高职考试数学模拟试卷2答案

数学试题第I 卷（选择题，共60分）一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合1{|24}8x A x R =∈<<，{|24}B x R x =∈-<≤，则A B 等于 （ ）A. (2,2)-B. (2,4)-C. 1(,2)8D. 1(,4)82. 在复平面内，复数z 满足20131i z i +⋅=（）（i 为虚数单位），则复数z 表示的点在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 抛物线22y x =的准线方程是 （ ） A. 12x =-B. 18x =-C. 12y =D. 18y =- 4. 下列说法正确的是 （ ）A. “1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件B. 命题“,R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“,R x ∈∀0322>++x x ”C. “1-=x ”是“0232=++x x ”的必要不充分条件D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 18 B. 21 C.24 D.276. 执行右面的程序框图，如果输入72,30m n ==，则输出的n 是（ ）A. 12B. 6C. 3D. 0 7. 在一次对“学生的数学成绩与物理成绩是否有关”的独立性检验的 试验中，由22⨯列联表算得2K 的观测值7.813k ≈，参照附表：判断在此次试验中，下列结论正确的是 （ ）2()P K k ≥0.050 0. 010 0.001 k3.8416.63510.8281111侧视图A. 有99.9%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”B. “数学成绩与物理成绩有关” 的概率为99%C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”8. 函数ln xy e x =-的图象是 （ ）9. 已知四棱锥P ABCD -中，侧棱都相等，底面是边长为22O ，以PO 为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为 （ ） A.823 B.23 C. 43π D.323π 10. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B 等于 （ ）A .6π B.3π C.4π D.23π 11. 过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM ，交y轴于点P ，切圆于点M ，若2OM OF OP =+，则双曲线的离心率是 （ ） A.5 B. 3 C. 2 D.212. 函数()f x 的定义域为R ，(0)2f =，对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）A. {|0}x x >B. {|0}x x <C. {|1x x <-或1}x >D. {|1x x <-或01}x <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线y x a =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且0OA OB ⋅=,其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为_______________. 14. 已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为________________.15. 已知点(1,2)A -，点(,)P x y 为平面区域M ：203602x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩内一点，O 是坐标原点，则z OA AP =⋅的最大值为________________.16.已知,6a t ===+=，若,a t 均为正实数，则由以上等式，可推测a t += . 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N *∈），求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.（本小题满分12分）2012年伦敦奥运会前夕，在海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行了7轮比赛,得分的情况如茎叶图所示（单位：分）.（Ⅰ）分别求甲、乙两名运动员比赛成绩的平均分与方差；（Ⅱ）若从甲运动员的7轮比赛的得分中任选3个不低于80分且不高于90分的得分，求这3个得分与其平均分的差的绝对值都不超过2的概率. 19.（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A BCD -，,AB BD AD CD ⊥⊥，,E F 分别 为,AC BC 的中点，且BEC ∆为正三角形.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若3CD =，10AC =，求点C 到平面DEF 的距离.BDC20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心在原点，其上、下顶点分别为,A B ，点B在直线:1l y =-上，点A 到椭圆的左焦点的距离为2.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，点P 在y 轴上的射影为Q ，M 为PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为BC 的中点，试探究：P 在椭圆上运动时，直线MN 与圆C:222x y b +=的位置关系，并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=-. （Ⅰ）若()f x 在3x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()53f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分） 13. 2 14.9715. 1- 16. 41 三、解答题（本大题共6小题，共70分。

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）第1页（共4页）（1）复数-1+i 的共轭复数为（A ）1+i（B ）1i-（C ）-1i+（D ）-1-i（2）某篮球运动员在一个赛季中参加的各场比赛得分如下：13，23，27，14，25，16，25，则该运动员得分的中位数为（A ）23 （C ）25 （D ）26（3）已知等比数列{}a n （B ）24（A ）2a 4=a 2的公比为2，则（B ）4（C ）8（D ）16 数学 模拟题（二）高等职业教育分类考试（4）执行如题（4）图所示的程序框图，若输入x 的值为2-，则输出y 的值为 （A ）2-（B ）3（C ）4（D ）5 （5）已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点为M ，设AB =a ，AD =b ，则AM = （A ）1()2+a b （B ）1()2-a b（C ）1()2-+a b（D ）1()2--a b（6）如题（6）图所示，正方形网格纸上粗实线画出的是某几何体的三视图，则组成该几何体的两种简单几何体是 （A ）半球与圆柱 （B ）半球与棱柱 （C ）球与圆柱（D ）球与棱柱（7）为了支援西部教育事业，需从80名教师中派出5名组成暑假西部讲师团．若将这80名教师编号为1，2，…，80，则下列派出教师的方案中，采用系统抽样方法的是（A ）1，17，34，51，68 （B ）2，17，32，47，62（C ）3，19，35，51，67（D ）4，21，38，55，72（8）命题“若2≥p ，则38≥p ”的逆否命题为（A ）“若2p <，则38p <” （B ）“若38≥p ，则2≥p ” （C ）“若2≥p ，则38p <” （D ）“若38p <，则2p <”题（4）图题（6）图第2页（共4页）（9）在ABC △中，60A =︒，2AC =，3BC =，则sin B =（A）3 （B）3 （C）3（D ）13（10）设0a b >>，0c <，则下列不等式中成立的是（A ）ac bc > （B ）c ca cb c>-- （C ）a bc c > （D ）11a c b c>--二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）已知等差数列{}n a 的公差为3，14a =，则3a = ． （12）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B = ． （13）圆222440x y x y +-++=的圆心坐标为 ． （14）若3sin 5α=-，则cos 2α= ．