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中考数学压轴题(2)

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斯恩中考数学压轴题（2）4.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '． （1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30 的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，． 设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--．又 点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上， 2(13)40a ∴--=，解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD = ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得3m =当2652m m -+=-时，解得3m =．∴当点P 运动到(3或(3或(32)-或(32)-时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 114222BM AB ∴==⨯=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠= ．112122EB BM ∴==⨯=，EM =4OE =．∴点M 的坐标为(4．但是，当4x =时，24645162453y =-⨯+=-+=-≠．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．5.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A (1，0)，B (－3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧03901＝＋－－＝＋＋－c b c b ············································································· 2分 解得⎩⎨⎧32＝＝－c b ························································································ 3分 ∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3． ············································ 4分 （2）存在．·································································································· 5分该抛物线的对称轴为x ＝－)(－－122⨯＝－1∵抛物线交x 轴于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于抛物线的对称轴x ＝－1对称．由轴对称的性质可知，直线BC 与x ＝－1的交点即为所求的Q 点，此时△QAC 的周长最小，如图1．将x ＝0代入y ＝－x 2－2x ＋3，得y ＝3． ∴点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1， 将B (－3，0)，C (0，3)代入，得⎩⎨⎧30311＝＝＋－b b k 解得⎩⎨⎧311＝＝b k ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3． ··············· 6分 联立⎩⎨⎧31＋＝＝－x x y 解得⎩⎨⎧21＝＝－y x∴点Q 的坐标为(－1，2)． ································································· 7分 （3）存在．·································································································· 8分设P 点的坐标为（x ，－x 2－2x ＋3）（－3＜x ＜0），如图2． ∵S △PBC ＝S 四边形PBOC －S △BOC ＝S 四边形PBOC －21×3×3＝S 四边形PBOC －29当S 四边形PBOC 有最大值时，S △PBC 就最大．∵S 四边形PBOC ＝S Rt △PBE ＋S 直角梯形PEOC ························································· 9分＝21BE ·PE ＋21(PE ＋OC )·OE ＝21(x ＋3)(－x 2－2x ＋3)＋21(－x 2－2x ＋3＋3)(－x ) ＝－23(x ＋23)2＋29＋827当x ＝－23时，S 四边形PBOC 最大值为29＋827．∴S △PBC 最大值＝29＋827－29＝827． ·············· 10分当x ＝－23时，－x 2－2x ＋3＝－(－23)2－2×(－23)＋3＝415．∴点P 的坐标为(－23，415)． ···························································· 11分6.如图，已知抛物线y ＝a (x －1)2＋33(a ≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问：当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．解：（1）把A (－2，0)代入y ＝a (x －1)2＋33，得0＝a (－2－1)2＋33．∴a ＝－33 ·························································································· 1分 ∴该抛物线的解析式为y ＝－33(x －1)2＋33 即y ＝－33x 2＋332x ＋338． ··························································· 3分（2）设点D 的坐标为(x D ，y D )，由于D 为抛物线的顶点∴x D ＝－)(－332332 ＝1，y D ＝－33×1 2＋332×1＋338＝33． ∴点D 的坐标为(1，33)．如图，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，则DN ＝33，AN ＝3，∴AD ＝22333)＋(＝6．∴∠DAO ＝60° ···················································································· 4分 ∵OM ∥AD①当AD ＝OP 时，四边形DAOP 为平行四边形． ∴OP ＝6∴t ＝6（s ） ······························································ 5分 ②当DP ⊥OM 时，四边形DAOP 为直角梯形． 过点O 作OE ⊥AD 轴于E ．在Rt △AOE 中，∵AO ＝2，∠EAO ＝60°，∴AE ＝1． （注：也可通过Rt △AOE ∽Rt △AND 求出AE ＝1） ∵四边形DEOP 为矩形，∴OP ＝DE ＝6－1＝5．∴t ＝5（s ） ·························································································· 6分 ③当PD ＝OA 时，四边形DAOP 为等腰梯形，此时OP ＝AD －2AE ＝6－2＝4．∴t ＝4（s ）综上所述，当t ＝6s 、5s 、4s 时，四边形DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．