系统工程第5讲数学模型3

数学建模讲义主讲人:穆学文西安电子科技大学数学系Email:xdmuxuewen@ 最优化模型---最优化方法的概念参考书目1. 陈宝林。

最优化理论与算法。

清华大学出版社.2. 谢金星，薛毅。

优化建模与lindo/lingo优化软件. 清华大学出版社. 背景知识基本概念及其应用最优化问题举例最优化方法的概念优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点常用的数学软件§1背景知识•运筹学理论的一部分•最早起源于中国古代¾公元前6世纪孙武所著的《孙子兵法》¾孙膑“斗马术”，田忌与齐王赛马，博弈论¾运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

这千古名句也可以说是对张良运筹思想的赞颂和褒奖。

•国外起源与发展¾1896年，V.Pareto首次从数学角度提出多目标优化问题，引进了Pareto最优的概念。

¾1935-38年，英国为了正确地运用新研制的雷达系统来对付德国飞机的空袭，在皇家空军中组织了一批科学家，进行新战术试验和战术效率评价的研究，并取得了满意的效果。

他们把自己从事的这种工作命名为“Operational Research”(背景知识（续）Operational Research(运筹学，或直译为作战研究)。

¾1939年，苏联的Л.В.Канторович总结了他对生产组织的研究，写了《生产组织与计划中的数学方法》一书，是线性规划应用于工业生产问题的经典著作¾1947年,G.B.Dantzig提出了单纯形方法后，线性规划便迅速形成为一个独立的分支。

并逐级发展起来。

¾英国运筹学会1948年成立（1948-53年是运筹学俱乐部，1953年11月起改名为学会）。

¾二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续保留了运筹学的研究核心，而且在研究人员、组织的配备及研究范围和水平上，都得到了进一步的扩大和发展，同时筹学方法也向政府和业等部门扩展背景知识（续）运筹学方法也向政府和工业等部门扩展。

《系统工程原理》课程标准（执笔人：颜兆林罗鹏程审阅学院：信息系统与管理学院）课程编号：0811208英文名称：Principle of Systems Engineering预修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计、运筹学基础学时安排：54学时，其中讲授43学时，实践8学时，考核3学时学分：3一、课程概述（一）课程性质地位本课程为技术类系统工程、指挥信息系统工程、管理工程专业本科学员的学科基础必修课程，合训类系统工程专业本科学员的专业综合必修课程。

通过本课程的教学，使学员理解系统工程方法论，学会用系统的观点分析问题，并且掌握系统工程分析解决问题的基本概念、基本原理和基本方法，初步具有运用系统建模、系统分析、系统预测、系统评价、系统决策与系统网络计划等系统工程方法分析解决实际问题的能力，为达成相关专业人才培养的目标奠定基础。

（二）课程基本理念以素质教育和创新教育为指导思想，贯彻知识、能力、素质相结合以及发展性、教与学良性互动的原则，注重理论讲解与方法应用的结合，使学员掌握系统工程的基本概念、原理和方法，并初步具有运用系统工程有关方法来解决实际问题的能力。

（三）课程设计思路在相关专业教育改革的基本理念的指导下，结合我校本科生培养目标和专业需求，进行本课程教学的总体框架设计；以系统工程方法论、系统建模与系统分析、系统预测、系统评价、系统决策和网络计划技术为主要章节，合理划分课程教学的重点掌握内容和一般了解内容，教学过程中适当引入国内外系统工程方向的新进展和新成果，保证课程的先进性和创新性；采用课堂讲解的方式实施教学，通过闭卷考试的方式考核学员对内容的掌握情况并评价教学效果。

二、课程目标（一）知识与技能使学员能够描述和解释系统工程的基本原理和方法，能够阐述系统工程基本概念，并能够对系统工程的基本理论、模型和方法加以灵活运用，举一反三。

（二）过程与方法使学员理解运用系统工程的原理和方法解决工程实际问题的本质，掌握系统工程的有关模型和方法。

第3章系统模型考生必做六件事1.记笔记2.下载课件3.及时复习课件和笔记4.落课的话及时看重播5.按时完成作业和随堂考6.记得给老师打分噢！《系统工程导论》第3章系统模型（重点）P61-P100第三章，大纲考核知识点和考核目标：（一）系统模型概述理解：模型的概念和分类、模型的构建3.1 系统模型概述P62-P66《系统工程导论》3.1.1模型的概念和分类（理解）P62-P641. 模型的概念模型：对现实世界某些属性的抽象。

