集合易错点分析
- 格式:doc
- 大小:209.00 KB
- 文档页数:2
专题01集合与常用逻辑用语易错点一:对集合表示方法的理解存在偏差(集合运算问题两种解题方法)方法一:列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素,然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素:确定已知集合中的所有元素,利用列举法或画数轴写出所有元素或范围;第二步定运算:利用常见不等式或等式解未知集合;第三步:定结果。
方法二:赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步:辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异;第二步:定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素;第三步:验排除:将特殊的元素代入进行验证,排除干扰项;第四步:定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒:对集合表示法的理解先观察研究对象(丨前),研究对象是点集还是数集,故要对本质进行剖析,需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.例已知集合{}A x x π=<,(){},2B x y y =>,则集合A B = ()A .∅B .()2,πC .(),2-∞D .(),π-∞变式1:已知集合()(){}{}21402A x x x B y y x =--<==-,,则A B = ()A .∅B .{}14x x <<C .{}12x x <≤D .{}24x x ≤<变式2:已知集合{}22(,)1,,A x y x y x y =+=∈R ∣,{1,,}B x x y x y =+=∈R ∣,则()A .{0,1}AB = B .{(0,1),(1,0)}A B ⋂=C .A B=D .A B ⋂=∅变式3:已知集合(){}2|log 10A x x =-<,{||2|2}B x x =-<,则A B = ()A .{|12}x x <<B .{|14}x x <<C .{|04}x x <<D .{|4}x x <1.集合(){},32A x y y x ==-,(){},4B x y y x ==+,则A B = ()A .{}3,7B .(){}3,7C .{}7,3D .{}3,7x y ==2.已知集合{}220|A x x x =-<,集合(){}22log 2|B y y x ==-,则A B = ()A .(]0,1B .(,1)-∞C .(,2)-∞D .()0,23.设全集U =R ,集合{|3,10}P y y x x ==-<<,|02x Q x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭,则U P Q ⋂ð等于()A .()2,0-B .[)2,0-C .()3,2--D .(]3,2--4.已知集合{}N 14A x x =∈-≤<,(){}2lg 23B x y x x ==-++,则A B = ()A .{}1,2B .{}0,1,2C .[)1,3-D .()1,3-5.已知集合{|12},{|ln }M x x N x y x =-≤≤==,则M N ⋂=()A .{|12}x x -≤≤B .{|12}x x -<≤C .{|02}x x <≤D .{|1x x <-或2}x ≥1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A满足A⊆B或A⊂B,则对集合A分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步:化简所给集合;第二步:用数轴表示所给集合;第三步:根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步:检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步:解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn图进行求解.易错提醒:勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集,是任何集合的真子集,任何集合的本身是该集合的子集,所以在进行列举时千万不要忘记。
集合易错点总结
嘿,朋友们!今天咱就来好好唠唠集合易错点总结。
比如说啊,你看在集合的表示上,那可真是容易掉坑呀!有的人会把列举法和描述法搞混。
就像我之前考试的时候,明明应该用描述法表示的集合,我却傻愣愣地用了列举法,哎呀,那叫一个悔恨呐!“{xx 是小于 10 的正
整数}”,这就应该用描述法呀,要是我一不小心写成了一个一个列举出来,那不是大错特错啦!
还有啊,在子集和真子集的概念上,也特别容易弄错!就好比子集像是“妈妈”,真子集就是“孩子”,真子集是子集的一部分,但不等于子集呀!记得那次和同学讨论题目,他就稀里糊涂地把子集和真子集搞混了,我还笑话他呢,结果自己做题的时候也差点犯错,哎呀呀,可得长点心呐!
再有就是集合的运算啦!并集和交集,稍不注意就搞混。
想象一下,并集就像是把两个袋子里的东西一股脑全放一起,交集就是两个袋子里相同的那部分。
咱就说,要是把并集当成交集来做,那答案能对吗?肯定不行呀!我就曾经在做作业的时候犯过这样的错,当时真是恨不得敲自己脑袋!