（15）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时2()log (1)f x x =+，则(3)f -= ．三、解答题（共5小题，每小题15分，共75分）（16）从4名男学生和3名女学生中随机选出2名去参加一场演讲比赛．（Ⅰ）问：共有多少种选法；（9分）（Ⅱ）求选出的学生恰好男、女各1名的概率．（6分）（17）设3()31f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；（7分） （Ⅱ）求函数()f x 的极值．（8分）第3页（共4页）（18）如题（18）图，E ，F 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11B C ，11C D 的中点．（Ⅰ）证明：直线平面EF ABCD ∥；（5分） （Ⅱ）若1AB =，求三棱锥1C C EF -的体积，并计算点1C 到平面CEF 的距离．（10分）（19）已知函数()sin (0)6f x A x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π,其图象过点(0,1)．（Ⅰ）求A 和ω的值；（6分） （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移24π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.（9分）（20）设椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（5分）（Ⅱ）若点P 在椭圆C 上且12||2||PF PF =，求P 的坐标．（10分）题（18）图第4页（共4页）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）（1）D （2）A （3）B （4）B （5）A （6）A （7）C （8）D（9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）10 （12）{2,3}（13）(1,2)-（14）725（15）-2三、解答题（共5小题，每小题15分，共75分）（16）解：（Ⅰ）4名男学生和3名女学生，共计7名学生．将4名男学生分别编号为1，2，3，4，将3名女学生分别编号为5，6，7，则从这7名学生中任选2名，所有可能结果为()()()()()()1,21,31,41,51,61,7，，，，，， ()()()()()2,32,42,52,62,7，，，，，()()()()3,43,53,63,7，，，，()()()4,54,64,7，，，()()5,65,7，，()6,7，共计21种选法．（Ⅱ）选出的学生恰好男、女各1名的所有可能结果为()()()1,51,61,7，，,()()()2,52,62,7，，()()()3,53,63,7，，,()()()4,54,64,7，，，模拟（二）参考答案第1页（共4页） 高等职业教育分类考试数学模拟题(二）参考答案共计12种选法，故所求概率为124217=．（17）解:（Ⅰ）对函数()f x 求导得2()33f x x '=-，因此(0)3f '=-，而(0)1f =，故所求切线方程为31y x =-+．（Ⅱ）令()0f x '=，得方程2330x -=，即3(1)(1)0x x +-=，解得11或x x =-=．当1x <-时，()0f x '>，从而()f x 在(,1)-∞-内为增函数； 当11x -<<时，()0f x '<，从而()f x 在(1,1)-内为减函数； 当1x >时，()0f x '>，从而()f x 在(1,)+∞内为增函数．故()f x 在1x =-处取得极大值(1)3f -=，在1x =处取得极小值(1)1f =-． （18）（Ⅰ）证明：如图所示，直线EF 在平面1111A B C D 内， 又1111平面∥平面A B C D ABCD ，因此直线平面EF ABCD ∥．（Ⅱ）解：由题意知，11CC =，1112C E C F ==， 11113△C C EF C EF V S C C-=⋅⋅111113224C E C F =⋅⋅=．又由CE CF ==EF =△CEF 底边EF 上的高为4h ===． 故1328△CEF S EF h =⋅⋅=．设d 为点C 1到平面CEF 的距离，则11138△C CEF CEF V S d d -=⋅=．模拟（二）参考答案第2页（共4页）而11124C CEF C C EF V V --==，所以13d =． （19）解：（Ⅰ）由最小正周期2T π=，得24Tωπ==．由函数()y f x =的图象过点(0,1)，得1sin6A π=，解得 2.A = （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由题意得()2sin 42sin 4.246g x x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为2sin y x =的单调递增区间是22k π⎡π-⎢⎣，22k π⎤π+⎥⎦，而由242,22≤≤k x k k πππ-π+∈Z ，得,2828≤≤k k x k ππππ-+∈Z ，所以()g x 的单调递增区间为,,.2828k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（20）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由长轴长为2a =，得a =． 又半焦距1c =，故222211b a c =-=-=． 因此C 的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为(,)x y ，因为12||2||PF PF =，所以2222(1)4(1)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦．化简上式，并由P 在椭圆上，得222231033,1,2x x y x y ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并化简得2320120x x -+=，模拟（二）参考答案第3页（共4页）解得23x=或6x=．由于≤x a，即x，故23x=，代入椭圆方程得3y=．因此，点P的坐标为2,3⎛⎝⎭．模拟（二）参考答案第4页（共4页）。

2023年单独招生考试《数学》试卷（样卷）一、单项选择题（本题共15小题，每题3分，共45分） 1.下列属于必然事件的是（ ）A.三角形中，任意两边之和大于第三边B.明天下雨C.任意买一张电影票，座位号是单号D.公鸡下蛋 2.=︒60cos （ ） A.0 B.21 C.23 D.1 3.数集N 表示（ ）A.有理数集B.实数集C.自然数集D.整数集 4.大于2且小于11的偶数组成的集合（ ） A.}10,8,6{B.}8,64{，C.}8,6{D.}10,8,64{， 5.函数3)(x x f =的奇偶性是（ ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不确定 6.不等式92>x 的解集为（ ） A.}3|{<x xB.}33|{>-<x x x 或C.}3|{->x xD.}33|{<<-x x7.不等式3||≤x 的解集为（ ） A.}3|{≤x xB.}3|{-≥x xC.}33|{≤≤-x xD.}33|{≥-≤x x x 或 8.下列选项中，最小的数是（ ）A.-3B.-πC.-3.14D.-4139.等差数列：-6、-18、 、-42、…，则空白处应填（ ）A.-27B.-30C.-24D.-3610.下列为对数函数的是（ ）A.x y 2=B.2x y =C.x y πlog =D.x y 3= 11.圆柱的俯视图是（ ）A.长方形B.三角形C.梯形D.圆 12.三角函数诱导公式：=+)sin(πα（ ）A.αsinB.αsin -C.αcosD.αcos - 13.已知 ()0 ,2-=→a ，()1 ,2=→b ，则 =⋅→→b a （ ）A.1-B. 2-C.3-D.4- 14.5log 25( )=A.2B.3C.4D.5 15.下列调查中，须用普查的是（ ）A.了解某市学生的视力情况B.了解我某中学生课外阅读的情况C.了解某市百岁以上老人的健康情况D.了解某市老年人参加晨练的情况 二、是非判断题（正确写A ，错误写B ，本题共10小题，每题3分，共30分） 16.两点之间直线最短。

数学模拟试卷2第Ⅰ卷（选择题 共70分）一、是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

对每小题的命题做出选择，对的选A ，错的选B ，填在题前的括号里。

（ ）1、已知集合A={}3,2,1，B={}4,3,2，则A ∩B={}3,2. （ ）2、(1+x)n 的二项展开式共有n 项.（ ）3、直线2X +3y-1=0与直线4x+6y+7y=0平行.（ ）4、数列2，1，21 ，41，81，…的通项公式是a n =2n . （ ）5、椭圆252x +42y =1的焦点在x 轴上. （ ）6、函数f(x)=3x +x+5是奇函数.（ ）7、y=sinx 在第一象限内单调递增.（ ）8、a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，若a ⊂α,b ⊂β，则a与b 是异面直线（ ）9、“a 2=b 2是“a=b ”成立的必要不充分条件.二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