而系统工程最常用的是数学模型，即分析模型。

Y=aX+bYX系统模型具有以下三个特征：（1）它是对现实世界部分的抽象或模仿。

（2）它由与分析问题有关的因素构成。

（3）它表明了有关因素间的相互关系。

3.1.1模型的概念和分类（理解）P62-P64在构造模型时，要兼顾它的现实性和易处理性。

3.1.1模型的概念和分类（理解）P62-P642. 模型的分类模型的分类图形与实物模型➢实物模型有城市规划模型和作战沙盘➢图形模型包括：1.不严格图：图画、草图、框图，没有严格的规定，用来表示那些还不太清楚的问题。

2.严格图：图论图、逻辑图、工程图。

有严格确定的结构形式和规范。

分析模型数学关系式表达变量间关系，应用在自然科学和工程技术仿真模型用“伪实验”预测行动的各种后果，实验对象不是真实世界而是仿真模型。

通常指计算机仿真。

3.1.1模型的概念和分类（理解）P62-P642. 模型的分类模型的分类博弈模型“人的行为导向”。

人的试验规则和计算机试验程序构成了博弈模型判断模型会议讨论，它的缺陷较多，影响处理问题的质量。

德尔菲法（专家调查法）。

3.1.1模型的概念和分类（理解）P62-P64例题单项选择题：系统工程人员常常用（）表示那些还不太清楚的问题，如描述效能原理、系统组态和宏观过程等。

A.框图B.图论图C.逻辑图D.工程图3.1.1模型的概念和分类（理解）P62-P64答案解析答案：A解析：P62图画、草图和框图为不严格图，即没有严格确定的规范，作图者常常需要附加文字说明。

一、填空1、线性规划的数学模型中，决策者对于实现目标的限制因素称为约束条件。

2、在可行解区中，通过各极点作与目标函数直线斜率相同的平行直线，这些平行直线称之为等值线。

3、线性规划数学模型中，实际系统或决策问题中有待确定的未知因素，称之为变量4、对于供求平衡的运输问题，表上作业法是在平衡表的基础上首先求出一个初始调运方案。

5、图解法中，可行解区域内满足目标函数的解称之为可行解。

6、通过一种数学的迭代过程，逐步求得线性规划多变量模型最优解的方法，称之为单纯形法。

7、用单纯形法求解线性规划问题时，若约束条件是等于或小于某确定数值，则应当在每个不等式中引入一个松驰变量。

8、线性规划的图解法适用于只含有2～3个变量的线性规划问题。

9、若B是原规划的最优可行基，则最优单纯形乘子Y*=C B B-1是其对偶规划的最优解。

10、在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为自由变量。

11、在图论中，表示对象之间的某种特定的关系，通常用边或弧表示。

12、原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量是自由变量。

13、在线性规划中，凡满足约束条件的解均称之可行解。

14、单纯形法求解线性规划问题时，若要求得基础解，应当令非基变量全为0 。

15、使用线性规划单纯形法时，为了将模型转换成标准形式，我们可以在每个不等式中引入一个新的变量，这个新变量称松驰变量。

16、在线性规划的图解法中，全部可行解所分布的区域称之为可行解区。

17、在线性规划中，设约束方程的个数为m，变量个数为n，m＜n时，我们可以把变量分为基变量和非基变量两部分，基变量的个数为m个。

18、使目标值达到最优的可行解叫做最优解。

19、如果实际运输问题的产销不平衡，为了转化为平衡的运输问题，我们可以虚设一个产地或销地。

20、在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个，那么基可行解中非零变量的个数（不能大于(m+n-1) 。

21、在一个网络中，如果图形是连通且不含圈的，则这种图形称之为树。

结构模型ISM(Interpretive Structure Model )邻接矩阵的数学形式 （图论－矩阵）（见后面） 设系统S 有n 个元素， S=［e 1、e 2、…e n ］ 则邻接矩阵A = 111112112212221121212n n n n n nn nS e a a a S e a a a S e a a a nS S S e ee ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 当S i 对Sj 有影响 其中各元素 a ij ＝0 当S i 对Sj 无影响这是布尔矩阵，应遵循布尔矩阵运算规则①逻辑和 AUB ＝C （C 为布尔矩阵对应元素）c ija ij Ub ijmax {},ij ij a b②逻辑乘 A B ＝C （C 为布尔矩阵对应元素） cijaijbijmin {},aij bij③A 和B 乘积 AB=D d ij a i1 b 1j a 12b 2j …{}in njik kj i11j i22j in nj 1a b a b =max min(a ,b ),min(a ,b ),,min(a ,b )n k =邻接矩阵的性质①邻接矩阵与系统结构模型图一一对应12345123450000010000100100010000100e e e e e e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦③邻接矩阵A 转置后的A T 是与A 相应的结构模型图箭头反过来后的图的相应的邻接矩阵010001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦123123000101010e e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦③邻接矩阵中如有一列元素都是0（如第I 列），则e i 是系统的源点，如图中的（e 5），如有一行（如K 行）元素全为0，则e k 为汇点，如图中的e 1④如果从e i 出发经k 段支路到达e j ， 我们就说e i 与e j 之间有“长度”为k 的通路存在。