总之啊,集合这里面的易错点可不少。
咱可得瞪大双眼,认真仔细,别掉进这些“陷阱”里啦!可别像我之前那样马虎犯错啦!记住这些易错点,在学习集合的时候就不会那么容易出错啦!大家一起加油哦!。
易错01 集合与常用逻辑用语(3个易错点错因分析与分类讲解+10个易错核心题型强化训练)易错点1 忽视对空集的讨论而致误【例1】. [湖南师大附中2023第三次月考]已知集合{}14A x x =-<£,()(){}221B x x a x a =---.若A B=ÆI ,则实数a 的取值范围为(){}.2A a a >{}.2B a a ³{}.12C a a a =³或{}.1D a a ³【变式】.[江西景德镇乐平中学2022月考]设集合{}37,M x x =-<<{}221,N x t x t t R =-<<+Î.若M N M =U , 实数t 的取值范围为( )().3,A +¥().,3B -¥(].,3C -¥[).3,D +¥易错点2 忽略集合中元素的互异性而致误【例2】. [湖南邵阳二中2023第五次月考]已知,a b R Î,若{}2,,1,,0b a a a b a ìü=+íýîþ,则20222022a b +的值为().1A -.0B.1C.1D ±【变式】. [福建龙岩一中2022月考]已知,a R b R ÎÎ,若集合{}2,,1,,0b a a a b a ìü=+íýîþ,则20212021a b +().2A -.1B -.1C.2D 易错点3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误【例3】. [河南驻马店二中2023第二次培优考]已知:120p x x --£,()()():1200q x m x m m +-+£>éùëû.若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是 .【变式】. [湖南名校2022第二次联考]已知“21a x a ££+”是“25x -££”的充分不必要条件,则实数的取值范围是()[).2,A -+¥[].2,2B -(].2,2C -().2,2D -【易错核心题型强化训练】一.元素与集合关系的判断(共1小题)1.(2024•泸县校级开学)设集合1{(A x =,2x ,3x ,4x ,5)|{1i x x Î-,0,1},1i =,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件123451||||||||||3x x x x x ++++……的元素的个数为( )A .60B .100C .120D .130二.集合的确定性、互异性、无序性(共1小题)2.(2024•扬中市校级开学)设集合{2A =,1a -,22}a a -+,若4A Î,则(a = )A .3-或1-或2B .3-或1-C .3-或2D .1-或2三.集合的包含关系判断及应用(共1小题)3.(2024•浦东新区校级模拟)函数()x x Pf x xx MÎì=í-Îî,其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集,又规定(){|()f P y y f x ==,}x P Î,(){|()f M y y f x ==,}x M Î.给出下列四个判断,其中正确判断有( )①若P M =ÆI ,则()()f P f M =ÆI ;②若P M ¹ÆI ,则()()f P f M ¹ÆI ;③若P M R =U ,则()()f P f M R =U ;④若P M R ¹U ,则()()f P f M R ¹U .A .1个B .2个C .3个D .4个四.并集及其运算(共1小题)4.(2024•浙江学业考试)已知集合{0A =,1,2},集合{0B =,2,4},则(A B =U )A .{0}B .{2}C .{0,2,4}D .{0,1,2,4}五.交集及其运算(共4小题)5.(2024•沙依巴克区校级模拟)已知集合{|24}A x x =……,{|3}B x a x a =-<+…,若A B A =I ,则a 取值范围是( )A .2a >-B .1a -…C .1a …D .2a >6.(2024•北京学业考试)已知集合{1A =-,0,1},{1B =,2},则A B I 等于( )A .{1-,0,1}B .{0,1}C .{1}D .{1,2}7.(2024•让胡路区校级开学)设全集U R =,集合2{|20}A x x x =--…,{|0}B x lgx =>,则(A B =I )A .{|12}x x -……B .{|12}x x <…C .{|12}x x <<D .{|1}x x -…8.(2024•平江县校级开学)已知集合{|2x A y y ==-,[2x Î,3]},22{|330}B x x x a a =+-->.(1)当4a =时,求A B I ;(2)若命题“x A Δ是命题“x B Δ的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.六.交、并、补集的混合运算(共1小题)9.(2024•合江县校级开学)设全集{1U =,2,3,4,5},集合{1A =,3,5},集合{3B =,4},则()(U A B =I ð )A .{3}B .{4}C .{3,4}D .{2,3,4}七.充分条件与必要条件(共2小题)10.(2024•东坡区校级开学)设x ,y R Î,下列说法中错误的是( )A .“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B .“0xy =”是“220x y +=”的必要不充分条件C .“1x >,1y >”是“2x y +>,1xy >”的充要条件D .“x y >”是“22x y >”的既不充分也不必要条件11.(2024春•顺德区校级月考)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件八.全称量词和全称命题(共1小题)12.(2023秋•昆明期末)已知[0x "Î,2],p x >;0[0x $Î,2],0q x >.那么p ,q 的取值范围分别为( )A .(0,)p Î+¥,(0,)q Î+¥B .(0,)p Î+¥,(2,)q Î+¥C .(2,)p Î+¥,(0,)q Î+¥D .(2,)p Î+¥,(2,)q Î+¥九.存在量词和特称命题(共1小题)13.(2024•开福区校级模拟)若命题“0a $<,1a b a+>”是假命题,则实数b 的取值范围为 .一十.命题的真假判断与应用(共9小题)14.