人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.3.1 函数的单调性与.ppt

5.与参数有关的函数单调性问题 [典例] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.讨论 f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝3x2－a. ①当 a≤0 时，f′(x)≥0， 所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0 得 x＝± 33a； 当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0； 当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
同理，令 f′(x)<0，得23π<x<43π. ∴该函数的单调递增区间为0，23π，43π，2π； 单调递减区间为23π，43π. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导函数为 f′(x)＝2－1x. 令 2－1x>0，解得 x>12；令 2－1x<0，解得 0<x<12， ∴该函数的单调递增区间为12，＋∞，单调递减区间为0，12.
求函数的单调区间
[例 3] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝12x＋sin x，x∈(0,2π)； (2)f(x)＝2x－ln x.
[解] (1)∵f′(x)＝12＋cos x， ∴令 f′(x)>0，得12＋cos x>0， 即 cos x>－12. 又∵x∈(0,2π)，∴0<x<23π 或43π<x<2π.
课时跟踪检测见课时达标检测(十六)
解析：令 f′(x)＝1－2cos x＞0， 则 cos x＜12，又 x∈(0，π)， 解得π3＜x＜π， 所以函数的单调递增区间为π3，π. 答案：π3，π
5．讨论下列函数的单调性： (1)y＝x3－x； (2)y＝ex＋e－x(x∈[0，＋∞))． 解：(1)y＝x3－x， y′＝3x2－1＝3x＋ 33x－ 33. ∵当 x＜－ 33或 x＞ 33时，y′＞0，

上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何 意义，研究单调性的定义与其导数正负的关 系？ 在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递增. ②如果f’(x)<0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为 ， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或 单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的 单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在

课堂小结
1．注意定义域和参数对单调区间的影响． 2．同一函数的两个单调区间不能并起来．
作业
生活中没有什么可怕的东西，只有需 要理解的东西.
——居里夫人
谢谢观看
下课
归纳总结
根据题目条件和所给图象，判断f′(x)所在区间函数值的符号， 确定f(x)所在区间的单调性，大致可以确定曲线的形状．
学以致用
1、设 f (x) 在定义域内可导，y f (x) 的图象如图 2 所示，则导函数 y f (x)
的图象可能是（ ）
图2
【答案】D
【解析】∵ x 0 时， f (x) 单调递减， f (x) 0 ，排除 A、C； ∵ x 0 时， f (x) 先增后减，再增， 则 f (x) 为正、负、正，排除 B．
解析： 当x<－1时，xf′(x)<0， ∴f′(x)>0，f(x)为增函数， 当－1<x<0时，xf′(x)>0， ∴f′(x)<0，f(x)为减函数， 当0<x<1时，xf′(x)<0， ∴f′(x)<0，f(x)为减函数， 当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，f(x)为增函数． 答案：C
学以致用
3、设函数 f(x)＝x3－9x2＋6x－a. 2
(1)对于任意实数 x，f′(x)≥m 恒成立，求 m 的最大值； (2)若方程 f(x)＝0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．
解析： (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)， 因为 x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即 3x2－9x＋(6－m)≥0 恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得 m≤－3，即 m 的最
当堂检测

-3-
3.3.1 函数的单调性与导数
首页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
【做一做1】 若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间 上
单调递减.
解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得0<x<2,
所以f(x)在区间(0,2)上单调递减.
答案:(0,2)
【做一做2】 若g(x)=ex+4x,则g(x)的单调递增区间是
π,
3π 2
上是单调递增函数.
思路点拨:(1)判断在哪个区间上 f'(x)<0 即可;(2)证明在区间
π,
3π 2
上总有 f'(x)>0.
-7-
3.3.1 函数的单调性与导数
首页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析:由于 f'(x)=(1+ln������)'·������������-2(1+ln������)·������' = -l������n2������, 当 x∈(1,e)时,f'(x)<0,所以 f(x)在(1,e)上单调递减,故选 C.
3.3.1 函数的单调性与导数
-1-
3.3.1 函数的单调性与导数
首首页页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
学习目标
1.理解函数的单调性与 其导数之间的关系; 2.掌握利用导数判断或 证明函数单调性的方法; 3.掌握利用导数求函数 单调区间的方法; 4.理解函数图象与其导 函数图象之间的关系.