····················································································· 7分（3）∵∠DAO ＝60°，OM ∥AD ，∴∠COB ＝60°．又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝AD ＝6． ∵BQ ＝2t ，∴OQ ＝6－2t （0＜t ＜3） 过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ＝23t ． ··············································· 8分 ∴S 四边形BCPQ ＝S △COB －S △POQ＝21×6×33－21×(6－2t )×23t＝23(t －23)2＋8363 ······················································ 9分 ∴当t ＝23（s ）时，S 四边形BCPQ 的最小值为8363． ······························ 10分此时OQ ＝6－2t ＝6－2×23＝3，OP ＝23，OF ＝43，∴QF ＝3－43＝49，PF ＝433． ∴PQ ＝22QF PF ＋＝2249433)＋()(＝233 ······································ 11分 7.如图，已知直线y ＝－21x ＋1交坐标轴于A 、B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点C ，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．解：（1）C (3，2)，D (1，3)； ·············································································· 2分（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A (0，1)，D (1，3)，C (3，2)代入得⎪⎩⎪⎨⎧23931＝＋＋＝＋＋＝c b a c b a c 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧161765＝＝＝－c b a ················································· 4分∴抛物线的解析式为y ＝－65x 2＋617x ＋1； ······································· 5分（3）①当点A 运动到点F （F 为原B 点的位置）时∵AF ＝2221＋＝5，∴t ＝55＝1（秒）．当0＜ t ≤1时，如图1． B ′F ＝AA ′＝5t∵Rt △AOF ∽Rt △∠GB ′F ，∴OFOA ＝F B GB ''． ∴B ′G ＝OFOA ·B ′F ＝21×5t ＝25t正方形落在x 轴下方部分的面积为S 即为△B ′FG 的面积S △B ′FG∴S ＝S △B ′FG ＝21B ′F ·B ′G ＝21×5t ×25t ＝45t 2 ··························· 7分 ②当点C 运动到x 轴上时∵Rt △BCC ′∽Rt △∠AOB ，∴BC CC '＝OAOB． ∴CC ′＝OA OB ·BC ＝12×5＝52，∴t ＝552＝2（秒）．当1＜ t ≤2时，如图2．∵A ′B ′＝AB ＝5，∴A ′F ＝5t －5． ∴A ′G ＝255－t ∵B ′H ＝25t ∴S ＝S 梯形A ′B ′HG ＝21(A ′G ＋B ′H )·A ′B ′＝21(255－t ＋25t )·5 ＝25t －45 ···································································· 9分 ③当点D 运动到x 轴上时DD ′＝53 t ＝553＝3（秒）当2＜ t ≤3时，如图3． ∵A ′G ＝255－t ∴GD ′＝5－255－t ＝2553t－ ∴D ′H ＝53－t 5 ∴S △D ′GH ＝21(2553t－)(53－t 5)＝(2553t －)2∴S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′ －S △D ′GH＝(5)2－(2553t －)2＝－45t 2＋215t －425 ··································································· 11分（4）如图4，抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积．∵t ＝3，BB ′＝AA ′＝DD ′＝53∴S 阴影＝S 矩形BB ′C ′C ··········································································· 13分＝BB′·BC＝53×5＝15 ·······················································································14分1x－a 8.已知：抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝2分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（，），N（，）；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．解：（1）M (1，a －1)，N (34a ，－31a )． ······························································ 4分 （2）∵点N ′是△NAC 沿y 轴翻折后点N 的对应点∴点N ′与点N 关于y 轴对称，∴N ′(－34a ，－31a )． 将N ′(－34a ，－31a )代入y ＝x 2－2x ＋a ，得－31a ＝(－34a )2－2×(－34a )＋a 整理得4a 2＋9a ＝0，解得a 1＝0（不合题意，舍去），a 2＝－49． ···· 6分 ∴N ′(3，34)，∴点N 到y 轴的距离为3． ∵a ＝－49，抛物线y ＝x 2－2x ＋a 与y 轴相交于点A ，∴A (0，－49)． ∴直线AN ′的解析式为y ＝x －49，将y ＝0代入，得x ＝49． ∴D (49，0)，∴点D 到y 轴的距离为49． ∴S 四边形ADCN ＝S △ACN ＋S △ACN ＝21×29×3＋21×29×49＝16189 ············· 8分 （3）如图，当点P 在y 轴的左侧时，若四边形ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ．∴将点N 向上平移－2a 个单位可得到点P ，其坐标为(34a ，－37a )，代入抛物线的解析式，得：－37a ＝(34a )2－2×34a ＋a ，整理得8a 2＋3a ＝0．解得a 1＝0（不合题意，舍去），a 2＝－83． ∴P (－21，87) ················································································· 10分 当点P 在y 轴的右侧时，若四边形APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分．∴OA ＝OC ，OP ＝ON ，点P 与点N 关于原点对称．∴P (－34a ，31a )，代入y ＝x 2－2x ＋a ，得31a ＝(－34a )2－2×(－34a )＋a ，整理得8a 2＋15a ＝0． 解得a 1＝0（不合题意，舍去），a 2＝－815． ∴P (25，－85) ················································································· 12分 ∴存在这样的点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为(－21，87)或(25，－85)．。

