2020-2021学年广东番禺中学新高一入学考试数学模拟试卷及答案解析

2020年高一新生开学考试复习卷-数学一一、选择题1.计算(-3)-9的结果等于( )A.6B.12C.-12D.-62.下列四个图形中，不是中心对称图形的是( )A． B． C． D．3.下列计算正确的是( )A.2x+3y=5xyB.2a2+2a3=2a5C.4a2﹣3a2=1D.﹣2ba2+a2b=﹣a2b4.在﹣1.414，﹣，，，3.142，2﹣，2.121121112中的无理数的个数是( )A.1B.2C.3D.45.有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白 B．红 C．黄 D．黑6.如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠5=∠BD.∠B+∠BDC=180°7.如图，直线a∥b,直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为( )A.20°B.40°C.30°D.25°8.如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一组条件是（）A.∠B=∠E,BC=EFB.∠A=∠D,BC=EFC.∠A=∠D,∠B=∠ED.BC=EF,AC=DF9.如图，以两条直线l，l2的交点坐标为解的方程组是（）110.如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（）A.25°B.30°C.50°D.60°11.据调查，某市201 1年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元／m2，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为( )A.4000(1＋x)=4840B.4000(1＋x)2=4840C.4000(1－x)=4840D.4000(1－x)2=484012.小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2=1；8＋7－6－5=4；15＋14＋13－12－11－10=9；24＋23＋22＋21－20－19－18－17=16；…根据以上规律可知第10行左起第1个数是( )A.100B.121C.120D.82二、填空题13.在等式y=kx+b中，当x=0时，y=1，当x=1时，y=2，则k= ，b= ．14.某顾客以八折的优惠价买了一件商品，比标价少付了30元，那么他购买这件商品花了元．15.点P（－3，2）关于x轴对称的点P1的坐标是__________．16.把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是．17.从 - 1, 0,31, ,3中随机任取一数, 取到无理数的概率是 . 18.如图，二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)与点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c=－1；④当|a|=|b|时x 2＞－1.以上结论中正确结论的序号为 .三、解答题19.计算：20.解方程：(x-2)(x-3)=1221.为了估计一片森林里有多少只野鹿，野生动物保护协会从森林中捕获45只野鹿并在耳朵上做好标记，然后放回森林里去，过几天，再捕第二批野鹿50只，若其中带标记的野鹿有5只，估计这片森林里共有多少只野鹿？22.如图，在等边△ABC 中，DE 分别是AB ，AC 上的点，且AD=CE ．（1）求证：BE=CD ；（2）求∠1+∠2的度数．23.已知：在正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F. 求证：（1）△ADE≌△BAF；（2）AF=BF+EF.24.如图,在△ABC中,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点D,点E在上,连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F,∠AED=∠ACF．（1）求证：CF⊥AB；（2）若CD=4,CB=4,cos∠ACF=0.8,求EF的长．25.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22°）26.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？参考答案1.C2.C3.D.4.C.5.C ．6.A7.A8.B.9.C10.A11.B12.答案为：C ；解析：根据规律可知第10行等式的右边是102=100，等式左边有20个数加减.∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.13.答案为：1；114.答案为120元．15.答案为：（-3，-2）；16.答案为：a(x+a)217.答案为：0.4；18.答案为：①④.19.；20.答案为：x 1=-1,x 2=6. ；21.解：因第二批捕50只野鹿中有5只是带有标记的，故带有标记的野鹿出现的频率为101， 就是说在鹿群中捕到一只带有标记的鹿的概率是101，又知带有标记的有45只野鹿， 故这片森林中有45÷101=450只野鹿。

广东省番禺区2021届高三数学摸底测试试题 文（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U N =,{}|21,A x x n n N ==+∈,{}|16,B x x x N =<≤∈,则()⋂=U C A B （ ） A. {}2,3,4,5,6 B. {}2,4,6C. {}1,3,5D. {}3,5【答案】B 【解析】 【分析】求出U C A 后,再求出与B 的交集.【详解】解: {}|2,U C A x x n n N ==∈.(){}2,4,6U C A B ∴⋂=. 故选:B.【点睛】本题考查了集合的运算.求解集合运算题目时,可通过画数轴,数形结合进行分析. 2.设21iz i-=+，则z z +=（ ） A. −1 B. 1C. -3iD. 3【答案】B 【解析】 【分析】将z 整理成复数的标准形式,求出z ,进而可求1z z +=.【详解】()()()()222123213111122i i i i i z i i i i i ----+====-++-- 1322z i ∴=+.即1z z +=. 故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算,考查了共轭复数的概念.当已知的复数是分式形式,且分母中含有i 时,如a biz c di+=+,应运用分数的性质()()()()a bi c di a bi z c di c di c di +-+==++-,将复数整理成一般形式. 3.设2log a e =，12log b e =，1c e -=，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，从而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】对数函数2log y x =是增函数，则22log log 21a e =>=； 对数函数12log y x =是减函数，则1122log log 10b e =<=；指数函数xy e =为增函数，则101c e e -=<=，且10c e -=>. 因此，b c a <<. 故选C.【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题. 4.已知向量()1,3a =,()3,2b =,向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A.10B. 9C. −3D.13【答案】D 【解析】 【分析】求出b 以及a b ⋅的值,即可求出向量a 在向量b 上的投影. 【详解】解:由题意知,223213b =+=,13329a b ⋅=⨯+⨯=则913cos ,13a b a a b b⋅==故选:D.【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量a 在另一个向量b 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即cos ,a a b ;另外还可以由向量数量积的运算可知, cos ,a b a a b b⋅=.5.如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A. x ，28B. 52x +，28C. 52x +，2258⨯D. x ，2258⨯【答案】C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.6.如图，在圆心角为直角半径为2的扇形OAB 区域中，,M N 分别为,OA OB 的中点，在,M N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以,OA OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）A. 12π-B.112π- C. 42π-D.1π【答案】B 【解析】【分析】分别求出两半圆公共区域面积S 以及扇形OAB 的面积OAB S ,代入几何概型概率公式即可求出.【详解】设事件A =“同时收到两个基站信号”， 两半圆公共区域面积记S .由图可知,21112(111)1422S ππ=⨯-⨯⨯=-扇形OAB 的面积1224OABS ππ=⨯⨯⨯=.由几何概型知 ()111122OAB S P A S πππ-===- 故选:B .【点睛】本题考查了几何概型概率求法.对于几何概型概率问题，一般情况下，涉及到平面图形区域时，概率为面积比;涉及到角或射线问题时，一般是角度之比;涉及到几何体问题时，一般是体积之比；涉及到区间时，一般是长度之比. 7.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin21cos2αα-=,则cos α（ ） A.155 C.3325【答案】D 【解析】 【分析】由2sin 22sin cos ,cos22cos 1ααααα==-,代入已知式子中,可求出2sin cos αα=,再结合22sin cos 1αα+=即可求解.【详解】解:2sin21cos2αα-=,24sin cos 1cos22cos αααα∴=+=即2sin cos αα=.又22sin cos 1αα+= cos α∴=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0α∴> cos α∴=故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号. 8.若123,44x x ππ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的零点，则ω=（ ） A. 2 B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】 【分析】由零点分析求出函数的周期,结合2T πω=进而可求ω.【详解】解:由题意知,2122T x x π=-=,即2T ππω== .2ω∴= 故选:A.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求解.求ω的关键是分析出三角函数的周期. 9.若抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴相交于一点K ,P 为抛物线上一点且23KFP π∠=,则KFP ∆的面积为（ ）A. B. C. 或【答案】C 【解析】 【分析】由已知写出直线PF 的方程,与抛物线联立,进而求出P 的横坐标,得到,PF KF 的长,代入1sin 2S KF PF KFP =∠即可求出结果. 【详解】解:设过点,P F 的直线为l ,斜率为k .由题意知:()()1,0,1,0F K -23KFP π∠=tan 3k π∴==即l 的方程为)1y x =-将方程联立)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,整理得231030x x -+=,解得3x =或13(舍去) 所以3142pPF x =+=+=,2KF =所以KFP ∆的面积为112sin 42sin 223S KF PF KFP π=∠=⨯⨯⨯= 故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的方程与性质,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了直线方程的求解,考查了三角形面积的求解.本题的易错点是没能对P 的两个结果进行取舍.涉及到三角形面积时,一般代入111sin sin sin 222S ab C ac B cb A === 进行求解.涉及到抛物线上一点到焦点的距离时,一般将所求距离转化为该点到准线的距离.10.已知函数)2020()log f x x =，则关于 x 的不等式(12)(1)0f x f -+>的解集为（ ） A. (),1-∞ B. ()1,+∞C. ()1,2D. ()1,4【答案】A 【解析】 【分析】对已知函数进行分析,可知()f x 为奇函数且在x ∈R 单调递增.对所求不等式进行整理,结合性质可得121x >-,进而求解.【详解】解:由题意知,()f x 的定义域为R ,且))20202020()log log ()f x x x f x -==-=-所以()f x 为奇函数.2y x y x == 在 x ∈R 单调递增y x ∴=在 x ∈R 单调递增.又2020log y x = 在()0,∞+ 单调递增因此)2020()log f x x =在x ∈R 单调递增.(12)(1)0(1)(12)(21)f x f f f x f x ∴-+>⇒>--=-故而121x >-,解得1x < 故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断与应用,考查了复合函数单调性的判断,考查了不等式求解.当结合函数解不等式时,一般应用函数的性质.判断函数的奇偶性时分为两步,一是求函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称;二是判断()f x - 与()f x 的关系.判断复合函数的单调性时,关键是”同增异减”.11.已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C的左、右顶点分别为12,A A ，若212PA A =，则双曲线C 的离心率为（ ）C. 2【答案】D 【解析】 【分析】用,a b 将点P 的坐标表示出来, 结合212PA A A =,列出关于,a b 的方程,从而求出a b 的值,代入e =求出离心率.【详解】解:当点P 是直线y a =与by x a = 的交点时,此时2,a P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()()12,0,,0A a A a -则2PA =,122A A a =,212PA A =22a =⨯,解得3a b =.从而3e ==同理,当点P 是直线y a =与by x a=-的交点时,e =故选:D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线,考查了双曲线的离心率.在求离心率问题时,解题关键是求出,a c 的值,或者列出关于,,a b c 的等式,求出,a c 的等量关系.对于椭圆,离心率小于1;对于双曲线,其离心率大于1.12.在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是正方形DCC 1D 1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P －BCD 的体积最大值是( ) A. 36 B. 24C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求三棱锥P BCD －的体积最大，只需高最大，通过轨迹得到高的最大值 【详解】易知APD MPC ∽，则PD ADPC MC=＝2， 欲使三棱锥P BCD －的体积最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P 运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值 所以()116632P BCD max V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选D ．