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不等式约束的非线性优化问题非线性优化问题是当前研究领域中一个重要且复杂的研究方向，其中加入了不等式约束，则研究难度更大。
不等式约束可以帮助提供更多颜色的解决，从而丰富了非线性优化问题的研究内容，特别是在重要的科学技术领域，偏见较大的决策问题中。
例如，在金融行业，投资组合的构建问题依然是一个重要的研究难题，而有了不等式约束，就可以得到更加准确的优化结果，为投资者带来更多投资机会。
同时，不等式约束对于经济学研究领域也具有重要意义。
在计算机仿真中，不等式约束可以指导模拟结果如何随着市场环境的变化而变化。
而在关系分析的仿真建模中，不等式约束可以实质性地保证模型参数的稳定，从而让模型更具有可信度。
再者，由于不等式约束可以扩展多变量线性模型，因此可以解决复杂的决策问题，探索模型内部数据运动规律，有助于深入理解经济问题，特别是现代经济中复杂而多变的定量问题。
当然，由于非线性优化问题涉及到约束，数学模型的复杂性较大，因此算法的设计相对较困难。
传统的优化方法，例如随机搜索、梯度下降和牛顿法等，大多只能处理简单的线性约束，而在具有不等式约束的优化问题中，由于约束的复杂性，这些算法的效果可能不太理想。
为了克服这些问题，目前研究已经提出了一些新的算法，例如贪婪算法、自适应种群算法、可变群体算法等，这些都是针对不等式约束优化问题的有效算法。
除此之外，还有一些混合算法也非常有效，可以采用特定的算法组合，在多个算法之间进行灵活切换，来实现更加优秀的效果。
相比于传统的算法，这些新的算法性能更加稳定，可以在具有不等式约束的非线性优化问题中取得更优结果。
综上所述，不等式约束对于非线性优化问题具有重要作用，它不仅可以丰富研究问题，还可以为各个研究领域实现更准确和稳定的理论依据。
(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
求解带约束的非线性规划问题罚函数法求解带约束的非线形规划问题的基本思想是：利用问题的目标函数和约束函数构造出带参数的所谓增广目标函数，把约束非线形规划问题转化为一系列无约束非线形规划问题来求解。
增广目标函数由两个部分构成，一部分是原问题的目标函数，另一部分是由约束函数构造出的“惩罚”项，“惩罚”项的作用是对“违规”的点进行“惩罚”。
罚函数法主要有两种形式。
一种称为外部罚函数法，或称外点法，这种方法的迭代点一般在可行域的外部移动，随着迭代次数的增加，“惩罚”的力度也越来越大，从而迫使迭代点向可行域靠近；另一种成为内部罚函数法，或称内点法，它从满足约束条件的可行域的内点开始迭代，并对企图穿越可行域边界的点予以“惩罚”，当迭代点越接近边界，“惩罚”就越大，从而保证迭代点的可行性。
1. 外部罚函数法(外点法)约束非线形规划问题min f(x),s.t. g(x)>=0,其中g (x) = (g 1(x),…,gm(x)),将带约束的规划问题转化为无约束非线形规划问题来求解的一个直观想法是：设法加大不可行点处对应的目标函数值，使不可行点不能成为相应无约束问题的最优解，于是对于可行域 S= { x | g(x) >= 0} 作一惩罚函数P(x) = 0, x∈S;K, else其中K是预先选定的很大的数。
然后构造一个增广目标函数F (x) = f (x) + P (x) ,显然x∈S时，F（x）与f (x)相等，而x S 时，相应的F值很大。
因此以F(x)为目标函数的无约束问题minF x) = f(x) + P (x) （1）的最优解也是原问题（NP）的最优解。
上述P(x)虽然简单，但因它的不连续性导致无约束问题（1）求解的困难。
为此将P(x)修改为带正参数M（称为罚因子）的函数P(x) =M ∑[min (0,gj(x))]²则min F(x,M) = f(x) + M∑[min (0,gj(x))]²的最优解x(M) 为原问题的最优解或近似最优解。
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
带有等式约束的非线性规划的对偶问题带有等式约束的非线性规划的对偶问题是一种应用于最优化解决方案的常见方法。
这是一种相对较新的做法，它可以用来解决传统的线性规划和非线性规划问题，从而帮助建立更加综合的、有效的最优化模型和算法。
本文将介绍带有等式约束的非线性规划的对偶问题及其求解方法。
一、什么是对偶问题对偶问题是一类信息反馈型最优化问题，用来表示原始最优化问题所具有的数学特征。
它可以帮助用户准确地求解原始问题，提供有关最佳决策路径的有效信息。
二、带有等式约束的非线性规划的对偶问题带有等式约束的非线性规划的对偶问题是一类特殊的对偶问题，可以帮助用户解决各种非线性规划问题。
这些问题与普通的对偶问题相比，具有更加严格的等式约束条件和非线性规划形式。
带有等式约束的非线性规划的对偶问题由三步构成：首先，确定能够满足该规划问题的参数解空间；其次，在该参数解空间中找出所有可行解；最后，计算出最优解。
三、带有等式约束的非线性规划的对偶问题的求解方法尽管存在着许多求解带有等式约束的非线性规划的对偶问题的方法，但是其中最主要的两种方法是使用内点法和拟牛顿法。