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2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何之圆的专题(二)

2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何之圆的专题(二)

2021年九级中考数学压轴题满分训练–几何之圆的专题（二）1．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交圆O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，点F是OA中点，FG⊥OA，FG分别交AD，DE于点H，点G，cos∠ABD＝．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：△DGH是等腰三角形；（3）若FG＝9.5，求⊙O的周长．2．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．（1）求证：∠BAC＝2∠CDE；（2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径．3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE；（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．4．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4AE•CE；（3）如图2，点G是AB下方的半圆的中点，连接CG交AD于点F，连接OF，若AC ＝10，DE＝12，求OF的长．5．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连接CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连接BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连接AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD＝6，∠D＝60°，∠ACB＝45°，连接OB交AC于点E．在CB的延长线上取一点P，使AP∥BE．（1）求AC的长；（2）求证：直线PA与⊙O相切．7．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．8．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图1，若∠P＝40°，求∠ABP的度数；（2）如图2，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．9．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．10．如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．（1）求证：∠DAF＝∠ADF；（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．11．如图，点A、B、C、D四点顺次在⊙O上，＝，BM⊥AC于M，小华对此进行了研究：首先，他取△ABD为正三角形，且AC为⊙O的直径，计算后发现：AM＝DC+CM；接着，他取△ABD为等腰直角三角形，AC平分∠BAD，试问：AM＝DC+CM 还成立吗？小华利用这种情形还计算出tan22.5°＝﹣1，请问他的结论正确吗？另外，小华还猜想：一般地，AM＝DC+CM恒成立，请你帮助他证明或否定这个结论．（对于前面两问只需作出肯定或否定的回答，无须证明）12．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．13．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．∠DAO＝105°，∠E＝30°．（1）求证：AC平分∠DAO；（2）求∠OCE的度数；（3）若⊙O的半径为，求线段EF的长．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BD＝4，CF＝4，求AE的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）如图1，连接OD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知，OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠ODA+∠ADE＝90°，∵∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠ADE＝90°，∵FG⊥AB，∴∠OAD+∠AHF＝90°，∴∠ADE＝∠AHF，∵∠AHF＝∠DHG，∴∠ADE＝∠DHG，∴DG＝HG，∴△DGH是等腰三角形；（3）如图2，连接OG，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝OB＝r，∵点F是OA的中点，∴OF＝OA＝r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAD+∠AHF＝90°，∴∠AHF＝∠ABD，∵cos∠ABD＝，∴cos∠AHF＝，在Rt△AFH中，cos∠AHF＝＝，设FH＝3a，则AH＝5a，根据勾股定理得，AH2﹣FH2＝AF2＝r2，∴a＝r（舍去负值），∴FH＝3a＝r，∴DG＝HG＝FG﹣FH＝9.5﹣r，在Rt△OFG中，OG2＝OF2+FG2，在Rt△ODG中，OG2＝DG2+OD2，∴OF2+FG2＝DG2+OD2，∴（r）2+（9.5）2＝（9.5﹣r）2+r2，∴r＝0（舍）或r＝8，∴⊙O的周长为2π×8＝16π．2．解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝BAC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠ADC＝∠ODE，∴∠CDE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∵∠CAD＝BAC，∴∠BAC＝2∠CDE；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵cos∠ABC＝，∴AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴＝＝，∴＝＝，∴DE＝8，x＝，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．3．（1）证明：连接CD．∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABC，∴∠DAF＝∠ACD，∴∠DAF+∠DAC＝90°，∴∠FAC＝90°，∴AF为⊙O的切线．（2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，∴AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠AED，∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ADO，∴∠ADO＝∠AED，∵∠OAD＝∠DAE，∴△ADO∽△AED，∴＝，∴AD2＝AO•AE．（3）解：过点B作BJ⊥EC于J．∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴sin∠BAC＝＝，∴可以假设BC＝a，AC＝3a，∵BJ⊥AC，∴∠AJB＝90°，∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，∴∠CBJ＝∠BAC，∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，∴CJ＝a，∴BJ＝＝＝a，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，∴∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB＝a，∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，∵AF∥BJ，∴＝，∴，∴a＝，∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．