（ ）11、函数y=lgx 的定义域是A ．()+∞∞-, B.[0,+∞] C.(0,+∞) D.(1,+∞)（ ）12.式子log 39的值为A.1B.2C.3D.9（ ）13.已知锐角α的终边经过点(1,1),那么角α为A ．30° B. 90° C. 60° D. 45°（ ）14、已知一个圆的半径是2，圆心是A （1，0），则该圆的方程是A ．（x-1）2+ y 2=4 B.(x+1)2+y 2=4C. (x-10)2+y 2=2D. (x+1)2+y 2=2（ ）15、已知a=4, b=9,则a 与b 的等比中项是A ．6 B. -6 C.±6 D.±61 （ ）16、同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两个反面的概率是A ．21 B.31 C.41 D.51 （ ）17、设椭圆14522=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2，AB 是经过F 1的弦，则△ABF 2的周长是A 、2 D. 2（ ）18、如图,直线PA 垂直于直角三角形ABC 所在的平面,且∠ABC=90°,在△PAB, △PBC, △PAC 中,直角三角形的个数是 A. 0 B. 1 PC. 2D. 3A BC第Ⅱ卷（非选择题 共80分）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022年河南省濮阳市普通高校高职单招数学二模测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知集合A={1，2，3，4，5，6，7}，B={3，4，5}，那么=（）A.{6，7}B.{1，2，6，7}C.{3，4，5}D.{1，2}2.二项式（x-2）7展开式中含x5的系数等于（）A.-21B.21C.-84D.843.某人从一鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过一定的时间后，再从该鱼池中捕得100条鱼，结果发现有记号的鱼为10条（假定鱼池中鱼的数量既不减少，也不增加），则鱼池中大约有鱼（）A.120条B.1000条C.130条D.1200条4.某品牌的电脑光驱，使用事件在12000h以上损坏的概率是0.2，则三个里最多有一个损坏的概率是（）A.0.74B.0.096C.0.008D.0.5125.A.B.C.D.6.A.B.C.D.7.袋中装有4个大小形状相同的球，其中黑球2个，白球2个，从袋中随机抽取2个球，至少有一个白球的概率为（）A.B.C.D.8.若x2-ax+b＜0的解集为（1，2)，则a+b=( )A.5B.-5C.1D.-19.函数f（x）=x2+2x-5，则f（x-1）等于（）A.x2-2x-6B.x2-2x-5C.x2-6D.x2-510.函数y=lg（1-x）（x＜0）的反函数是（）A.y=101-x（x＜0）B.y=101-x（x＞0）C.y=1-10x（x＜0）D.y=1-10x（x＞0）11.A.10B.-10C.1D.-112.已知椭圆的一个焦点为F(0，1)，离心率e=1/2，则该椭圆的标准方程为（)A.x2/3+y2/4=1B.x2/4+y2/3=1C.x2/2+y2=1D.y2/2+x2=113.A.B.C.14.A.7B.8C.6D.515.下列函数为偶函数的是A.B.y=7xC.y=2x+116.执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A.19B.20C.21D.2217.已知过点A（0，-1），点B在直线x-y+1=0上，直线AB的垂直平分线x+2y-3=0，则点B的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，1）D.（-2，1）18.下列函数中是偶函数的是（）A.y=x|x|B.y=sinx|x|C.y=x2+1D.y=xsinx+cosx19.下列句子不是命题的是A.B.C.D.20.A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角二、填空题(20题)21.lg5/2+2lg2-(1/2)-1=______.22.在P（a，3）到直线4x-3y+1=0的距离是4，则a=_____.23.双曲线x2/4-y2/3=1的虚轴长为______.24.已知正实数a,b满足a+2b=4,则ab的最大值是____________.25.Ig2+lg5=_____.26.cos45°cos15°+sin45°sin15°= 。

2022年广东省肇庆市普通高校高职单招数学二模测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.A.B.C.D.2.设为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积是（）A.1B.C.2D.3.函数y=1/2x2-lnx的单调递减区间为（）.A.(-1,1]B.(0，1]C.[1，+∞)D.(0,+∞)4.A.1B.2C.3D.45.下列命题正确的是（）A.若|a|=|b|则a=bB.若|a|=|b|，则a＞bC.若|a|=|b丨则a//bD.若|a|=1则a=16.函数y=lg(x+1)的定义域是（）A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1，+∞)D.(1,-∞)7.下列函数是奇函数的是A.y=x+3B.C.D.8.由直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0间的距离为（）A.8/5B.3/2C.4D.89.将三名教师排列到两个班任教的安排方案数为（）A.5B.6C.8D.910.函数的定义域为（）A.(0,1]B.(0,+∞)C.[1，+∞)D.(—∞,1]11.A.B.C.D.R12.等差数列{a n}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=()A.9B.12C.15D.1613.焦点在y轴的负半轴上且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是（）A.y2=-2xB.x2=-2yC.y2=-4xD.x2=-4y14.A.1/4B.1/3C.1/2D.115.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（）A.1/100B.1/20C.1/99D.1/5016.A.2B.3C.4D.517.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+∞)上单调递减的是（）A.y=1/xB.y=e xC.y=-x2+1D.y=lgx18.已知a∈(π，3/2π)，cosα=-4/5，则tan(π/4-α)等于（）A.7B.1/7C.-1/7D.-719.A.2B.1C.1/220.已知等差数列的前n项和是，若，则等于（）A.B.C.D.二、填空题(20题)21.以点（1，2)为圆心，2为半径的圆的方程为_______.22.23.抛物线y2=2x的焦点坐标是。

2022年对口单独招生统一考试数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1、函数 的定义域是 ( ) A. B.C.D.2. 展开式中不含 项的系数的和为 ( )A. -1B. 0C. 1D. 23、设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4、0=b 是直线b kx y +=过原点的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5、方程的解为（ ）. . . .6、已知集{1,2,3},B {1,3}A ，则A B =( ) A 、{3} B 、{1,2} C 、{1,3} D 、{1,2,3}7、已知集合{}{}3,2,3,2,1==B A ,则( ) A 、A=B B 、=B A ∅ C 、B A ⊆D 、A B ⊆43)22(log =x A 4=x B 2=x C 2=x D 21=x8、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N = ( ) A 、{0,-1} B 、{1} C 、{-2} D 、{-1,1}9、设A,B 是两个集合,则“A B A =”是“A B ⊆”的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件10、设集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a2}，若A ∪B ＝{0,1,2,5,25}，则a 的值为( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、5 11、“1=x ”是“0122=+-x x ”的 ( )A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 