内点法需要迭代地求解，并且要求有大量的重复计算。
它可以有效地求解带有复杂等式和不等式约束的不确定解。
拟牛顿法有两种形式：基础拟牛顿法和变异拟牛顿法，两种形式均需要迭代求解。
变异拟牛顿法可以用于求解具有多个不等式约束的非线性优化问题，并可以适用于低维的非线性优化问题。
四、结论带有等式约束的非线性规划的对偶问题是相对较新的一类优化解决方案，它可以帮助我们求解传统的线性规划和非线性规划问题。
因此，带有等式约束的非线性规划的对偶问题非常适合用于解决复杂的最优化算法问题。
重庆大学本科学生毕业设计（论文）求解约束非线性规划问题的罚函数方法学生：蒋晨曦学号：20102262指导教师：王开荣专业：统计学（金融与精算方向）重庆大学数学与统计学院二O一四年六月Graduation Design(Thesis) of Chongqing UniversityPenalty function method for solving constrained nonlinearprogramming problemUndergraduate: Jiang ChenxiSupervisor: Prof. Wang KairongMajor:Statistics(Oriented in Finance andactuarial science)College of Mathematics and StatisticsChongqing UniversityJune 2014重庆大学本科毕业设计(论文) 中文摘要摘要约束非线性规划问题广泛见于工程、国防、经济等许多重要领域，现代科学、经济和工程的许多问题都有赖于相应的约束非线性规划问题的全局最优解的计算技术。
因此，了解和掌握求解约束非线性规划问题的方法无疑是非常重要的。
在过去的几十年里，求解非线性规划问题的方法已取得了很大的发展。
求解非线性规划问题的重要途径之一是把它转化为无约束问题求解。
而罚函数方法是把约束问题转化为无约束问题的一种主要方法，它通过求解一个或者一系列的无约束问题来求解原约束问题。
罚函数方法包括外点罚函数法，内点罚函数法以及混合罚函数法，但是这几种方法均会由于罚参数的变化（无限增大或减小）会导致相应的增广目标函数的Hesse矩阵出现病态的不良后果，因而往往使求解在实用中失败。
所以我们需要寻求一些新的方法来解决这个问题，为了利用惩罚函数的思并克服它的缺点，我们考虑把问题的惩罚函数和Lagrange函数结合起来，构造出更适当的增广目标函数。
关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题研究兰州大学硕士学位论文关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题的研究姓名：石国春申请学位级别：硕士专业：数学、运筹学与控制论指导教师：王海明20090602兰州大学2009届硕士学位论文摘要非线性约束优化问题是最一般形式的非线性规划NLP问题，近年来，人们通过对它的研究，提出了解决此类问题的许多方法，如罚函数法，可行方向法，Quadratic及序列二次规划SequentialProgramming简写为SOP方法。
本文主要研究用序列二次规划SOP算法求解不等式约束的非线性规划问题。
SOP算法求解非线性约束优化问题主要通过求解一系列二次规划子问题来实现。
本文基于对大规模约束优化问题的讨论，研究了积极约束集上的SOP 算法。
我们在约束优化问题的s一积极约束集上构造一个二次规划子问题，通过对该二次规划子问题求解，获得一个搜索方向。
利用一般的价值罚函数进行线搜索，得到改进的迭代点。
本文证明了这个算法在一定的条件下是全局收敛的。
关键字：非线性规划，序列二次规划，积极约束集Hl兰州人学2009届硕二t学位论文AbstractNonlinearconstrainedarethemostinoptimizationproblemsgenericsubjectsmathematicalnewmethodsareachievedtosolveprogramming．Recently,Manyasdirectionit，suchfunction，feasiblemethod，sequentialquadraticpenaltyprogramming??forconstrainedInthisthemethodspaper,westudysolvinginequalityabyprogrammingalgorithm．optimizationproblemssequentialquadraticmethodaofSQPgeneratesquadraticprogrammingQPsequencemotivationforthisworkisfromtheofsubproblems．OuroriginatedapplicationsinanactivesetSQPandSQPsolvinglarge-scaleproblems．wepresentstudyforconstrainedestablishontheQPalgorithminequalityoptimization．