4．解：（1）连接OD，交BC于点H，∵OA＝OD＝r，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠CAD＝∠DAO，∴∠CAD＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴直线DE为圆O的切线；（2）连接CD，∵OD∥AE，BC⊥AE，∴BC⊥OD，又∵，∴CH＝BH，又∵DE⊥OD，BC⊥OD，∴BC∥DE，∴四边形DECH为矩形，∴DE＝，∠EDC＝∠DCH＝∠DBC＝∠CAE，∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EDA，∴DE2＝EC•AE，∴（BC）2＝EC•AE，∴BC2＝4EC•AE；（3）如图，连接OD交BC于H，过点F作FK⊥BC于K，FJ⊥AF于J，FT⊥AB 于T．∵AC＝10，DE＝12，四边形DECH为矩形，∴CH＝DE＝12，CH＝BH＝12，∠DHC＝90°，∴，∴OA＝OB＝OD＝13，∵G为圆O中直径AB的中点，，∴∠ACG＝∠GCB，∵AD平分∠CAB，∴点F是△ACB的内心，四边形CKFJ是正方形，设边长为r，则（AC+BC+AB）•r＝•AC•BC，∴r＝4，∴FT＝CJ＝4，∵AC＝10，∴AJ＝AT＝6，∵OA＝OB＝13，∴OT＝7，∴OF＝＝＝．5．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．6．解：（1）∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．∵AD＝6，∠D＝60°，∴AC＝AD•sin60°＝6×＝3；（2）∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°．∵BE∥AP．∴∠PAO+∠AOB＝180°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA．∴直线PA与⊙O相切．7．（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sin B＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin B，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）连接CO，∵CD＝2CE，设CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，设⊙O的半径为r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB•BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cos B＝．8．解：（1）∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠ABP的度数为50°；（2）如图，连接AC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵D为AP的中点，∴DC＝AD＝DP，∴∠DAC＝∠DCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC+∠DAC＝∠OCA+∠DCA，∵∠OAC+∠DAC＝∠BAP＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°．∵OC是半径，∴直线CD是⊙O的切线．9．（1）①证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．②证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（2）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3，∴ON＝＝4，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝8，∴CD＝＝＝4．10．（1）证明：连接BD，∵D为的中点，∴＝，∴∠DAC＝∠ABD，∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，∴∠DEA＝∠ADB＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，∴∠ADF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADF；（2）解：连接OD交AC于H，∵＝，OD过O，∴OD⊥AC，AD＝CD＝2，在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，即52﹣OH2＝（2）2﹣（5﹣OH）2，解得：OH＝3，∵D为的中点，OD过O，∴AH＝CH，∵AO＝BO，∴OH＝BC，∴BC＝2OH＝6．11．解：（1）成立．在MA上截取ME＝MC，连接BE，如图，∵BM⊥AC，而ME＝MC，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵＝，∴∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD＝180°，∠BEA+∠BCE＝180°，∴∠BEA＝∠BCD，而∠BAE＝∠BDC，所以△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AM＝DC+CM．（2）结论正确．理由：如图，当△ABD是等腰直角三角形时，设BC＝CD＝m，则BM＝CM＝m，∵∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∴AM＝CD+CM＝m+m，∴tan∠BAM＝＝＝﹣1，∴tan22.5°＝﹣1．12．（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∵OA＝OB，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4（cm），∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AC＝AB，∵AD＝3cm，∴AC＝＝＝5（cm），∵DE⊥AC，∴DE＝＝＝（cm），∴AE＝＝＝（cm）．13．（1）证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAO；（2）解：∵AD∥OC，∠DAO＝105°，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°；（3）解：如图，作OG⊥CE于点G，根据垂径定理，得FG＝CG，∵OC＝，∠OCE＝45°．∴CG＝OG＝2，∴FG＝2，在Rt△OGE中，∵∠E＝30°，∴GE＝，∴EF＝GE﹣FG＝．14．（1）证明：连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切；（2）解：连接BE．∵BD＝4，∴CD＝BD＝4，∵CF＝4，∴DF＝＝＝8，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴DF∥BE，∴EF＝FC，∴BE＝2DF＝16，∵cos∠C＝cos∠ABC，∴，∴，∴AB＝20，∴AE＝＝＝12．15．（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°，而∠A＝∠CBD，∴∠ODA+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴CB2＝CD•CA，∵CD＝1，BC＝2，∴CA＝4，∴BD＝＝，∴AB＝＝2，设圆O的半径为r，则OB＝2﹣r，∵OB2＝OD2+BD2，∴，解得r＝．。