12、 “2)1(+=n n a n ”是“0)2(log 21<+x ”的 ( )A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件13、设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的( ) A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 14、0=b 是直线b kx y +=过原点的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 15、方程的解为（ ）A. B. C. D.43)22(log =x 4=x 2=x 2=x 21=x16、设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件17、已知，则与的积为( )A 、5B 、3C 、10D 、818、“ααcos sin =”是“02cos =α”的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件19、函数)32(log )(22-+=x x x f 的定义域是( ) A 、[]1,3-B 、()1,3-C 、(][)+∞-∞-,13,D 、()()+∞-∞-,13,20、设,6.0,6.05.16.0==b a 6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是( )A 、c b a <<B 、b c a <<C 、c a b <<D 、a c b <<二、填空题（共10小题，每小题3分；共计30分）1．设函数f （x ）＝x|x ﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式0恒成立，则实数a 的取值范围是_______．2．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_______． 3、已知函数()f x =x x x f 2)(2+=)2(f )21(f223,1lg(1),1x x x x x ⎧+-≥⎪⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=______.4、不等式2340x x --+>的解集为______.（用区间表示）5、不等式422<-xx的解集为______..（用区间表示）6、函数()35lg -=x y 的定义域是 ______. （用区间表示）7、函数y ＝)9(log 2-x 的定义域是 ______.（用集合表示）8、不等式062<--x x 的解集是 ______. （用集合表示）9、不等式0125>--x 的解集为 ______.（用集合表示） 10、已知函数)1(log )(2-=x x f ，若f(α)＝1，则α=______. 三、大题：(满分30分)1、如下图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，12AB BC AD ==，E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.2、在平面直角坐标系xOy 中，己知点 F 1 (- √1 7,0)， F 2 ( √1 7,0),点M 满足|MFt|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C. （1）求C 的方程;（2）设点T 在直线 x =12 上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和参考答案：一、选择题：1-5题答案:BBACA6-10题答案：CDBCD11-15题答案：ABACA16-20题答案：DCADC选择题解析：1、答案. B【解析】由可得．答案：B【解析】令,得所有项的系数和为,再减去项系数,即为所求．二、填空题：参考答案1、（﹣∞，2]；2、[√7−√32，√7+√32]；3、0；4、（-4,1）；5、（-1,2）；6、⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，54；7、}9{>x x ； 8、{}32<<-x x ； 9、}32{><x x x 或； 10、3。

数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|1}A x x =≥，)}2(log |{2+==x y x B ，则=A BA ．)1,2(-B ．]1,2(-C ．)1,2[-D ．]1,2[- 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)i z a =-在复平面内对应的点为M ， 则“2a <-”是“点M 在第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列}{n a 中，公比0q >，若42=a ， 则321a a a ++的最值情况为A ．有最小值4-B ．有最大值4-C ．有最小值12D ．有最大值12 4．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的 正(主)视图、侧(左)其中四边形ABCD 是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为A ．34B ．33C ．32D ．3 5．执行如图所示的程序框图，输出的S 是A ． 0B ．12C ． 1D ．1-6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”； ③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<．A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④7．把正奇数数列按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，第五个括号两个数，第六个括号三个数，…．依次划分为)1(，)5,3(，)11,9,7(，)13(，)17,15(，)23,21,19(，)25(，…．则第50个括号内各数之和为A ．396B ．394C ．392D ．390 8．已知函数)(x f y =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数)()()(a x f x f x g --= 都是其定义域上的减函数，则函数)(x f y =的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．已知定点)0,2(-A ，)0,2(B ,N 是圆O ：122=+y x 上任意一点，点A 关于点N 的对称点为M ，线段AM 的中垂线与直线BM 相交于点P ，则点P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 10．设函数)(x f 在区间I 上可导，若I x x ∈∀,0,总有))(()()(000x x x f x f x f -'+≥，则称)(x f y =为区间I 上的U 函数． 在下列四个函数2x y =，xx y 1+=，xy e -=，x y 2cos =中，在区间)0,1(-上为U 函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：11、12、13题为必做题． 11．如图，菱形ABCD 的边长为2，︒=∠60A ，M 为DC 的中点，则AB AM ⋅的值为 ．12．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，若目标函数z mx y =+（0m >）的最大值为35，则m 的值为 ．第11题图13．设1>a ，则当xa y =与x y a log =两个函数图象有且只有一个公共点时，=a ln ln ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 23221（t 为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，则l 上的动点P 与C 上的动点Q 间的最短距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交AB 于E ．则线段BF 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有630名学生，男女生人数之比为10:11，现按分层抽样方 法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为16． （1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22⨯列联表：①完成列联表；第15题图②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：17．（本小题满分12分）设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin()cos 6A A π-=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值．