(2024•红谷滩区校级模拟)已知m ,n 表示两条直线,a ,b ,g 表示三个平面,则下列是真命题的有( )个.①若m a g =I ,n b g =I ,//m n ,则//a b ;②若m ,n 相交且都在a ,b 外,//m a ,//m b ,//n a ,//n b ,则//a b ;③若//m a ,//m b ,则//a b ;④//m a ,//n b ,//m n ,则//a b .A .1B .2C .3D .415.(2024春•宝山区校级月考)函数()f x xlnx =,正确的命题是( )A .值域为RB .在(1,)+¥上是增函数C .()f x 有两个不同零点D .过(1,0)点的切线有两条16.(2024春•普陀区校级月考)对于全集R 的子集A ,定义函数1()()0()A R x A f x x C A Îì=íÎî为A 的特征函数.设A ,B 为全集R 的子集,下列结论中错误的是( )A .若A B Í,()()A B f x f x …B .()1()R A A f x f x =-ðC .()()()A B ABf x f x f x =×I D .()()()A B ABf x f x f x =+U17.(2024•绥中县校级开学)下列命题中是真命题的有( )A .有A ,B ,C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查,如果抽取的A 个体数为9,则样本容量为30B .一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同C .若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲D .某一组样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在区间[114.5,124.5]内的频率为0.418.(2024春•芝罘区校级月考)如图,点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点,点M 在线段1BD 上运动,则下列结论正确的是( )A .直线AD 与直线1C M 始终是异面直线B .存在点M ,使得1B M AE ^C .四面体EMAC 的体积为定值D .当12D M MB =时,平面EAC ^平面MAC19.(2024春•璧山区校级月考)为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c 随时间t 的变化而变化,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t 变化的关系如图所示.则下列结论正确的是( )A .在1t 时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同B .在2t 时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C .在2[t ,3]t 这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D .在1[t ,2]t 和2[t ,3]t 两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同20.(2024春•沙坪坝区校级月考)设函数()sin()(0)6f x x pw w =->,已知()f x 在[0,]p 有且仅有3个零点,下列结论正确的是( )A .在(0,)p 上存在1x ,2x ,满足12()()2f x f x -=B .()f x 在(0,)p 有且仅有1个最小值点C .()f x 在(0,)2p单调递增D .w 的取值范围是1319[,6621.(2024春•沙坪坝区校级月考)已知2()(0)f x ax bx c a =++¹,且关于x 的方程()f x x =无实数根,现有下列说法,其中说法正确的是( )A .若0a >,则不等式(()f f x )x >对一切x R Î恒成立B .若0a <,则必然存在实数0x 使不等式00(())f f x x >成立C .关于x 的方程(())f f x x =一定没有实数根D .若0a b c ++=,则不等式(()f f x )x <对一切x R Î恒成立22.(2024•平罗县校级一模)设函数()3sin()(0,)22f x x ppw j w j =+>-<<的图象关于直线23x p=对称,它的周期是p ,有下列说法:①()f x 的函数图象过点3(0,2;②()f x 在2[,123p p上是减函数;③()f x 的一个对称中心是5(,0)12p;④将()f x 的图象向右平移||j 个单位长度得到函数3sin y x w =的图象.其中正确的序号是 .(正确的序号全填上)。
高一集合知识点易错题一、数学知识点易错题1. 集合的运算易错题:已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5},求(A∪B)∩C的结果。
解析:首先求A和B的并集,得到A∪B={1,2,3,4},然后再与集合C求交集,即(A∪B)∩C={3,4}。
2. 几何中的直线和平面易错题:在三维空间中,已知直线L过点P(1,2,3),且与平面α:x+2y+3z=6垂直,求直线L的方向向量。
解析:由于直线L与平面α垂直,所以直线L的方向向量应与平面α的法向量垂直。
平面α的法向量为(1,2,3),因此直线L的方向向量为(1,2,3)的任意非零倍数。
3. 概率问题易错题:有三个盒子,分别装有三种颜色的球,第一个盒子中有3个红球和2个蓝球,第二个盒子中有2个红球和4个蓝球,第三个盒子中有1个红球和3个蓝球。
现在从三个盒子中随机选择一个盒子,并从中随机取出一个球,求取出的球是红色的概率。
解析:首先计算选中第一个盒子取出红球的概率为3/5,然后计算选中第二个盒子取出红球的概率为2/6,最后计算选中第三个盒子取出红球的概率为1/4。
根据总概率公式,取出的球是红色的概率为(1/3)(3/5)+(1/3)(2/6)+(1/3)(1/4)=11/30。
二、物理知识点易错题1. 运动学中的速度易错题:一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶了20s,求汽车行驶的距离。
解析:根据速度的定义,速度=位移/时间。
由于汽车以匀速行驶,所以速度不变,即10m/s为汽车的速度。
将速度和时间代入速度的定义公式,可得位移=速度×时间=10m/s×20s=200m。
因此,汽车行驶的距离为200m。
2. 力的合成易错题:在一个平面上,有一物体同时受到向北的200N力和向西的150N力的作用,求物体所受合力的大小和方向。