【点睛】本题考查了几何体的体积问题，在计算过程中先找出以哪个三角形为底面，以哪条线为高，通过轨迹求出高的最大值，继而求出体积最大值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.【答案】9. 【解析】作出可行域，平移30x y -=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值． 14.曲线()()2xy a x x e a R =+∈在点()0,0处的切线方程为3y x =则实数a = _______．【答案】3 【解析】 【分析】求出'y ,令0x =,令出此时的导数值等于切线的斜率,即可求出a 的值.【详解】解:2'(31)xy a x x e =++,当0x = 时,'3y a ==故答案为:3.【点睛】本题考查了函数的切线问题.关于()f x 在()00,x y 的切线问题,等量关系为切线斜率为切点处的导数值; ()f x 过()00,x y 的切线问题,往往要设出切点,利用切点同时在直线和函数图像上,以及切点处的导数值为切线斜率列出两个方程. 15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知sin 2cos cos 2cos cos a A b A C c A B =+，则tan A =______.【答案】2【分析】要求tan A 的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算． 【详解】因为sin 2cos cos 2cos cos a A b A C c A B=+，2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C =⋅=⋅=⋅，所以()()2sin 2cos sin cos cos sin 2cos sin 2cos sin A A B C B C A B C A A =+=+=，所以tan 2A =.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.16.已知ABC ∆是边长为4的正三角形，点D 是AC 的中点，沿BD 将ABC ∆折起使得二面角A BD C --为2π，则三棱锥C ABD -外接球的体积为______．【答案】3【解析】 【分析】由二面角可分析出,,CD AD BD 两两垂直,即将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球,求出体对角线即为直径,从而可求球的体积. 【详解】解:二面角A BD C --为2π,且,CD DB AD DB ⊥⊥ CD AD ∴⊥即,,CD AD BD 两两垂直,且2CD AD ==,BD =将此三棱锥补成一个长方体,则三棱锥C ABD -外接球即为长方体的外接球球心为长方体的体对角线的中点,则球的半径12R ==3344333V R ππ∴==⨯=.故答案为. 【点睛】本题考查了外接球问题,考查了二面角的概念,考查了球体积的求法.当三棱锥中有三条棱两两垂直时,可将三棱锥的外接球等同于长方体的外接球,求出长方体的体对角线即为直径.对于三棱锥中,没有两两垂直的三条棱时,则常常设出球心和半径,列方程求出半径.注意一点,外接球的球心与底面外接圆的圆心连线与地面垂直.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为1,1n S a =．若125,,a a a 成等比数列． （1）求n a 及n S ； （2）设()21121n a n n b n N a *+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T .【答案】(1) 21n a n =-,2n S n =;(2) ()2125831212n n n T n N n +*+∴=-∈+. 【解析】 【分析】(1)用基本量表示出125,,a a a ,由等比中项列方程,求出首项和公差即可求n a 及n S . (2)代入n a 的通项公式进行化简,利用分组求和和裂项相消法求出n T . 【详解】(1)解:设{}n a 的公差为d ,则21a a d =+,514a a d =+125,,a a a 成等比数列 2215a a a ∴=⋅ 即()()21114a d a a d +=+, 解得122d a ==.()1121n a a n d n ∴=+-=-,()2112n n n S a n d n -=+=. (2)解:()21121n a n n b n N a *+=+∈-且21n a n =-()2121211112241211n n n b n n n --⎛⎫∴=+=-+ ⎪+⎝⎭+- ()()12321352111111111111...1 (4242343441214112)58222 (2)1411431212n n nn n T b b b b n n n n N n n +-*⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯-+⎛⎫+++++=⨯-+=-∈ ⎪+-+⎝⎭【点睛】本题考查了等比中项,考查了等差数列通项公式,考查了等差数列求和公式,考查了分组求和,考查了裂项相消求和.对于数列求和,常用的方法有公式法,分组求和法,裂项相消法,错位相减法.难点在于化简计算.18.某大学就业部从该校2021年毕业的且已就业的大学本科生中随机抽取100人进行问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况.经调查发现，他们的月薪在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下频率分布直方图：若月薪在区间()2,2x s x s -+的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科生就业提供更好的指导意见.其中x ，s 分别为样本平均数和样本标准差计，计算可得1500s ≈元（同一组中的数据用该区间的中点值代表）.（1）现该校2021届大学本科生毕业生张铭的月薪为3600元，试判断张铭是否属于“就业不理想”的学生？（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000 元的概率. 【答案】(1)属于;(2)35. 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图求出x ,从而得到具体的()2,2x s x s -+,即可判断.(2)结合分层抽样的知识点首先求出前三组各抽多少人,然后结合排列组合的思想求出从6人中抽取2人的组合数以及恰有一人月薪不超过5000 元的组合数,最后由古典概型概率公式即可求出.【详解】(1)解: 由频率分布直方图知0.00005100035000.00010100045000.00015100055000.00030x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ 100065000.00020100075000.00015100085000.00005100095006650⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=则()()2,23650,9650x s x s -+=.3600在()3650,9650的左侧，所以张铭属于“就业不理想”的学生.(2)解:前三组频率之比为0.000051000:0.000101000:0.0001510001:2:3⨯⨯⨯= 所以抽取的6人中,第一组有1人,第二组有2人,第三组有3人.从6人中再抽2人的组合数为2615C =种. 其中,恰有一人月薪不超过5000 元的组合数为 11339C C ⨯= 种.设A =”恰有1人月薪不超过5000 元”.则()93155P A == 所以获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000 元的概率为35. 【点睛】本题考查了由频率分布直方图估计样本平均数,考查了古典概型,考查了分层抽样,考查了排列组合.本题的难点在于计算.易错点是记错求平均数公式,误用每个长方形的高与其横坐标中点相乘.19.如图所示，有公共边的两个矩形ABCD 与11ABE F ,现将矩形11ABE F 沿AB 翻折至ABEF 处，使二面角C AB E --为直二面角，若1222AD AB AF a ===（1）证明：平面BFD ⊥平面ADE ；（2）若点G 在直线AE 上运动，当DG 与BC 所成的角为30时，求三棱锥B ADG -的体积．【答案】(1)见解析;(2) 369a .【解析】 分析】(1)由二面角为直二面角可知EB BC ⊥,进而可证AD ⊥面ABEF ,即FB AD ⊥,又有FB AE ⊥,可知FB ∴⊥面AED ,由面面垂直的判定定理可证.(2)由DG 与BC 所成的角为30求出AG 的长度,进而求出G 到平面ABCD 的距离,再算出ABD ∆ 的面积,即可求三棱锥的体积. 【详解】(1)证明:,CB BA EB BA ⊥⊥且二面角C AB E --为直二面角.EB BC ∴⊥.,,CB BE CB BA BE BA B ⊥⊥⋂= CB ∴⊥面ABEF//D CB A AD ∴⊥面ABEF .FB ⊂面ABEF FB AD ∴⊥,FB AE AE AD A ⊥⋂= FB ∴⊥面AEDFB ⊂ 面BFD ,∴平面BFD ⊥平面ADE .(2)解://D CB A AD ∴与DG 所成角为30.AD ⊥面ABEF ,AG ⊂面ABEF 90GAD ∴∠=2tan 30AG AD ∴=⋅=即G 到平面ABCD 的距离为6sin 45h AG =⋅= 211222ABD S AB AD a a a ∆=⋅=⋅⋅=32113339B ADG G ABDABD V V hS a --∆∴===⋅⋅=. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理,考查了二面角的概念,考查了三棱锥体积的求法.在证明两个平面垂直时,一般先证平面内的一条线与另外一个平面垂直.本题的难点在于第二问中线线夹角的利用.20.已知点P 在圆:O 229x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】(1)22198x y ;(2)是定值为12. 【解析】 【分析】(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据432PQ MQ =,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断.【详解】(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--.432PQ MQ =)0004x x y ⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y 在229x y +=上, 229x ∴+=⎝⎭,整理得22198x y故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y .(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =-此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++ 所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+. 21.已知函数()()0bf x ax a x=+>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．函数()()ln g x f x x =-.（1）求ab 的值，并求函数()g x 在区间[)1,+∞的最小值 （2）证明：()2*1ln 1,4nk n nk n n N =+<≥∈∑ 【答案】(1)()min 1,04ab g x =-= ;(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)求出2'()bf x a x=-,根据切线的斜率为切点处的导数值可得1a b -=,由切点既在直线上又在()f x 上得0a b +=,进而求出,a b ,确定1()ln 22x g x x x=--.利用导数求出()g x 在区间[)1,+∞的最小值. (2)构造()()ln 22xh x x x =-≥,利用导数证明ln 2x x < 在[)2,x ∈+∞ 恒成立.结合数学归纳法证明()2*1ln 1,4nk n nk n n N =+<≥∈∑. 【详解】(1)解:2'()bf x a x=-,则'(1)f a b =-.(1)f a b =+. ()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =- 111a b a b -=⎧∴⎨+=-⎩解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以14ab =-.11(),()ln 2222x x f x g x x x x =-=-- 令2111'()0g x =+-= ,解得1x =.则'(),()g x g x 随x 的变化如下表则()g x 在[)1,+∞单调递增,所以()()min 10g x g ==.(2)证明:设()()ln 22x h x x x =-≥ ,则11'()02h x x =-≤ 恒成立 即()()ln 22xh x x x =-≥在[)2,+∞ 单调增减.max ()(2)ln 210h x h ∴==-< 所以ln 02xx -< ,即ln 2x x < 在[)2,x ∈+∞ 恒成立.当1n = 时,左边ln10==,右边11142+==> 左边,所证成立. 假设当(2,)n k k k N *=≥∈时,不等式成立,即()2*1ln 1,4nk n n k n n N =+<≥∈∑ 当1(2,)n k k k N *=+≥∈时,左边=()ln1ln2...ln ln 1k k +++++1ln(1)2k k ++< 211(1)(2)ln(1)424nk k k k k k k =++++∴+<+==∑右边. 综上所述: ()2*1ln 1,4nk n nk n n N =+<≥∈∑. 【点睛】本题考查了函数的切线问题,考查了导数求最值,考查了数学归纳法.数学归纳法证明不等式时,关键是对不等式进行放缩,有时需要结合函数的思想.本题的难点在于证明1ln(1)2k k ++<. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是()22281311k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围.【答案】（Ⅰ）()2213169x y y +=≠-.:6l x y -=.（Ⅱ）22d ≤≤【解析】 【分析】（Ⅰ）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即2222tan 1tan sin 2,cos 21tan 1tan a ααααα-==++，结合22sin 2cos 1αα+=，所以将参数方程化为222241131x k ky k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即可化为普通方程；cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos x θ=，cos y ρθ=代入，即可化为直角坐标方程； （Ⅱ）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.【详解】解：（Ⅰ）222241:131x k k C y k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221129x y +=， 又(]2633,31y k =-+∈-+，C 的普通方程为()2213169x y y +=≠-. cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 6ρθρθ-=， 将cos x θ=，cos y ρθ=代入即可得到:6l x y -=.（Ⅱ）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==，其中3tan 4ϕ=所以22d ≤≤. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题. 23.设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ． （1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞【解析】 【分析】（1）由绝对值不等式的解法，当4a =，分11,2,222x x x ≤<<≥三种情况讨论，求解不等式即可得解；（2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得21221(2)1x x a x x a a -+-≥---=-， 再转化为15a a -≥-恒成立，再分10a -≥和10a -<讨论即可得解.【详解】解：（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 则()9f x >等价于12459x x ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩或12239x ⎧<<⎪⎨⎪>⎩或2459x x ≥⎧⎨->⎩， 解得1x <-或72x >， 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）由绝对值不等式的性质有：()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立，有15a a -≥-恒成立，当5a ≥时不等式显然恒成立，当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<， 综上，a 的取值范围是[3,)+∞．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。