18．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点，42==AB PA ．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：//CE 面PAB ； （3）求三棱锥ACE P -的体积V ．PABCDE第18题图已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，()11++=⋅+n n S a n n n ，*N ∈n ． （1）求数列}{n a 的通项公式： （2）令n nn S T 2=，*N ∈n ． ①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ；②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，且BC BF ⊥，过点A 作斜率为(0)k k >的直线l 与由三点B ,F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足221a ME MD -=⋅．（1）若BOF ∆（2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论.第20题图已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f （R ∈a ，0≠a ），x x x g +=2)(． （1）求函数(1)()ln ()1a x h x a x g x x -=-⋅+的单调区间,并确定其零点个数；（2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式 1ln 121715131+<+++++n n （*N ∈n ）．参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11． 4 12． 16 13．1- 14．2 15．5三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有630名学生，男女生人数之比为10:11，现按分层抽样方 法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为16． （1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22⨯列联表：①完成列联表；②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表解：（1）共抽取6306105÷=人，…………………………………………………………1分男生 111055521⨯=人， 女生101055021⨯=人，……………………………3分 （2）①…………4分② 假设0H : 学生对体育课改上自习课的态度与性别无关220()105(45201030) 6.110()()()()75305550n ad bc k a c b d a b c d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为 6.110 5.024>, 2( 5.024)0.025P K ≥=所以 有97.5%的把握认为态度与性别有关.………………………………8分（3）记一班被抽到的男生为1234,,,,A A A A a ，1234,,,A A A A 持否定态度，a 持肯定态度；二班被抽到的女生为1212,,,B B b b ，12,B B 持否定态度，12,b b 持肯定态度. 则所有抽取可能共有20种：11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A b ，12(,)A b ；21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A b ，22(,)A b ；31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A b ，32(,)A b ；41(,)A B ，42(,)A B ，41(,)A b ，42(,)A b ；1(,)a B ，2(,)a B ，1(,)a b ，2(,)a b .………10分其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种：11(,)A b ，12(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，31(,)A b ，32(,)A b ，41(,)A b ，42(,)A b ，1(,)a B ，2(,)a B .……11分记“从这9人中随机抽取一男一女，其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件为M ,则101()202P M ==. ……………………………………………………12分答：（1）抽取男生55人，女生50人；（2）有有97.5%的把握认为态度与性别有关；（3）恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为12.……………………………13分17．（本小题满分12分）设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin()cos 6A A π-=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值． 解：（1）由已知有sin coscos sincos 66A A A ππ⋅-⋅=，………………………………1分得1cos cos 2A A A -=，则sin A A =，………………3分tan A =………………………………………………………………4分又0A π<<，故3A π=.……………………………………………………5分（2）（法一）由正弦定理得sin 2sin sin sin 3a B B b B A π⋅⋅===, sin 2sin sin sin 3a C C c C A π⋅⋅===,则sin )b c B C +=+.……………………………………………7分 而21sin sin sin sin()sin sin )32B C B B B B B π+=+-=++31sin cos ))226B B B B B π=+=+=+.…9分 则 4sin()6b c B π+=+.又 203B π<<， 所以5666B πππ<+<.……………………………10分 所以 当且仅当62B ππ+=，即3B π=时，sin()6B π+取得最大值1，11分故 max ()4b c +=. …………………………………………………………12分（法二）由余弦定理得22222cos3b c bc π=+-，即224b c bc =+-， …………7分则 24()3b c bc =+-，又 2()2b c bc +≤则 10分 22()()434b c b c ++-≤⋅…………………10分 得 2()16b c +≤， 故 4b c +≤，当且仅当b c =时，max ()4b c +=.…… ………………………………………12分18．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点，42==AB PA ．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：//CE 面PAB ； （3）求三棱锥ACE P -的体积V ．解：（1）证明 取PC 中点F ，连接,AF EF . ……1分在Rt ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=， 则 BC =4AC =． 而 4PA =则 在等腰三角形APC 中 PC AF ⊥. ① ………………2分又 在PCD ∆中，,PE ED PF FC ==,则 EF ∥CD ……………………………………………………………………3分因 PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ， 则 PA ⊥CD ，又 90ACD ∠=，即CD AC ⊥， 则 CD ⊥面PAC ，……………………4分CD PC ⊥，所以 EF PC ⊥． ② ………………5分 由①②知 PC ⊥面AEF ．故 PC ⊥AE ．…………………………6分 （2）（法一）取AD 中点M ，连接,EM CM ． 则 在PAD ∆中, EM ∥PA . 又 EM ⊄面PAB , PA ⊂面PAB则 EM ∥面PAB , …………………………………………………………………7分 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠= 所以ACM ∆为正三角形，则 60ACM *∆= ……………………………………………………………………8分 又 60BAC ∠= 则 MC ∥AB .