解析:根据力的合成原理,可以利用平行四边形法则求解合力。
首先将向北的力和向西的力按照大小和方向画出,然后将其首尾相接画出平行四边形,从图中可以测得平行四边形的对角线,即合力的大小为250N。
集合易错题举例易错点1 忽视对空集的讨论空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.由题目的条件得到“”时,若集合B A B ⊆为含参集合(为指明非空),则应对集合B 分和两种情况进行讨论. ∅=B ∅≠B 例1. 设集合,,若,则实数的取值范{}62≤≤=x x A {}32+≤≤=a x a x B A B ⊆a 围是【 】(A ) (B ) (C ) (D ) []3,1)[∞+,3)[∞+,1()3,1解:∵,∴分为两种情况:A B ⊆①当时,有,解之得:;∅=B 32+>a a 3>a ②当,则有:,解之得:1≤≤3.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤632232a a a a a 综上,实数的取值范围是.选择【 C 】.a )[∞+,1易错点2 对集合元素认识不清解集集合问题时,需要先确定集合的代表元素是点还是数,从而确定集合是数集还是点集.数集的表达形式为,点集的表达形式为. {})(x p x ()(){}y x p y x ,,例2. 设,,则必有【 】 ()(){}021,2=-++=y x y x A {}2,1-=B (A ) (B )(C ) (D ) B A ⊇B A ⊆B A =∅=B A 解:,表示一个点集,是含有两个()(){}(){}2,1021,2-==-++=y x y x A {}2,1-=B 元素的数集,所以它们的交集为空集.选择【 D 】.易错点3 忽视集合中元素的范围 例3. 已知,,求. {}Z x x x y y M ∈+-==,342{}Z x x x y y N ∈--==,22N M 解:∵ {}(){}{}Z y y y Z x x y y Z x x x y y M ∈-≥=∈--==∈+-==,1,12,3422 {}(){}{}Z y y y Z x x y y Z x x x y y N ∈≤=∈++-==∈--==,1,11,222∴中可能含有元素, 0 , 1.N M 1-当中含有元素时,有且. N M 1-1-M ∈1-N ∈若,则1342-=+-x x ,解之得:; 1-M ∈Z x ∈=2若,则,解之得:. 1-N ∈122-=--x x Z x ∉±-=21∴;1-N M ∉同样可以验证,. N M ∈0N M ∉1综上,.{}0=N M。
数学错题分析一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析:由于空集是任何非空集合的真子集,因此,对于集合BA,就有B=A,φ≠BA,B≠φ,三种情况,在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况,导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时,更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合,由于思维定式的原因,考生往往会在解题中遗忘了这个集合,导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析:集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的三性中互异性对解题的影响最大,特别是带有字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后,再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析:如果原命题是“若A则B”,则这个命题的逆命题是“若B则A”,否命题是“若┐A则┐B”,逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外,在否定一个命题时,要注意全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析:对于两个条件A,B,如果A=>B成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;如果B=>A成立,则A是B的必要条件,B是A的充分条件;如果A<=>B,则A,B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析:在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误,在这里我们给出一些常用的判断方法,希望对大家有所帮助:p∨q真<=>p真或q真,命题p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真<=>p真且q真,p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假);┐p真<=>p假,┐p假<=>p真(概括为一真一假)。
集合问题中常见易错点归类分析答案集合问题中常见易错点归类分析集合问题涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变。
初学时,由于未能真正理解集合的意义、性质、表示法或考虑问题不全,容易出现错解。
本文将常见易错点归纳如下:1.代表元素意义不清致误例1:设集合A={(x。
y)∣x+2y=5},B={(x。
y)∣x-2y=-3},求A∩B。
错解:由x+2y=5得x=1,从而A∩B={1,2}。
x-2y=-3分析:上述解法混淆了点集与数集的区别。
集合A、B中元素为点集,所以A∩B={(1,2)}。
例2:设集合A={y∣y=x^2+1,x∈R},B={x∣y=x+2},求A∩B。
错解:显然A={y∣y≥1},B={x∣x≥0},所以A∩B=B。
分析:错因在于对集合中的代表元素不理解。
集合A中的代表元素是y,从而A={y∣y≥1},但集合B中的元素为x,所以B={x∣x≥0},故A∩B=A。
2.忽视集合中元素的互异性致错例5:已知集合A={1,3,a},B={1,a-a+1},且A∪B,求a的值。
错解:经过分析知,若a-a+1=3,则a-a-2=0,即a=-1或a=2.分析:错因在于忽视了集合中元素的互异性。
集合B中包含了1和a-a+1,即a-1,所以B={1,a-1}。