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2020-2021学年广东番禺中学新高一入学考试数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列比较两个有理数的大小正确的是（ ）
A ．﹣3＞﹣1
B ．14＞13
C ．−56＜−1011
D ．−79＞−67 【解答】解：A 、﹣3＜﹣1，所以A 选项错误；
B 、14＜13，所以B 选项错误；
C 、−56＞−1011，所以C 选项错误；
D 、−79＞−67，所以D 选项正确．
故选：D ．
2．（3分）事件：“在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是（ ）
A ．可能事件
B ．随机事件
C ．不可能事件
D ．必然事件 【解答】解：事件：“在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是不可能事件，
故选：C ．
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A ．（2a ）3＝2a 3
B ．a 3+a 2＝a 5
C ．a 8÷a 4＝a 2
D ．（a 2）3＝a 6
【解答】解：A 、（2a ）3＝8a 3，故本选项错误；
B 、a 3+a 2不能合并，故本选项错误；
C 、a 8÷a 4＝a 4，故本选项错误；
D 、（a 2）3＝a 6，故本选项正确；
故选：D ．
4．（3分）下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；。

2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）下列运算正确的是( ) A ．222325a a a +=B ．93=±C ．2242x x x ⋅=D ．623x x x +=2．（3分）实数5-的绝对值是( ) A ．5B ．5C ．0D ．5±3．（3分）直线32y x =+与y 轴的交点坐标为( ) A ．(0,3)B ．2(3-，0)C ．(0,2)-D ．(0,2)4．（3分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( ) A ．7B ．9C ．12D ．9或126．（3分）三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是( ) A ．19B ．16 C ．13D ．237．（3分）如图，点(3,)k 在双曲线3y x=上，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，线段OA 的垂平分线交OC 于点B ，则ABC ∆周长的值是( )A ．3B ．22+C ．4D ．32+8．（3分）一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x ，则x 满足方程( )A ．225(12)16x -=B ．225(1)16x -=C ．216(12)25x +=D ．216(1)25x +=9．（3分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 与O 交于点D ，连接OD ．若50C ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒10．（3分）如是二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)(3，0)之间，对称轴是线1x =．对于下列说法： ①0abc <；②b a c >+；③30a c +>；④当312x -<<时，0y >；⑤()(a b m am b m ++为实数）．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）函数5y x -x 的取值范围是 ． 12．（3分）分解因式：24m n n -= ．13．（3分）如图，直线a 、b 被c 所截，且//a b ，1132∠=︒，则2∠= ．14．（3分）某红外线的波长为0.000 000 94米，用科学记数法表示这个数是米．15．（3分）已知关于x的方程2230x x k-+=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE PA⊥交BC的延长线于点E，过点E作EF BP⊥于点F，则下列结论中：①PA PE=；②2CE PD=；③12BF PD BD-=；④PEF ADPS S∆∆=正确的是（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）解不等式组：325113xx-<⎧⎪+⎨⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来．18．（4分）解分式方程：6122xx x+=-+．19．（6分）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE CF=，求证：BE DF=．20．（6分）已知22112()(0)2a ab bH a bb a ab-+=-÷≠≠．（1）化简H；（2）若点(,)P a b在直线2y x=-上，求H的值．21．（8分）中华文化源远流长，文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长编小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数．并将条形统计图补充完整；（2）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一部名著的概率．22．（10分）已知反比函21(k y k x+=为常数）． （1）点11(1,)P y -、22(2,)P y -为此反比例函数图象上的两点，比较1y 和2y 的大小； （2）设点(P m ，)(0)n m >是其图象上的一点．过点P 作PM x ⊥轴于点M ．O 为坐标原点，若tan 2POM ∠=，5PO =．求k 的值．并直接写出不等式210k kx x+->的解集．23．（10分）如图，Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 的中线．（1）尺规作图：画出以CD 为直径的O ，与AB 交于点E ，与AC 交于点F ； （2）若2BC =，4AC =，求DE 的长；（3）连接EF ，交CD 于点P ，若:3:2DP PO =，求BCAC的值．24．（12分）如图，ABC ∆中，120A ∠=︒，AB AC =，过点A 作AO AC ⊥交BC 于点O ． （1）求证：13BO BC =；（2）设AB k =．①以OB 为半径的O 交BC 边于另一点P ，点D 为CA 边上一点，且2CD DA =．连接DP ，求CPD S ∆．②点Q 是线段AB 上一动点（不与A 、B 合），连接OQ 在点Q 运动过程中，求2AQ OQ +的最小值．25．（12分）已知抛物线212y x x c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(2,0)-．（1）求直线BC 的解析式；（2）点(,)Q h k 为抛物线上一动点，且0h ，0k >．①过点Q 作平行于BC 的直线1l 交线段AC 于点D ，记线段QD 的长为d ．当d 取最大值时，求点Q 的坐标；②点1Q 为点Q 关于y 轴的对称点，又过点1Q 作直线1l 的平行线2l 交直线AC 于点1D ．记线段11Q D 的长为1d ，求当1d d <时，h 的取值范围．2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）下列运算正确的是( ) A ．222325a a a +=B ．93=±C ．2242x x x ⋅=D ．623x x x +=【解答】解：A 、222325a a a +=，故此选项符合题意；B 、93=，故此选项不符合题意；C 、224xx x x ⋅=，故此选项不符合题意；D 、62x x +不能合并同类项，故此选项不符合题意；故选：A ．2．（3分）实数5-的绝对值是( ) A ．5B ．5C ．0D ．5±【解答】解：实数5-的绝对值是：5． 故选：B ．3．（3分）直线32y x =+与y 轴的交点坐标为( ) A ．(0,3)B ．2(3-，0)C ．(0,2)-D ．(0,2)【解答】解：令0x =，则2y =， ∴直线32y x =+与y 轴交点的坐标是(0,2)．故选：D ．4．（3分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：几何体的俯视图是：故选：C．5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为() A．7B．9C．12D．9或12【解答】解：当腰为5时，周长55212=++=；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故选：C．6．（3分）三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是()A．19B．16C．13D．23【解答】解：画树状图得：共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率是13；故选：C．7．（3分）如图，点(3,)k在双曲线3yx=上，过点A作AC x⊥轴，垂足为C，线段OA的垂平分线交OC于点B，则ABC∆周长的值是()A．3B．22C．4D．32+【解答】解：点(3,)k 在双曲线3y x=上， 1k ∴=，(3,1)A ∴，3OC ∴=，1AC =．OA 的垂直平分线交OC 于B ， AB OB ∴=，ABC ∴∆的周长314AB BC AC OB BC AC OC AC =++=++=+=+=．故选：C ．8．（3分）一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x ，则x 满足方程( )A ．225(12)16x -=B ．225(1)16x -=C ．216(12)25x +=D ．216(1)25x +=【解答】解：第一次降价后的价格为25(1)x -， 第二次降价后的价格为225(1)(1)25(1)x x x -⨯-=⨯-，∴列的方程为225(1)16x -=，故选：B ．9．（3分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 与O 交于点D ，连接OD ．若50C ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【解答】解：AC 是O 的切线，AB AC ∴⊥， 90BAC ∴∠=︒， 50C ∠=︒， 40ABC ∴∠=︒， OD OB =，40ODB ABC ∴∠=∠=︒， 80AOD ODB ABC ∴∠=∠+∠=︒；故选：C ．10．（3分）如是二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)(3，0)之间，对称轴是线1x =．对于下列说法： ①0abc <；②b a c >+；③30a c +>；④当312x -<<时，0y >；⑤()(a b m am b m ++为实数）．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【解答】解：抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴12bx a=-=， 20b a ∴=->，抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，0c ∴>，0abc ∴<，故①正确；抛物线与x 轴的交点A 在点(2，0)(3，0)之间，对称轴为1x =， ∴抛物线x 轴的另一个交点在(1,0)-和(0,0)之间，∴当1x =-时，0y a b c =-+<，即a c b +<，即②正确，④错误；抛物线与x 轴的交点A 在点(2，0)(3，0)之间，930a b c ∴++<，又2b a =-，9630a a c a c ∴-+=+<，故③错误；由图可知，当1x =时，函数有最大值，∴对于任意实数m ，有2am bm c a b c ++++，即()a b m am b ++，故⑤正确．综上，正确的有①②⑤． 故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）函数5y x =-自变量x 的取值范围是 5x ． 【解答】解：根据题意得，50x -， 解得5x ． 故答案为：5x12．（3分）分解因式：24m n n -= (2)(2)n m m +- ． 【解答】解：原式2(4)(2)(2)n m n m m =-=+-， 故答案为：(2)(2)n m m +-13．（3分）如图，直线a 、b 被c 所截，且//a b ，1132∠=︒，则2∠= 48︒ ．【解答】解：//a b ，12180∴∠+∠=︒， 1132∠=︒，2180118013248∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：48︒．14．（3分）某红外线的波长为0.000 000 94米，用科学记数法表示这个数是 79.410-⨯ 米． 【解答】解：0.000 7000949.410-=⨯； 故答案为79.410-⨯．15．（3分）已知关于x 的方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 13k <． 【解答】解：1a =，2b =-，3c k =，∴△224(2)4134120b ac k k =-=--⨯⨯=->， 解得：13k <． 故答案为：13k <． 16．