又 MC ⊄面PAB , AB ⊂面PAB则 MC ∥面PAB , …………………………………………………………………9分PA DBCEF MPABCDE第18题图而 EM MC M =，所以 面EMC ∥面PAB . …………………………………………………………10分 又 EC ⊂面EMC则 EC ∥面PAB ． ………………………………………………………………11分 (法二)延长,DC AB 交于N ，连接PN ． …………………………………………7分 在AND ∆中，60NAC DAC ∠=∠=，AC ⊥CD ，则 C 为ND 的中点…………………………………………………………………9分又 PE ED =所以 EC ∥PN ……………………………………………………………………10分 又 EC ⊄面PAB , PN ⊂面PAB则 EC ∥面PAB .…………………………………………………………………11分（3）由（1）（2）知 4AC =, CD =12EF CD ==因 CD ⊥面PAC ， EF ∥CD 则 EF⊥面PAC ，……………………………………………………………12分而 1144822Rt PAC S PA AC ∆=⋅=⨯⨯=………………………………………13分故 11833P AECE PAC Rt PAC V V S EF --∆==⋅=⨯⨯=14分19．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，()11++=⋅+n n S a n n n ，*N ∈n ． （1）求数列}{n a 的通项公式： （2）令n nn S T 2=，*N ∈n ． ①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ；②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．解：（1）在()11++=⋅+n n S a n n n 中令1n =，得2111(11)a S ⨯=+⨯+又12a =，则24a =，所以212a a -=. ………………………………………1分 当2n ≥时，()11++=⋅+n n S a n n n1(1)(1)n n n a S n n --=+-相减得 11(1)2n n n n na n a S S n +---=-+ ……………………………………3分 即 1(1)2n n n na n a a n +--=+，整理得 12(2)n n a a n +-=≥ ………4分 结合到 212a a -=，所以 数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，………………………5分 则 2(1)2n a n =+-⨯，即2n a n =.…………………………………………6分（2）①(法一) (22)(1)2n n nS n n +==+…………………………………………7分 则 (1)22n n n nS n n T +==………………………………………………………8分 1111(1)(2)(1)1(1)(2)(22)2222n n n n n n n n n n n n n T T n n +++++++++--=-=+-=由 10n n T T +-<……………………………………………………………9分 得 2n >，即n 取不小于3的正整数. …………………………………10分 （法二） 把 12(1)n a n +=+代入()11++=⋅+n n S a n n n得 ()2(1)1n n n S n n ⨯+=++所以 (1)n S n n =+.……………………………………………7分以下同法一.② 由①知 数列{}n T 各项的大小情况为 12345T T T T T <=>>>.11分则 {}n T 的各项中数值最大的项为3222(21)322T T +===，………12分 因为对一切正整数n ，总有m T n ≤，则 32m ≥……………………13分20．（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，且BC BF ⊥，过点A 作斜率为(0)k k >的直线l 与由三点B ,F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足221a ME MD -=⋅．（1）若BOF ∆（2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论.解：（1）由已知可得12c a =，12cb =2分 又222a b c =+，解得2222,6,8c b a ===. …………3分所求椭圆方程为22186x y +=.…………4分 （2）由12c a =得b =，则 (,0),F c B - 因BC BF ⊥则1-=⋅BF BC k k (斜率显然存在且不为零）……………6分 而 FB k ==设 (,0)C t ， 则BC k ==得 c t 3=，所以)0,3(c C ……………………………………………………7分则圆心M 的坐标为(,0)M c ，半径为2r c =………………………………………8分 据题意 直线l 的方程可设为 (2)y k x c =+，即20kx y ck -+=………………9分由 221a ME MD -=⋅得 2122cos 2c c DME a ⨯⨯∠=-………………………10分即 2122cos (2)2c c DME c ⨯⨯∠=-，得1cos 2DME ∠=-，而0DME π≤∠≤所以 23DME π∠=…………………………………………………………………11分在等腰三角形MED 中 由垂径定理可得点M 到直线l 的距离为c .………………12分则c =…………………………………………………………………13分解得4k =± 而0k > 故4k =（定值）……………………………14分21．（本小题满分14分）已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f （R ∈a ，0≠a ），x x x g +=2)(． （1）求函数(1)()ln ()1a x h x a x g x x -=-⋅+的单调区间,并确定其零点个数；（2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式1ln 121715131+<+++++n n （*N ∈n ）． 解：（1）2()ln (0)h x a x ax ax x =-+> …………………………………………1分则 1()(21)(0)h x a x x x'=-+>2(21)a x x x --=-12(1)()2a x x x-+=-……………………………………………2分 （i ）若0a >，则当(0,1)x ∈时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<所以 (0,1)为()h x 的增区间，(1,)+∞为()h x 的减区间. ………………3分 极大值为0111ln )1(2=⨯+⨯-=a a a h 所以)(x h 只有一个零点1=x .（ii ）若0a <，则当(0,1)x ∈时，()0h x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '> 所以 (0,1)为()h x 的减区间，(1,)+∞为()h x 的增区间.极小值为0111ln )1(2=⨯+⨯-=a a a h ……………………………………4分 所以)(x h 只有一个零点1=x . 综上所述，当0a <时，(0,1)为()h x 的减区间，(1,)+∞为()h x 的增区间，)(x h 有且只有一个零点；当0a >时，(0,1)为()h x 的增区间，(1,)+∞为()h x 的减区间，)(x h 有且只有一个零点.……………………………………………………………………5分 （2） 21[1(1)]()(1)a x x f x x x +--'=-+212(1)a x x =-+ 22(22)1(0)(1)x a x x x x +-+=>+……………………………………6分 由)(x f 在其定义域内单调递增，可知(0,)x ∀∈+∞,()0f x '≥恒成立.则 2(22)10x a x +-+≥ (0,)x ∀∈+∞ 恒成立.…………………………7分(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点(0,1))可得10a -≤或100a ->⎧⎨∆≤⎩………………………………………………………8分则 1a ≤或210(22)40a a ->⎧⎨--≤⎩ 则 1a ≤或102a a >⎧⎨≤≤⎩得 2a ≤.可以验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增故 2a ≤ (9)分(法二)分离变量 122(0)a x x x≤++> 因 12224x x++≥+= （当且仅当1x x =，即1x =时取到等号）…8分所以 24a ≤， 则2a ≤.可以验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增故 2a ≤……………………………………………………………………9分（3）由（2）可知 当2a =时，2(1)()ln 1x f x x x -=-+在(0,)+∞内单调递增， 而2(11)(1)ln1011f -=-=+ 所以当1x >时，()(1)0f x f >= 即 2(1)ln (1)1x x x x ->>+ (10)分令 *11()x n N n=+∈，则 12(11)1ln(1)111n n n+-+>++ (11)分则 12ln21n n n +>+ 所以 2ln 121n n n >--，22ln 323n n n ->--，…… , 32ln 25>,22ln 13>, 以上n 个式子累加可得132222lnln ln ln 212212153n n n n n n +++++>++++-+-…………………………………12分则 131111ln(2)2()12212153n nn n n n +⋅⋅⋅>++++-+- 则 1111ln(1)2()212153n n n +>+++++-…………………………13分则 11111ln(1)2212153n n n +>+++++- 故 111135721n ++++<+（*N ∈n ）．………………14分。