因此,A∪B={1,3,a,a-1},而集合中元素互异,所以a-1≠3,解得a=2.2.集合论中易犯的三种错误在集合论中,常常会犯三种错误,分别是:混淆元素与集合,忽视元素的互异性,忽视空集的特殊性。
首先,混淆元素与集合是集合论中最常见的错误之一。
在集合论中,元素是集合的基本成分,而集合则是由元素组成的整体。
因此,在列举集合时,必须明确元素和集合的区别,不可混淆。
其次,忽视元素的互异性也是一个常见的错误。
在集合中,元素是互异的,即同一个集合中不能有两个相同的元素。
在解题时,必须注意元素的互异性,否则会得到错误的结果。
最后,忽视空集的特殊性也是一个常见的错误。
ʏ何 敏集合的概念与运算比较抽象,同学们初学很容易犯错㊂下面对集合中的易错点进行剖析,希望对同学们的学习有所帮助㊂易错点1:忽视集合元素的互异性与题设条件例1 若集合A ={-4,2a -1,a 2},B ={9,a -5,1-a },A ɘB ={9},则a 的值是( )㊂A.-3,3,5 B .-3,5C .3,5D .-3错解:由A ɘB ={9},可得2a -1=9或a 2=9,即a =ʃ3或a =5㊂应选A ㊂剖析:上述解法忽视了集合元素的互异性和已知条件㊂正解:由题意得a =ʃ3或a =5㊂当a =3时,A ={-4,5,9},B ={9,-2,-2},与集合中元素的互异性矛盾;当a =5时,A ɘB ={9,-4},与已知条件矛盾㊂所以a =-3,应选D ㊂提醒:解决含参数的集合问题时,不能忽视元素的互异性与题设条件,以免出现增解㊂易错点2:集合关系中忽略空集的讨论例2 已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-m x +2=0},且A ɘB =B ,求实数m 的取值范围㊂错解:由题意得A ={1,2}㊂由A ɘB =B ,可得B ⊆A ,所以1,2是方程x 2-m x +2=0的根,所以m =3㊂剖析:上述解法认为集合B ={x |x 2-m x +2=0}中有两个元素,忽略了B 为空集和两等根的情况㊂正解:由B ⊆A ,可对集合B 进行分类讨论,即B =⌀,B ={1}或B ={2},B ={1,2}㊂当B =⌀时,由Δ=m 2-8<0,可得-22<m <22;当B ={1}或B ={2}时,可得Δ=0,1-m +2=0或4-2m +2=0,此时m无解;当B ={1,2}时,由1+2=m ,1ˑ2=2,Δ>0可得m =3㊂综上所述,m =3或-22<m <22㊂提醒:解决有关A ɘB =⌀,A ɣB =⌀,A ⊆B 等问题时,容易忽视空集的情况而出现漏解,这就需要注意特殊情况下的探究㊂易错点3:忽视集合转化的等价性例3 已知集合A ={x |a x 2+2x +1=0}为一元集,求a 的值㊂错解:集合A 为一元集,即方程a x 2+2x +1=0有两个等根,由Δ=4-4a =0,可得a =1㊂剖析:上述解法认为所给方程为一元二次方程,忽视了对二次项系数的讨论㊂正解:当a ʂ0时,由Δ=4-4a =0,可得a =1;当a =0时,可得A =-12,符合题意㊂故a =1或a =0㊂提醒:在进行集合转化时,要注意转化的等价性,否则就会产生增解或漏解㊂易错点4:忽视补集思想的应用例4 设集合P =x a x +2>a ,3∉P ,那么实数a 的取值范围是㊂错解:初看本题,往往会感觉无从下手,不知道从其反面逆向思维,导致无法解决㊂剖析:从反面入手,利用元素和集合之间的关系切入,构建不等式求解㊂正解:由P ={x |a x +2>a },可得∁R P ={x |a x +2ɤa }㊂因为3∉P ,所以3ɪ∁RP ,所以3a +2ɤa ,所以a ɤ-1㊂故实数a 的取值范围是(-ɕ,-1]㊂提醒:这种在正向思维受阻后改用逆向思维的思想,就是数学上的补集思想㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑 郭正华)33易错题归类剖析高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变.初学时,由于未能真正理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全,而造成错解.本文就常见易错点归纳如下:1.代表元素意义不清致误例1 设集合A ={(x , y )∣x +2 y =5},B ={(x , y )∣x -2 y =-3},求A I B . 错解: 由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩⎨⎧==21y x 从而A I B ={1,2}. 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集,所以A I B ={(1,2)}例2 设集合A ={y ∣y =2x +1,x ∈R },B ={x ∣y =x +2},求A∩B.错解: 显然A={y ∣y≥1}B={x ∣y≥2}.所以A ∩B=B .分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A ={y∣y≥1},但集合B 中的元素为x , 所以B ={ x ∣x ≥0},故A ∩B=A .变式:已知集合}1|{2+==x y y A ,集合}|{2y x y B ==,求B A I解:}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ,R y x y B ===}|{2}1|{≥=y y B A I例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ,判断A 与B 的关系。
错解:}32{,-==B A分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故A 与B 不具包含关系。