（3分）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 延长线上的一点，连接PA ，过点P 作PE PA ⊥交BC 的延长线于点E ，过点E 作EF BP ⊥于点F ，则下列结论中：①PA PE =；②2CE PD =；③12BF PD BD -=；④PEF ADP S S ∆∆= 正确的是 ①②③ （填写所有正确结论的序号）【解答】解：①解法一：如图1，在EF 上取一点G ，使FG FP =，连接BG 、PG ，EF BP ⊥，90BFE ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，45FBC ABD ∴∠=∠=︒，BF EF ∴=，在BFG ∆和EFP ∆中，BF EF BFG EFP FG FP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFG EFP SAS ∴∆≅∆，BG PE∠=∠，∴=，PEF GBFABD FPG∠=∠=︒，45AB PG∴，//⊥，AP PE∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，90 APE APF FPE FPE PEF∴∠=∠=∠，APF PEF GBF∴，AP BG//∴四边形ABGP是平行四边形，∴=，AP BG∴=；AP PE解法二：如图2，连接AE，90∠=∠=︒，ABC APE∴、B、E、P四点共圆，A∴∠=∠=︒，EAP PBC45⊥，AP PE∴∠=︒，90APE∴∆是等腰直角三角形，APE∴=，AP PE故①正确；②如图3，连接CG，由①知：//=，PG AB，PG ABAB CD=，//AB CD，//PG CD∴，PG CD=，∴四边形DCGP是平行四边形，CG PD∴=，//CG PD，PD EF⊥，CG EF∴⊥，即90CGE∠=︒，45CEG∠=︒，22CE CG PD∴==；故②正确；③如图4，连接AC交BD于O，由②知：90CGF GFD∠=∠=︒，四边形ABCD是正方形，AC BD∴⊥，90COF∴∠=︒，∴四边形OCGF是矩形，CG OF PD∴==，∴12BD OB BF OF BF PD ==-=-，故③正确；④如图4中，在AOP ∆和PFE ∆中，90AOP EFP APF PEFAP PE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOP PFE AAS ∴∆≅∆，AOP PEF S S ∆∆∴=，ADP AOP PEF S S S ∆∆∆∴<=，故④不正确；本题结论正确的有：①②③，故答案为：①②③．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）解不等式组：325113x x -<⎧⎪+⎨⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来． 【解答】解：325113x x -<⎧⎪⎨+⎪⎩①②，解不等式①得：1x >-，解不等式②得：2x ，∴不等式组的解集是12x -<．将解集表示在数轴上如下：．18．（4分）解分式方程：6122x x x +=-+． 【解答】解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=-+．化简得：88x =，解得1x =．经检验，1x =是原方程的解．∴原方程的解是1x =．19．（6分）已知，如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 和BC 上的点，AE CF =，求证：BE DF =．【解答】证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，AD BC =，又AE CF =，AD AE BC CF ∴-=-，即ED BF =，而//ED BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形，BE DF ∴=（平行四边形对边相等）． 20．（6分）已知22112()(0)2a ab b H a b b a ab-+=-÷≠≠． （1）化简H ；（2）若点(,)P a b 在直线2y x =-上，求H 的值．【解答】解：（1）22112()2a ab b H b a ab-+=-÷ 22()a b ab ab a b -=⋅- 2a b=-； （2）点(,)P a b 在直线2y x =-上，2b a ∴=-，2a b ∴-=，当2a b -=时，原式212==， 即H 的值是1． 21．（8分）中华文化源远流长，文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长编小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数．并将条形统计图补充完整；（2）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一部名著的概率．【解答】解：（1）调查的总人数为：1025%40÷=（人)，∴阅读1部对应的人数为：402108614----=（人)，214102621++=>，21420+<，∴中位数为2部，将条形统计图补充完整如下：（2）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，画树状图可得：共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故P（两人选中同一名著）41 164==．22．（10分）已知反比函21(k y k x+=为常数）． （1）点11(1,)P y -、22(2,)P y -为此反比例函数图象上的两点，比较1y 和2y 的大小；（2）设点(P m ，)(0)n m >是其图象上的一点．过点P 作PM x ⊥轴于点M ．O 为坐标原点，若tan 2POM ∠=，PO =k 的值．并直接写出不等式210k kx x+->的解集． 【解答】解：（1）210k +>，∴反比例函数21(k y k x+=为常数）在每一个象限内y 随x 的增大而减小， 210-<-<，12y y ∴<；（2）点(,)P m n 在反比例函数21(k y k x+=为常数）的图象上，0m >， 0n ∴>，OM m ∴=，PM n =-，tan 2POM ∠=， ∴2PM n OM m==， 2n m ∴=， 5PO =225m n ∴+=，1m ∴=，2n =，(1,2)P ∴，212k ∴+=，解得1k =±，①当1k =-时，则不等式210k kx x+->的解集为：0x <；②当1k =时，则不等式210k kx x+->的解集为：x >0x <．23．（10分）如图，Rt ABC∆中，CD是斜边AB的中线．（1）尺规作图：画出以CD为直径的O，与AB交于点E，与AC交于点F；（2）若2BC=，4AC=，求DE的长；（3）连接EF，交CD于点P，若:3:2DP PO=，求BCAC的值．【解答】解：（1）以C为圆心定长为半径画弧，以D为圆心定长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN交CD于点O，以O为圆心，OC为半径画圆；（2）连接CE，CEB ACB∴∠=，ABC CBE∠=∠，~ABC CBE∴∆∆，同理，~ACE ABC∆∆，∴2AE EC AC EC BE BC===，AB =BC AC CE AB ⋅== 1122ABC S AC BC AB CE ∆=⋅=⋅，BE ∴=，AE =，12BD AB ==∴DE BD BE =-=（3）CD 为ABC ∆中线，AD BD CD ∴==，DAC DCA ∴∠=∠，OF OC =，OFC OCF DCA DAC ∴∠=∠=∠=∠，//FO AD ∴， ∴32122DP DE DE DE PO FO CD CD ===⋅=， ∴34DE CD =， 令3DE x =，则4CD x AD BD ===，BE x =，CE ∴=，∴BC BE AC CE == 24．（12分）如图，ABC ∆中，120A ∠=︒，AB AC =，过点A 作AO AC ⊥交BC 于点O ．（1）求证：13BO BC =； （2）设AB k =．①以OB 为半径的O 交BC 边于另一点P ，点D 为CA 边上一点，且2CD DA =．连接DP ，求CPD S ∆．②点Q 是线段AB 上一动点（不与A 、B 合），连接OQ 在点Q 运动过程中，求2AQ OQ +的最小值．【解答】解：（1）证明：120A ∠=︒，AB AC =， 30B C ∴∠=∠=︒， AO AC ⊥，90OAC ∴∠=︒，30BAO ∠=︒， BO AO ∴=，12AO CO =， 12BO CO ∴=， 13BO BC ∴=； （2）①如图：AB k =，AC k ∴=，Rt AOC ∆中，tan OA C AC =， 3OA OB ∴==， 30C ∠=︒，232OC OA ∴==， 3CP OC OP OC OA ∴=-=-=， 2CD DA =，3k DA ∴=，23DC k =，Rt AOD∆中，33tan3kADAODOAk∠===，30AOD∴∠=︒，18060AOC OAC C∠=︒-∠-∠=︒，30AOD DOP∴∠=∠=︒，又OA OP=，OD OD=，()AOD POD SAS∴∆≅∆，90DPO AOD∴∠=∠=︒，DA DP=，3kDP∴=，2132CPDS CP DP k∆∴=⋅=；②以A为顶点，AB为一边，在ABC∆外部作30BAN∠=︒，过Q作QN AN⊥于N，过O作OM AN⊥于M，连接OQ，如图：在Rt AQN∆中，30BAN∠=︒，12NQ AQ∴=，122()2AQ OQ AQ OQ+=+，2AQ OQ∴+最小，即是12AQ OQ+最小，故NQ OQ+最小，此时ON AN⊥，Q与Q'重合，N与M重合，OM长度即是12AQ OQ+的最小值，而由①知：3OA=，60OAM OAB BAM∠=∠+∠=︒，Rt AOM∆中，sinOMOAMOA∠=，sin 60∴︒，2k OM ∴=， ∴12AQ OQ +的最小值为2k ， 2AQ OQ ∴+的最小值是k ．25．（12分）已知抛物线212y x x c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(2,0)-．（1）求直线BC 的解析式；（2）点(,)Q h k 为抛物线上一动点，且0h ，0k >．①过点Q 作平行于BC 的直线1l 交线段AC 于点D ，记线段QD 的长为d ．当d 取最大值时，求点Q 的坐标；②点1Q 为点Q 关于y 轴的对称点，又过点1Q 作直线1l 的平行线2l 交直线AC 于点1D ．记线段11Q D 的长为1d ，求当1d d <时，h 的取值范围．【解答】解：（1）把(2,0)B -代入212y x x c =-++，得过且220c --+=，解得4c =， ∴抛物线的解析式为2142y x x =-++， 当0x =时，4y =，(0,4)C ∴，设直线BC 的解析式为4y mx =+，则240m -+=，解得2m =，∴直线BC 的解析式为24y x =+．（2）①如图1，作QE x ⊥轴于点E ，交线段AC 于点F ，作DG QF ⊥于点G ，设直线1l 交x 轴于点H ．当0y =时，由21402x x -++=，得12x =-，24x =， (4,0)A ∴，设直线AC 的解析式为4y ax =+，则440a +=，解得1a =-，4y x ∴=-+， 设21(,4)2Q h h h -++，则(,4)F h h -+， 221144222QF h h h h h ∴=-+++-=-+；4OA OC ==，90AOC ∠=︒，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，//DG AB ，//FG OC ，45GDF OAC ∴∠=∠=︒，45GFD OCA ∠=∠=︒， DG FG ∴=；2OB =，4OC =，90BOC ∠=︒，BC ∴=QDG QHA CBO ∠=∠=∠，90DGQ BOC ∠=∠=︒， DGQ BOC ∴∆∆∽，::::1:DG GQ QD BO OC CB ∴==22GQ DG FG ∴==，13DG FG QF ==，QD ==，22212)2)2d h h h ∴=-+=+=-+，0<， ∴当2h =时，d 的值最大，此时(2,4)Q ．②如图2，作1Q R x ⊥轴，交直线AC 于点R ，作11D P Q R ⊥于点.P 11Q D R CDH QDF ∠=∠=∠，11Q RD QFD ∠=∠， ∴△11D Q R DQF ∆∽，111Q D R ∴=， 点1Q 与点21(,4)2Q h h h -++关于轴对称， 211(,4)2Q h h h ∴--++，(,4)R h h -+， 2211144)22Q R h h h h ∴=++--=，221112Q D h ∴==，由题意，得2204h ⎧+<⎪⎨⎪<⎩，解得24h <<， h ∴的取值范围是24h <<．。

广东省广州市番禺区2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{2,0,2}A =-，{}220B x x x =+-=，则A B =（ ）A ．∅B ．{2}C ．{0}D ．{2}- 2．已知a ，b ，c 都是实数，则“a b <”是“22ac bc <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若5x >-，则45x x ++的最小值为 A ．-1 B ．3 C ．-3 D ．14．设0.7033,,log 2a b e c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 5．函数y ＝ln （1﹣x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知tan()3πα-=-，则2sin cos 2cos sin αααα+-（ ） A ．7- B ．7 C ．1- D ．17．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－38．已知函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(1,3){0}⋃D ．[1,3){0}⋃二、多选题 9．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）．A ．2()lg f x x =与()2lg g x x =B ．()1f x x 与()g x =C ．()2,f x x x =+∈R 与()2,g x x x =+∈ZD ．()f u =()f t =10．函数()sin y A ωx φ=+(0A >，0>ω，0ϕπ<<)在一个周期内的图象如图所示，则( )A ．该函数的解析式为22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．该函数图象的对称中心为,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．该函数的增区间是53,344k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．把函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象11．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解为{x |x ≤﹣3或x ≥4}，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0B ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＜﹣12}C ．a +b +c ＞0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为1|4x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭ 12．下列命题中是真命题．．．的是（ ） A ．满足{}{,,}a P a b c ⊆的集合P 的个数是3个B ．命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”C ．函数21()21x x f x 的图象关于y 轴对称D ．函数21()21x x f x 的值域为(1,1)- 三、填空题 13．151lg 2lg222-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____.14．函数()f x ______． 15．