2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二十六)数学

湖南省湘潭市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】C【解析】【分析】画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案.【详解】 2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)x x π=--， 画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像， 易知：sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点， 故所有解之和等于428⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.2．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6 C ．5 D ．5-【答案】A【解析】【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.3．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A【解析】【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】 设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上 的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为 ()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A.【点睛】 本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.4．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32- D ．2-【答案】A【解析】【分析】 画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】【分析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.6．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）.A ．16B ．283C ．5D ．4【答案】D【解析】【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=， 即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n m m n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.7．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B【解析】【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值.【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ）A ．45B ．42C ．25D ．36 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a +=+,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.【详解】由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和.9．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43 B ．916 C ．34 D ．169【答案】D【解析】【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为r ，则r ，所以圆柱的体积2126V =π⋅⨯=π.又球的体积32432233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==，故选D. 【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.10．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA =，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线，∴OFM AFB ∆∆:，且12OFFA =， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.11．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值.【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】【分析】由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（二十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A.{x |－4<x <3} B.{x |－4<x <－2} C.{x |－2<x <2}D.{x |2<x <3}2.设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D.x 2＋(y ＋1)2＝13.若a >b ，则( )A.ln(a －b )>0B.3a <3bC.a 3－b 3>0D.|a |>|b |4.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322 C.2 2 D.3 26.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.957.已知四棱锥M －ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD ＋∠BAD ＝180°，MA ＝2，BC ＝26，∠ABM ＝30°.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.20π B.22π C.40π D.44π8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP |的最小值为( )A. 2B. 3C.3D.43二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007～2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有( )A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C.该企业连续12年来研发投入逐年增加D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加11.将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A.最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为πD.图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称12.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增 B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值 C.函数y ＝f (x )在区间(－2,2)内单调递增 D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为________.14.已知(2－x 2)(1＋ax )3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝________，展开式中含x 2的项的系数是________.15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种. 16.若函数f (x )＝a ln x (a ∈R )与函数g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.（10分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. (1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .18.（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2. (1)求sin A ；(2)若3c sin A ＝2a sin B ，△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长.19.（12分）已知如图1直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起(如图2)，使平面BED ⊥平面AECD .(1)证明：BE ⊥平面AECD ；(2)在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫32，22. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆：x 2＋y 2＝2交于E ，F 两点，求|AB |·|EF |2的取值范围. 21.（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男 女 总计 网购迷 20 非网购迷 45 总计100(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲 80 40 16 24 乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 临界值表：P (K 2≥k 0)0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82822.（12分）已知函数f (x )＝x －1＋a e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .参考答案一、单选 1.答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. 2.答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ). 3.答案 C解析 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C. ∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 4.答案 B解析 ∵a ·b ＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2a －sin 2α＝cos 2α， ∴2α＝2k π±π2(k ∈Z )， 解得α＝k π±π4(k ∈Z )，∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z )的必要不充分条件，故选B. 5.答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ 6. 6.答案 A解析 因为数列{a n }是正项等比数列， a 2a 8＝a 25＝16a 5， 所以a 5＝16， 又a 3＋a 5＝20， 所以a 3＝4， 所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，即m ＋n ＝12，所以1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝112⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m ，即m ＝4，n ＝8时“＝”成立， 所以1m ＋4n 的最小值为34.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰△POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 7.答案 C解析 因为∠BCD ＋∠BAD ＝180°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由tan 30°＝2AB ，得AB ＝23，所以AC ＝(23)2＋(26)2＝6. 设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，则OE ∥MA ， 因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 点O 到M ，A ，C ，D 四点距离相等， 易知点O 为四面体MACD 外接球的球心， 所以OC ＝⎝⎛⎭⎫622＋⎝⎛⎭⎫222＝10，所以该球的表面积S ＝4π·OC 2＝40π. 8.答案 B解析 设|AB →|＝3a ，|AC →|＝b ，则△ABC 的面积为12×3ab sin π3＝23， 解得ab ＝83，由AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，且C ，P ，D 三点共线，可知m ＋34＝1，即m ＝14， 故AP →＝14AC →＋34AD →.以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，D (2a ，0)，B (3a ，0)，C ⎝⎛⎭⎫12b ，32b ， 则AC →＝⎝⎛⎭⎫12b ，32b ，AD →＝(2a ，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a ，38b ，则|AP →|2＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a 2＋⎝⎛⎭⎫38b 2＝164b 2＋94a 2＋38ab ＋364b 2＝116b 2＋94a 2＋1 ≥2116b 2×94a 2＋1＝34ab ＋1＝3.⎝⎛⎭⎫当且仅当116b 2＝94a 2即b ＝6a 时取“＝” 故||AP 的最小值为 3. 二、多选 9.答案 BD解析 在A 中，AB 与CE 的夹角为45°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故A 不符合； 在B 中，AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，CE ∩DE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 符合； 在C 中，AB 与EC 的夹角为60°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故C 不符合； 在D 中，AB ⊥DE ，AB ⊥CE ，DE ∩CE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 符合. 10.答案 ABC解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 11.答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos 2x 的图象，对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g (x )＝－32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称，故D 正确. 12.答案 BC解析 对于A ，函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故B 正确；对于C ，当x ∈(－2,2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增，故C 正确； 对于D ，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故D 不正确. 三、填空 13.答案 1 200解析 由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)， 所以该校学生总人数为600÷50100＝1 200. 14.答案 2 23解析 由已知可得，(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2.所以(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)， 所以展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23. 15.答案 600解析 根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5(种)选法，再将“ea ”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种). 16.答案 e 2解析 函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ， 设曲线f (x )＝a ln x 与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)， 由于在公共点处有共同的切线， ∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a >0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎨⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e 2.四、解答题17.(1)证明 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. 由b n ＝a n ＋n ，那么b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n ＝2a n ＋n －1＋n ＋1a n ＋n ＝2； 即公比q ＝2，b 1＝a 1＋1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得b n ＝2n ， ∴a n ＋n ＝2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n ， ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(21＋22＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2n ＋1－2－n 22－n2.18.解 (1)因为3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2， 所以b 2＋c 2－a 2＝423bc ，在△ABC 中，由余弦定理得， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－89＝13.(2)因为3c sin A ＝2a sin B ， 所以3ac ＝2ab ，即b ＝3c2.因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝2， 即12×3c 22×13＝2，解得c ＝2. 所以b ＝32，在△ABC 中，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6， 所以a ＝6，所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6. 19.(1)证明 连接AC ，则AC ⊥DE ，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC ⊥BE .又BE ⊥CE ，AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面AECD ， 所以BE ⊥平面AECD .(2)解 如图，由(1)得BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE .所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA →，EB →，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E －xyz 如图所示，则E (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)， 设F (a ，0，2)，0≤a ≤2，所以AF →＝(a －2，0，2)，BF →＝(a ，－2，2)， 设平面FAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝(a －2)x ＋2z ＝0，BF →·n ＝ax －2y ＋2z ＝0， 取x ＝2，得n ＝(2，2，2－a ). 取平面EBC 的法向量为m ＝(1，0，0). 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝2a 2－4a ＋12＝23， 所以a ＝1.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23.20.解 (1)由已知可得c a ＝33， 所以a 2＝32b 2，所以椭圆C 的方程为x 232b2＋y 2b 2＝1，将点⎝⎛⎭⎫32，22代入方程得b 2＝2，即a 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 不妨设A ⎝⎛⎭⎫1，233，B ⎝⎛⎭⎫1，－233，E (1，1)，F (1，－1)， 所以|AB |＝433，|EF |2＝4，|AB |·|EF |2＝1633； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x －1)， 可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2， 所以|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝43(k 2＋1)2＋3k 2，因为圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1， 所以|EF |2＝4⎝⎛⎭⎫2－k 2k 2＋1＝4(k 2＋2)k 2＋1， 所以|AB |·|EF |2＝43(k 2＋1)2＋3k 2·4(k 2＋2)k 2＋1 ＝163(k 2＋2)2＋3k 2＝1633·k 2＋2k 2＋23＝1633⎝⎛⎭⎪⎫1＋43k 2＋23，因为k 2∈[0，＋∞)，所以|AB |·|EF |2∈⎝⎛⎦⎤1633，163， 综上，|AB |·|EF |2的取值范围是⎣⎡⎦⎤1633，163. 21.解 (1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35， 后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内.设直方图的面积平分线为15＋x ，则0.06x ＝0.5－0.35＝0.15，得x ＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为K 2＝100(45×20－15×20)260×40×35×65＝60091≈6.593>5.024，查表得P (K 2≥5.024)＝0.025， 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，由题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，23.所以E (X )＝2×12＝1，E (Y )＝2×23＝43. 因为ξ＝X ＋Y ，则E (ξ)＝E (X )＋E (Y )＝73， 所以ξ的期望为73. 22.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ， 当a ≥0时，f ′(x )>0， 则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞.综上所述，当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3； 由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0， 从而得g (x )＝f (x )＋2x <0， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0， 即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5， ∴x 1＝1e x ＋2e x －x 2－3， ∴x 1－2x 2＝1e x ＋2e x －3x 2－3， 设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3， 由g ′(x )<0得x <ln 3， 由g ′(x )>0得x >ln 3， 故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3. ∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4， ∴x 1－2x 2>－4＋1e .。