例4设B ={1,2},A ={x |x ⊆B },则A 与B 的关系是( )A .A ⊆B B .B ⊆AC .A ∈BD .B ∈A错解:B分析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},∅,∴A ={x|x ⊆B}={{1},{2},{1,2},∅},从集合与集合的角度来看待A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来看待B 与A,∴B ∈A.评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错.2 忽视集合中元素的互异性致错例5 已知集合A={1,3,a },B={1,2a -a +1}, 且A ⊇B ,求a 的值.错解:经过分析知,若2a -,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a .若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a .从而a =-1,1,2.分析 当a =1时,A 中有两个相同的元素1,与元素的互异性矛盾,应舍去,故a =-1,2.例6 设A={x∣2x +(b+2)x+b+1=0,b∈R },求A中所有元素之和. 错解:由2x +(b+2)x+b+1=0得 (x+1)(x+b+1)=0(1)当b=0时,x1 =x 2 -1,此时A中的元素之和为-2.(2)当b≠0时,x1 +x 2 =-b-2.分析 上述解法错在(1)上,当b=0时,方程有二重根-1,集合A={-1},故元素之和为-1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此,在列举法表示集合时,要特别注意元素的“互异性”.评注:集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的三性中互异性对解题的影响最大,特别是带有字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变•初学时,由于未能真正 理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全, 而造成错解.本文就常见易错点归纳如下:1 •代表元素意义不清致误例 1 设集合 A = {( X , y ) I x + 2 y = 5}, B ={( X , y ) I x — 2 y =- 3求 AIB 仪=1得丿 从而A I B = {1 , 2}.訶=2分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集,所以 A ", B = {(1 , 2)}例 2 设集合 A = {y I y = x 2 + 1, x R } , B = {x I y =x + 2},求 错解: 显然A={ y I y>l }B={ x I y>2}.所以 A P B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A = { yI y> 1},但集合B 中的元素为x ,所以B = { x I x > 0},故A P B=A .变式:已知集合 A = { y I y = x 2 1},集合B = {y | x 二y 2},求A 〔 B 解:A 二{ y | y = x 21} ={ y | y _ 1} , B 二{y|x 二y 2}=RA B ={y |y _1}、 2 2例3设集合A={x …x-6 = 0},B={x|x …X -6=0},判断A 与B 的关系。
错解:A 二 B 二{-2,3}分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故 A 与B 不具包含关系。
例4设B = {1,2},A = {x|x? B },则A 与B 的关系是( )A . A?B B . B? AC . A € BD . B € A 错解:B 分析:选 D. •/ B 的子集为{1},{2},{1,2},?,••• A = {x|x ? B } = {{1},{2},{1,2},?},从集合与集合的角度来看待 A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合 B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来 看待B 与A ,「. B € A.评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 A={ 1,3,a },B={ 1, a 2 — a + 1 },且 A =B ,求 a 的值.错解:由「X +2y=5x —2y = —3 APB.错解:经过分析知,若a2—a ^3,则a2 -a-2=0,即a~ -1或a = 2 .若a2 -a • 1 二a,则a2 -2a 7=0,即a =1 .从而a =—1,1,2.132分析当a =1时,A中有两个相同的元素1,与元素的互异性矛盾,应舍去,故—1,2 .2例6 设A={xl x + (b + 2)x + b+1 = 0,b = R},求A中所有元素之和.错解:由x2+(b + 2)x + b+1 = 0得(x+1) (x + b + 1)=0(1)当b = 0时,x i = x2 —1,此时A中的元素之和为一2.(2)当b 厂0时,x i + x2 =—b — 2.分析上述解法错在(1)上,当b = 0时,方程有二重根一1,集合A={—1} ,故元素之和为一1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此,在列举法表示集合时,要特别注意元素的“互异性” .评注:集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的三性中互异性对解题的影响最大,特别是带有字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
第1章 集合【易错点1:集合的表示】0是一个实数,φ表示空集,{}0表示的是含一个元素0的单元素集,0 是向量,四者的含义要辩清。
例1、能够表示方程组⎩⎨⎧=-=+17y x y x 的解集的是 。
错解:①{}4,3、②(){}4,3、③⎩⎨⎧==34y x 、④{}3,4==y x分析:①表示有2个元素的集合,②解错,③虽然是方程组的解,但不是集合的形式,④中的元素是两个方程。
【易错点2:集合代表元素的属性】例2. 已知集合{}{}R x y y Q R x x y y P x∈==∈==,2|,,|2,求Q P .【分析:集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域,所以),0[+∞=P ,),0(+∞=Q ,),0(+∞=Q P .】例3. 设集合211A y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭R ,,{}B x y x =∈R ,则AB =___________.【分析:集合A 表示函数112+=x y 的定义在R 上的值域,即]1,0(=A ,B 表示1-=x y 的定义域,即[)+∞=,1b ,所以A B ={}1】【易错点3:忽视集合元素的性质】忽视集合元素的性质:互异性、无序性、确定性。