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)类型一图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.(1)如图1，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求证：MN＝AC；(2)如图2，将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC相交于点G，P.连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】 (1)连接BD，由∠BAD＝60°，得到△ABD为等边三角形，进而证明点E是AB的中点，再根据相似三角形的性质解答；(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题．1．(20__·潍坊)边长为6的等边△ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DE∥AB，EC＝2.(1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．(2)如图2，将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)图1 图22．(20__·成都)如图1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.①如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tan C＝3，求AE的长；②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．类型二图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．翻折变换的实质是对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题．(20__·苏州)如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D，E分别在AB，BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为____．【分析】作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G，由∠B＝60°，BD＝BE，得到△BDE是等边三角形，由对称的性质得到△B′DE也是等边三角形，从而GD＝B′F，然后利用勾股定理求解．、3．(20__·安徽)在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30 cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为40或cm.图1 图24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．类型三图形的相似图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考查三角形相似的性质及判定，难度较大，是中考中常考的几何压轴题．与动点相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．(20__·青岛)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6) ，解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形；(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式．【分析】 (1)根据勾股定理求出AC的值，然后分类讨论：当AP＝PO时，求出t的值；当AP＝AO时，求出t的值；(2)过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G，分别用t表示出EH，DN，DG，再利用面积的和差计算即可．5．(20__·常德)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F.(1)如图1，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图2，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M.求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.图1 图2参考答案【例1】 (1)如图，连接BD，设BD交AC于点O，∵在菱形ABCD中，∠D AB＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形．∵DE⊥AB，∴点E为AB的中点．∵AE∥CD，∴＝＝.同理＝.∴M，N是线段AC的三等分点，∴MN＝AC.(2)∵AB∥CD，∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°.∵∠ADE＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝60°.当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质知，∠EDG＝∠FDP，∠GDP＝∠EDF＝60°.∵DE＝DF＝，∠DEG＝∠DFP＝90°，∴△DEG≌△DFP，∴DG＝DP，∴△DGP是等边三角形．则S△DGP＝DG2.由DG2＝3，又∵DG＞0，解得DG＝2.∴cos∠EDG＝＝＝，∴∠EDG＝60°.∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积是3.同理，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也是3.综上所述，当∠EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积是3.【变式训练】1．解：(1)当CC′＝时，四边形MCND′为菱形．理由：由平移的性质得CD∥C′D′，DE∥D′E′.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ACC′＝180°－60°＝120°.∵CN是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC′＝60°.∵AB∥DE，DE∥D′E′，∴AB∥D′E′，∴∠D′E′C′＝∠B＝60°，∴∠D′E′C′＝∠NCC′，∴D′E′∥CN.∴四边形MCND′为平行四边形．∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′为等边三角形，故MC＝CE′，NC＝CC′.又E′C′＝2，CC′＝，∴CE′＝CC′＝，∴MC＝CN，∴四边形MCND′为菱形．(2)①AD′＝BE′.理由：当α≠180°时，由旋转的性质得∠ACD′＝∠BCE′.由(1)知AC＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′.当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即AD′＝BE′.综上可知，AD′＝BE′.②连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP<AC＋CP，∴当A，C，P三点共线时AP最大，如图所示．此时，AP＝AC＋CP.在△D′CE′中，由P为D′E′中点，得AP⊥D′E′，PD′＝，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9.在Rt△APD′中，由勾股定理得AD′＝＝＝2.2．解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.∵∠BHD＝∠AHC＝90°，DH＝CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tan C＝3，∴＝3.设CH＝_，则BH＝AH＝3_，∴BC＝BH＋CH＝4_＝4，∴_＝1，∴AH＝3，CH＝1.由旋转的性质知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，∴∠EHA＝∠FHC，＝＝1，∴△EHA∽△FHC，∴∠EAH＝∠C，∴tan∠EAH＝tan C＝3.如图，过点H作HP⊥AE于点P，则HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，即AP2＋(3AP)2＝9.∴AP＝，∴AE＝.②由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形，设AH交CG于点Q，∴∠GAH＝∠HCG，∴△AGQ∽△CHQ，∴＝，∴＝，∠AGQ＝∠CHQ＝90°.∵∠AQC＝∠GQH，∴△AQC∽△GQH.又∵旋转角为30°，∴∠EHA＝∠FHC＝120°，∴∠QAG＝30°，∴＝＝＝＝2.【例2】如图，作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G，∵∠B＝60°，BD＝BE＝4，∴△BDE是边长为4的等边三角形．∵将△BDE沿DE所在的直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，∴GD＝B′F＝2.∵B′D＝4，∴B′G＝＝2.∵AB＝10，∴AG＝10－6＝4，∴AB′＝＝2.故答案为2.【变式训练】3．40或4．(1)证明：由折叠的性质知，DG＝FG，ED＝EF，∠AED＝∠AEF，∵FG∥CD，∴∠FGE＝∠AED，∴∠FGE＝∠AEF，∴FG＝FE，∴DG＝GF＝EF＝DE，∴四边形DEFG为菱形．(2)解：设DE＝_，根据折叠的性质，EF＝DE＝_，EC＝8－_，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－_)2＝_2.解得_＝5，CE＝8－_＝3.∴＝.【例3】(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝10 cm.①当AP＝PO时，如图，过点P作PM⊥AO，∴AM＝AO＝.∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴＝，∴AP＝t＝.②当AP＝AO时，t＝5.∵0＜t＜6，∴t＝或t＝5均符合题意，∴当t＝或t＝5时，△AOP是等腰三角形．(2)如图，过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PAO＝∠ECO.∵点O是对角线AC的中点，∴AO＝CO.又∵∠AOP＝∠COE，∴△AOP≌△COE，∴CE＝AP＝t.∵△CEH∽△CAB，∴＝，∴EH＝.∵S△ADC＝AD·DC＝DN·AC，∴DN＝＝.∵QM∥DN，∴△CQM∽△CDN，∴＝，即＝.∴QM＝，∴DG＝－＝.∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴＝＝，∴FQ＝，∴S＝S△OEC＋S△OCD－S△DFQ＝OC·EH＋OC·DN－DG·FQ＝－t2＋t＋12，即S与t的函数关系式为S＝－t2＋t＋12.【变式训练】5．证明：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中，∴△ABE≌△DBE.(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于H，∵AG＝BG，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，则BD＝4，∴BH＝DH＝2.∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC.②如图，过点C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴＝.由①知GM＝2MC，∴AG＝2NC.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝∠CAN＝90°－∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴＝.∵AB＝2AG，∴＝，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.。