2021届湖南师大附中新高三原创预测试卷（二十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，则U A B = （ ）A ．{|01}x x <≤ B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知幂函数1()nf x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin ,cos ,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 （ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<，则双曲线的离心率的范围为 （ ）A ．2)B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(2,)+∞5．2016年五一期间，各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间，小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格抢得“优惠劵”数量（个） [5,15) [15,25) [25,35) [35,45]人数 2 7 8 3则该小区50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为（ ） A ．30 B ．1500 C ．26 D ．13006．已知向量213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π= （ ） A ．2 B ．74 C ．54D ．17．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i = （ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-= （ ） A ．6 B ．16 C ．24 D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ） A ．[2,13] B ．[4,13] C ．[4,13] D ．[2,13]10．设函数22log (3),0()3(1),0xt x x f x t x ⎧+-<⎪=⎨-⎪⎩≥，且1()62f =，则不等式2(2)()f a f a ->的解集为 （ ） A ．(2,1)- B ．(2,2)- C ．(1,2)- D ．(,2)(1,)-∞-+∞11．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L （ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．已知函数()()y f x x =∈R 满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，又31,121()ln ,1x x g x e x x x⎧-⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩≤，则函数()()()F x g x f x =-在区间[2017,2017]-上零点的个数为 （ ） A ．2015 B ．2016 C ．2017 D ．2018第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP = . 14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++ 其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++= .15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为 .16．已知数列{}n a 满足12n n n a a S +=，且11a =，记数列的前n 项和为n S ，若不等式22212nnS a ma n+≥对任意n *∈N 都成立，则实数m 的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，,E F 分别是,AC AB 的中点，cos cos 2cos a B b A c A +=，且4,6AB AC ==.（1）求ABC △的面积；（2）求BECF的值.18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人. （1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查 京剧票友 一般爱好者 合计50岁以上 15 10 25 50岁以下31215合计 18 22 40试问：关系？（2）若在一轮中演唱中，每次猜出3位亮相，求至少1位是“梅派”传人”的概率. 参考数据：0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.455 0.708 1.323 2.072 2.7060.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.8415.0246.6357.879 10.828参考公式：2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++19．（12分）在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =. （1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求三棱锥D AEF -外接球的体积.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AM 与过点B 且与x 轴垂直的直线交于点D ，过点,B D 作22,BP PF DQ PF ⊥⊥，垂足分别为,P Q 两点，求证：BP DQ BD +=.21．（12分）已知函数()2ln 1f x x ax =-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线30x y --=垂直，求a 的值；（2）当0a <且()0,1x ∈时，函数()f x 的图象总在直线()12y a x a =-+的下方，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π. （1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值. 23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1UB x x =≤，所以{|01}UAB x x =<≤．2．【答案】C 【解析】由i1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==， 即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<.4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<，所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,12c a c e a>∴<∴<<.5．【答案】D 【解析】由数据可知四个组的频率分别为0.1,0.35,0.4,0.15，所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为0.1100.35200.4300.154026.⨯+⨯+⨯+⨯=所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为50261300⨯=个.故选D.6．【答案】D 【解析】213()(2cos )cos sin 2f x x x x ωωω=⋅=++a b 2131cos sin 22x x ωω=++1cos 235113151sin 2(cos 2sin 2)sin(2)4422264x x x x x ωπωωωω+=++=++=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=. 7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<； 3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<；10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=； 11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM 在向量AP 的射影为AP ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=.9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图，令22(1)(1)t x y =-++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC ==过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，则min 22t DH ===，故[2,13]z ∈ 10．【答案】A 【解析】121()31)62f t =⨯-=（，即121)2t -=（，解得5t =. 故22log (8),0()34,0xx x f x x ⎧-<⎪=⎨⨯⎪⎩≥，可以判断函数()f x 为增函数，所以22,21a a a ->∴-<<， 所以解集为(2,1)-.11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯++⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π. 12．【答案】C 【解析】()()2f x f x +=，所以()f x 的一个周期为2，当1x >时，ln ()e xg x x=，所以2(1ln )'()e x g x x -=，所以(1,),'()0,()(1)0;(,),'()0,()0x e g x g x g x e g x g x ∈>>=∈+∞<>， ()g x 的最大值为1，()f x 与()g x 的图象如下：在区间[1,1]-内有一个根，在[1,2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以()F x 共有2017个零点 .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=. 14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++.15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如右图， 设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=， 即点E 到平面ABCD 的距离为3，俯视图为一个正三角形， 边长为2，所以俯视图的面积为3， 16．【答案】2【解析】根据题意得1121121112,2,222n n n n n n n n n n n n n a a S a a S a a a a S S a +++++++++==-=-=，2135212,1,3,5,,21;n n k a a a a a a k +--=====- 2422,4,,2.k n a a a k a n ===∴=； 所以222222(1)(1)4,4n n n n m n m n +++∴+≥≥，2222(1)51511()4424455n n t n n n +=+=++=++， 当*n ∈N 时，22(1)4n t n +=+单调递增，所以2t ≥，故2m ≤. 17．【解析】 （1）cos cos 2cos ,sin cos sin cos 2sin cos a B b A c A A B B A C A +=∴+=，1sin()2sin cos ,cos 2B AC A A ∴+=∴=；（4分） 又(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC △的面积为164sin 6323S π=⨯⨯=.（6分） （2）根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==，（7分） 所以在ABE △中，由余弦定理得 2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，（9分） 所以2524cos 151591114024cos 4024cos 28BEA CFA A -==-=-=--.（12分） 18．【解析】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，（3分）所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分） （2）记4位票友为,,,a b c d ，2位“梅派”传人”为,A B ，则从中选出3位的所有结果有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a b B a c d a c A a c B a d A a d B a A B b c d(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)b c A b c B b d A b d B b A B c d A c d B c A B d A B 共20种，（8分）其中至少1位是“梅派”传人”的结果为(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b A a b B a c A a c B a d A a d B a A B b c A b c B b d A b d B ，(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)b A B c d A c d B c A B d A B .（10分）有16种，所以满足条件的概率为164205P ==.（12分） 19．【解析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =2,:2:1EM MF EM MF =∴=，∴//MN CF ，（2分） 又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ，∴//CF 平面BDM .（4分） （2）证明：由EA EB EF +=，得四边形AFBE 为平行四边形，所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos 333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥，（6分）又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =，EF ∴⊥平面ADE .（8分）以,,EA ED EF 为棱，构造长方体，所以长方体外接球与三棱锥D AEF -的外接球相同，所以外接球的直径为22222231(33)37EA ED EF ++=++=，（11分） 所以球的体积为34373737()3ππ=.（12分） 20．【解析】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，（1分） 又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-，（3分） 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分） （2）证明：设直线():2(0)AM y k x k =+≠，则：(2,4)D k ,BD 的中点为E 为(2,2)k ，联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：2222(34)1616120k x k x k +++-= 设()00,P x y ，由韦达定理得：2021612234k x k --=+，解得：2026834k x k-=+，故有：()00212234k y k x k =+=+，（7分） 又()21,0F ，所以当12k =±时，31,2M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时2MF x ⊥轴，所以四边形BPQD 为矩形，所以2,2BP DQ BD +==，所以BP DQ BD +=.（8分）当12k ≠±时，0204=114PF y k k x k =--，所以直线()224:114kPF y x k =--， 即：224401414k kx y k k --=--， 所以点E 到直线2PF 的距离2222842141424()114k kk k k d k k k ----==+-，（10分）而=4BD k ，即知：12d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线2PF 相切，所以四边形BPQD 为直角梯形，BD 的中点为E ， 所以24BP DQ d k BD +===.（12分） 21．【解析】（1）依题意，1()2f x ax x'=-，故()'112f a =-，则121a -=-，解得1a =；（3分）（2）依题意，当()0,1x ∈时，()2ln 112x ax a x a -+<-+，即()2ln 1120x ax a a x -++-+->，令()()2ln 112g x x ax a a x =-++-+-，下面证明()0g x >在()0,1恒成立；先分析函数()g x 在()0,1上的单调性；()212(12)1'2(1)1ax a x g x a x x x+--=-+-+=；令()22(12)1m x ax a x =+--；当0a <时，()m x 图象开口向下，()m x 在(0,)+∞上有两个零点1和12a-，①当12a =-时，112a -=，此时()0m x ≤，∴()g x 在()0,1上单调递减； ②当102a -<<时，112a ->，此时当()0m x >，可得112x a<<-；()0m x <，可得01x <<或12x a>-.∴()g x 在1(1,)2a -上单调递增；在()0,1，1(,)2a-+∞上单调递减.③当12a <-时，1012a <-<，此时当()0m x >，可得112x a-<<； ()0m x <，可得102x a<<-或1x >.∴()g x 在1(,1)2a -上单调递增；在1(0,)2a-，(1,)+∞上单调递减；因为函数()g x 过(1,0)点，且当12a -≥时，()g x 在()0,1为减函数，∴()(1)0g x g >=，符合题意.当12a <-时，()g x 在1(0,)2a -上单调递减，在1(,1)2a -上单调递增，∴1()(1)02g g a -<=，不符合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为1[,0)2-.（12分）22．【解析】（1）直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，（3分）曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.（5分）（2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-（8分） 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=.（10分） 23．【解析】（1）根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，（3分）解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--.（5分）（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，（8分）又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以 1111111119()()(3)(3222)2222b a a c c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.（10分）3。