例4. 已知+∈∈R y R x ,,集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--=---++=1,2,,1,,12y y y B x x x x A ,若A=B ,则22y x +的值是( )A. 5B. 4C. 25D. 10【A 】例5. 设全集U ={2,3,a 2+2a -3},A ={|2a -1|,2},∁U A ={5},则实数a =________. 【由∁U A ={5},得5∈U 且5∉A ,a 2+2a -3=5且|2a -1|≠5,解得a =2,或a =-4. 当a =-4时,集合A ={9,2},U ={2,3,5},显然不符合题意.故a =2.另解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2a -1|=3,a 2+2a -3=5,解得a =2】【易错点4:忽视空集】例6. 若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ,求a 的取值范围.【答案:4≤a 】【分析:集合A 有可能是空集.当0≤a 时,∅=A ,此时∅=B A 成立;当0>a 时,),(a a A -=,若∅=B A ,则2≤a ,有40≤<a .综上知,4≤a .注意:在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.】例7. a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数,不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ,那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 ( )A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件D .既非充分又非必要条件.【分析:不要忘记两个不等式均无解。
集合与运算易错题分析易错点1:代表元素意义不清而出错用描述法表示集合,一定要注意两点:1、一定要清楚符号“{x|x 的属性}”表示的是具有某种属性的x 的全体,而不是部分;2、一定要从代表元素入手,弄清代表元素是什么。
易错点2:混淆数集和点集的表示使用特征法表示集合时,首先要明确集合中的代表元素是什么,比如,①{y|y=x 2+1};②{(x,y)|y=x 2+1},这两个集合中的代表元素的属性表达式都和y=x 2+1有关,但由于代表元素符号形式不同,因而表示的集合也不一样。
①代表的数集,②代表的是点集。
易错点3:混淆子集和真子集而错集合之间的关系类问题涉及到参数时,需要分类讨论,分类讨论时非常容易忽略两个集合完全相等这种情况,认为子集就是真子集,最终导致参数求错或者集合的关系表达不准确。
易错点4:求参数问题(1)根据条件求集合的中的参数时,一定要带入检验,看是否满足集合的“三性”中互异性,同时还要检验是否满足题干中的其他条件。
(2)在求集合中参数的取值范围时,要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号,最稳妥的办法就是把端点值带入原式,看是否符合题目要求。
要注意两点:1、参数值代入原集合中看是否满足集合的互异性;2、所求参数能否取到端点值。
(3)空集是一个特殊而又重要的结论,它不含任何元素,记为∅。
在解隐含有空集参与的集合问题时,非常容易忽略空集的特殊性而出错。
特别是在求参数问题时,会进行分类讨论,讨论过程中非常容易忘记空集的存在,导致最终答案出错。
易错题 01 代表元素意义不清而出错例1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--,(){|ln 1}B x y x ==+,则A B =( )A .{1,0}-B .{2,1,0,1,2}--C .{1,0,1}-D .{0,1,2}【警示】在考试中,很多考生本题容易错选B,因为把集合B 当成函数()ln 1y x =+的值域而出错.【解析】{2,1,0,1,2}A =--,{|1}B x x =>-,A B ={0,1,2}. 【答案】选D 【叮嘱】用描述法表示集合,一定要注意两点:1、一定要清楚符号“{x|x 的属性}”表示的是具有某种属性的x 的全体,而不是部分;2、一定要从代表元素入手,弄清代表元素是什么。
集合中的易错之处管雨坤集合是现代数学的基础,它与高中数学的许多内容有着广泛的联系,作为一种思想、语言和工具,集合的知识已经渗透到自然科学的众多领域。
它是高中阶段数学的第一个内容,集合概念抽象,符号术语多,对于初学集合的同学来说,常常因为概念不清晰,理解不透彻,解题思路不严谨,容易造成错误。
针对学习中的薄弱环节,本文列出易忽视之处,希望能帮助同学们加深理解,提高学习效果。
1. 忽视代表元素的属性例1. 集合M y y x x R ==∈{|}2,,N y y x x R ==-∈{|||}2,,则M N ⋂=( )A. {()}-11,B. {()()}-1111,,,C. {|}y y 02≤≤D. {|}y y ≥0 错解:由y x y x ==-⎧⎨⎩22||解得x y =-=⎧⎨⎩11或x y ==⎧⎨⎩11 选B分析:注意到两个集合中的元素y 都是各自函数的函数值,因此,M N ⋂应是y x =2和y x =-2||这两个函数的值域的交集,而不是它们的交点。
由于M y y =≥{|}0,N y y =≤{|}2,所以M N y y ⋂=≤≤{|}02,选C 。
2. 忽视元素的互异性例2. 已知集合A x xy xy ={lg()},,,B x y ={||}0,,,若A =B ,求实数x ,y 的值。
错解:因为lg()xy 有意义,所以xy>0,从而x ≠0,故xy =1又由A =B 得x x xy y ==⎧⎨⎩||或x y xy x ==⎧⎨⎩|| 所以x y ==1或x y ==-1分析:由于同一集合中的元素不同(互异性),而以上解法中,当x y ==1时,x xy =,||x y =分别使集合A ,B 中出现了相同元素,故应舍去,所以只能取x y ==-1。
3. 忽视空集例3. 若集合M x x x =--={|}25302,N x mx x R ==∈{|}1,,且N M ⊂≠,求实数m 的值。
集合的易错点1. 空集:空集常常被忽视或遗漏。
例如,当问题涉及到从几个集合中找出元素时,人们常常忘记考虑空集。
在大多数情况下,空集被视为任何集合的子集。
2. 集合中的元素:在描述集合时,要特别注意元素的类型和性质。