2023年辽宁省沈阳市第一二六中学中考数学压轴题专项训练

2023年辽宁省沈阳市第一二六中学中考数学压轴题专项训练

辽宁省沈阳市第一二六中学中考数学压轴题专项训练（学生版）中考数学压轴题（1）一次函数、反比例函数与几何综合1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为（用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为；③当S＝时，m的值为．2．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x 轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．（1）填空：k＝，点A的坐标是（，）；（2）求证：四边形OADC是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当t＝1时，△CPQ的面积是．②当点P，Q运动至四边形CP AQ为矩形时，请直接写出此时t的值．3．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．4．如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD 于点E，连结BE．（1）证明：＝；（用图1）（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）5．如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．①求m值最大时点D的坐标；②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为．9．在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数y＝x+5﹣c（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．（1）当c＝4时，求线段OA的长；（2）若△OAB的面积为18．①求出满足条件的一次函数表达式；②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在直线AB上，当S△OAC＝5S△OBC时，请直接写出点C的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+12的图象分别交x，y轴于点A和B，与经过点C（，0），D（0，﹣3）的直线交于点E．（1）求直线CD的函数解析式及点E的坐标；（2）点P是线段DE上的动点，连接BP．①当BP分△BDE面积为1：2时，请直接写出点P的坐标；②将△BPE沿着直线BP折叠，点E对应点E'，当点E'落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，OB＝2OA，点N在线段OB 上，过点N作NM⊥AB于M，当动点D从点A匀速运动到点M时，动点E恰好从点B匀速运动点O；当点D运动到线段AM中点时，动点E恰好运动到点N，设AD＝x，OE＝y，且．（1）求线段OA的长；（2）求线段BM的长；（3）连接DE，当△DEB的面积最大时，直接写出x的值．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，OA＝3，OC＝．动点P从C点出发沿折线CB﹣BA向终点A运动、在边CB上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，在边BA上以每秒个单位长度的速度匀速运动．过点P作线段PD与射线OA相交于点D，且∠PDO＝60°，连接PO，BO，PD与BO相交于点E．设点P的运动时间为t，△OPD与△OAB重合部分的面积为S．（1）直接写出点B的坐标（，）；（2）当点P与点C重合时，求OD的长；（3）当点P在边BA上运动时，求BP的长（用含t的代数式表示）；（4）直接写出S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，∠C＝120°，边OA＝8．点P从原点O出发，沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动：点Q从点A出发，沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长度的速度做匀速运动．过点P作直线EP垂直于x轴并交折线OCB于E，交对角线OB于F，点P和点Q同时出发，分别沿各自路线运动，点Q运动到原点O时，P 和Q两点同时停止运动．（1）请直接填写点A的坐标（，），B的坐标（，），C的坐标（，）；（2）当t＝1时，求线段EF的长；（3）求t为何值时，点E与点Q重合；（4）设△AEQ的面积为S，当4≤t≤8，请直接写出s与t的函数关系式．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的表达式为y＝kx+2，且经过点（1，4），与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移4个单位得到直线l．（1）求直线l的表达式；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A′OB′（点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′），求直线A′B′与直线AB的交点坐标；（3）设直线l与x轴交于点C，点D为该平面直角坐标系内的点，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D．（1）点C的坐标为；求直线BC的表达式；（2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标16．已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA ＝OB．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点C是第一象限内一点，BC⊥OB，AD⊥AC交x轴负半轴于点D，若点D的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，当d＝﹣2t时，点E是线段AB上，点F在线段OA上，OF＝BE，连接CE，作FG∥x轴，连接CG交线段AB于点H，连接DF、AG，若∠ECG＝45°，DF＝AG，求点H的坐标．17．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），P是x轴上的动点．（1）求k的值．（2）连结PB，当∠PBA＝90°时，求OP的长．（3）过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线x＝2上．是否存在点Q，使得△PMQ是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD相交于点D，其中AC＝14，C（﹣6，0），D（2，8）．（1）求直线l函数表达式；（2）如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP沿着y 轴方向平移，使得点P落在直线AB上的点P'处，求点P'到直线CD的距离；（3）若点E为直线CD上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、D、E、F为顶点的四边形为菱形，若存在请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足﹣a＝3．（1）求直线l2的解析式．（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y 轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．21．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．把正方形纸片放在直角坐标系中，如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在BC、CD 上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知3BE＝BC．（1）请直接写出D、E两点的坐标，并求出直线EF的解析式；（2）在直线EF上是否存在点M，使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若点P、Q分别是线段AG、AF上的动点，则EP+PQ的最小值是多少？并求出此时点Q的坐标．23．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．24．如图，平面直角坐标系中，直线AC解析式为y＝mx+b与y轴交于点A，与x轴交于点C，直线BE解析式为y＝nx+b﹣10交y轴于点E，与x轴交于点B．（1）求线段AE长；（2）连接AB，K为线段AB上一点，F为线段AC上一点，连接FK交y轴于点G，若直线FK解析式为y＝﹣x+k，求tan∠AGK的值；（3）在（2）的条件下，若∠ABE＝45°，∠ACB＝2∠EBO，AC＝15，取AG中点H，连接KH，若KH ＝3，求F点坐标．25．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线l2交于点C（m，3），直线l2与x轴交于点D（﹣2，0）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图2，点P在线段CD上，连接AP，3S△APD＝2S△ACD，过点P的直线交x轴负半轴于点M，交y轴正半轴于点N，请问：+是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（3）当点E在直线l1上运动时，平面内是否存在一点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是BC的中点．求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不含B，C），结论“AE＝EF”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC延长线上任意一点，结论“AE＝EF”还成立吗？若成立，请证明若不成立，请说明理由；（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为4，若点F恰好落在直线y ＝x+7上，请直接写出此时点E的坐标．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP＝S△OAP时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是x M，x N，且x M＜x N），MN＝4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由．29．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝ax+10a分别交x轴、y轴于点A、B，△AOB 的面积为25．（1）求a的值；（2）如图2，点D为AB上一点（D不与A、B重合），C为x轴正半轴一点，连接CD交y轴于点E，C、D关于点E对称，设点D的横坐标为t，∠DCA的正切值为s，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，F为DE上一点，K为CF的中点，连接BK，2∠ACD＝90°﹣∠BKF，P为第一象限一点，CP⊥OC，连接FP、FB，将FP沿FB翻折交BD于点Q，FQ＝FP，当s＝时，求直线PQ的解析式．30．直线y＝kx+10k交x轴、y轴于A、B两点．（1）如图1，求点A坐标；（2）如图2，点D为第三象限内一点，连接DB交x轴于点C，若BA＝BD，∠DAC＝∠ABD，设点D 的横坐标为t，求AC长（用t的代数式来表示）；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线DO，当DO∥AB时，在射线DO上是否存在一点E，使得∠AEB ＝45°，若存在，请求出直线BE的解析式；若不存在，请说明理由．31．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．（1）求直线CD解析式和点P的坐标；（2）如图2，当点P为线段CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及OQ的最小值．（3）在（1）的条件下，直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．