2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷（A卷）一．单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．1205．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．参考答案一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}解：∵B＝{x||x|＜2，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i解：．故选：D．3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状解：∵1+3+3+5+5+7＝24，∴编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．故选：C．4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．120解：先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法，②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．故选：B．5．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，y＝f（x）的图象关于原点对称，不关于直线x＝π对称，故B错误；f（x）的最小值个周期为2π，故C错误；显然，y＝f（x）在区间上单调递增，故D错误，故选：A．6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学解：因为，，又25＜32，所以，又，，所以，故，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C．7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为解：此题为椭圆规画椭圆的原理．在两条互相垂直的直线XX'和YY'上建立平面直角坐标系，当点P在第一象限时，设AB与X轴的夹角为θ，则P的坐标为（|PB|cosθ，|PA|sinθ），从而可知，点P在椭圆上，点P的轨迹是四分之一个椭圆，当点P在其它几个象限或坐标轴上时，点P的坐标满足方程，所以点P的轨迹是一个椭圆，焦距长为．故选：B．8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042解：令y＝0，则有2f（0）+f（0）（f（x）+1）＝2（x﹣1），又f（0）＝﹣1，∴f（x）＝﹣2x﹣1．从而集合A中，可化为．即t（t+2x+1）＝2×62020＝22021×32020．∵t∈N*，x∈N*，∴t，t+2x+1必定为一奇一偶．若t为偶数时，t的取值可以为22021，22021×3，22021×32，…，22021×32020，共有2021个（t，x）．若t+2x+1为偶数时，同理也有2021个（t，x）．∴集合A中的元素个数共有2021×2＝4042（个）．故选：D．二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等解：由题中数据可知，（360+240+120）÷60＝360÷60+240÷60+120÷60＝6+4+2＝8，所以用系统抽样和分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，所以C错误．无论利用哪种抽样方法，每个个体被抽到的机会均等，所以D正确．故选：AD．10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c解：∵，由①﹣②得2b＝2a2+2，即b＝a2+1，∴b≥1，又，∴b＞a，而c﹣b＝4﹣4a+a2＝（a﹣2）2≥0，∴c≥b，从而c≥b＞a．故选：BD．11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易证AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1，又B1C∩B1D1＝B，所以有AC1⊥面B1D1C，当F为A1C1中点时，CF⊂面B1D1C，∴AC1⊥CF，A正确；对于B，∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥面AA1C1C，CA1⊂面AA1C1C，∴B1D1⊥CA1．若F与A1重合时，异面直线CF 与B1D1所成角为，B错误；对于C，当时，过F作FH⊥A1D1，垂足为H，则FH∥AB，．易证BA⊥面AA1D1D，从而由BA⊥AA1，BA⊥AH可得二面角F﹣AB﹣A1的平面角为∠A1AH．∴，C正确．对于D，点F与C1重合时，三棱锥C﹣BDF的外接球即正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，其直径．∴其表面积S＝4πR2＝3π，D正确．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1解：易证e x≥ex，∴f（x）＝e x﹣ex≥0恒成立，所以C错误；令h（x）＝f（x）﹣ag（x）＝e x﹣ex﹣ax2+ax，若a＝1，则h（x）＝e x﹣ex﹣（x2﹣x），则x∈（0，1）时，﹣（x2﹣x）＞0，此时h（x）＞0恒成立，显然D错误，对于A、B，h（1）＝0，h'（x）＝e x﹣e﹣a（2x﹣1），h''（x）＝e x﹣2a，当a＜0时，h''（x）在（0，1）上恒为正，故h'（x）在（0，1）上单调递增，又因为h'（0）＝1﹣e+a＜0，h'（1）＝﹣a＞0，∴h'（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0），h'（x）＜0；x∈（x0，1），h'（x）＞0，∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴h（x0）＜h（1）＝0，而h（0）＝1＞0，故h（x）在（0，x0）上存在唯一零点，故A、B正确；故选：AB．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．解：∵平面向量，，∴＝（1，5），∴||＝＝，故答案为：．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值n可取6，8，9，10，11中任意一个值．解：的展开式的通项为，r≤n，r∈N．若系数为有理数，则，且．当n＝3时，r＝0；n＝4时，r＝4；n＝5时，r＝2；n＝6时r＝0，6；n＝7时，r无解；n＝8时，r＝2，8；n＝9时，r＝0，6；n＝10时r＝4，10；n＝11时，r＝2，8，n＝12时，r＝0，6，12．所以，n可取6，8，9，10，11中的任意一个值，故答案为：n可取6，8，9，10，11中的任意一个值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为3．解：设等比数列{a n}的公比为q，由得，，，解得，又a2＝2．∴a1＝4．易得数列{a n a n+1}也是等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为．∴，从而有．∴n≤3．故n max＝3．故答案为：3．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为2﹣．解：由题意得∠AOF＝45°＝∠COF，过M、N向x轴作垂线，垂足分别为M1，N1．设|OM|＝m，|ON|＝n，则，．，所以有mn＝m+n．又，有mn≥4．（当且仅当m＝n时等号成立）．Rt△OMN的内切圆半径，令t＝mn，t≥4，则，在[4，+∞）上单调递减．∴当t＝4时，r有最大值为．故答案为：．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．解：（1）设等比数列的首项为a1，公比为q＞0，由得，q＝2．所以．（2）b n＝log a a n＝（n﹣6）log a2．数列{b n}是首项为﹣5log a2，公差为log a2的等差数列．方法一：①当0＜a＜1时，log a2＜0，数列{b n}是首项为正的递减等差数列．由b n≥0，得n≤6，（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．②当a＞1时，log a2＞0，数列{b n}是首项为负的递增等差数列．由b n≤0，得n≤6，所以（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．方法二：利用等差数列求和公式得．①当a＞1时，log a2＞0，此时（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．②当0＜a＜1时，log a2＜0，此时（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．解：（1）连结BD，如图所示：在△ABD中，由余弦定理得．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC×CD×cos C＝2﹣2cos C，所以，解得，所以用cos A表示cos C为cos C＝cos A﹣1．（2）因为，所以由（1）可得，C∈（0，π），所以，由CD＝BC，所以．△ABD中，由余弦定理得．由AB＝BD，所以△ABD为等腰三角形．所以，，计算．△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD×CD×cos∠ADC＝．解得；所以应准备千米的管道．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC．BC ⊥CD，所以BC⊥平面PDC．又BC⊂平面PBC．从而平面PDC⊥平面PBC．已知△PDC为等边三角形，E为PC中点，所以DE⊥PC，故平面PDC∩平面PBC＝PC，故DE⊥平面PBC．由已知l⊂平面PBC，所以DE⊥l．（2）方法一：设DC中点为O，则PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，由已知有，，D（0，﹣1，0），，C（0，1，0）．设平面PAD的法向量，因为，，，，所以，令，则，设平面PBC的法向量，∵，，，，，令z2＝1，则，因为，，所以．所以平面PAD和平面PBC所成二面角的余弦值为．方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线．过E设EH⊥PF，垂足为H．连结DH．由（1）知DE⊥平面PBC，所以PF⊥DE，从而PF⊥平面DEH．所以PH⊥DH，故∠DHE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．由已知易得，且，由（1）知△PCF为直角三角形，∠C为直角，从而，所以，故，所以．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）解：（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，则P（A）＝＝．（2）当P＝0.01时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行X1＝3400次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，其分布列为ξ2246P0.994（1﹣0.992）2．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望EX2＝850Eξ2＝1768次．若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为ξ3，则ξ3可能取值为1，5．其分布列为ξ312P0.9941﹣0.994故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为EX3＝850×1.16≈986次．显然EX3＜EX2＜EX1由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．解：（1）由题意可得，解得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y．（2）由（1）知，圆F方程为：x2+（y﹣2）2＝1，由已知可设l：y＝kx+2，且A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2﹣8kx﹣16＝0，设Q（x0，y0）是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l与x轴不平行时，有k≠0，方法一：由抛物线定义知，|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2．所以||AM|﹣|BN||＝|（|AF|﹣2）﹣（|BF|﹣2）|＝||AF|﹣|BF||＝|y1﹣y2|＝|（kx1+2）﹣（kx2+2）|＝＝，所以|AM|≠|BN|方法二：因为A、M、N、B四点共线，M、N中点为F（0，2），若|AM|＝|BN|，则必有AB中点与M、N中点重合，即x1+x2＝0，因为x1+x2＝8k≠0，所以|AM|≠|BN|．②由（1）知抛物线方程为．所以．所以过点A的切线，即．同理可得，过点B的切线l2为．由l1，l2方程联立，得，解之，得，又得，所以．D（4k，﹣2）到l：y＝kx+2的距离，|AM|⋅|BN|＝（|AF|﹣2）（|BF|﹣2）＝[（y1+2）﹣2][（y2+2）﹣2]＝，从而＝．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．【解答】（1）解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a＝1时，f（x）＝e x﹣ln（x+1），所以，易知f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f'（0）＝0．则在（﹣1，0）上f'（x）＜0，在（0，+∞）上f'（x）＞0，从而f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．（2）证明：f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna，所以，且a≥1．设g（x）＝f'（x），则，所以g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，即f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，由，得，设h（x）＝（x+1）e x h'（x）＝（x+2）e x＞0，则h（x）在[﹣1，+∞）上单调递增且h（﹣1）＝0．则当a∈[1，+∞）时，都恰有一个x0＞﹣1，使得，且当x∈（﹣1，x0）时f'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时f'（x）＞0，因此f（x）总有唯一的极小值点x0．所以，从而lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，极小值由lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，可得当a∈[1，+∞）时，﹣ln（x0+1）﹣x0≥0，即ln（x0+1）+x0≤0，ln（x0+1）+x0随x0增大而增大，易得x0∈（﹣1，0]．令t＝x0+1，则t∈（0，1]，设，φ（1）＝1，所以φ（t）在（0，1]上单调递减，且φ（1）＝1，从而φ（t）≥1．即f（x0）≥1．。

湖南省高考数学考前押题（文）试卷（含答案）一、单选题1．已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = （ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A ．(){}1,1B ．(){}2,4-C ．()(){}1,1,2,4-D ．∅3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知直线,a b 表示不同的直线，则//a b 的充要条件是（ ） A ．存在平面α，使//,//a b αα B ．存在平面α，使,a b αα⊥⊥ C ．存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥D ．存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒ 5．函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）A．4 B．43C．83D．27．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈）A．3.05B．3.10C ．3.11D ．3.148．关于函数()sincos 22x xf x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称； ②函数()f x 的最小正周期为π；③0x ∃∈R ，()01f x =.其中正确结论的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．39．设,,(0,)2A B C π∈,且cos cos cos ,sin sin sin A B C A B C +=-=,则C A -=（ ）A ．6π-B ．3π-C ．3π D ．-33ππ或10．已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ,且|tan |3θ=，则b =( )A ．1BC D ．211．在四面体ABCD 中，AB AC ==，6BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为DBC △的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30°，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ） A ．24πB ．32πC ．46πD ．49π12．已知函数()1ln m f x n x x =--（0m >，0e n ≤≤）在区间[1,e]内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦B ．22,11e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ C ．2,11e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦D ．1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值是______.14．在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =，cos cos c B b C +=则ABC 的面积的取值范围为______．15．已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______.16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*10,N a a a a =>∈，1nn Spa +=（0p ≠且1p ≠-，*N n ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +，②2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为k d ，求p 的值及对应的k d ．18．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD ∆是等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，BC CD ==E 为三棱锥A BCD -外一点，且CDE ∆为等边三角形.（1）证明：AC BD ⊥；（2）若AE ⊥平面CDE ，求点E 到平面BCD 的距离.19．已知M 过点)A，且与(2216N x y ++=：内切，设M 的圆心M 的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．20．2019年，中国的国内生产总值（GDP ）已经达到约100万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制了如下的散点图.现考虑用反比例函数模型b y a x=+和指数函数模型dxy ce =分别对两个变量的关系进行拟合.为此变换如下：令1xμ=，则y a b μ=+，即y 与μ满足线性关系；令ln νμ=，则ln c dx ν=+，即ν与x 也满足线性关系.这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为96.54dx y e =，ν与x 的相关系数10.94r =-，其他参考数据如表（其中1ln i i i iy x μν==）.（1）求指数函数模型和反比例函数模型中y 关于x 的回归方程；（2）试计算y 与μ的相关系数2r ，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）.根据市场调研数据，该产品单价定为100元时得到签订订单的情况如表：已知每件产品的原料成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元） 参考公式：对于一组数据()11,μν，()22,μν，⋅⋅⋅，(),n n μν，其回归直线ναβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni i i nii n n μνμνβμμ==-=-∑∑，ανβμ=-，相关系数ni in r μνμν-=∑.21．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当1a =时，设()()1f x g x xex -=--（e 为自然对数的底）.若正实数1λ、2λ满足121λλ+=，1x 、()()2120,x x x ∈+∞≠，证明：()()()11221122g x x g x g x λλλλ+<+. 22．在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB，求α的值. 23．已知函数()2f x x a x a =---，a R ∈． （Ⅰ）若(1)1f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a <，对x ∀，(],y a ∈-∞，都有不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．答 案1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．B 【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图表示图中的棱锥P ABC -，其中C 点为中点，该几何体的体积为：ABC11142223323V S h ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.本题选择B 选项.7．C 【详解】 设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为3601524= 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈r r 故选：C8．B 【详解】依题意，()()()sincos sin cos ()2222x x x xf x f x ---=+=+=， 故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误；因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，故②正确，③错误. 故选B . 9．B 【分析】把题设中的两个等式移项后平方再相加，则有()1cos 2C A -=，再根据,0,2C A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及sin sin A C >可得C A -的大小.【详解】因为cos cos cos A B C +=，故cos cos cos B C A =-，222cos 2cos cos cos cos C C A A B -+=，同理222sin 2sin sin sin sin C C A A B -+=，所以()12cos cos sin sin 0A C A C -+=即()1cos 2C A -=. 因为,0,2C A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故,22C A ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，3C A π-=±，根据sin sin sin A B C =+得到sin sin A C >，因,0,2C A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故C A <，故3C A π-=-，故选B.【点睛】三角函数的求值问题，需要观察给定的三角函数式的结构形式，再根据已有的公式的结构特点对原有的三角函数式变形化简.知道角的三角函数值，应该根据题设条件去挖掘隐含的角与角的大小关系，从而可对所得结果进行取舍. 10．B 【解析】分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，利用“点差法”可得2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-，又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，从而可得结果.