我们计算A K ，得出的n ×n 方阵中各元素表示的便是相应各单元间有无“长度”为k 的通路存在。

第五章拉普拉斯变换（拉氏变换）第一节数学模型概述1、为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。

系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

——许多系统，不管是机械的、电气的、热力的，还是经济学的、生物学的，其动态特性都可以用微分方程来描述。

2、数学模型可以采用分析法或试验法来建立。

分析法从系统的物理规律出发建立数学模型，如基于牛顿定律建立机械系统的数学模型、基于克希霍夫定律建立电气系统的数学模型等等；试验方法对系统加入一定形式的输入信号，用求取系统输出响应的方法来建立数学模型（系统辨识）。

——数学建模一旦获得了系统的数学模型，就可以采用各种分析方法和计算机工具（如MATLAB），对系统进行分析和综合。

因此，导出一个合理的数学模型，是整个分析过程中最重要的工作。

3、对于给定的系统，其数学模型不是唯一的，一个系统可以用不同的方式表示，这取决于变量和坐标系统的选择。

——在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组的形式；在复数域则采用传递函数形式；而在频率域采用频率特性形式。

4、在分析单输入、单输出、线性、定常系统的时候，采用传递函数法比其他方法更为方便。

系统的传递函数，是指当初始条件为零时，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。

——传递函数G(s) 类似软件工程中所说的“黑箱”，只关心它所实现的功能，不关心内部的细节。

第二节拉氏变换一、引言拉氏变换是一种求解线性微分方程的简便运算方法。

应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：1、对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为s的代数方程；2、解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；3、用拉氏反变换得到微分方程的时域解。

图5－1 应用拉氏变换法求解线性微分方程的过程注：拉氏变换、反变换都有相应的对照表可查，大大方便了微分方程的求解。

二、拉氏变换的定义设时间函数f ( t )，当t<0时f ( t ) =0，且存在称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，记作 F( s )=L[f ( t )]。

第五讲系统工程学科基础一、系统工程方法论方法：用于完成一个既定目标的具体技术与工具。

方法论：是对方法使用的指导，高于方法，属哲学层次概念。

系统工程方法论：系统工程研究和解决问题的一般规律或模式。

1、霍尔的三维模型1968年美国贝尔电话公司工程师霍尔（Hall）提出的系统工程三维结构模型。

（时间维、逻辑维和专业维）2、软系统方法论专业维时间维逻辑维其他环境科学社会科学各种工程技术计算机技术管理科学经济法律规划阶段方案阶段研制阶段生产阶段运行阶段更新阶段明确问题选择目标系统综合系统分析方案优化作出决策付诸实施1）硬系统方法论（霍尔方法论）的局限性例如：美国加州应用硬系统方法论解决公共政策方面的问题。

⏹没有为目标定义提供有效方法⏹没有考虑系统中人的主观因素⏹对于复杂的社会系统来说，建立精确的数学模型是不现实的。

2）软系统方法论（切克兰德方法论）的问题特点●硬问题：便于观察、便于建模、边界清晰、目标明确、好定义(well-defined)的问题。

例如，工程系统工程问题（problem）。

●软问题：难以观察、不便建模、边界模糊、目标不定、不良定义(ill-defined)的问题。

例如，社会系统工程问题（Issue）。

3）软系统方法论解决问题的步骤相关系统的根定义在于确定（CATWOE）：系统所有者（O）在价值观（W）的规范下，使系统在环境约束条件（E）下，由系统执行者（A）通过变换（T）将其输入变换为输出，系统的受益或受害者（C）就是受变换影响的人。

4）软系统方法论的应用情况及评价（1）有助于系统理论方面的研究与应用（2）有助于决策理论的研究与应用（3）有助于推动其他软系统问题的研究工作特点包括：●与目标不明、非结构化的“麻烦”有关●强调过程，即与学习和决策有关●与感性认识、世界观及将组织现实的内涵与环境相联系的方式有关●非数量型●依靠加深对问题情境的理解来改进它●依赖于解释社会理论●与统治人类社会的社会规则有关不足在于：◆不大适合处理突发事件，不能寄希望它立竿见影◆在解释问题情境中的权利与冲突时缺乏可信度◆缺乏明确的组织变革理论◆没有提及行为措施的合理性与合法性的关系3、综合集成法由钱学森院士提出：●集成（Integration）：反映量变，注重物理意义上的集中和小型化、微型化。