概率论中常见古典概型错题辨析

概率论中常见古典概型错题辨析
陈朝霞1 , 杨雨慧2
( 1 南京农业大学 理学院 , 江苏 南京 基础课部, 江苏 210095; 南京 210016) 2 南京工业职业技术学院
摘
要 : 古典概型是概率论教学中的难点之一 , 针对古典概型 分析中易出 现的错解 , 按非等 可能性 、 样本 空间不 一 、
例 3 : 考试时共有 N 张考签, n 个学生参加考试 ( n N ) , 每人随机抽取一张考签, 被抽过的考签立 即放回, 求在考试结束之后, 至少有一张考签没有被 抽到的概率。 有些学生认为 n 名考生可从 N 张签中任意地 重复抽取 , 所以样本空间中基本事件总数为 N 。设 事件 A = { 考 试结束 后至 少有 一张 考签没 有被 抽 到} , 事件 B = { 考试结束后每张考签都被抽到 } 。现 按两步来计算事件 B 的基本事件数 , 第一步, 从 n 个考生中任取 N 名 , 令其各抽一张不相同的考签 , 有 CN n ! 种方法 ; 第二步, 让余下 的 n - N 名考生 在 N 张考签中任意地重复抽取 , 有 N n - N 种方法。所以由 n- N 乘法原理知事件 B 含有 CN 个基本事件数, n N! N 从而 事 件 A 的 概 率 为 P ( A ) = 1 - P ( B ) = n- N CN n N! N 。 Nn 这个解法是错误的。事实上 , 事件 B 的概率计 算错了 , 现以 4 个学生 3 张考签为例来说明错解原 因。如果第一步让第 1、 2、 3 名学生依次抽取第 1、 2、 3 号考签, 第 2 步让第 4 名学生取 3 号考签; 再如第 一步取 1、 2、 4 名学生依次取第 1、 2、 3 号考签 , 第二 步让第 3 名学生取 3 号考签 , 如图 1 所示。 1 2 3 4 1 2 4 3
这是一个错解。因为 P 5 12 是第一个样本空间的
1 基本事件总数, 而 C 4 6 C 6 是事件 A 在第二个样本空
间中所含的基本事件数 , 它们不属于同一个样本空 间 , 所以本题的正确解是: P ( A ) =
1 C4 6 C6 5 或 P (A ) = C 12
收稿日期: 2004 07 21 作者简介: 陈朝霞 ( 1976 ) , 女 , 江苏海门人 , 南京农业大学助教 , 2003 级南京农业大学硕士研究生。
k = u
题的正解是 : P ( A ) =
A 中所包含的基本事件数 。在 古典概型 学习中 , 大 基本事件总数 家都能熟记公式, 但是在具体解题时 , 往往解错了, 也不知道错在哪里。本文对常见的几种错解类型进 行一些辨析。
2 事件的基本事件数与基本事件总数 不属同一样本空间所造成的错解
在同一个古典概率题中, 只要保持基本事件的 等可能性, 样本空间可以有不同的取法 , 但计算时 , 基本事件数和基本事件总数一定要在同一个样本空 间中, 否则就会产生错解。 例 2: 将大小相同的 6 个白球、 6 个黑球从袋中 一个接一个地取出 5 个 , 试求所取的 5 个球中恰有 4 个白球的概率。 设事件 A = { 所取的 5 球中恰有 4 个白球} 。 由于 5 个球的取法与先后顺序有关 , 所以样本 空间中共有 P 5 12 个基本事件。另外 , 由于题中关心所 取的 5 个球中有几个白球, 而并不关心这几个白球 是在哪几次取出的。因此可以用组合方式构成另一 个样本空间 , 显然其中共有 C 12 个基本事件。有些学 生把事件 A 的概率解为 P ( A ) = C6C6 5 。 P 12
事件重复 、 排列组合混淆等方面进行一一辨析 , 从而有助于古典概型的学习 。 关键词 : 事件 ; 古典概型 ; 辨析 中图分类号 : O211 文献标识码 :
3 4 C2 4+ C 4+ C 4 11 。 1 2 3 4= 16 C0 4+ C 4+ C 4+ C 4+ C 4
古 典 概 率 的 计 算 公 式 是: P ( A ) =
1 2
( 1 Nanjing Agricultural University , Nanjing 210095, China; 2. Nanjing Institute o f Industry T echnology , Nanjing 210016, China ) Abstract: Classical probability type is diff icult in teaching of probability theory. This paper analyzes common problems in classical probability according to unequal probability, non uniform of sample space, process duplicat ion, confusion of per mutation and combination in order to help the study of classical probability. Key words: process; classical probability type; analysis ( 责任编辑种取法。故事件 A 含有 C 2 C 4 C 2 个基本事 1 1 C1 2C4 C2 。 4 C6 由上述解知, 样本空间中基本事件是由组合方