详解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=，00122121,04x y y y x x b -=-∴-=-，即2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-， 又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，解得22b =，即b =B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解能力. 对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 11．D 【分析】四面体ABCD 与球O 的位置关系如图所示，设F 为BC 的中点，O '为ABC 外接圆的圆心.由条件可得AF =又直线DG 与平面ABC 所成的角等于直线DF 与平面ABC 所成的角即DFA ∠，求出球O 的半径，即可得答案； 【详解】四面体ABCD 与球O 的位置关系如图所示，设E 为BC 的中点，O '为ABC 外接圆的圆心.由条件可得AE =又直线DG 与平面ABC 所成的角等于直线DE 与平面ABC 所成的角即DEA ∠.则由tan AD DEA AE ∠==，∴1AD =. 由2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅，120BAC ∠=所以2sin ∠'==B CACB AO在四边形'OO AD 中，//'OO AD ，90'︒∠=O A O ，'=AO OA OD =.所以(22214924OA ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为49π. 故选：D. 【点睛】本题考查四面体与球的切接问题、球的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力. 12．A 【分析】由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩或(1)0,(e)0,f f >⎧⎨≤⎩化简可得关于.m n 的约束条件，利用线性规划求解即可. 【详解】22()m n m nx f x x x x '+=--=-，当0n =时，2()0m f x x '=-<， 当0e n <≤时，令()0f x '=，则0mx n =-<，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减，由函数()f x 在区间[]1,e 内有唯一零点，得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩,即10,10,em m n -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 即10,e e 0,m m n -≥⎧⎨--<⎩或(1)0, (e)0,f f >⎧⎨≤⎩,即10,e e 0,m m n ->⎧⎨--≤⎩,又0m >，0n e ≤≤， 所以10,e e 0,0,0e,m m n m n -≥⎧⎪--<⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （1）或10,e e 0,0,0e,m m n m n ->⎧⎪--≤⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （2） 所以m ，n 满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示， 则2(2)1(1)n n m m +--=+--表示点（m ，n ）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得21n m ++的最小值在A 点处取得，根据e e 0,e,m n n --=⎧⎨=⎩得A 点坐标满足2e e,e,m n ⎧=+⎨=⎩，所以最小值为2e 2e e 1+++，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，线性规划，属于难题. 13．0 【分析】模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案. 【详解】1,0tan3n S π==+= 22,tan03n S π=== 33,0tan03n S π==+= 44,0tan3n S π==+= 55,tan03n S π=== 6,0tan603n S π==+=由于()tan 3f n n π=的周期33T ππ==，则tan 3n π的值以3为周期循环出现即该程序框图S 的值会以3为周期循环出现因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了循环结构框图计算输出值，属于中档题. 14．【分析】利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果. 【详解】由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 23C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+==ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin a C c A ==，1sin sin 2ABCSac B B ∴==∈．故答案为：.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形面积取值范围的问题，关键是能够熟练应用正余弦定理进行边角转化，从而求得所需的边和角的取值范围，代入三角形面积公式求得结果. 15【分析】设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率. 【详解】设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，则222222220000000000335()()()()5226222629x y x y x x y PM PN y x y +=-++-++++=+ 又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则2251959b a ==，222289a b e a -==，e =【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度. 16．4 【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nn a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．17．（1）()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）见解析【分析】（1）由1n n S pa +=再写式子12n n S pa n -=≥（），两式作差得到11n n a pa p++=（n ≥2），所以数列{a n }从第二项起是公比为1p p+的等比数列，又当n ＝1时2aa p =，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1k a +，2k a +，3k a +，若选①，则1232k k k a a a ++++=，解出p 值，即可求得k d ；同理若选②，则2312k k k a a a ++++=，解出p 值，求得k d . 【详解】（1）因为1n n S pa +=，当2n ≥时，1n n S pa -=，两式相减，得()112n n a p n a p ++=≥，故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列， 又当1n =时，120a pa -=，1a a =，所以2a a p =，从而()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）得111k k a p a p p -+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21k k a p a p p +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，131k k a p a p p ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若选①，则1232k k k a a a ++++=，11p p +=或112p p +=-，得23p =-， 所以113122k k a a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，133122k k a a ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1319182k k k k a d a a -++⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭．若选②，则2312k k k a a a ++++=，11p p +=或12p p +=-，得13p =-， 所以()1132k k a a -+=--，()232kk a a +=--，所以()11292k k k k d a a a -++=-=-⋅-．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，考查等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题． 18．（1）证明见解析（2）7【分析】（1）要证AC BD ⊥，只需证BD ⊥平面AOC ，即可求得答案；（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD CD =，所以AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF ，CD ⊥平面AOF ，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，ABD ∆是等边三角形， ∴AO BD ⊥，又BC CD =，∴CO BD ⊥，CO AO O ⋂=，∴BD ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，故AC BD ⊥. （2）平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD CD =，∴AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF ，CD ⊥平面AOF ，A ∴，O ，F ，E 共面，∴平面BCD ⊥平面OFE ，作EH 垂直OF 于点H ，则EH ⊥平面BCD ，故点E 到平面BCD 的距离即为EH ， 又AE ⊥平面CDE ，所以AE EF ⊥，AE EC ⊥，∴OF =，EF =，AF =AE =由sin sin()EFO AFO AFE ∠=∠+∠sin cos cos sin AFO AFE AFO AFE =∠∠+∠∠∴2277EH +=⨯=. 【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．（1）2214x y +=；（2）l 过定点203，． 【分析】（1）由题意结合圆的性质可得4MA MN +=，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线l 斜率不存在时，求出各点坐标后即可得l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立方程可得122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-=+，进而可转化条件()242PB QB b k k k b k -⋅=+，得出23b k =-后即可得解.【详解】 （1）由题意M过点)A，且与(2216N x y ++=：内切，易知点()N ，N 半径为4，设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M 的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍），所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-，由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-=+， 则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于中档题. 20．（1）指数模型回归方程为0.296.54x y e -=，反比例函数回归方程为10011y x=+；（2）20.99r ≈；用反比例函数模型拟合效果更好；（3）612（千元）.【分析】（1）由96.54dx y e =，得ln ln 96.54 4.6y dx dx ν=+⇔=+，将 3.7ν=， 4.5x =代入可得指数模型回归方程.令1xμ=，则y b a μ=+，代入y ，求得b ，a ，可得反比例函数回归方程.（2）求得y 与u 的相关系数为2r ，由12r r <，可得结论. （3）设该企业的订单期望为S （千件），则109811011111123101122222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可求得订单的期望，从而求得该企业的利润约. 【详解】解：（1）因为96.54dx y e =，所以ln ln 96.54 4.6y dx dx ν=+⇔=+， 将 3.7ν=， 4.5x =代入上式，得0.2d =-，所以0.296.54x y e -=. 令1xμ=，则y b a μ=+， 因为360458y ==，所以182218183.480.34451001.5380.1158ni ii i i u y u yb u u==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，则451000.3411a y b u =-⋅=-⨯=，所以11100y u =+， 所以y关于x 的回归方程为10011y x=+. 综上，指数模型回归方程为0.296.54x y e -=，反比例函数回归方程为10011y x=+. （2）y 与u 的相关系数为828610.9961.4i iu y u yr -⋅===≈∑，因为12r r <，所以用反比例函数模型拟合效果更好. （3）设该企业的订单期望为S （千件），则109811011111123101122222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令109811111123102222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， 则111092111111*********T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， ②-①，得11109211111522222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得10192T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以101391292256S ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭，所以该企业的利润约为：3310091009101161232562569256⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯++≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦（千元）. 【点睛】本题考查线性回归方程的求得，相关系数的比较，以及运用数学期望求利润，属于中档题. 21．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域与导数，对实数a 进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）由题意得出()1xg x e x =--，构造函数()()()()()()211121g x g x H x g x g x x x x x -=----，证明出存在()12,x x ξ∈，使得()()()()2121g x g x g x x ξ'-=-，可推导出()()()()21121g x g x g x x x '->-，设()31122121x x x λλλλ=++=，可得()()()()132312g x g x g x x x λ'>+-，()()()()231321g x g x g x x x λ'>+-，利用待定系数法可证得不等式成立.【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()11axf x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<；令()0f x '<解得1x a>. 故此时函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）当1a =时，()()ln ln 111x x x x x g x xex xe x e x ---=--=--=--，()()100x g x e x '=->>，不妨设120x x <<，先证：存在()12,x x ξ∈，使得()()()()2121g x g x g x x ξ'-=-， 构造函数()()()()()()211121g x g x H x g x g x x x x x -=----，显然()()12H x H x =，且()()()()2121g x g x H x g x x x -''=--，()()()21212111121121212111111x x x x x x x x x e x e x e e e H x ee e x x x x x x ------⎛⎫--'=--=-=- ⎪---⎝⎭()22121211x x x e x x e x x -⎡⎤=--+⎣⎦-， 210x x >>，则210x x ->，()()22212110x x g x x e x x -∴-=--->，()10H x '∴<，同理可证()()212212212212110x x x x x x e e e H x e e x x x x x x --'⎡⎤=-=--->⎣⎦--， 由零点存在定理可知，存在()12,x x ξ∈，使得()()()()21210g x g x H g x x ξξ-''=-=-，即存在()12,x x ξ∈，使得()()()()2121g x g x g x x ξ'-=-，又()1xg x e '=-为增函数，()()()()()()2121121g x g x g x x g x x x ξ''∴-=->-，即()()()()21121g x g x g x x x '>+-，设()31122121x x x λλλλ=++=，则()1311221x x x x λλ-=--，()2322111x x x x λλ-=--，()()()()()()()133133311221g x g x g x x x g x g x x x λλ''∴>+-=+--⎡⎤⎣⎦()()()32312g x g x x x λ'=+-，①()()()()()()()233233322111g x g x g x x x g x g x x x λλ''>+-=+--⎡⎤⎣⎦()()()31321g x g x x x λ'=+-，②由①1λ⨯+②2λ⨯得：()()()()112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+， 即()()()11221122g x x g x g x λλλλ+<+. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，构造新函数是解答的关键，考查计算能力与推理能力，属于难题. 22．（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα= 【分析】（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解. 【详解】（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩,消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+=曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=,设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=412|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<<3424πππαα∴-=∴=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．（Ⅰ）(,1)(1,)-∞-+∞；（Ⅱ）[)1010,0-.【分析】（Ⅰ）由题意不等式化为1211a a --->，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦，分别求出()max f x ⎡⎤⎣⎦和min 2020y y a ⎡⎤++-⎣⎦，列出不等式求解即可．【详解】 （Ⅰ）由题意知，()11211f a a =--->，若12a ≤，则不等式化为1211a a --+>，解得1a <-； 若112a <<，则不等式化为()2111a a --->，解得1a >，即不等式无解； 若1a ≥，则不等式化为2111a a -+->，解得1a >， 综上所述，a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞； （Ⅱ）由题意知，要使得不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，只需()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，2x a x a a ---≤-，()max f x a ⎡⎤=-⎣⎦，因为20202020y y a a ++-≥+，所以当()()20200y y a +-≤时，min 20202020y y a a ⎡⎤++-=+⎣⎦，即2020a a -≤+，解得1010a ≥-，结合0a <，所以a 的取值范围是[)1010,0-.。