wesubproblemsactivesetofthesearchdirectionisachievedQPoriginalproblem．AbysolvingandExactfunctionsaslinesearchfunctionsubproblems．wepresentgeneralpenaltyunderobtainabetteriterate．theofourisestablishedglobalconvergencealgorithmsuitableconditions．Keywords：nonlinearprogramming，sequentialquadraticprogrammingalgorithm，activesetlv兰州大学2009届硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。
求解带约束的非线性规划问题
罚函数法求解带约束的非线形规划问题的基本思想是：利用问题的目标函数和约束函数构造出带参数的所谓增广目标函数，把约束非线形规划问题转化为一系列无约束非线形规划问题来求解。
增广目标函数由两个部分构成，一部分是原问题的目标函数，另一部分是由约束函数构造出的“惩罚”项，“惩罚”项的作用是对“违规”的点进行“惩罚”。
罚函数法主要有两种形式。
一种称为外部罚函数法，或称外点法，这种方法的迭代点一般在可行域的外部移动，随着迭代次数的增加，“惩罚”的力度也越来越大，从而迫使迭代点向可行域靠近；另一种成为内部罚函数法，或称内点法，它从满足约束条件的可行域的内点开始迭代，并对企图穿越可行域边界的点予以“惩罚”，当迭代点越接近边界，“惩罚”就越大，从而保证迭代点的可行性。
1. 外部罚函数法(外点法)
约束非线形规划问题
min f(x),
s.t. g(x)>=0,
其中g (x) = (g 1(x),…,gm(x)),
将带约束的规划问题转化为无约束非线形规划问题来求解的一个直观想法是：设法加大不可行点处对应的目标函数值，使不可行点不能成为相应无约束问题的最优解，于是对于可行域 S= { x | g(x) >= 0} 作一惩罚函数
P(x) = 0, x∈S;
K, else
其中K是预先选定的很大的数。
然后构造一个增广目标函数
F (x) = f (x) + P (x) ,
显然x∈S时，F（x）与f (x)相等，而x S 时，相应的F值很大。
因此以F(x)为目标函数的无约束问题
minF x) = f(x) + P (x) （1）
的最优解也是原问题（NP）的最优解。
上述P(x)虽然简单，但因它的不连续性导致无约束问题（1）求解的困难。
为此将P(x)修改为带正参数M（称为罚因子）的函数
P(x) =M ∑[min (0,gj(x))]²
则
min F(x,M) = f(x) + M∑[min (0,gj(x))]²
的最优解x(M) 为原问题的最优解或近似最优解。
这时，若x (M) ∈S 则它必定是问题的最优解；若对于某一个罚因子M ，使得x (M) -∈S ，则加大M 的值，罚函数的“惩罚”
作用也将随之加大，因此当M 是很大的数时，即使x (M) -∈S ，它与S 的“距离”也不会太远，而且随M 的增大，“距离会越来越近，因此外部罚函数法就是选区一个丹增且趋于无穷的罚因子列
0 < M1 < M2 <…< Mk <…,
从而构成一系列无约束非线性规划问题
min F(x,Mk) = f(x) + Mk∑[min (0,gj(x))]²
2．内部罚函数（内点法）
对于仅带不等式约束的非线性规划问题，也可考虑使用另一种“惩罚”方式。
引进的罚函数的作用相当于在可行域的边界上设置障碍，是求解的迭代过程始终在可行域内部进行。
由于这种罚函数使得迭代点保持在可行域内部，故称为内部罚函数或障碍函数。
记可行域内部为
S0={ x | g(x) > 0 , j=1, 2, …, m}
且S0≠Ø我们可以仿照外部罚函数法的叠加办法来构造增广目标函数，使得该增广目标函数在可行域内部离边界较远处与原问题的目标函数f(x) 尽可能接近，而在靠近边界是函数之迅速增大
常取
B(x,r) = r ∑1/gj(x), (r>0)
或
B(x,r) = r ∑ln (gj(x)), (r>0)
为障碍函数。
在S 的边界上，B(x,r) 为正无穷大。
社选区一旦剪切区域0的“障碍”引子列{ rk} k=1, 2, …, ，由每一rk作一对应的障碍函数B(x,rk) ，在利用它构造出定义在S0 内的增广目标函数列
F(x,rk) =f(x) + B(x,rk)
则若点x(k) 从S0 内向S 的边界趋近时，F(x,rk) 的值将无限增大，由此关于该增广目标函数的无约束问题
min F(x,rk) (1)
得最优解必落在可行域内部，且难以接近可行域边界。
若原余额书问题的最优解在内部，则党渠道某一适当值时，无约束问题1的最优解可以达到它。
若原问题的最优解在S 的边界上，则随障碍因子rk 逐渐减小，相应的问题的最优解点烈将向S边界上的问题的最优解逼近。
这就是内部罚函数的求解过程。
很显然该方法的初始点x(0) 必须在可行域内部。