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数3sin 2y x =的图象向右平移_________个单位长度而得．16．若不等式220ax x a ++<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是______________.四、解答题17．已知函数()b f x x x=+过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求(1)f -的值；(3)判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，并用定义证明．18．已知1cos 3α=，且α是第四象限角. （1）求sin 2α和cos2α的值；（2）求πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； 19．（1）若正数a ，b 满足281a b+=，求a b +的最小值，并求出对应的a ，b 的值； （2）若正数x ，y 满足8x y xy ++=，求xy 的取值范围．20．已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值. 21．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg /m ，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg /m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ，可由函数模型()()0.5*0015,n p n r r r r p R n N +=--⋅∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg /m ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取lg 20.3=）22．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()43x xa f x =+． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式；（2）若[2,1]x ∈--时，不等式()223x x m f x ≤-恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【解析】【分析】先求集合B ，再利用集合的交集运算即得结果.【详解】{2,0,2}A =-，{}{}2202,1B x x x =+-==-，则{}2A B =-. 故选：D2．B【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当a b <时，若0c 时22ac bc <不成立；当22ac bc <时，则必有a b <成立，∴“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.故选：B3．A【解析】【详解】 分析：代数式45x x ++可以配凑成4555x x ++-+，因50x +>，故可以利用基本不等式直接求最小值. 详解：4455225155x x x x +=++-≥⨯-=-++，当且仅当3x =-时等号成立，故选A. 点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.4．D【解析】【分析】根据指数函数的性质求得1a >，1b =，根据对数函数的性质求得01c <<，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.70033,11a b e >====，由对数函数的性质，知3330log 1log 2log 31=<<=，即01c <<所以c b a <<.故选：D5．C【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由10x ->，解得1x <，也即函数的定义域为(),1-∞，由此排除A,B 选项.当12x =时，1ln 02y =<，由此排除D 选项.所以正确的为C 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.6．A【解析】【分析】利用tan α表示2sin cos 2cos sin αααα+-，代入求值. 【详解】 ()tan tan 3παα-=-=-，即tan 3α=，2sin cos 2tan 172cos sin 2tan αααααα++==---. 故选：A7．D【解析】【详解】∴f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数），∴f （0）=1+b=0，解得b=-1∴f （1）=2+2-1=3．∴f （-1）=-f （1）=-3．故选D ．8．D【解析】【分析】根据题意，函数()y f x =与y m =图像有两个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为关于x 的方程()0f x m -=恰有两个不同的实数解，所以函数()y f x =与y m =图像有两个交点，作出函数图像，如图，所以[1,3){0}m ∈⋃时，函数()y f x =与y m =图像有两个交点，所以实数m 的取值范围是[1,3){0}⋃故选：D9．BD【解析】【分析】分别判别四个选项的函数的定义域及对应关系是否相同，即可得解.【详解】对于A ，函数2()lg f x x =的定义域为{}|0x x ≠，函数()2lg g x x =的定义域为{}|0x x >，两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A 错误；对于B ，函数()1f x x 的定义域为R ，函数()1g x x ==-的定义域为R ，并且对应关系相同，是同一函数，故B 正确；对于C ，函数()2,f x x x =+∈R 与函数()2,g x x x =+∈Z 定义域不同，不是同一函数，故C 错误；对于D ，函数()f u =[)1,1-，函数()f t =[)1,1-，并且对应关系相同，是同一函数，故D 正确；故选：BD10．ACD【解析】【分析】对于选项A ：根据图像和已知条件求出A 和最小正周期T ，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，通过代点求出ϕ即可；对于选项BC ：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D ：利用伸缩变换即可求解.【详解】由题图可知，2A =，周期2434T ππππω⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 所以23ω=，则22sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为当4x π=时，22sin 234y πϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin φ16， 所以262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，故3πϕ=，从而22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确； 令233x k ππ+=，k Z ∈，得322x k ππ=-+，k Z ∈，故B 错误； 令2222332k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得53344k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，故C 正确； 函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变， 可得到22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：ACD.11．ABD【解析】【分析】由题意知，﹣3和4是方程ax 2+bx +c ＝0的两根，且a ＞0，利用韦达定理可推出12b a c a=-⎧⎨=-⎩，再代入解选项中的不等式，即可． 【详解】由题意知，﹣3和4是方程ax 2+bx +c ＝0的两根，且a ＞0，即选项A 正确； 由韦达定理知，34(3)4b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b a c a =-⎧⎨=-⎩， 所以不等式bx +c ＞0可化为﹣ax ﹣12a ＞0，即x +12＜0，解得x ＜﹣12，即选项B 正确；不等式cx 2﹣bx +a ＜0可化为﹣12ax 2+ax +a ＜0，即12x 2﹣x ﹣1＞0，解得x ＜﹣14或x ＞13，即选项D 正确；因为1∉{x |x ≤﹣3或x ≥4}，所以当x ＝1时，有a +b +c ＜0，即选项C 错误．故选：ABD ．12．AD【解析】【分析】利用集合间的包含关系可求出集合P 进而判断A ；利用特称命题的否定是全称命题可判断B ；利用函数的奇偶性可判断C ；利用常数分离法及指数函数的性质可判断D.【详解】对于A ，满足{}{,,}a P a b c ⊆的集合P 可以{,},{,},{,,}a b a c a b c ，故A 正确；对于B ，命题“x R ∃∈，使210x x +-<”为特称命题，特称命题的否定是全称命题，故其否定是“x R ∀∈，有210x x +-≥”，故B 错误；对于C ，由211221()()211212x x x x x x f x f x ，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故C 错误； 对于D ，变形212122()1212121x x x x x f x +--===-+++，由20211x x ，20221x ∴<<+， 22021x ∴-<-<+，211121x ∴-<-<+，即函数()f x 的值域为(1,1)-，故D 正确； 故选：AD13．1-.【解析】【分析】本题直接运算即可得到答案.【详解】解：1515lg 2lg 2lg lg 42lg102121222-⎛⎫+-+-=-=- ⎝⎭==-⎪，故答案为：1-.【点睛】本题考查指数幂的运算、对数的运算，是基础题.14．(0,2]【解析】【分析】根据定义域的求法：()())0f x g x ≥（n 为偶数）、()()()()log 0a f x g x g x =>．【详解】 由题意得200021log 002x x x xx >>⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨-≥<≤⎩⎩【点睛】常见函数定义域的求法：()())0f x g x ≥（n 为偶数）()()()()log 0a f x g x g x =>()()()()0g x f x f x ≠ 15．6π（答案不唯一）；【解析】【分析】 由于3sin 23sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据平移求解即可. 【详解】 解：由于3sin 23sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故将函数3sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度可得3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数图像. 故答案为：6π16．(),1-∞-【解析】【分析】先讨论0a =时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解.【详解】当0a =时，则220ax x a ++<化为20x <（不恒成立，舍），当0a ≠时，要使220ax x a ++<对一切R x ∈恒成立， 需20440a a <⎧⎨-<⎩，即1a <-， 即a 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.17．(1)1()f x x x=+(2)(1)2f -=-(3)()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；证明见解析【解析】【分析】（1）直接将点(1,2)的坐标代入函数中求出b ，从而可求出函数解析式，（2）直接利用解析求解即可，（3）利用单调性的定义直接证明即可(1)∴函数∫()b f x x x=+过点(1,2)，∴121b +=， ∴1b =，得()f x 的解析式为：1()f x x x=+． (2)1(1)121f -=-+=--． (3)()f x 在区间(1,)+∞上单调递增证明：12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，有12121211y y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1212121x x x x x x --=．∴1212,(1,),x x x x ∈+∞<，∴121210,0x x x x ->-<．∴()()12121210x x x x x x --<，即12y y <． ∴()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．18．（1）sin 29α=-7cos 29α=-；（2）97+ 【解析】（1）根据象限和公式22sin cos 1αα+=求出α的正弦，再用倍角公式计算即可（2）求出角α正切值，再展开πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入tan α计算即可. 【详解】解：（1）1cos 3α=，由22sin cos 1αα+=得， 228sin 1cos 9αα=-=， 又α是第四象限角，sin α∴= sin 22sin cos ααα∴=，= 22cos 2cos sin =-ααα79=-. （2）由（1）可知sin tan cos ααα==- πtan tanπ4tan π41tan tan 4ααα-⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭+⋅，== 19．（1）当且仅当6,12a b ==时，a b +取得最小值为18 ；（2）[16,)+∞ ．【解析】【分析】（1）化简得2828()28b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求最值； （2）由题得88xy x y =++≥，再解一元二次不等式得解.【详解】（1）原式2828()28b a a b a b a b ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭1018≥+=， 当且仅当6,12a b ==时取等号，所以a b +最小值为18.（2）88xy x y =++≥，80-≥，即2)0≥4≥，所以16xy ≥，当且仅当4x y ==取等号所以xy 的取值范围为[16,)+∞20．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】【分析】（1）先由周期为π求出2ω=,再根据222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈进行求解即可； （2）先求出52666x πππ-≤-≤,可得12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】（1）解：∴2T ππω==,∴2ω=,又∴0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈, ∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∴02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题21．