数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．若集合{}1,0,1A =-，{}21,B x x m m ==+∈R ，则B A ＝ ▲ ．2．设i 是虚数单位，复数1i3ia +-为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，且60xy =，则此样本的标准差是 ▲ ．4．在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素，所取元素恰好满足方程1cos 2x = 的概率是 ▲ ． 5．已知双曲线与椭圆2212xy +=有相同的焦点，且它们的 离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ▲ ． 6．已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数7．()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7．已知32cos()23απ+=-，则cos2α= ▲ ．8．有一个正四面体的棱长为3，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ▲ ．9．过点(1,1)P 的直线将圆224x y +=分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ▲ ．10．已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n kn k *=-+∈N ，且n S 的最大值为8，则=2a▲ ．11．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点,M N 分别为线段,BC CD 上的两个不同点，且1MN =，则OM ON 的取值范围是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，已知13a =，22a =，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2013a = ▲ ．13．已知2()log (1)f x x =-，若实数n m ,满足()()2f m f n +=，则mn 的最小值是▲ ．Read xIf x ≤1- Thenf (x )←x +2Else If 1-<x ≤1 Then f (x )←x 2Elsef (x )←x -+2End If End IfPrint f (x )(第6题图)14．设曲线()1e x y ax =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1e x y x -=-在点()02,A x y 处的切线为2l ．若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知1a =，2b =，12CA CB =． ⑴求边c 的长； ⑵求()C A -cos 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，且AC CD ⊥，PA AD =，M ，Q 分别是PD ，BC 的中点．（1）求证：MQ平面PAB ；（2）若AN PC ⊥，垂足为N ，求证：MN PD ⊥．17．（本小题满分14分）某人2002年底花100万元买了一套住房，其中首付30万元，70万元采用商业贷款．贷款的月利率为5‰，按复利计算，每月等额还贷一次，10年还清，并从贷款后的次月开始还贷．⑴这个人每月应还贷多少元？PABDCMNQ（第16题图）⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房150万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据：120(10.005) 1.8≈+）18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：()222210x y a b a b =>>+的离心率为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．⑴求椭圆E 的方程；⑵设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,M N ．（ⅰ）当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；（ⅱ）若cos AMB ∠=，求ABM △的面积．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．⑴若对任意的n *∈N ，2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列，且1=1a ，220132nS n=，求n 的值； ⑵若数列{+}nnS a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列，a 为常数，求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a．20．（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x =+，21()222g x bx x =-+，,a b ∈R ． ⑴求函数()f x 的单调区间；⑵记函数()()()h x f x g x =+，当0a =时，()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；⑶记函数()()F x f x =，证明：存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．参考答案一、填空题：1．{1} 2．3 34．0.2 5．22221x y -= 6．(,0){1}-∞ 7．7981-8． 9．20x y +-= 10．5211．[2 12．6 13．9 14．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题: 15．⑴由12CA CB =，得1cos 2ab C =．………………………………………………2分 因为1a =，2b =，所以1cos 4C =，…………………………………………………4分所以2222cos 1414c a b ab C =-=-=++，所以2c =．…………………………………………………………………………… 7分⑵因为1cos 4C =，(0,)C π∈，所以sin C =，…………………………………9分所以sin 4sin 2a C A c ===，……………………………………………………11分 因为a c <，所以A C <，故A 为锐角，所以7cos 8A ，所以7111cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -==⨯=+. …………14分16．（1）取PA 的中点E ，连结ME ，BE ，因为M 是PD 的中点，所以ME AD ，12ME AD =，又因为Q 是BC 中点，所以12BQ BC =，因为四边形ABCD 是平行四边形；所以BC AD ∥，所以BQ ME ∥,所以四边形MQBE 是平行四边形，…………4分所以MQ BE ．因为BE ⊂平面PAB ， MQ ⊄平面PAB ，所以MQ 平面PAB ．……………………6分 （2）因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以PA CD ⊥，又因为AC CD ⊥,PA AC A =,PABDCM N QE （第16题图）PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，又AN ⊂平面PAC ， 所以AN CD ⊥． ……………………………9分又AN PC ⊥，PC CD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AN ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以AN PD ⊥，……………………12分 又PA AD =，M 是PD 中点，所以AM PD ⊥，……………………………………13分 又AM AN A =，AM ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以PD ⊥平面AMN ，又MN ⊂平面AMN ，所以MN PD ⊥．