加数不变，和就减少8。现在要使和增 加8，那么另一个加数应减少8+8=16。
和差变化规律
5
练Hale Waihona Puke 2：• 1.两个数相加，如果一个加数增加9，要使和增加17，另一个加数 应有什么变化？
和差变化规律
和差变化规律
1
和、差的规律见下表（m≠0）
一个加数（a）另一个加数（b）
±m 不变
不变 ±m
和（c） ±m ±m
±m
m
不变
被减数（a） ±m 不变
减数（b） 不变 ±m
差（c） ±m m
±m
±m
不变
和差变化规律
2
【例题1】两个数相加，一个加数 减少10，另一个加数增加10，和是 否发生变化？
• 根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一 个加数比原来增加了6；
• 另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这样，所得的 结果就比原来增加了6+50=56。
• 所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56） =1940。
和差变化规律
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练习4：
• 1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8， 把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。正 确的和是多少？