32．如图，直线y＝k（x﹣6）交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且△AOB的面积等于27．（1）求直线AB的解析式；（2）P为线段AB上一点，过点B作BD∥x轴，交OP延长线于点D，设点P的横坐标为m，线段BD 的长为d，求d与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，连接AE交OP于点F，Q为PE延长线上一点，若DE+EF＝AF，∠AQD＝45°，求PQ的长．33．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+m与y轴交于点A（0，3），直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，点M，N分别是直线l1，l2在第一象限内的动点，且∠MON＝60°，连接MN．（1）直接写出m的值，点B的坐标，∠OAM及∠OBN的度数；（2）求AM•BN的值；（3）当△MON是直角三角形时，直接写出点M的坐标．34．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），连接AC．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿对角线AC向终点C匀速运动，动点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→O→A路线，向终点A匀速运动，两点同时出发，一点到达终点，另一点即停，连接PQ．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）用含t的代数式表示：CQ＝；CP＝；（2）当点Q在边OC上，且△PQC为直角三角形时，直接写出t的值：t＝；（3）过点P作PE⊥AB交AB于点E，连接EQ交对角线AC于点F，①t＝时，S△EFP：S△EF A＝2：3；②当0＜t＜2时，t＝，EQ取得最小值；当2＜t＜3时，QE的最小值为．35．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C（3，0），连接AC 作点O关于直线AB的对称点E，线段OE交直线AB于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，连接EB．（1）求证：△EHO∽△BOA；（2）①设HE＝a，用含a的代数式表示HO＝；②求a的值，并直接写出直线BE的表达式；（3）点M在直线BE上，连接AM，以线段AM为边作正方形AMPN（点A、M、P、N以逆时针方向排序），点Q在平面内，当四边形BCNQ为菱形时，连接PQ，请直接写出PQ的长度．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段OC运动，连接OB，连接PQ与线段PQ相交于点D，两点同时出发，当点Q到达点O时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（t＞0）．（1）AP＝，OQ＝；（请用含t的代数式表示）（2）当时，求t的值；（3）在P、Q运动的过程中，将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F，①当点F恰好落在线段OB上时，直接写出此时的t值；②连接PF，连接OF，当∠PFO＝45°时，直接写出此时点F的坐标．37．如图1，在坐标系中的△ABC，点A、B在x轴，点C在y轴，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D是AB的中点．（1）求直线BC的表达式．（2）如图2，若E、F分别是边AC，CD的中点，矩形EFGH的顶点都在△ACD的边上．①请直接写出下列线段的长度：EF＝，FG＝．②将矩形EFGH沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形EFGH与△CBD重叠部分的面积为S，当S＝时，请直接写出平移距离m的值．（3）如图3，在（2）的条件下，在矩形EFGH平移过程中，当点F在边BC上时停止平移，再将矩形EFGH绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线CD上时，此时矩形记作E1F1GH1，由H1向x轴作垂线，垂足为Q，则＝．38．如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，直线MN过AB的中点且与y 轴平行，与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求点M的坐标．（2）若点P是直线MN上的一个动点，直接写出点P的坐标，使以P、C、M为顶点的三角形与△MNB 相似．（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到直线MN上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请直接写出点E、F的坐标，并直接写出最短路程．（4）点Q是y轴上的一点，点R在x轴上，直接写出使△MQR为等腰直角三角形的Q的坐标．39．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x 轴交于点B．（1）点B坐标，直线l2的表达式；（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，利用（1）中的结论，解答下列各问：①若PF＝AB，求点P的横坐标；②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标；③直线l1与y轴交于点D，过点B作y轴的平行线l3，在x轴上方的l3上有一点G，在线段BD上有一点H，若DH＝BG，请直接写出OG+OH的最小值．40．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（6，0）和点B（0，9）．与直线y＝x相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，将△OCE沿射线OC平移，移动后的三角形记为△O′C′E′（点O，C，E的对应点分别记为点O′，C′，E′），点O′与点C重合时运动停止．（1）求直线AB的表达式及点C的坐标；（2）①如图，当点E′落在线段AB上时，设点E′的横坐标为a，求a的值；②设△O′C′E′与△ACE重叠部分面积为S，△OCE沿射线OC平移的距离OO′为t，直接写出S＝时，t的值．41．如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．（1）求反比例函数的解析式；（2）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集：．（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N、点G为线段OM．上的动点，且GN＝．①的值为；②求四边形CGNH周长的最小值．42．已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE．（1）求反比例函数y＝的表达式和点E的坐标；（2）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y＝图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．43．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x ＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值；（3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．45．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．46．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．47．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点（点A在点B左边），交x轴于点C，延长AO交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，点F为第四象限内一点，∠AFE＝90°，连接OF．（1）填空：FO AO（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）连接CF，若AF平分∠OAC．①若△AFC的面积为10，求k的值；②连接BF，四边形AOFB能否为菱形？若能，直接写出符合条件的k的值；若不能，说明理由．48．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；（3）在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．49．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S△P AO＝．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、P A，求PO+P A的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．50．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．51．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点．（1）如图1，求反比例函数y＝（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y＝（k≠0）图象上，顶点H，G在x轴上，且EF＝4．①求点F的坐标；②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．52．如图（一），平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（0，4），以AB为直角边作等腰直角△ABC，其中∠BAC＝90°，AC＝AB，点C在第一象限内．双曲线y＝经过点C．（1）求双曲线y＝的表达式；（2）过点B的直线BE交x轴于点E，交线段AC于点D，若∠DBC＝∠OBA．求直线BE的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BE沿y轴正方向平移，恰好经过点C时，与双曲线k的另一个交点为F （m，n），如图（二）．①连接FB、FD，则四边形ABFD的面积是；②连接OF，求OF的长度．53．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于A（﹣2，a）、B（m，2）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接OA、OB．（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）点N为坐标轴上一点，点M为y2的图象上一点，当以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．54．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝5：1时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M是直线OP上的一个动点，当△MBC是以BC为斜边的直角三角形时，求点M的坐标．55．如图，等边△OAB和等边△AEF的一边都在x轴上，双曲线y＝（k＞0）经过OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．（1）求k的值；（2）求等边△AEF的边长；（3）将等边△AEF绕点A任意旋转，得到等边△AE'F'，P是E'F'的中点（如图2所示），连结BP，直接写出BP的最大值．56．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且AC＝3AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D．（1）求b、k的值；（2）如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x ＞0）于点F．若EF＝BD，求m的值．（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在。

