运算定律
第 2 节乘法运算定律
【知识梳理】
1.运算定律的发现及验证
在实际的计算中，当我们对一个算式进行变形的时候，如交换算式中某两个数字的位置或者给算式添上或去掉括号，这时不影响算式的结果我们就可以提炼出一个通用的运算规律，从而使计算更加简便。我们称这样的规律为运算定律。
2.用字母表示运算定律
在数学中通常用字母表示运算定律，通常用小写字母a，b，c等代表代表算式中的数字，用字母表示运算定律能够达到更直观的效果。
3.乘法交换律
两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示乘法交换律：如果用a、b分别代表一个因数，那么乘法交换律就可以表示为：a×b=b×a。
4.乘法结合律
三个数相乘，如果后两个数相乘能使计算简便一些，就先把后两个数相乘，再与第一个数相乘积不变。用字母表示为（a×b）×c=a×（b×c）
5.乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘再相加。用字母表示为：
（a+b）×c=a×c+b×c
当我们遇到求两个积的和，而这两个积中正好有相同的因数时，我们就可以运用乘法分配律，用相同的因数乘其他两个数的和。
【诊断自测】
一、乘法交换律和乘法结合律
1.填空
（1）4×25=25×4，也就是说交换两个因数的位置后，积（），这叫（），可以用字母表示为（）
（2）（25×5）×2=（）、25×（5×2）=（），所以（25×5）×2=25×（5×2），像这样三个数连乘时先把前两个数相乘，或者先乘后两个数积不变这叫乘法( )，用字母表示为（）。
（3）交换两个因数的位置（）不变，这叫乘法（），用字母表示为（）。
（4）三个数相乘时，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做乘法（），用字母表示为（）。
2.根据乘法运算定律在，里填入适当的数。
（1） 15×16=16×
（2） 25×7×4= ××7
（3）（60×25）× =60×（×8）
（4） 125×（8×）=（125×）×14
（5） 3×4×8×5=（3×4）×（×）
3.应用题
学校有教学楼4层，每层有7间教室，每间教室要配25套双人桌椅，学校一共需要购进多少套双人桌椅？
二、乘法分配率
1.用竖式计算
105×24 28×35 108×15
2.观察算式并填空
（4+2）×25 4×25+2×25
=6×25 =100+50
=150 =50
计算后发现：（4+2）×25和4×25+2×25的结果是（），也就是说两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再把结果相（），这叫乘法分配律，用字母可以表示为（）。
3.判断正误，正确画“√”，错误画“×”
56×（19+28）=56×19+28 （）
32×（7×3）=32×7+32×3 （）
64×64+36×64=（64+36）×64 （）
4.用乘法分配律计算
16×27＋73×16 47×15＋33×15
【考点突破】
类型一: 加法交换律
例1.同学们参加植树活动，参加植树的一共25个小组，每个小组中4人负责挖坑种树，负责挖坑种树的一共多少人？
答案:
25×4=100(人) 或 4×25=100（人）
解析：
根据已知条件有25个小组，每个小组里有4人挖坑种树，求负责挖坑种树的一共多少人，也就是求25个4是多少，用乘法计算，列式可发现25×4=4×25，交换因数的位置乘积不变，这是乘法交换律。
例2.计算
4×123×25
答案：
4×123×25
=4×25×123
=100×123
=12300
解析：
如果我们按照四则混合运算的运算顺序去计算这道题，是比较麻烦的，不妨认真观察一下这道题中的数字的特点，会发现 4和25相乘是100，这样就会使我们的计算变得简便许多，所以我们可以利用乘法交换律交换123和25的位置，先计算4×25再乘123.
类型二：乘法结合律
例3.同学们参加植树活动，参加植树的一共有25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？
答案：
解法一：25×5×2=125×2=250（桶）
答：一共要浇250桶水。
解法二：25×（5×2）=25×10=250（桶）
答：一共要浇250桶水。
解析：
如果是先求一共植多少棵树在求一共浇多少桶水，则选用方法一，25×5=125（棵），125×2=250（桶）；如果是先求每组要浇多少桶水，再求一共要浇多少桶水，则选用方法二，5×2=10（桶），25×10=250（桶）。
相比之下，方法二比方法一计算要简便一些。
例4.计算
4×6×25×7
=4×25×6×7
=（4×25）×（6×7）
=100×42
=4200
类型三：乘法分配律
例5.同学们参加植树活动，一共25个小组，每组里4个人负责挖坑种树，2个人负责抬水浇树，一共有多少名同学参加了这次植树活动？
答案：
解法一：（4+2）×25=6×25=150（人）
答：一共150人参加了此次植树活动。
解法二：4×25+2×25=100+50=150（人）
答：一共有150人参加了此次植树活动。
解析：
如果先求出每组多少人再求出植树活动的总人数，可选用第一种方法，4+2=6（人），6×25=150（人）。
如果先求出挖坑种树的有多少人，再求出抬水浇树的有多少人，最后求出总人数，则选用第二种方法，4×25=100（人），2×25=50（人），100+50=150（人）。
相比之下，第二种方法的计算比较简便。
例6.计算
36×68+68×64 25×（4+40）
答案：
36×68+68×64 25×（4+40）
=（36+64）×68 =25×4+25×40
=100×68 =100=1000
=6800 =1100
解析：
在计算之前首先要观察题目的特点，然后运用运算律达到简便运算的目的。第一题中，68是相同的因数，36和64相加能凑整百，所用乘法分配律将原式写为“（36+64）×68”
在第二题中，40×25和4×25都能凑出整百整千，所以利用乘法分配律将原式改写为“25×4+25×40”