件 , 所求的概率为 : P ( A ) =
法构成的。其中基本事件与 球取出的 先后顺序 无 关。但在上述解中把 第二步取得一个黄球 , 第三取 得一个白球 与 第二取得一个白球, 第三步取得一 个黄球 这类仅有部分顺序差异的结果, 视为不同的 基本事件, 这是一类在组合计算中混进了排列所造 成的错解。本题的正确解是: P( A ) =
第 4 卷第 3 期 2004 年 9 月
南 京工 业 职业 技术 学院 学报 Journal of Nanjing Institute of Industry Technology
Vol. 4, No. 3 Sep. , 2004
文章编号 : 1671 4644( 2004) 03 0086 03
图 1 抽签次序图
n
4
组合中混杂排列所造成的错解
由于这类错误在学生中犯得较多 , 因此特地把
它从基本事件重复所造成的错解中区分出来。 例 4: 袋中有红、 黄、 白三种颜色的球各 2 个 , 从 中任取 4 个球 , 试求恰得 2 个红球和 2 个其它不同 颜色的球的概率。 设事件 A = { 所取的 4 个球中恰有 2 个红球和 2 个其它不同颜色的球 } 。样本空间的基本事件总数 是 C4 6 。为使所取的 4 个球中恰有 2 个红球和 2 个其 它不同颜色的球 , 有些学生分三步完成。第一步, 从 2 个红球中取 2 个红球 , 有 C 2 2 种取法 ; 第二步, 在余 下的黄、 白 4 球中取的一球 , 有 C 1 4 种取法 ; 第三步 , 去掉第二步所取的同色球后, 再在余下的球里取一
题中事件 A 的 某些基本事件被重复使用。本题的 正确解如下 : 设事件 A = { 第 i 号考签未被抽到 } ( i = 1, 2, N ) , 则 P ( A ) = P ( i= 1A i ) =
N n n
P ( Ai) i= 1
P ( A iAj ) +
1 i< j N
+ ( - 1) N- 1 P ( i= 1Ai ) =
1 1 C2 2C2 C2 。 C4 6
结果表明, 这两种取法都是样本空间的同一个 基本事件, 而我们学生在解题中把它看成了 2 个不 n- N 同的基本事件, 类似地在 CN 中包含许多这 n! N 种重复 , 所以事件 B 的基本事件被重复使用 , 从而 造成了错解。本题的另一种错解是 : P ( A ) =
1 + (- 1) N- 2 CNN
C1 N 1 + Nn
( N - 1) n ( N - 2) n - C2 + N n N Nn
应考虑排列 。例如, 2 张 A 点和 1 张 2 点这三张牌
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南 京 工业 职 业技 术 学 院学 报
第 4卷第3 期
的取法 , 在考 虑顺序 的情形 之下有 以下 三种: ( A , A , 2) , ( A , 2, A ) , ( 2, A , A ) 。所以遗漏了基本事 件, 使 概 率 变 小。 本 题 的 正 确 解 是: P ( A ) = 13 12 3 。 133
n 2 n - 1 n C1 + CN N ( N - 1) + C N ( N - 2) + N ( N - (N - 1) ) Nn 从下面的正确解中, 不难发现这一错解的原因是解
5
遗漏基本事件所造成的错解
例 5: 从 13 张黑桃牌中有放回地 取 3 次, 试 求
A = { 所取的 3 张牌中恰有 2 张相同 } 的概率。 从 13 张黑桃牌中有放回地取 3 次 , 共有 133 种 取法 , 这是样本空间的基本事件总数。 A 所含的基 本事件数可按以 下方法数出 : 含两张 A 点的有 12 种 , 含两张 2 点的有 12 种, , 含两张 K 点的也有 12 种 , 故由加法原理知 , 事件 A 包含 13 12 个基 本事 件。所以事件 A 的概率为 : P ( A ) = 13 12 。 133 这个解法是错的。因为此解中遗漏 每三张牌
第 4 卷第 3 期
1 5 C4 6C6P 5 。 P5 12
陈朝霞 , 杨雨慧 : 概率论中常见古典概型错题辨析
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0=
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基本事件重复使用所造成的错解
( N - i) n i=1 Nn 这类错误不仅只在由排列方法构成的样本空间 (- 1) i- 1 CiN
中会产生, 而且在由组合方式构成的样本空间里, 解 得不当 , 也会发生这类错误。