x
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f ( x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
y
o
f ( x) sin x x
x
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 解： f ( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当 f ( x) >0，
即 x 1 17 或x 1 17
2 2
时，
函数单调递增；
当 f ( x) <0，
即 1 17 1 17 时， y x 2 2
函数单调递减； 图象见右图。
o
x
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
1．应用导数求函数的单调区间 基础训练：
(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
增 (1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________ 函数。 增 函数， (2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____ 减 函数，在[1,2]上为__ 在(－∞,1]上为______
解：
y ' 6x 3
解：
y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 令y ' 0得x 或x 0 3 2 令y ' 0得0 x 3
2
2
例2、已知导函数 f ( x ) 的下列信息：
当1<x<4时， f ( x) 0 当x>4,或x<1时， f ( x) 0 当x=4,或x=1时， f ( x) 0 试画出函数f(x)图象的大致形状。

第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
[解析]
解法一：f ′(x)＝x2－ax＋a－1，
令 f ′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1. 当 a－1≤1， 即 a≤2 时， 函数 f(x)在(1， ＋∞)内单调递增， 不合题意． 当 a－1>1，即 a>2 时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上 单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a －1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)， 所以 4≤a－1≤6，即 5≤a≤7.
学习要点点拨
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
1．函数的单调区间是定义域的子集，利用导数的符号判 断函数的单调性和求函数的单调区间，必须先考虑函数的定义 域，写函数的单调区间时，一定要注意函数的不连续点和不可 导点． 2．y＝f(x)在(a，b)内可导，f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0 且 y＝ f(x)在(a，b)内导数为 0 的点仅有有限个，则 y＝f(x)在(a，b)内 仍是单调函数，例如：y＝x3 在 R 上 f ′(x)≥0，所以 y＝x3 在 R 上单调递增．
(2012～2013 学年度重庆南开中学高二期末测试)已知三 次函数 f(x)＝x3＋ax＋b 在 x＝0 处的切线为 y＝－3x－2. (1)求 a，b 的值； (2)求 f(x)的单调区间．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
[解析]
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订

(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′x＞0且越来越大 f′x＞0且越来越小
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢
f′x＜0且越来越小 f′x＜0且越来越大
绝对值越来越大
绝对值越来越小
变式训练
已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3－3－2 所示(其中 f′(x) 是函数 f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
【解析】 由 y＝4x2＋1x，得 y′＝8x－x12.
令 8x－x12＞0，得 x＞12.
【答案】 C
3．函数 y＝2－3x2 在区间(－1,1)上的增减性为( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【解析】 y′＝－6x，故当 x∈(－1,0)时，y′＞0；当 x ∈(0,1)时，y′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．
教学重难点
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间．
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象． 采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结 合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生 的理解，以达到突破重点、难点的目的．
为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问 题； 2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手 参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知．
(2)此函数的定义域为 R. y′＝3x2－4x＋1， 令 3x2－4x＋1＞0，解得 x＞1 或 x＜13. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13)． 再令 3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递减区间为(13，1)．

即h(t)是增函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减少,
即h(t)是减函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
函数的单调性可简单的认为是：
若 f (x2 ) f (x1) 0,则函数f (x)为增函数 x2 x1
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的 变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函 数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函 数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的 联系呢?
复习引入：
问题1：函数单调性的定义怎样描述的? 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于 区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f (x2) ，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
可把 f (x2 ) f (x1) 看作 y f (x2 ) f (x1)
x2 x1
x
x2 x1
说明函数的变化率可以反映函数的单调性， 即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.
上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意 义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象 上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么 函数的单调性与导数有什么关系呢?
若f(x)在区间(a,b)上是增函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立;
若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立.
利用导函数判断原函数大致图象 例1、已知导函数的下列信息：
试画出函数f(x)图象的大致形状。

[小组合作型] 函数与其导函数图象之间的关系
(1)如图 3-3-1，设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，将 y＝f(x)和 y＝f′(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号).
图 3-3-1
(2)已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3-3-2(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下 面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).
(2)由题图知，当 x＜－1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＜－1 时，函数 y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0 时，xf′(x)＞0，∴f′(x) ＜0， ∴当－1＜x＜0 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 0＜x＜1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x) ＜0， ∴当 0＜x＜1 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 x＞1 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＞1 时，y＝f(x)单调递增.综上可知，③是 y＝f(x)的大致图象.
1.可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且 f′(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于 0.
2.已知 f(x)在区间 D 上单调，求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法.通 常将 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参 数的取值范围.特别地，若 f′(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参 数的取值范围.
[再练一题] 1.f′(x)是 f(x)的导函数，若 f′(x)的图象如图 3-3-3 所示，则 f(x)的图象可能是 ________(填序号).
【导学号：24830079】