2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（二十五）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1.已知集合A={x|x 2-21x>0}，B={x|x>31}，则A ∩B=（ ） A.(31，21) B.(21，+∞) C.(-∞，-31) D.(31，+∞) 2.已知复数z 1=2+i ，z 2=-i ，则||||21z z =（ ）A.52B.2C.5D.5 3.已知向量)2,3(),1(-==→→b m a ，，且→→→⊥+bb a )(，则m=（ ）A.-8B.-6C.6D.84.某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于 （ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km5. 数据 7，8，6，8，6，5，8，10，7，4中的众数，中位数分别是 （ ） A.8,7 B.7,8 C.6,8 D.8,66. 已知a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ac<bc ；②a c <b c ；③log a (a-c)>log a (b-c).其中所有正确结论的序号是（ ）A.①B.①②C.②③D.①②③7. 设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 ( )A.βαβα⊥⊥,//,b aB.βαβα//,,⊥⊥b aC.βαβα//,,⊥⊂b aD.βαβα⊥⊂,//,b a8.一动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，过点(0，1)且与定直线l 相切，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－1169.函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5 10.已知tana=3，则cos （2α+π2）=( )A ．–35B ．45 C ．–35 D ．-4511.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b>a>0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A ．233 B ． 2C ． 3D ．212.函数f x （）=1,01,0x x ≥⎧⎨-<⎩，则不等式()()x x 2f x 25++⋅+≤的解集是( )A ．（3]2∞-， B ．[32]2，C ．（2)∞--，D ．（)∞∞-+，二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有 种．(用数字作答)14. 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是 .15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bsinC+csinB ＝4asinBsinC ，B D 1bc=338，则△ABC 的面积为 ． 16.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V ，面数为F ，棱数为E ，那么V+F-E=2．已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，该凸多面体的面数为30，则该多面体顶点数和棱数分别是 ， .三、解答题：共70分.(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：共60分。

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2C 2D ． 32．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 3．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．154．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16 6．下列四种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） A ．56 B.58 C.62 D ．609．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A ．120B ．260C ．340D ．42010．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,1 C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( ) A ．B ．C ．1D ．2二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212xx g x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为,l ρθ=被圆C .（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P 的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23．已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ C ）A ．1B ．2CD ．【答案】C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 2．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( A ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 【答案】A.【解析】 根据题意，有21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以221q q =+，解得q =1或－12.3.已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ A ）A ．1B ．1-C ．5D ．15【答案】A 【详解】由()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，a b +与a b -夹角为90， 则22()()0a b a b a b +⋅-=-=，所以2tan 150θ+-=，θ为锐角，解得tan 2θ=.222221sin cos tan 14112sin cos cos 2sin cos cos 2tan 141θθθθθθθθθθ+++====++++. 故选A. 4．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ A ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】 由f （x ）＝2211sin cos 424x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， ∴1()sin 2f x x x '=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()cos 2f x x ''=-，当﹣3π＜x ＜3π时，cosx ＞12，∴()f x ''＜0，故函数y ＝'()f x 在区间,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 上单调递减，故排除C ． 故选A ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ B ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16【答案】B 【详解】由题意，容易知6r =，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故外接圆圆心的横坐标为4p 因为外接圆与准线相切， 故可得642p p+= 解得8p =. 故选：B.6．下列四种说法正确的个数有（ C ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个 B ．2个C ．3 个D ．4个【答案】C 【解析】①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A B C ⊆⊆，正确；②根据函数的定义知函数的图象与垂直于x 轴的直线的交点至多有一个，正确；③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂，正确；④对于函数()1,101,01x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ ，可知函数()f x 在[]1,0-和[]0,1都为增函数，则()f x 在[]1,1-不是增函数，函数()f x 在[],a b 和[],b c 都为增函数，则()f x 在[],a c 为增函数错误，故选C.7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【答案】B【解析】 5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ D ） A ．56 B.58 C.62 D ．60 【答案】D 【解析】试题分析：当2n ≥时，()()22152151226n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-，当1n =时，112a S ==-，则前10项依次为2,2,0,2,4,6,8,10,12,14,--所以数列{}n a 的前10项和为60.9．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种A ．120B ．260C ．340D ．420【答案】D【解析】 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同， 则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+= 故选D10．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ C ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 【答案】C【详解】 令()f a t =，则()2tf t =，当1t <时，312t t --，由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-'，当1t <时，在(,1)-∞递增，即有()()10g t g <=，则方程无解；当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，即311a -≥，解得23a ≥且1a <；或1,21a a ≥≥解得0a ≥，即为1a ≥，综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数()312tg t t =--，利用新函数的性质是解答的关键.11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（B ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 设为函数上的一点,则关于直线的对称点为在函数上,所以,,则,所以在上为减函数,在上为增函数,所以当时,当时,故,选B.考点：1.函数图象的对称；2.利用导数研究函数的最值. 【思路点晴】在本题中,先由两函数的图象存在点关于直线对称,则设点为函数上,关于直线的对称点为在函数上,得到,再利用导数求出的范围来.本题注意从对称找突破口.12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( D ) A ．B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】由条件可知1231λλλ++=，1231122λλλ=+=，，那么223231216λλλλ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ ，等号成立的条件为2314λλ==，说明点P 在线段EF 的中点处，此时，()1PA PB PC 2=-+ ，所有x=y=12，3x+y=2，故选D.二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．【答案】10 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：54554331554431{0100a C a a a C a C a a =+=⇒=++=．法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 【答案】212n n a n+= 【详解】 ∵12323n nnH a a a na =++++∴122n nn a a na H +++=∵22n H n =+ ∴()12222n n n a a na +++⋯+=①∴()()()12111212n n n a a n a --++++-=②①-②得()()()21121222n n n n n n na +-++=-=∴212n n a n+=故答案为：212n n a n+=15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．【答案】2 【解析】设BAx ODA θ∠=∠=，则(cos sin ,sin )OB θθθ=+，(cos ,sin cos )OC θθθ=+，所以OB OC ⋅=sin 212θ+≤．点睛：处理数量积问题主要手段有：定义法、代数法、几何法、基底法、极化恒等式等等，本题引入角参数，利用坐标法把问题转化为三角函数的最值问题.三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .【答案】（1）（2），【解析】：（1）当故{a n }的通项公式为的等差数列.————3分设的公比为则故，即的通项公式为————6分（2）————7分—————8分 两式相减得————12分点评：本题考查了等差、等比数列的概念及通项公式、数列前N 项和的求法，要求学生掌握最常用的求解方法，区别数列求和的类型18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.【答案】(1) 2a =；(2) 函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 （1）由已知得，()522252225,0,62f x m n acos x x a asin x a x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-=++-=++-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，712,,2,166662x sin x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦————3分 当0a >时， ()f x 的最大值为453a -=，所以2a =； 当0a <时， ()f x 的最大值为53a -=，故8a =（舍去） 综上：函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时， 2a = ————6分 （2）当2a =时， ()4216y f x sin x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，由()y f x =的最小正周期为π可知， b 的值为π. 又由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，可得， 2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，∵[]0,x π∈， ∴函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ————12分19．已知长方形ABCD 中，1AB =，AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）27. 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 ————5分 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . ————6分 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz - (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 , ————8分设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)， ————10分故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n OA ，. ——12分【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212x xg x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减;(2) a 的取值范围为(],0-∞.【解析】 （1）由题意知，()()()221x x x ax e x a xe e f x a x x x---=--='+， 令()()()1xF x ax ex =--，当0a <时，0xax e-<恒成立，∴当1x >时，()0F x <；当01x <<时，()0F x >，∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ————4分 （2）∵()()()g x f x xf x =+'，∴()ln 2xg x a x e ax a =--+-，由题意知，存在[]01,2x ∈，使得()()0200012x x g x e a x ≤-++-成立.即存在[]01,2x ∈，使得()2000ln 102x a x a x a -++--≤成立， ————5分令()()[]2ln 1,1,22x h x a x a x a x =-++--∈，∴()()()[]11,1,2x a x ah x a x x x x---=++-=-∈'. ————6分 ①1a ≤时，[]1,2x ∈，则()0h x '≤，∴函数()h x 在[]1,2上单调递减， ∴()()min 2ln20h x h a a ==-+≤成立，解得0a ≤，∴0a ≤； ————8分 ②当12a <<时，令()0h x '>，解得1x a <<；令()0h x '<，解得2a x <<， ∴函数()h x 在[]1,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减， 又()112h =，∴()2ln20h a a =-+≤，解得0a ≤，∴a 无解； ——10分 ③当2a ≥时，[]1,2x ∈，则()0h x '≥，∴函数()h x 在[]1,2上单调递增， ∴()()min 1102h x h ==>，不符合题意，舍去； 综上所述，a 的取值范围为(],0-∞. ————12分21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离22minda b b =+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，．【解析】 【详解】试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为，由此得，又有，可解得，故存在．解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为，其“伴随圆”的方程为． ————3分（2）设直线的方程为由得则有得， ① ————5分 由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得，得②由①②得，又，故，所以点坐标为． ——7分（3）过的直线的方程为：，即，得 ————8分 由于圆心到直线的距离为， ————9分当时，，但，所以，等式不能成立；当时，，由得所以因为，所以，得．所以————12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252x m ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为25,l ρθ=被圆C 2.（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值. 【答案】（1）33m m ==-或；（2）【详解】（1）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +=.直线的普通方程为0x y m +-=， ————2分 被圆C，，=解得33m m ==-或. ————5分 （2）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩————7分 又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=——10分法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、， 所以PA PB +==————10分23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析.【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>且 0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩ 010*********22x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ ——————3分 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭——————5分 （2）解法1： 1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. ——————10分 解法2： 1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y x x y ++=⋅ 1x y xy xy +++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立. ————10分。