例如,一个集合不能包含两个相同的元素,这是由集合的特性决定的。
另外,像数字、字符串、点等都可以作为集合的元素。
3. 集合的关系:集合之间存在几种关系,如包含、相等、并集、交集、差集等。
理解这些关系并正确使用它们是重要的。
特别是当涉及到复杂的集合运算时,错误的关系可能会导致错误的结果。
4. 描述集合的词汇:描述集合时使用的词汇必须准确。
例如,“包含”和“属于”是不同的概念。
“包含”意味着一个集合包括另一个集合的所有元素,“属于”则是指一个元素属于某个集合。
5. 空集和无穷集:空集和无穷集有着特殊的性质。
例如,空集是任何集合的子集,但非空集合不一定是空集的子集。
另外,无穷集往往涉及到其他一些数学概念,如基数、序、连续性等。
6. 应用中的错误:集合的概念常常在各种实际应用中出现,如编程、数据库管理、图形学等。
在这些应用中,如果对集合的理解不够准确,可能会导致错误的结果或设计。
总的来说,要避免集合使用中的错误,需要对集合的基本概念有深入的理解,并能够正确地使用和描述集合的各种性质和关系。
《中秋月明诗》:月夜行,我行见明月,君行见月明。
同望一轮月,月升霄愈清。
君行何所赴,我行何所停? 但得月来照,何处无有情? 剪剪江树影,涟涟秋波兴。
相见问来路,不语自盈盈。
《中秋感赋》:一轮玉镜照庭前,露白风淸物更妍。
垂柳荫渠摇倩影,秋虫隐草奏繁弦。
辉生桂殿嫦娥舞,潮涌钱塘江海连。
今夜九州同月色,中华国梦早臻圆。
《中秋》:匆匆岁月梦魂迁,又是中秋不夜眠。
满目云霞连碧水,一帘烟雾蔽蓝天。
多年羁绊凡尘过,半世逍遥度逝川。
好论相蓬知己遇,吟诗和韵乐依然。
集合易错点分析
易错点一 遗忘空集致误
例题1已知集合若{}
{}260,10,.A x x x B x mx A B A =+-==+==,则实数的取值集合是 错因分析:由于空集是任何非空集合的真子集,就有的可能而对于集合B 判断不出当时方程无解,此时集合B 就是空集。
而考生考虑问题不周导致漏解。
正解:由已知得{}{}{}3,2,,32A B A B =-⊆∴=-∅或或.若{}B=-3,由310m -+=得13m =
;若{}2B =,由210m +=得12m =-。
若B =∅由10mx +=无解,得0m =,13m ∴=或 12m =-
或 0m =。
故所求的集合是11,0,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭。
纠错心得:空集是不含任何元素的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
变式练习
{}{}|25,|121,,A x x B x m x m B A =-≤≤=+≤≤-⊆已知若则m 的取值范围是_____
错因分析:本题易忽略B 为空集的情况易得错解
1211223215m m m m m +≤-⎧⎪+≥-≤≤⎨⎪-≤⎩得。
正解解析:
;
{}1212,3,3,m m m x B B A
+=-===⊆当时,即此时满足121212,,23215m m m m B B A m m +≥-⎧+<->≠∅⊆∴<≤⎨-≤⎩
当时,即满足即, 综上可知m 的取值范围为
{}|3m m ≤。
易错点二 集合运算混乱
例题2{}{}|0|1,()
()R A x x B x x A C B B C A ==>=≤-=已知,则 A ∅ B {}|0x x ≤ C {}|1x x >- D {}|0,1x x x >≤-
错因分析:求两个集合的补集时易出现错误。
正解分析
{}{}|0,|1A C B x x B
C A x x =>=≤- 答案:D
纠错心得:集合运算的规律:
/
1交集{}|A B x x A x B =∈∈且2并集{}|A B x x A x B =∈∈或
{}()()|0,1A C B B C A x x x =>≤-1212,,m m m B B A +>-<=∅⊆当时,即满足
3补集:
{}(1)B ,|,, (2),,,,C B x x B x A B A A A A A A A A ⊆=∈∉
∅=∅∅===若则且(3),(4)()()(),()()()A B A A B A B A A B C A B C A C B C A B C A C B =⇔⊇=⇔⊆==变式练习:
已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈,{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤,若
A B ≠∅,求实数m 的取值范围。
错因分析:可能误以为集合A 是一个一元二次方程的解集而导致失误,也可能不考虑集合中对的限制从
而在整个实数集上解决这个问题。
正确解析:问题等价于方程组221
y x my y x ⎧=++⎨=+⎩在上[]0,2有解,即2(1)10x m x +-+=在[]0,2上有解,2()(1)1f x x m x =+-+令,则由(0)1f =知抛物线()f x 过点(0,1),抛物线()f x 在
[]0,2上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10,f m =+-+≤或
22(1)41022(2)22(1)10m m f m ⎧∆=--⎪-⎪<<⎪⎨⎪=+-+>⎪⎪⎩,由上得1m <-,实数的取值范围为(),1-∞-。
纠错心得;数集和点集的问题。
在解决以集合为背景的综合性问题时,明确集合的意义是解决问题的先决
条件,现在接触的集合是“数集(各种约定的数集,方程的解集,不等式的解集,函数的定义域,值域
等)”和“点集(函数的图像、直线、曲线、平面区域等)”本题的集合是点集,明确这点就可以脱去“集
合”的外衣实现问题的转化,找到解决问题的途径,不至于掉进集合这个陷阱而出错。
易错点三:忽视集合的三性致误
例题3设集合{}{}21,3,,1,A a B a ==,问是否存在这样的实数a ,使得{}21,,A B a a =与
{}1,A B a =同时成立求出实数a;若不存在说明理由。
错因分析:根据{}1,A B a =得出{}1,A
B a =,得到a 的取值后,容易忽视对a 的检验导致所求的a 值不符合集合的性质。
正确解析:假设这样的实数a 存在,由
{}1,A B a =知2a a =,0a ∴=或1a =。
当0a ∴=时,A B 不可能为{}21,,a a ,故不符合题意;当1a =时,{}21,B a =中,21a =与
集合中元素的互异性矛盾,故1a =也不符合题意;由上分析知,满足题意的实数不存在。
纠错心得:集合中元素具有确定性,无序性,互异性,它们对解题影响很大, 遇到有参数的题别忘了
检验参数的值是不是满足题意。
{。