……………………………………………………14分17．⑴设每月应还贷x 元，共付款1210120⨯=次，则有2119120[1(10.005)(10.005)(10.005)]700000(10.005)x =++++++++，…………4分所以1201207000000.005(10.005)7875(10.005)1x ⨯⨯==-++（元）．………………………………6分答：每月应还贷7875元．………………………………………………………………7分 ⑵卖房人共付给银行7875120945000⨯=元， 利息945000700000245000-=（元），………………………………………………10分 缴纳差额税(15000001000000)0.2100000-⨯=（元），………………………………12分500000(245000100000)155000-=+（元）． 答：卖房人将获利约155000元．………………………………………………………14分18．⑴由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=，所以椭圆E 的方程为2211612x y =+．………………………………………………………3分⑵（ⅰ）由⑴，(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩……………………………………………6分 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++， 即222172172(1)[()]9()24x y t t t t-=+++++，因为2272()t t +≥，当且仅当72t t=±+故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．………………………………………9分 （ⅱ）由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+．由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++，……………………………………………11分所以222424(,)3434kMA k k --=++，2223224(,)3434k k MB k k -=++，所以cos 24MA MB AMB MA MB∠===， 化简，得42164090k k --=，…………………………………………………………14分解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =， 此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．…………………………16分19．⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列，所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （，……………………………………………2分 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列，且2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++， ……………………………4分又因为11a =，所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++，所以22320132n Sn n ==+，所以1005n =．……………………………………………6分⑵因为1(1)n n n Sa a q a -+=+，所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-， ①所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-， ②②－①，得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+， ③ ……………………………8分（ⅰ）充分性：因为11q a=+，所以0,1,1a q a aq ≠≠+=，代入③式，得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-，因为1q ≠-，又1q ≠，所以11n n a a q+=，*n ∈N ，所以{}n a 为等比数列，……………………………………12分（ⅱ）必要性：设{}n a 的公比为0q ，则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+，整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-，……………………………………………14分此式为关于n 的恒等式，若1q =，则左边0=，右边1=-，矛盾；1q ≠±若，当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立，所以11q a =+．由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a．…………………16分20．（1）因为221()a x af x x x x-'=-+=，①若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为增函数，…………………………2分 ②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>．所以(0,)a 为单调减区间，(,)a +∞为单调增区间． 综上可得，当0a ≤时，(0,)+∞为单调增区间，当0a >时，(0,)a 为单调减区间， (,)a +∞为单调增区间． ……………4分（2）0a =时，21()()()22ln 2h x f x g x bx x x =+=-++，2121()2bx x h x bx x x-+'=-+=， ……………………………………………………5分 ()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，即()0h x '=在(0,1)上有且只有一个根且不为重根，由()0h x '=得2210bx x -+=， ………………………………………………………6分（i ）0b =，12x =，满足题意；…………………………………………………………7分 （ii ）0b >时，212110b ⋅-⋅+<，即01b <<；………………………………………8分 （iii ）0b <时，212110b ⋅-⋅+<，得1b <，故0b <；综上得：()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点时，1b <． ……………………………9分 注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知：（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以直线l 与()y F x = 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分 （ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．若1ln 0a +≥，1ea ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分故10ea <<，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <）， 则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)ay x x s t x=--∈和2ln ,(,)ay x x t x=+∈+∞的切点．1221a a x y x x x -'=-=，2221a x a y x x x-'=-+=， 设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且 111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x ax x --=， 即1121ln ax x =-， ① 2221ln ax x =-， ② 12122212()x x x x a x x +=+，③①-②得：11212222ln ln ln x a ax x x x x -=-+=-，由③中的a 代入上式可得：121212212122()22()ln x x x x x x x x x x +-=-+， 即22121221222()ln x x x x x x -=+， ……………………………………………………………14分令12(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，2414()0e eG =-<，故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．………………16分。