2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，2{|ln(1)}A x y x ==-，2{|4}x B y y -==，则()U A B =（ ）A ．(1,0)-B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(1,0]-2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ）2244．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（ ）A ．1B ．2CD8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y +-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 22x ≥的概率为（ ） A ．13B ．12 C ．23D ．3411．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则12||||AF AF =（ ）32312．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．261a --<<B ．11a -<<C ．26a +>或26a -<D ．2626a -+<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；（2）若sin 2sin cos A B C =，是判断ABC △的形状并给出证明．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由；（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ⅱ）广告投入量18x=时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y，22(,)x y，，(,)n nx y，其回归直线方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG-的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，2CB GF=，BF CF=．（1）求证：AB CG⊥；（2）若ABC△和梯形BCGF3G ABE-的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，若11(,)2x y =m ，22(,)2xy =n ，0⋅=m n ．（1）求证：1214k k ⋅=-； （2）试探求OPQ △的面积S 是否为定值．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ． （1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ⋅=，求2222||||||||OP OQ OP OQ ⋅+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数1()||()3f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式1||()13x f x -+≥；（2）设不等式1||()3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】2{|10}(1,1)A x x =->=-，{|0}B y y =>，所以{|0}UB y y =≤，所以()(1,0]U AB =-．2．【答案】A【解析】因为1a >，所以由log log a a x y <，得0x y <<，2()x xy x x y -=-， 显然当0x y <<时，2x xy <，所以充分性成立，当1x =-，2y =-时，2x xy <，而log a x ，log a y 无意义，故必要性不成立． 3．【答案】A【解析】令12x =，11()(1)24g f =-， 因为(1)2f =，所以117()2244g =-=，令12x =-，则11()(1)24g f -=--，11(1)()24f g -=-+，因为()g x 是偶函数，所以117()()224g g -=-=-，所以713(1)442f -=-+=-．4．【答案】D【解析】因为α是第一象限角，24sin 25α=，所以7cos 25α===， 所以sin 24tan cos 7ααα==，22tan242tan 71tan 2ααα==-， 整理得212tan 7tan 12022αα+-=，解得3tan 24α=或4tan 23α=-（舍去）．5．【答案】C【解析】设(,)x y =b ，则222x y ⋅=+=-a b ，即1x y +=-①，又3πcos4||||⋅=⋅a ba b，即2-=221x y +=②．由①②，得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)=-b 或(1,0)=-b ．6．【答案】B【解析】方法一：当1n =时，1122S a a ==，则212a =， 当12n ≥时，12n n S a -=，则1122n n n n n S S a a a -+-==-，所以132n n a a +=，所以数列{}n a 从第二项起是公比为32的等比数列，所以21,113(),222n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩，所以2113131()22222n n S -=++⨯++⨯=1113[1()]3221()3212n n --⨯-+=-．方法二：当1n =时，1122S a a ==，则212a =，所以213122S =+=， 结合选项可得只有B 满足． 7．【答案】D【解析】方法一：∵α为锐角，∴tan 0α>， ∴233(1tan )1312tan 2tan (tan )tan 22tan 2tan 2ααααααα-+=+=+≥⨯=，当且仅当3tan tan αα=，即tan α=π3α=时等号成立． 方法二：∵α为锐角，∴sin 0α>，cos 0α>，∴22232sin 3cos 24sin 3cos 2sin 3cos 2tan tan 2cos sin 22sin cos 2sin cos aααααααααααααα+++=+==1sin 3cos 1()2cos sin 2αααα=+≥=， 当且仅当sin 3cos cos sin αααα=，即π3α=时，等号成立． 8．【答案】C【解析】对于A ，直线a 可以在平面α内，也可以与平面α相交； 对于B ，直线a 可以在平面α内，或者b 在平面α内；对于D ，如果a α⊥，b α⊥，则有a b ∥，与条件中两直线异面矛盾． 9．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，则由题意知圆22((1)1x y +-=与圆222x y a +=有公共点，则|1|1a a -≤≤+，解得13a ≤≤． 10．【答案】A【解析】当[0,2]x ∈时，π0π2x ≤≤，所以πsin 2x ≥， 所以ππ2π323x ≤≤，所以2433x ≤≤，故由几何概型的知识可知，所求概率4213323P -==．11．【答案】A【解析】如图不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得12||||2BF BF a +=，12||||2AF AF a +=， 由题意知2||||AB AF =，所以12||||BF BF a ==，1||2a AF =，23||2aAF =，所以12||1||3AF AF =．12．【答案】A【解析】易知函数2()ln(||1)f x x x =++是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增， 又29ln 43ln(|3|1)(3)f +=++=，所以不等式22(22)9ln 4f x ax a +-<+对于[1,2]x ∈-恒成立， 等价于22|22|3x ax a +-<对于[1,2]x ∈-恒成立，即2222223223x ax a x ax a ⎧+-<⎨+->-⎩①②对于[1,2]x ∈-恒成立． 令22()223g x x ax a =+--，则22(1)2220(2)2410g a a g a a ⎧-=---<⎨=-++<⎩， 解得26a +>或26a -<令22()223h x x ax a =+-+，令222230x ax a +-+=， 则当2248120Δa a =+-<时，即11a -<<时，满足②式子； 当2248120Δa a =+-=，即1a =±时，不满足②式； 当2248120Δa a =+->，即1a <-或1a >时，由2(1)12230h a a -=--+>，2(2)44230h a a =+-+>， 且1a -<-或2a ->，知不存在a 使②式成立．综上所述，实数a 的取值范围是1a -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】3- 【解析】3i (3i)i 3i 2i 222a a a ++==---，由题意知322a=-，解得3a =-． 14．【答案】2017 【解析】易知数列π{sin1}()2n n *+∈N 的周期为4，各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，，执行程序框图，1n =，2s =；2n =，3s =；3n =，3s =；4n =，4s =；；2016n =，2016s =；2017n =，2018s =，不满足判断框中的条件，退出循环， 此时输出的2017n =． 15．【答案】100【解析】由题意可知0.050，a ，b ，c ，d 构成等差数列，设公差为t ，由小矩形的面积之和为1，可得(0.050)21a b c d ++++⨯=， 即0.0500.5a b c d ++++=，所以5450.0500.52t ⨯⨯+⨯=，解得0.025t =， 所以0.0500.02520.100b =+⨯=，0.0500.02540.150d =+⨯=， 所以净重在[98,102)内的频率为()2(0.1000.150)20.5b d +⨯=+⨯=， 则净重在区间[98,102)内的产品件数为2000.5100⨯=．16．【答案】5【解析】由题意知双曲线的一条渐近线l 的方程为2ba=，所以直线l 的方程为2y x =． 在12PF F Rt △中，原点O 为线段12F F 的中点，所以121||||2OP F F c ==，又||OP ==c =，又222c a b =+，2ba=，所以1a =，2b =， 则双曲线的左顶点的坐标为(1,0)-，该点到直线l 的距离为d ==三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）ABC △为等边三角形，证明见解析． 【解析】（1）由222b c a bc +=+，可知222122b c a bc +-=， 根据余弦定理可知，1cos 2A =， 又A 为ABC △的内角，所以π3A =．（2）方法一：ABC △为等边三角形．由三角形内角和定理得π()A B C =-+，故sin sin()A B C =+，根据已知条件，可得sin()2sin cos B C B C +=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=， 所以sin()0B C -=，又(π,π)B C -∈-，所以B C =， 又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 方法二：ABC △为等边三角形．由正弦定理和余弦定理及已知条件，得22222a b c a b ab+-=⨯，整理得22b c =，即b c =，又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 18．【答案】（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）ˆ38.04y x =+；（ⅱ）62.04万元．【解析】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高． （2）（ⅰ）剔除异常数据， 即3月份的数据后，得1(766)7.25x =⨯⨯-=，1(30631.8)39.645y =⨯⨯-=， 11464.246 1.81273.44ni ii x y==-⨯=∑，2213646328ni i x ==-=∑，122151273.4457.229.64206.4ˆ332857.27.268.85ni ii nii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，ˆˆ29.643.28.04ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04yx =+． （ⅱ）把18x =代入（ⅰ）中所求回归方程得ˆ3188.0462.04y=⨯+=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）13． 【解析】（1）如图，取BC 的中点为D ，连接DF ， 由题意得，平面ABC ∥平面EFG ，平面ABC 平面BCGF BC =，平面EFG平面BCGF FG =，∴BC FG ∥，∵2CB GF =，∴CD GF ∥，CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF ∥，∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥． ∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且平面ABC 平面BCGF BC =，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴AB CG ⊥．（2）∵2CB GF =，∴2AC EG =， 又AC EG ∥，∴2ACG AEC S S =△△， ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥， 由（1）知CG ⊥平面ABC ，∴CG BC ⊥． ∵正三角形ABC 3∴2BC =，1CF =，直角梯形BCGF 3∴(12)32CG+⋅=23CG =， 11112233ABC G ABE G ABC V V S CG --==⨯⨯⨯=△三棱锥三棱锥．20．【答案】（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析． 【解析】（1）∵1k ，2k 存在，∴120x x ≠， ∵0⋅=m n ，∴121204x x y y +=，∴12121214y y k k x x ⋅==-．（2）①当直线PQ 斜率不存在时，即12x x =，12y y =-时，由121214y y x x =-，得221114x y -=， 又由11(,)P x y 在椭圆上，得221114x y +=， ∴1||2x ，12||2y =，∴1121||||12POQ S x y y =⋅-=△． ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为(0)y kx b b =+≠，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，222222644(41)(44)16(41)0Δk b k b k b =-+-=+->，∴122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+， ∵121204x x y y +=，∴1212()()04x xkx b kx b +++=，得22241b k -=，满足0Δ>，∴211||||2||12241POQS PQ b b k ====+△， ∴OPQ △的面积S 为定值．21．【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）(,)e +∞． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当a e =时，(1)()()x x xe e f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =，∵当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且t ∈R ， ∴()(ln )xy f x xe a x x ==-+，即ty e at =-，令()tg t e at =-，∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()tg t e at =-在t ∈R 上有两个零点．①当0a =时，()tg t e =，在R 上单调递增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②当0a <时，()0t g t e a '=->，()g t 在R 上单调递增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点；③当0a >时，由()0tg t e a '=-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的极小值(ln )(1ln )g a a a =-．若0a e <<，()(1ln )0g t a a =->极小值，()g t 无零点； 若a e =，()0g t =极小值，()g t 只有一个零点；若a e >，()(1ln )0g t a a =-<极小值，而(0)10g =>， 由ln x y x=在x e >时为减函数，可知当a e >时，2a e e a a >>，从而2()0a g a e a =->， ∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点，综上当a e >时，()f x 有两个零点，即实数a 的取值范围是(,)e +∞．22．【答案】（1）2253sin 2ρθ=+；（2）57． 【解析】（1）由cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，得曲线C 的普通方程是22215x y +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2222sin 2cos 5ρθρθ+=， 即2253sin 2ρθ=+（22255sin 2cos ρθθ=+）．（2）因为22255sin 2cos ρθθ=+，所以22212cos sin 5θθρ=+， 由0OP OQ ⋅=，得OP OQ ⊥，设点P 的极坐标为1(,)ρθ，则点Q 的极坐标可设为2π(,)2ρθ±， 所以22222222222212||||11111112cos 2sin ||||sin cos ||||55OP OQ OP OQ OP OQ θθθθρρ⋅===++++++152715==+． 23．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14[,]23-．【解析】（1）当2a =时，1||()13x f x -+≥，即|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，不等式即1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，不等式即3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，不等式即3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥，综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（2）不等式1||()3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32x ∈上恒成立，所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故实数a 的取值范围是14[,]23-。

2021届湖南师大附中新高三原创预测试卷（十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则集合A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，且复数z满足：，则z的虚部为A. B. C. D.3.已知抛物线C：的焦点F在直线l：上，则点F到C的准线的距离为A. 2B. 4C. 8D. 164.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比，则下列说法错误的是A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知，，，若，则A. 6B.C. 16D. 206.已知函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B.C. D.7.函数的图象可看作是将函数的图象向右平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到的，则函数的解析式为A. B.C. D.8.设函数，若，，，则A. B. C. D.9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员含A、B两市代表团安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为A. 6B. 12C. 16D. 1810.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.B.C.D.11.已知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为A. B. 3 C. D. 512.当x为实数时，表示不超过x的最大整数，如已知函数其中，函数满足，，且时，，则方程的实根的个数为A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中第项为常数项，则______．14.已知实数x，y满足，则的最大值是______．15.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图，函数的图象与x轴围成一个封闭区域阴影部分，将区域阴影部分沿z轴的正方向上移6个单位，得到一几何体．现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图所示，其底面积与区域阴影部分的面积相等，则此柱体的体积为______．16.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在线段BC上，且，则AD的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列中，，且，．判断数列是否为等比数列，并说明理由；当时，求数列的前2020项和．18.如图，多面体是正三棱柱底面是正三角形的直棱柱沿平面切除一部分所得，其中平面ABC为原正三棱柱的底面，，点D为的中点．求证：平面；求二面角的平面角的余弦值．19.某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组单位：万元：，，，，，，统计结果如表所示：组别频数5203030105以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题；从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间内的天数不少于2的概率；该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z服从正态分布，其中近似为样本平均数每组数据取区间的中点值．试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间内的天数精确到个位；该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为金额50元100元概率小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？考数据：若，则，．20.已知椭圆C：的离心率为，过椭圆C的左焦点和上顶点的直线与圆O：相切．求椭圆C的方程；过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，点与原点O关于直线l对称，试求四边形的面积的最大值．21.已知函数为常数．若函数恰有1个零点，求实数m的取值范围；若不等式对正数x恒成立，求实数a的最小整数值．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为为参数，，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．若，求直线l被圆C所截得的弦长；设，且直线l与圆C交于A，B两点，若，求角的大小23.已知函数．解不等式；记函数的最小值为m，正实数a，b满足，求证：．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．【解答】解：，或；．故选：C．2.【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．【解答】解：由，得．的虚部为．故选：A．3.【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为，可得，因此点F到C的准线的距离为：8；故选：C．根据抛物线的标准方程，将焦点代入直线l方程算出p，即可得到结果；本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】D【解析】解：由图易知A，B正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确，由2018年1月月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D错误，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．5.【答案】D【解析】【分析】可求出，，从而求出，，这样根据即可得出，解出m即可求出的坐标，从而得出．考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法．【解答】解：，；，；又；；解得；；．故选：D．6.