间是
0,
5 3
.
(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=4-���1���2.
令 f'(x)>0,即 4-���1���2>0,解得 x>12或 x<-12;
令 f'(x)<0,即 4-���1���2<0,解得-12<x<12,且 x≠0.
所以函数 f(x)的单调递增区间是
-∞,-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 求下列函数的单调区间: ((12))ff((xx))==l������n���2���������+������; 4; (3)f(x)=ex-x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)函数定义域为(0,+∞),f'(x)=1-������l2n������. 令 f'(x)>0,即 1-ln x>0,解得 0<x<e; 令 f'(x)<0,即 1-ln x<0,解得 x>e. 所以函数的单调递增区间是(0,e),递减区间是(e,+∞). (2)函数定义域为 R, f'(x)=(������)'·(������2(+������24+)-4������)·2(������2+4)' = (������42-+������42)2. 令 f'(x)>0,即 4-x2>0,解得-2<x<2; 令 f'(x)<0,即 4-x2<0,解得 x<-2 或 x>2; 所以函数的单调递增区间是(-2,2),递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞). (3)函数定义域为 R,f'(x)=ex-1. 令 f'(x)>0,即 ex-1>0,解得 x>0; 令 f'(x)<0,即 ex-1<0,解得 x<0; 所以函数的单调递增区间是(0,+∞),递减区间是(-∞,0).

人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
[解析]
所给函数为非基本函数，故求单调区间和最
值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性及函数定 义域的确定． 函数f(x)的定义域为(0,2)，
1 1 f′(x)＝ x－ ＋a， 2－x －x2＋2 (1)当 a＝1 时，f′(x)＝ ，所以 f(x)的单调递增 x(2－x) 区间为(0， 2)，单调递减区间为( 2，2)；
人 教 B 版 数 学
2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，
则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间上为 严格增函数 ；如果函数y＝f(x)在自变量x的某区间 上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为 严格减函数 ．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
人 教 B 版 数 学
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
一、选择题
1．函数y＝x3的递减区间是 A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)
人 教 B 版 数 学
(
)
D．不存在
[答案] D [解析] ∵y′＝3x2≥0，(x∈R)恒成立， ∴函数y＝x3在R上是增函数．
人 教 B 版 数 学

义域.
(2)在某一区间内,f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在该区间内为增(或减)
函数的充分不必要条件.
若在某一区间内f'(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数.
注意:若在某区间内有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0(或
f'(x)<0),则f(x)仍为增(或减)函数.
M 目标导航
函数的单调性与导数
题型二
UBIAODAOHANG
题型三
Z 知识梳理
Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
3
【变式训练 1】 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1− , 讨论函数()
的单调性.
2
解:由题设知 a≠0,f'(x)=3ax2-6x=3a - .
2
【做一做2】 设f‘(x)是函数f(x)的导函数,y=f’(x)的图象如图所示,则
y=f(x)的图象最有可能是下图中的(
)
解析:由f'(x)的符号知,
当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数.
2
令 f'(x)=0,得 x1=0,x2= .

当 a>0 时,若 x∈(-∞,0),则 f'(x)>0.
故 f(x)在区间(-∞,0)上为增函数.
若 x∈

当a 0时,f (x)在(， 3a )，( 3a ， )上为增函数, 33
在( 3a , 3a )上为减函数. 33
1. f (x)不变,若f (x)为增函数,求实数a 的取值范围. (，0]
2. f (x)不变,若f (x)在区间(1, )上为增函数,
求实数a 的取值范围. (，3]
试画出函数f(x)图象的大致形状。 y
A
B o 2 3x
利用导数求函数的单调区间
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间．
(1) f (x) x3 3x
(2) f (x) x2 2x 3
(3) f (x) sin x x x (0, ) (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
当f (x) 0,即
时,函数f (x) 2x3 3x2 24x 1
当f (x) 0,即
时,函数f (x) 2x3 3x2 24x 1
函数f (x) 2x3 3x2 24x 1的图象如图所示
根据导数确定函数的单调性步骤： 1.确定函数f(x)的定义域.
解 : (1) f (x) x3 3x f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0 因此, f (x) x3 3x在R上单调递增.如图1所示.
解: (2) f (x) x2 2x 3 f (x) 2x 2 2x 1
当f (x) 0,即x 1时,函数f (x) x2 2x 3单调递增 当f (x) 0,即x 1时,函数f (x) x2 2x 3单调递减
3. f (x)不变,若f (x)在区间(1,1)上为减函数,
求实数a 的取值范围. [3，+)

解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0， 即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减， 依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出 函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢 后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔 先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值