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(原卷版)

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(原卷版)

图1@2 图3 二、四边形中的计算和证明综合题1. （2020安徽）如图1,已知四边形ABCD 是矩形，点E 在的延长线上，AE=AD. EC 与8D 相交于点 G,与A 。

相交于点F, AF=AB.求证：BDREC ；2. （2020黑龙江七台河）以Rt&BC 的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG,连接EG, 过点A 作AMLBC 于M,延长MA 交EG 于点N.(1)如图①，若ZBAC=90° , AB=AC,易证：EN=GN ：(2)如图②，ZBAC=90c :如图③，匕8ACK90° , (1)中结论, 形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.(2) 若AB=1,求AE 的长:如图2,连接AG,求证：EG ・DG= y/^AG.是否成立，若成立，选择一个图 (3) ® 1ENGB M C3.(2020黑龙江绥化)如图，在正方形A8CD中，A8=4,点G在边8C上，连接AG,作。

EVAG于点E,BGBFA.AG 于点、F,连接BE、OF,设ZEDF=a. ZEBF=B，— =k.BC(1)求证：AE=BF；(2)求证：tana=k・tai】。

：(3)若点G从点B沿8C边运动至点C停止，求点E, F所经过的路径与边A8围成的图形的面积.4. (2020湖南长沙)在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把左ADE沿AE翻折，使点。

恰好落在BC边上的点F.(1)求证：△ABFs/^FCE；(2)若AB=2V5, AO=4,求EC 的长：(3)若AE・DE=2EC,记N8AF=a, ZME=p.求tana+tanp 的值.5. （2020江苏连云港）（1）如图1,点P为矩形ABCD对角线上一点，过点P作EF〃BC,分别交A8、CD 于点、E、F.若BE=2, PF=6, ZkAEP 的面积为Si, 的面积为则Si+S2=:（2）如图2,点P为"ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点.设四边形AEPH的面积为Si，四边形PFCG的面积为S2 （其中S2>Si）,求△P8O的面积（用含Si、S?的代数式表示）：（3）如图3,点P为"BCD内一点（点P不在BD上）,过点P作EF〃A。