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数．得到切线的向量求出切点坐标，然后求解切线方程．本题考查函数的导数的应用，函数的奇偶性以及导数的几何意义，是基本知识的考查．【解答】解：函数，若为奇函数，可得，所以，，，，函数，，曲线在点处的切线斜率为：，，曲线在点处的切线方程为：，即．故选：C．7.【答案】D【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，得再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到故选：D．根据的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查正切函数的单调性，涉及函数的单调性的判定以及应用，属于基础题．根据题意，由对数函数的性质分析可得在上为增函数，又由对数的性质可得，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其周期为，且在区间上为增函数，又由，则，即，故选：D．9.【答案】B【解析】【分析】由排列组合及简单的计数问题得：不同的安排种数为，得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．解：当a，b，c三家宾馆入住人数为3，1，1，则不同的安排种数为，当a，b，c三家宾馆入住人数为2，2，1，则不同的安排种数为，当a，b，c三家宾馆入住人数为2，1，2，则不同的安排种数为，即不同的安排种数为，故选：B．10.【答案】A【解析】解：由题意可知，几何体的是列出为1的正方体的一部分，，外接球就是正方体的外接球，半径为：，外接球的表面积为：．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积．本题考查三视图求解外接球的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，不妨设点M在第二象限，设，，由题意列式求得m，n，代入双曲线方程可得双曲线C的离心率．【解答】解：不妨设点M在第二象限，设，，由D为的中点，O，I，D三点共线知，直线OD垂直平分，则OD：，故有，且，解得，．将，即代入双曲线的方程可得，，化简得，即．当M在第三象限时同理可得．故选：C．12.【答案】C【解析】解：由，，得函数的图象关于直线及直线对称，且，令，则，即为周期函数，且最小正周期为4．对于，当时，；当时，；当时，；当时，；；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数及的图象，由图可知，函数与函数共有6个交点，即方程的根的个数为6．故选：C．由，，得函数的图象关于直线及直线对称，又由可得的周期，通过作图观察的方法可得结果．此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，对于分段函数较麻烦一点，中档题．13.【答案】【解析】解：的展开式中第项为，再根据它为常数项，可得，求得，故答案为：．由题意利用二项展开式的通项公式，求得，从而得到的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义为动点到定点的斜率，由图象可知当动点位于A时，直线PA的斜率最大，解得此时，故答案为：2．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：由题意得，阴影区域在上为半个圆，底面积，所以该柱体的体积为．故答案为：．阴影区域在上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数在上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积．本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力．16.【答案】【解析】解：由正弦定理可得：，，又，，由，可得：，，两边平方，可得：，当且仅当时取等号，可得．故答案为：．由已知利用正弦定理可得：，根据余弦定理可求，结合范围，可求，由，可得，两边平方，结合基本不等式可求AD的最小值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的应用和基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：，，当时，，故数列不是等比数列；当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3．由且当时，有：，即，，．【解析】由，得，当时，，故数列不是等比数列；当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3．由且当时，有，求得，然后利用数列的分组求和求数列的前2020项和．本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了利用分组法求数列的前n项和，是中档题．18.【答案】证明：设与交于点E，连接DE，多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得，，四边形是正方形，且，点D为的中点，，，，同理．，为的中点，，，，平面；证明：取BC的中点O，连接AO，为正三角形，，由正棱柱的性质可得，平面平面，且平面平面，平面，以O为坐标原点，OB，OE，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，0，，1，，，，．设平面CBD的一个法向量为．则，取，得．由知，平面的一个法向量为，，又二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的余弦值为．【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．设与交于点E，连接DE，由题意可得四边形是正方形，且，再由点D为的中点，，，求得CD，同理求得，得，可得，由线面垂直的判定可得；取BC的中点O，连接AO，可得，由正棱柱的性质可得平面，以O为坐标原点，OB，OE，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的余弦值．19.【答案】解：由频数分布表可知，日纯利润在区间的频率为．记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X，则所求的概率．．，又，．故该大型超市1000天内日纯利润在区间的天数为．易知．对应奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y，则Y可能取值为70，其对应的概率均为，故E．对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q，则Q的所有可能的取值为50，100，150，200．，；；．Q 50 100150200P．，从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利．【解析】本题考查了二项分布，正态分布，离散型随机变量的分布列与数学期望．主要考查了归纳总结能力与运算能力．本题属于中档题．日纯利润在区间的频率为，记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X，则，结合二项分布即可得到日纯利润在区间内的天数不少于2的概率；依题意，又，，代入数据即可；分别计算出两种方案对应的奖金金额的期望，比较，取期望较大的即可．20.【答案】解：过椭圆C的左焦点和上顶点的直线方程为，即．又该直线与圆O相切，，又两向量，．，得．椭圆C的方程为；由点与原点O关于直线l对称，得，当直线l的斜率不存在时，轴，四边形不存在，不合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：，设，，联立，得．当，即时，，．从而．又点O到直线AB的距离．．设，则．当且仅当，即时等号成立，且满足．四边形的面积的最大值为2．【解析】由直线与圆相切得，结合椭圆离心率求得b，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；由点与原点O关于直线l对称，得，当直线l的斜率不存在时，轴，四边形不存在，不合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式得到四边形的面积，利用换元法结合基本不等式求最值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法求最值，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：的定义域为，函数恰有1个零点方程仅有一个正实数解，由，得，设，则，令得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，在处取得唯一的极大值，即为最大值，故的最大值为．当x趋近于0时，趋近于，所以为负数，当x趋近于时，x的增长速度大于的增长速度，且当时，故趋近于0，由图可知，当或者时，方程仅有一个实数解，的取值范围为或；，，设，又在上为减函数，，，存在唯一的零点，此时在上单调递增，在上单调递减，且，，，由单调性知，又，故，对任意正数x恒成立时，，，实数a的最小整数值为．【解析】首先写出的定义域，函数恰有1个零点方程仅有一个正实数解，由，得，设，然后求导，找出的最值，结合图象求出m的范围；设，求导判断的单调区间，利用单调性求出a的最值即可．本题考查了函数的求导，利用导数求单调区间，求最值，还涉及到函数的零点等知识，内容丰富，综合性强，较难解决．22.【答案】解：由，得，曲线C的直角坐标方程为，即．当时，直线l的方程为，恰好经过圆C的圆心，故直线l被圆C所截得的弦长为圆的直径，等于4；将代入．得．．设A，B对应的此时分别为，，则，，可知，异号．，得．又，或．【解析】把两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，求出时的直线方程，由直线l恰好过圆心求得直线l被圆C所截得的弦长；把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：，由得，或或，或或，，不等式的解集为：．，当且仅当，即时取等号，，，当且仅当，即时取等号，．【解析】，分段解不等式即可；利用绝对值三角不等式求出最小值m，然后利用基本不等式证明即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．。

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}22A x x =-≥，{}2B x x =≤，则()UA B ⋂=（ ）A. {}02x x ≤≤B. {}02x x <≤C. {}22x x -≤≤D.{}22x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】求出集合,u A C A ，再求()u C A B .【详解】由22x -≥，得22x -≥或22x -≤-，即4x ≥或0x ≤.{4A x x ∴=≥或}0x ≤，{}04u C A x x ∴=<<. (){}02u C A B x x ∴⋂=<≤.故选：B .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z iz i-+为纯虚数，则z =（ ）A. 2B.C. 1D.2【答案】C 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b aiz i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.||1z ∴==.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.命题：“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x >-”的否定是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，ln 1x x ≤- B. ()0,x ∃∉+∞，ln 1x x >- C. ()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≤- D. ()0,x ∀∈+∞，ln 1x x >-【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.注意“一改量词，二改结论”.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x >-”的否定是“()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≤-”. 故选：C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4.设31log 212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log 32b =，34log32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D.b ca <<【答案】D 【解析】 【分析】先根据对数函数3log y x =的单调性比较,,a b c 的指数的大小，再根据指数函数2xy =的单调性比较,,a b c 的大小. 【详解】3331log 12log log 221222a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1333332234416log log log 2log log 332339=-===， 函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，且316229<<， 333316log log log 229∴<<. 函数2xy =在R 上单调递增，333163log log log 292222∴<<，即b c a <<.故选：D .【点睛】本题考查对数的运算性质，考查对数函数、指数函数的单调性，属于基础题. 5.为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校组织“我和我的祖国”知识竞赛活动，30名参加比赛学生的得分情况（十分制）如图所示，则得分的中位数m ，众数n ，平均数p 的大小关系是（ ）A. m n p =<B. m n p <<C. n p m <<D.p m n <=【答案】A 【解析】 【分析】由条形图求出,,m n p ，即得答案. 【详解】由条形图可得33246510647293106,6, 6.130m n p ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯====，m n p ∴=<.故选：A .【点睛】本题考查条形图，属于基础题. 6.已知1cos 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.79 B. 79-C.29D. 429-【答案】A 【解析】 【分析】由2224ππαπα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式和倍角公式可求值.【详解】2224ππαπα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 2cos 2cos 2cos 212cos 2444ππππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2171239⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A .【点睛】本题考查三角函数诱导公式和简单的三角恒等变换，属于基础题. 7.函数()()sin xxf x e ex -=-部分图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】函数()f x 的定义域为R ，判断()f x 的奇偶性，再根据特殊值即得答案. 【详解】函数()f x 的定义域为R .()()()()()sin sin x x x x f x e e x e e x f x ---=--=-=，()f x ∴为偶函数，排除,A C .又()()11sin10,f e e -=->∴排除D .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的奇偶性识别图象，属于基础题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.若函数()()()2,012,0x x f x f x f x x -⎧≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()2020f =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 16【答案】A 【解析】 【分析】由题意，当0x >时，可推出()()6f x f x +=.故当0x >时，()f x 是周期为6的周期函数，则()()20204f f =，再根据()f x 的解析式去求()4f ，即得答案. 【详解】当x >时，()()()()()()()6544343f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=+-+-+=-+()()()()()()2111f x f x f x f x f x f x =-+-+=-+--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.∴当0x >时，()f x 是周期为6的周期函数， ∴()()20204f f =.又()()()()()()()()()432212101f f f f f f f f f =-=--=-=---⎡⎤⎣⎦()()10=10221f f --=-=.即()20201f =. 故选：A .【点睛】本题考查函数的周期性，考查分段函数求值，属于中档题. 10.已知函数3()()f x x a a a R x=--+∈，若方程()2f x =有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. (1+B. (1,1(1)--⋃+∞C. (,1-∞D. (,1(1-∞⋃+【答案】D 【解析】 【分析】先将()2f x =有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果. 【详解】由()2f x =得32x a a x--+=，即32x a a x-+=+，设()h x x a a =-+，()3g x 2x=+,()h x x a a =-+的顶点()a,a 在直线y x =上，而y x =与()h x 的交点坐标为()2,2,()1,1--,联立232y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩,可得()2x 2230a x +-+=,由()222120a =-==，得a 1=结合函数()h x x a a =-+，()3g x 2x=+图像可得，要使()2f x =有且只有三个不同的实数根，只需((),11a ∈-∞⋃. 故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.11.已知()sin 2f x x =，()cos2g x x =，下列四个结论正确的是（ ） A. ()f x 的图象向左平移2π个单位长度，即可得到()g x 的图象B. 当8x π=时，函数()()f x g x -C. ()()y f x g x =+图象的对称中心是,028k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈ D. ()()y f x g x =⋅在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】CD 【解析】 【分析】对选项逐一验证，即得答案. A 项，求出()f x 向左平移2π个单位长度后的函数解析式，可得A 的正误；B 项，令()()()h x f x g x =-，由辅助角公式可得()24h x x π⎛⎫-⎝=⎪⎭，从而可判断B 的正误；C 项，由辅助角公式可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求其对称中心，从而可判断C 的正误；D 项，由倍角公式可得1sin 42y x =，可判断它在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得D 的正误. 【详解】A 项，()f x 的图象向左平移2π个单位长度可得()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，而()cos2g x x =，故A 错误.B 项，令()()()h x f x g x =-，则()sin 2cos 224h x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，当8x π=时，20884h πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.C 项，sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.令2,4x k k Z ππ+=∈，,28k x k Z ππ∴=-∈. ∴函数()()y f x g x =+图象的对称中心是8,0,2k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故C 正确. D 项，1sin 2cos 2sin 42y x x x ==.当3,82x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数1sin 42y x =单调递增，故D 正确.故选：CD .【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题.12.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A. ()()()P A P B P C ==B. ()()()P BC P AC P AB ==C. 1()8P ABC = D. 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，分别求得(),(),()P A P B P C 可判断A ，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.【详解】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===， 由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =， 所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ．【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题. 13.已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，满足()21234234a a a a a a a +++=++，且41a >，下列选项正确的是（ ） A. 13a a > B. 34a a >C. 12a a >D. 24a a <【答案】AD 【解析】 【分析】设公比为q .由()21234234a a a a a a a +++=++，41a >得23221111111q q q q q ⎛⎫+++>++ ⎪⎝⎭，整理得43211210q q q q+++<，即32210q q q +++<.令()3221f x x x x =+++，利用导数判断()f x 的零点0x 在()2,1--上，即01q x <<-，从而可以判断选项的正误. 【详解】1234,,,a a a a 成等比数列，设公比为q .