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【解析】【分析】（1）由题设可得方程0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅，求出p ，进而写出函数模型； （2）由（1）所得模型，结合题设0.08n r ≤，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.【详解】（1）由题意得：02r =，1 1.94r =，∴当1n =时，()0.510015p r r r r +=--⋅，即0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅，解得0.5p =-，∴()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈.（2）由题意得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤，整理得：0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得：lg3205055.lg .n -≥，整理得：5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 将lg 20.3=代入，得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-，又*n N ∈， ∴6n ≥， 综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.22．（1）()34x x f x =-；（2）254,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）由函数()f x 是奇函数，求得1a =-，再结合函数的奇偶性，即可求解函数()f x 在[0,4]上的解析式；（2）把[]2,1x ∈--，不等式()232x x m f x ≤-恒成立，转化为1223x xm ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造新函数()1223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本初等函数的性质，求得函数的最值，即可求解． 【详解】解：（1）由题意，函数()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，所以()010f a =+=，解得1a =-，又由当[]4,0x ∈-时，()1114343x x x xa f x =+=-， 当[]0,4x ∈时，则[]4,0-∈-x ，可得()114343---=-=-x x x x f x ， 又()f x 是奇函数，所以()()34x x f x f x =--=-，所以当[]0,4x ∈时，()34x x f x =-．（2）因为[]2,1x ∈--，()232x x m f x ≤-恒成立， 即1422133x x x xm -≤-在[]2,1x ∈--恒成立，可得14321x x x m +≤在[]2,1x ∈--时恒成立， 因为20x>，所以1223x x m ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设函数()1223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据基本初等函数的性质，可得函数()g x 在R 上单调递减， 因为[]2,1x ∈--时，所以函数()g x 的最大值为()2225412223g --⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以254m ≥，即实数m 的取值范围是254,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及利用分离参数，结合函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．。

2020-2021广州市高中必修一数学上期中模拟试卷(附答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞） 2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(]1,2 C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)26．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．137．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，8．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥10．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-11．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<12．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b二、填空题13．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___. 14．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．15．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．16．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.17．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．18．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋1a 4Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？22．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.23．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式()220xx f k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.24．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围. 25．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元． （1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？ 26．计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-+++++⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.8．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.10．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.11．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.12．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.二、填空题13．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩ 则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000, 当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.14．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t ty t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值15．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.16．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2，第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.17．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-【解析】 【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤ 【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元. 【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得1()422504f x x x =-++，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+= （2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 考点：1.函数建模；2.二次函数.22．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1-【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围． 【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.(2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-；当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解， 则a 的取值范围是()1,1-. 【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围． 23．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞. 【解析】 【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数， 故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==．（2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ， 化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ， 记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-． 【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 24．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞U U ，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围. 试题解析： （1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4>∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃ （i ）若C ∅=，即1m m 1->-， 解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃ ∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-， 解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞，. 25．（1）900,030,120010,3075,x x N y x x x N ++<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩；（2）当人数为60时，旅行社可获最大利润. 【解析】 【分析】（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，用900减去优惠费用，求得y 的表达.由此求得每人需交费用y 关于人数x 的分段函数解析式.（2）用收取的总费用，减去15000，求得旅行社获得利润的分段函数表达式，利用一次函数和二次函数最值的求法，求得当人数为60时，旅行社可获得最大利润. 【详解】（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，90010(30)120010y x x =--=-即900,030,120010,3075,x x N y x x x N ++<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩； （2）设旅行社所获利润为S 元，则 当030x <≤时，90015000S x =-；当3075x <≤时，2(120010)1500010120015000S x x x x =--=-+-即290015000,030,10120015000,3075,x x x N S x x x x N ++-<≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩Q 当030x <≤时，900 15000S x =-为增函数30x ∴=时，max 12000S =，当3075x <≤时，210(60)21000S x =--+，60x =，max 2100012000S =>.∴当人数为60时，旅行社可获最大利润.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查一次函数、二次函数的值域的求法，属于中档题. 26．（1）9512；（2）3. 【解析】 【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=． 【点睛】 本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.。

高一入学测试数学卷（考试时间：120分钟，总分150分）一、选择题（每小题5分，共60分） 1.在函数31-=x y 中，自变量x 的取值范围是…………………………..( )A. 3≠xB. 3>xC. 3<xD. 3≥x2.下列各式正确的是……………………………………………..…………（ ）A 、22()x y += 2x +4y B 、23(2)()2y y y ⋅-=-C 、623b b b ÷=D 、-2222a a a +=3．右图中几何体的左视图是………………………….……………………..( )4.如图，在正方形网格上有6个三角形①△ABC ，② △BCD ，③ △BDE ，④ △BFG ，⑤ △FGH ，⑥ △EFK ， 其中②～⑥中与三角形①相似的是………....（ ）A 、②③④B 、③④⑤C 、④⑤⑥D 、②③⑥5.下列计算正确的是（ ） A. a +2a 2=3a 3B. a 2·a 3=a 6C. 32()a =a 9D. a 5÷a 4= a （a ≠0）6．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为A ．21或-B ．2C ．1-D ．2- 7.如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。

若EF＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于 A ．43 B ．35 C ．34 D ．458. 若一次函数y =kx +b (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A. k <0B. k >0C. b ＜0D. b >0A ．B ．C ．D ．（第3题）(第四题)(7题图)9. 在数轴上表示不等式组11,21x x ⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩的解集，正确的是（ ）10. 已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a ﹣b +c =0；②b 2＞4ac ；③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为ax 41-=． 其中结论正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程0122=+-k x x 的两个根，则k 的值是( )A .27B .36C .27或36D .18 12.定义b a ab b a ++=*，若273=*x ，则x 的值是、（ ）A. 3B. 4C.6D.9 二、填空题（每小题5分，共20分）13.抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图5所示，若0>y ，则x 的取值范围是14. 已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+的值等于15.记函数y 在x 处的值为()f x （如函数2y x =也可记为2()f x x =，当1x =时的函数 值可记为(1)1f =）。

外国语2021-2021学年高一下学期入学考试创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕，，那么( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵集合，集合，∴集合，应选．的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据根号下的式子非负，分母不等于0，列出不等关系，解得函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：1＜x≤3，应选：D．【点睛】此题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式及分式的性质，是一道根底题．3.，那么〔〕A. B. 7 C. D. -7 【答案】A【解析】【分析】由条件利用两角和的正切公式运算可得结果.【详解】利用两角和的正切公式可得此题正确选项：【点睛】此题考察两角和的正切公式的应用，属于根底题．，那么〔〕A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求的值，从而可得的值.【详解】由得=＝，那么＝-1=，应选：A．【点睛】此题考察求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．的图象大致形状是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置即可得到结果．【详解】函数f〔x〕是奇函数，判断出B，D不符合题意；当x＝1时，f〔1〕，选项C不成立，应选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：〔1〕从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；〔2〕从函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕从函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.，且，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式将转化为的形式，然后利用同角三角函数关系式求得的值.【详解】依题意，由于，属于，故.所以选D.【点睛】本小题主要考察三角函数的诱导公式，考察同角三角函数的根本关系式中的平方关系.对于三角函数的化简，遵循这样的原理“奇变偶不变，符号看象限〞.其中“奇偶〞说的是是奇数还是偶数.在运用三角函数的根本关系式是，要注意角的终边所在的象限引起的三角函数值正负的变化.的图象，只要把函数图象上所有的点〔〕A. 向左平行挪动个单位长度B. 向右平行挪动个单位C. 向左平行挪动个单位长度D. 向右平行挪动个单位【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．【详解】由诱导公式可知：又那么，即只需把图象向右平移个单位此题正确选项：【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，关键在于可以根据诱导公式将异名函数统一为同名函数，再根据左右平移的规律得到结果.，，假设，那么〔〕A. -1B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由可求得，然后利用同角三角函数根本关系式化弦为切求解．【详解】，，且，即那么此题正确选项：【点睛】此题考察数量积的坐标运算，三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数根本关系式的应用；在解决关于、的齐次式问题时，通常采用构造的方式进展简化运算.，，，那么、、的大小关系为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把化为的形式，再根据幂函数的单调性，得到的大小关系．【详解】由题意得：，，在上是增函数且此题正确选项：【点睛】此题主要考察利用幂函数的单调性比拟大小问题.比拟大小类问题常用的解决方法有构造函数统一的函数模型，利用函数单调性来进展比拟.，那么使得成立的的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式可求得，得为偶函数；根据单调性的性质可得在为增函数，据此可将不等式变为，解不等式得到结果．【详解】由可得：那么函数为偶函数当时，此时单调递增；单调递减根据单调性的性质可得在为增函数那么解得：，即不等式的解集为此题正确选项：【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是可以通过奇偶性和单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式．，，满足，，向量，和向量的夹角为，那么的最大值等于〔〕A. B. 1 C. 4 D. 2【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积求得的夹角，在利用向量的运算法那么作出图，结合图象，判断出四点一共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，即可求解.【详解】如下图，设因为，，，所以四点一共圆,因为，，所以，由正弦定理知，即过四点的圆的直径为2，所以||的最大值等于直径2【点睛】此题主要考察了平面向量的数量积的运算，向量的运算法那么，以及三角形中正弦定理的应用，其中解答中合理利用向量的数量积和向量的运算法那么，断定出四点一共圆，再利用正弦定理求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题.，关于的方程，，恰有6个不同实数解，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过分类讨论，将函数表示成分段函数的形式，从而作出函数的图象，利用换元法设，将方程转化为一元二次方程，利用数形结合将问题转化为有两个不同的根，且，；由将方程变为，根据判别式、两根之和、两根之积的范围，求得的范围．【详解】当时，；当时，；当时，；当时，即，那么作出函数的图象如以下图：设，，那么方程等价为有图像可知：方程，，恰有个不同实数解等价于方程有两个不同的根且满足，当时，，即此时方程等价为那么判别式：又，那么，即同时，得，得综上所述：，即的取值范围是此题正确选项：【点睛】此题主要考察函数与方程的应用，主要考察方程根的分布的问题；求出函数的解析式，作出函数的图象，利用换元法转化为一元二次方程根与系数之间的关系是解决此题的关键．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕，且，那么函数的图象必过点______．【答案】〔-3，-3〕【解析】【分析】利用指数函数过定点的性质进展判断．【详解】方法1：平移法∵y=a x过定点〔0，1〕，∴将函数y=a x向左平移3个单位得到y=a x+3，此时函数过定点〔-3，1〕，将函数y=a x+3向下平移4个单位得到y=a x+3-4，此时函数过定点〔-3，-3〕．方法2：解方程法由x+3=0，解得x=-3，此时y=1-4=-3，即函数y=a x+3-4的图象一定过点〔-3，-3〕．故答案为：〔-3，-3〕．【点睛】此题主要考察指数函数过定点的性质，假如x的系数为1，那么可以使用平移法，但x的系数不为1，那么用解方程的方法比拟简单，属于中档题.，，，假设向量与一共线，那么向量在向量方向上的投影为______．【答案】.【解析】试题分析：根据向量一共线求出λ，计算，代入投影公式即可．详解：向量=〔1，λ〕，=〔3，1〕，向量2﹣=〔﹣1，2λ﹣1〕，∵向量2﹣与=〔1，2〕一共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=〔1，〕，∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞=故答案为：0．点睛：这个题目考察的是向量根本定理的应用；向量的点积运算。

某某省某某市番禺区洛溪新城中学2020-2021学年高一数学下学期4月月考试题一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)1. 设，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2.已知向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=，若//(2)c a b +，则m =（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知锐角ABC ∆的面积为32,且2,3b c ==,则A =( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°4.在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC ＝，若AD mAB nAC =+，则n m =（ ） A ．13B ．12C ．2D ．35.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足2cos b c A =，则ABC ∆的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形6. 设的内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c 若3a b c +=，sin 2sin A B =，则角C =（）A ．6πB ．3π C ．34πD ．56π7.. 一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（ ）A ．52 海里/时B ．5海里/时C ．102海里/时D ．10海里/时8.已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,3b =，其中[]0,θπ∈，则a b ⋅的取值X 围是（）A ．[]1,2-B ．[]1,1-C ．[]22-,D ．3,2⎡⎤-⎣⎦二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡)9. 化简以下各式，结果为0的有（ ）A ．AB BC CA ++B ．AB AC BD CD -+-C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-10. 已知向量，，，设的夹角为，则（）A.C.D.11. 已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =-，设函数()f x m n =⋅，下列关于函数()f x 的描述错误的是（）A ．关于直线12x π=对称B ．关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．相邻两条对称轴之间的距离为2πD ．在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 12.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin sin AB >，则A B >；B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；C ．若222cos cos cos 1A B C +-=，则ABC 为直角三角形；D ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B <.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，，且，则实数m 的值是________．14.已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则a = ________．15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________.16. 在四边形ABCD 中，已知AB ＝(4，－2)，AC ＝(7，4)，AD ＝(3，6)，则四边形ABCD 的面积是四、解答题（本题共6小题，共70分）17. （10分）已知复数()()()1124z ai i i a R =++++∈．（1）若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；（2）求1z -的取值X 围．18.（10分）已知向量(2,1),(1,)a b x =-=．（Ⅰ）若()a a b ⊥+，求||b 的值；（Ⅱ）若2(4,7)a b +=-，求向量a 与b 夹角的大小．19.（12分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A =+. （1）求角A 的大小；（2）若3b =，4c =，2BD DC =，求AD 的长20. （12分）在ABC 中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,且()2cos cos 0a c B b C ++=.(1)求角B 的大小;(2)若b =,3ac =,求ABC 的面积和周长.21. （12分）设(2sin ,cos 2)OA x x =，(cos ,1)OB x =-，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x OA OB =⋅的最值及取最值时对应的x 值.（2）当OA OB ⊥时，求x 的值.22.（12分）在三角形ABC 中，有2324B C sin sinBsinC -＋＝. (1) 求角A ；(2)设CD 是AB 边上的中线，若45ABC ∠︒＝，2,AC BC ==CD 的长高一下学期第一次月考一、单选题：1. 【答案】A【解析】因为()211z i i i i i =-=-=+，所以，故，故选：A2.【答案】C.【详解】由题意，向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=，可得2(4,2)a b +=， 因为//(2)c a b +，可得142m =，解得2m =.故选：C. 3.【答案】B 【解析】113sin 23sin 3222ABC S bc A A A ==⋅==． 3sin A ∴=;60120A ︒︒∴=或； 又ABC ∆是锐角三角形，60A ∴=︒.故选B4.【答案】D 【详解】解：因为3BD DC =，所以3BD DC =，所以3()AD AB AC AD -=-， 故3144AD AC AB =+， 若AD mAB nAC =+，则14m =，34n =， 所以3n m=．故选：D ．5.