()2244444123423444322,a a a a a a a a a a a a a a q q q q q ⎛⎫+++=++∴+++=++ ⎪⎝⎭， 2244322322111111111111,1,11a a q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫∴+++=++>∴+++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得43211210q q q q+++<，即32210q q q +++<. 令()3221f x x x x =+++，则()()()'2341311fx x x x x =++=++.由()'0fx >，得13x >-或1x <-；由()'0f x <，得113x -<<-，()f x ∴在(),1-∞-上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.()f x ∴的极大值为()11f -=，极小值为1230327f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. 又()210f -=-<，()f x ∴在区间()2,1--上有一个零点0x .即32210q q q +++<时，01q x <<-，21q ∴>.41a >，∴等比数列1234,,,a a a a 中，13,a a 均为负数，24,a a 均为正数.23122124,a q a a a q a a ∴=<=>.故选：AD .【点睛】本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目.第Ⅱ卷三、填空题：把答案填在对应题号后的横线上.14.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于第______象限. 【答案】三 【解析】 【分析】由欧拉公式可得4cos 4sin 4i e i =+，则4i e 表示的复数在复平面中对应的点为()cos4,sin 4.判断点()cos4,sin 4所在的象限，即得答案.【详解】由欧拉公式可得4cos 4sin 4i e i =+，则4i e 表示的复数在复平面中对应的点为()cos4,sin 4.34,cos 40,sin 40,2ππ∴<<∴<<∴点()cos4,sin 4在第三象限， 即4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为：三.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.15.数列{}n a 满足13a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则10a =______. 【答案】3ln10+ 【解析】 【分析】由11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()11ln 1ln 1ln n na a n n n +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭-，累加法可求10a . 【详解】()1111ln 1,ln 1ln 1ln n n n n a a a a n n n n ++⎛⎫⎛⎫=++∴-=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()2132431ln 2ln1,ln3ln 2,ln 4ln3,,ln ln 1n n a a a a a a a a n n -∴-=--=--=--=--,以上各式两端分别相加，得1ln ln1ln n a a n n -=-=.1103,3ln ,3ln10n a a n a =∴=+∴=+.故答案为：3ln10+.【点睛】本题考查累加法，考查计算能力，属于基础题. 16.已知函数()121xf x x =-+，则1122f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，()()121f x f x +-≤的解集为______.【答案】 (1). 1 (2). (],1-∞ 【解析】 【分析】 令12x =，可求1122f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，可求得()()1f x f x +-=.不等式()()121f x f x +-≤即为()()()()12f x f x f x f x +-≤+-，可得()()12f x f x -≤-.易知()f x 在R 上单调递减，可解不等式. 【详解】函数()121x f x x =-+定义域为R .则111111122221f f ⎛⎫⎛⎫+-=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.()()11111211212121211212xx x x x x xf x f x x x -+-=-++=+=+=++++++， ∴不等式()()121f x f x +-≤即为()()()()12f x f x f x f x +-≤+-，()()12f x f x ∴-≤-.易知()121xf x x =-+在R 上单调递减， 12,1x x x ∴-≥-∴≤，即原不等式的解集为(],1-∞.故答案为：1；(],1-∞.【点睛】本题考查函数求值和解不等式，属于中档题.17.函数()f x 同时满足条件：①偶函数；②值域为[)0,+∞；③周期为2020.请写出()f x 的一个解析式______. 【答案】()tan 2020f x x π=，()12log sin2020f x x π=，()21cos11010f x x π=-+等【解析】 【分析】根据函数()f x 同时满足的3个条件写出()f x 的解析式，答案不唯一. 【详解】函数()f x 同时满足条件：①偶函数；②值域为[)0,+∞；③周期为2020，()f x ∴的解析式可以为：()tan2020f x x π=或()12log sin2020f x x π=或()21cos11010f x x π=-+等（答案不唯一）.故答案为：()tan2020f x x π=，()12log sin2020f x x π=，()21cos11010f x x π=-+等.【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的解析式，属于中档题.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知等差数列{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -顺次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2111nn nn n a b a a ++=-，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S .【答案】(1)n a n =；（2）221nn -+ 【解析】 【分析】（1）利用三项成等比数列可得()()242622a a a =+-，利用3a 和d 来表示该等式，可求得d ；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得()1111nn b n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，则2n S 可利用裂项相消的方法来进行求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d22a +，4a ，62a -顺次成等比数列 ()()242622a a a ∴=+- ()()()2333232a d a d a d ∴+=-++-，又33a =()()()23513d d d ∴+=-+，化简得：2210d d -+=，解得：1d =()()33331n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=（2）由（1）得：()()()()211211111111nnn n nn n a n b a a n n n n +++⎛⎫==-=-+ ⎪++⎝⎭-212321111111122334221n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+++-++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n -=-+=++ 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前n 项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到()1n-的裂项方法.19.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =A =（1）求A 的值，并求ABC 面积的最大值； （2）求b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）(]2,4.【解析】【分析】（1A =22sin 3cos A A =，又22sin 1cos A A =-，可求A .由222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，可得4bc ≤，再根据三角形面积公式可求ABC 面积的最大值；（2）方法1：由正弦定理可得)sin sin b c B C +=+，又23B C π+=.设3B x π=+，3C x π=-，其中33x ππ-<<，代入)sin sin b c B C +=+，展开，化简，可求b c +的取值范围.方法2：由余弦定理可知()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，由22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可求4b c +≤.又b c a +>，即求b c +的取值范围.【详解】（1A =22sin 3cos A A =， 即()221cos 3cos A A -=，()()2cos 1cos 20A A ∴-+=，1cos 2A ∴=，0,3A A ππ<<∴=.2221cos 22b c a A bc +-==，222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，且2a =，4bc ∴≤，当且仅当b c =时等号成立.11sin 422ABCSbc A ∴=≤⨯=所以ABC .（2）由（1）知，则sin A =，因为sin sin sin a b c A B C ==，所以b B =，3c C =，所以()43sin sin b c B C +=+， 因为23B C π+=， 设3B x π=+，3C x π=-，其中33x ππ-<<， 所以43sin sin 4cos 333b c x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为1cos 12x <≤，所以24b c <+≤， 所以b c +的取值范围是(]2,4. 解法2：由余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()224b c a +≥， 所以4b c +≤，又因为a ，b ，c 为ABC 的边长，所以b c a +>， 所以b c +的取值范围是(]2,4.【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、不等式和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20.为了解某初中学校学生睡眠状况，在该校全体学生中随机抽取了容量为120的样本，统计睡眠时间（单位：h ）.经统计，时间均在区间[]4.5,10.5内，将其按[)4.5,5.5，[)5.5,6.5，[)6.5,7.5，[)7.5,8.5，[)8.5,9.5，[]9.5,10.5分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）世界卫生组织表明，该年龄段的学生睡眠时间ξ服从正态分布()2,N u σ，其标准为：该年龄段的学生睡眠时间的平均值8u =，方差20.5625σ=.根据3σ原则，用样本估计总体，判断该初中学校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上是否达标？（参考公式：()0.6826P u u σξσ-<<+=，()220.9544P u u σξσ-<<+=，()330.9974P u u σξσ-<<+=）（2）若规定睡眠时间不低于8.5h 为优质睡眠.已知所抽取的这120名学生中，男、女睡眠质量人数如下22⨯列联表所示：将列联表数据补充完整，并判断是否有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系，并说明理由； 下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）【答案】（1）该校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上不达标；（2）列联表见解析，有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出a ，求出σ.根据频率分布直方图求出学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上的概率，与()220.9544P u u σξσ-<<+=比较大小，即得答案；（2）求出样本中优质睡眠学生的人数，补全列联表，计算2K ，根据临界值表可得结论.【详解】（1）根据直方图数据，有20.050.0250.0251a a a +++++=， 解得0.225a =.由平均值8u =，样本方差20.5625σ=，得0.75σ=，2 1.5σ=， 则()22P u u σξσ-<<+即求样本数据中区间[)6.5,9.5内的概率值， 则40.90.9544a =<，该校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上不达标.（2）根据直方图可知，样本中优质睡眠学生有()1200.2250.02530⨯+=，列联表如下：可得()22120113019608.38 6.63571493090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以，有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，属于中档题.21.已知t R ∈，m ，n 是关于x 的方程2210x tx +-=的两个不等的实根，且m n <，函数()21x tf x x +=+的定义域为[],m n ，记(){}max f x ，(){}min f x 分别为函数()f x 的最大值和最小值.（1）试判断()f x 在[],m n 上的单调性；（2）设()(){}(){}max min g t f x f x =-，若函数()()ln h t g t at =+⎡⎤⎣⎦是奇函数，求实数a 的值.【答案】（1）函数()f x 在[],m n 上单调递增；（2）1a =±. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义或利用导数判断()f x 在[],m n 上的单调性； （2）由（1）可知函数()f x 在[],m n 上单调递增，则(){}()max f x f n =，(){}()min f x f m =，求出()(),g t h t .由()h t 是奇函数，可得()()0h t h t +-=，即求a .【详解】（1）解法一：对于1x ∀，[]2,x m n ∈，设12x x <则()()()()()()()()221221121222221212111111x t x x t x x t x t f x f x x x x x ++-++++-=-=++++， ()()()()()()()()()22122112212112122222121211111x x x x x x t x x x x x x t x x x x x x -+-+--++-⎡⎤⎣⎦==++++，因为1x ，[]2,x m n ∈，所以211210x tx +-≤，222210x tx +-≤，所以()221212220x x t x x +++-≤，因为2212122x x x x <+，所以()12122220x x t x x ++-<，即()121210x x t x x ++-<，又210x x ->， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在[],m n 上单调递增. 解法二：设[],x m n ∈，()()()222211x tx f x x-+-'=+，因为m ，n 是关于x 的方程2210x tx +-=的两个不等的实根， 所以2210x tx +-≤，所以()0f x '≥，等号当且仅当x m =或x n =时成立，所以函数()f x 在[],m n 上单调递增.（2）由（1）可知函数()f x 在[],m n 上是单调递增的， 所以(){}()max f x f n =，(){}()min f x f m =， 所以()()()()()()()22111m n mn t m n g t f n f m n m -++-⎡⎤⎣⎦=-=++，因为m ，n 为方程2210x tx +-=的两个实根，所以2m n t +=-，1mn =-，所以n m -===所以()g t =所以())lnh t at =，因为()h t 是奇函数，所以()()0h t h t +-=对任意t R ∈都成立，即))lnln0at at +=恒成立，()22ln 110a t ⎡⎤-+=⎣⎦，所以()22111a t -+=， 即()2210at-=，所以21a =，即1a =±.【点睛】本题考查利用函数单调性的定义或利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于较难的题目.22.已知函数()()sin f x ax x a R =-∈ （1）当12a =时，求函数()f x 在区间[]0,π上的最值； （2）若函数()f x 在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）若不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）函数()f x 的最大值为2π，函数()f x 的最小值为6π；（2）1a ≥或1a ≤-；（3）1. 【解析】 【分析】（1）求()f x '，判断()f x 在区间[]0,π上的单调性，即求函数()f x 在区间[]0,π上的最值； （2）函数()f x 在R 上是单调函数，则()0f x '≥或()0f x '≤在R 上恒成立，即得实数a 的取值范围；（3）求出()f x '.分0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况讨论，求出不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立时，实数a 的取值范围，即求a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()()1sin f x x x a R =-∈，()1cos f x x '=-，显然02π>，则函数()f x 的最大值为()2f ππ=，函数()f x 的最小值为36f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）当函数()f x 在R 上单调递增时，当且仅当()0f x '≥，即()cos 0x a x f '=-≥恒成立，得1a ≥； 当函数()f x 在R 上单调递减时，当且仅当()0f x '≤，即()cos 0x a x f '=-≤恒成立，得1a ≤-；综上，若函数()f x 在R 上是单调函数，实数a 的取值范围为1a ≥或1a ≤-； （3）()cos f x a x =-'，且()00f =， 当0a ≤时，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上()cos 0f x a x '=-<，得()0f x <； 当1a ≥时，在区间()0,∞+上()cos 0x a x f '=-≥，得()0f x >恒成立；当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=，故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0f x a x '=-=成立，同时在区间()00,x 上，()0f x '<，()f x 在区间()00,x 上单调递减，()00f =，所以()f x 在区间()00,x 上小于零.综上，不等式()0f x >在区间()0,∞+恒成立时，1a ≥. a ∴的最小值为1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、单调性和不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于较难的题目.23.某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量X 有如下关系：欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）0.9477；（2）应安装发电机2台. 【解析】 【分析】（1）由题意求出年入流量X 在3个范围：4080X <<，80120X ≤≤，120X >的概率123,,P P P .由二项分布可得在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）记水电站年净利润为Y （单位：万元）.分别求安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望EY ，选择EY 最大的方案. 【详解】（1）依题意，()11040800.250P P X =<<==， ()235801200.750P P X =≤≤==，()351200.150P P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：()()4343014343339191140.9477101010P C P C P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）记水电站年净利润为Y （单位：万元） ①当安装1台发电机时.由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1. 此时的年净利润5000Y =，500015000EY =⨯=； ②当安装2台发电机时.此时，若4080X <<，则只有1台发电机运行，此时50005004500Y =-=，因此()()1450040800.2P Y P X P ==<<==若80X ≥，则2台发电机都能运行，此时5000210000Y =⨯=，因此()()2310000800.8P Y P X P P ==≥=+=由此得Y概率分布列如下：所以，45000.2100000.88900EY =⨯+⨯=. ③当安装3台发电机时.此时，若4080X <<，则只有1台发电机运行，此时500050024000Y =-⨯=，因此()()1400040800.2P Y P X P ==<<==若80120X ≤≤，则有2台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此()()29200801200.7P Y P X P ==≤≤==若120X >，则3台发电机同时运行，此时5000315000Y =⨯=，因此()()3150001200.1P Y P X P ==>==由此得Y 的概率分布列如下：所以，40000.292000.7150000.18740EY =⨯+⨯+⨯= 综上，欲使水电站年净利润最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查二项分布，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于难题.。