【答案】C 【解析】由正弦定理，2cos sin 2sin cosA b c A B C =⇒=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+sin cos cos sin =2sin cosA A C A C C ∴+即sin cos =sin cosA A C C()sin cos sin cosA sin 0A C C A C ∴-=-=A C ∴=则ABC 为等腰三角形.故选：C.6.【答案】B【解析】根据正弦定理，由sin 2sin A B =，得2a b =，又3a b c +=，所以令2a t =，b t =，3c t =，0t >. 由余弦定理可得())222231cos 222t t t C t t +-==⨯⨯，又故0C π<<，所以3C π=.7.【答案】D 【详解】如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10海里，在直角三角形ABC 中，由正弦定理可得sin 30sin 90AB AC =︒︒，解得AB ＝5海里， 所以这艘船的速度是10海里/时.故选：D8.【答案】A【解析】cos 32sin 6a b πθθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭， []0,θπ∈，7,666πππθ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πθ⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，[]1,2a b ∴⋅∈-.故选：A.二、多项选择题 9【答案】ABCD【详解】A ：因为0AB BC CA AC CA ++=+=，所以本选项符合题意； B ：因为0AB AC BD CD CB BD CD CD CD -+-=+-=-=，所以本选项符合题意； C ：因为0OA OD AD DA AD -+=+=，所以本选项符合题意；D ：因为()0NQ QP MN MP NP MN MP NP PN ++-=+-=+=，所以本选项符合题意. 故选：ABCD10.【答案】BD【解析】根据题意，，，则，，依次分析选项：对于，2a ||=，，则不成立，错误；对于，，，则，即，正确； 对于，，，不成立，错误； 对于，，，则，2a ||=，，则2cos 22θ==-，则，正确；故选：BD ．11.【答案】ABD 【解析】因为向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =-， 所以()22cos 3sin 2f x m n x x ==⋅，cos 23212cos 213x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，2cos 116312f πππ⎛⎫++= ⎪⎝=⎝⎭⎛⎫ ⎪⎭，故A 错误； 2cos 10363f πππ⎛⎫++= ⎪⎝=⎝⎭⎛⎫ ⎪⎭，故B 错误； 因为T π=，所以22T π=，故C 正确； ,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，[],332+,03x ππππ⎛⎫∈⊄- ⎪⎝⎭-，故D 错误；故选：ABD12.【答案】AC【解析】对于A ，由正弦定理sin sin a b A B=，所以由sin sin A B >，可推出a b >，则A B >，即A 正确； 对于B ，取15,75A B ︒︒==，则sin 2sin 2A B =，而ABC 不是等腰三角形，即B 错误； 对于C ，()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1A B C A B C +-=-+---=， 则222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，故ABC 为直角三角形，即C 正确； 对于D ，若ABC 锐角三角形，取80,40A B ︒︒==，此时sin80cos40sin50︒︒︒>=，即sin cos A B >，故D 错误.三、填空题13.【答案】1【解析】∵；∴； ∴m ＝1．故答案为：1．14.【答案】-1【详解】若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则234040a a a ⎧--=⎨-≠⎩∴a ＝－1，故答案为：-115．【答案】34【详解】因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，222b a =, 所以cos B ＝2222a c b ac+-＝2224222a a a a a +-⋅＝34.故答案为：34． 16．【答案】30【详解】(3,6)BC AC AB AD =-==，又因为 (4,2)(3,6)0AB BC ⋅=-⋅=所以四边形ABCD 为矩形，所以()2224225,3AB BC =+-==+=所以2530S AB BC =⋅==.故答案为：30.四、解答题17. 【答案】（1）1a =-；（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【解析】（1）化简得()()()11243(5)=++++=-++z ai i i a a i ， 所以z 在复平面中所对应的点的坐标为()3,5-+a a ，在直线0x y -=上， 所以3(5)0--+=a a ，得1a =-．（2）1(2)(5)-=-++==z a a i因为a R ∈，且24926292++≥a a ，所以12-=≥z ，所以1z -的取值X 围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭．18.【答案】（Ⅰ）52（Ⅱ）4π． 【详解】 解：（Ⅰ）因为(2,1),(1,)a b x =-=，所以(3,1)a b x +=-+， 由()a a b ⊥+，可得()0a a b +=，即610x +-=，解得7x =，即(1,7)b =， 所以22||1752b =+=（Ⅱ）依题意2(4,21)(4,7)a b x +=-=-，可得3x =-，即(1,3)b =-， 所以2cos ,2||||510a b a b a b ⋅<>===⋅， 因为,[0,]a b π<>∈，所以a 与b 的夹角大小是4π． 19. 【答案】（1）3A π=；（2）2193AD =. 【详解】（1）因为2cos cos cos b A a C c A =+，所以由正弦定理可得 2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+, 即2sin cos sin()sin B A A C B =+=,因为sin 0B ≠,所以2cos 1A =，1cos 2A =， (0,)A π∈,故3A π=.（2）由已知得1233AD AB AC =+， 所以222144+999AD AB AB AC AC =+164443cos 99939π=+⨯⨯+⨯769=, 所以219AD =.20.【答案】(1)23π;(2)4 【解析】(1)由余弦定理,得222cos 2a c b B ac +-=,222cos 2a b c C ac+-=, 将上式代入()2cos cos 0a c B b C ++=,整理得222a c b ac +-=-,2221cos 222a cb ac B ac ac +--∴===-, 角B 为ABC 的内角,.23B ∴=π.(2)在ABC 中，11sinB 322ABC S ac =⋅⋅=⋅= 在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,将b =3ac =,23B π=, 代入得()2222cos b a c ac ac B =+--,()2113212a c ac ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭, 4a c ∴+=,ABC 的周长为4a c b ++=21.【答案】（1）当0x =时，函数()f x 取得最大值为1，当38x π=时，函数()f x 取得最小值为；（2）8π. 【解析】（1）∵(2sin ,cos 2)OA x x =，(cos ,1)OB x =-，∴()2sin cos cos2sin 2cos2f x x x x x x =-+=-+22x x ⎫=⎪⎪⎭，24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴32,444x ππ-∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 当244x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最大值为1， 当242x ππ-=时，即38x π=时，函数()f x 取得最小值为2. （2）当OA OB ⊥时，2204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2,4x k k Z ππ-=∈， ∵32,444x ππ-∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴204x π-=即8x π=时，2204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即当OA OB ⊥时，x 的值为8π.22.【答案】（1）π3.;(2) CD=2;【解析】(1)由已知，化简得1－cos (B －C )2＋sin B sin C ＝34， 1－cos B cos C －sin B sin C 2＋sin B sin C ＝34， 整理得cos B cos C －sin B sin C ＝－12， 即cos(B ＋C )＝－12， 由于0<B ＋C <π，则B ＋C ＝2π3，所以A ＝π3. (2)由题意得，AD=BD ，在ACD 中，由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅⋅；即()22212222CD AD AD =+-⋅⋅⋅① 在BCD 中，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC ABC =+-⋅⋅∠即((222222222CD BD BD AD AD =+-⋅⋅=+-⋅⋅② 联立①②得：4284AD AD -=-，解得AD=2 带入①式得：24CD =,即CD=2。

广东省广州市广东番禺中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试题一、单选题1．已知全集{N9}U x x =∈<∣，集合{1,2,3}A =，集合{0,4,5,6}B =，则()U A B ð等于（）A ．{3}B ．{7,8}C ．{4,5,6}D ．{4,5,6,0}2．已知命题:p x ∀∈R ，0x x +≥，则其否定为（）A ．x ∀∈R ，0x x +<B ．x ∃∈Z ，0x x +<C ．x ∃∈R ，0x x +<D ．x ∃∈R ，0x x +≤3．“02x <<”是“13x -<<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数2(1)mmy m x -=-为幂函数，则该函数为（）A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数5．已知0a b >>，则下列各式一定成立的是（）A ．3311b a >B ．11a b >C ．ac bc<D ．b m ba m a+<+6．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 表示同一个函数（）A ．()xf x x =，()1,0,1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩B ．()0f x x =，()1g x =C ．()f x x =，()g x =D ．()1f x x=，()2xg x x =7．已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则y =）A ．31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,9D ．35,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．若关于x 的不等式()24410a x x --+<的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A ．201493a <≤B ．201493a ≤<C ．2549916a <≤D ．2549916a ≤<二、多选题9．已知函数()2,02,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，则（）A ．()f x 的定义域为{}|0x x ≠B ．()f x 的值域为RC ．()f x 为增函数D ．()f x 的图象关于坐标原点对称10．下列选项错误的是（）A ．2ab b a +≥B ．44x x+≥C的最小值为D ．2212x x ++的最小值为1211．已知()()112,1x f x f x x -≤≤=->⎪⎩，则下列结论正确的是（）A ．()122f =B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的增区间为[]21,2k k -()N k ∈D ．()()212f f k -=()N k ∈三、填空题12．如果集合A 满足{}{}0,21,0,1,2A ⊆- ，则满足条件的集合A 的个数为（填数字）.13．已知函数()1,12,1x x x f x x ⎧-≤=⎨>⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦14．我们用符号{}max ,,a b c 表示,,a b c 三个数中较大的数，若231R,()max 3,,4322x f x x x x x ⎧⎫∈=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为.四、解答题15．设全集为U =R ，集合{}39A x x =≤<，{}26B x x =<<.(1)分别求A B ⋂，()()U U A B ⋃痧；(2)已知{}|1M x a x a =<<+，若M B B = ，求实数a 的取值范围.16．已知()2af x x x=++，[1,)x ∈+∞.(1)当12a =时，用单调性定义证明函数()y f x =的单调性，并求出函数()y f x =的最小值；(2)若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围；17．“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x 年，则其所需维修保养费用x 年来的总和为()2210x x +万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y 万元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到30万元以上；(2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（盈利总额年平均盈利额＝使用年数）18．二次函数()f x 最小值为2，且关于1x =对称，又()03f =.(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[]22-,上，=的图象恒在21y x m =-++图象的下方，试确定实数m 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]1,t t -上的最小值()g t .19．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若对任意的[],1,1a b Î-且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+成立.(1)证明：()f x 在[]1,1-上单调递增；(2)解不等式：11021f x f x ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；(3)若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.。