第八讲(六年级3班)2

第8讲比例（二）知识点：1、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k（一定）2、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k（一定）3、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。

4、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

5、比例尺的分数（1）数值比例尺和线段比例尺（2）缩小比例尺和放大比例尺6、图上距离：实际距离=比例尺实际距离×比例尺=图上距离图上距离÷比例尺=实际距离7、应用比例尺画图（1）写出图的名称、（2）确定比例尺；（3）根据比例尺求出图上距离；（4）画图（画出单位长度）（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺8、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。

（相似图形）9、用比例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

考点1：正反比例的辨别【典例1】（隆回县）a 与b 成反比例关系的条件是（ ） A ．ab =c （一定）B ．a ×c ＝b （一定）C ．a ×b ＝c （一定）【典例2】（西安模拟）正方形的边长和它的周长（ ） A ．成正比例B ．成反比例C ．不成比例【典例3】（浦城县）在如表中，如果x 和y 成正比例，那么空格处应填 ；如果x 和y 成反比例，那么空格处应填 ． x 6 y1224考点2：比例的应用（比例尺，图形的变大）【典例1】（雁塔区期中）把一个长为5厘米，宽为4厘米的长方形按3：1放大，放大后的长方形的长为 厘米，宽为 厘米，面积是 平方厘米． 【典例2】（涡阳县）画一画，在方格图里把三角形按3：1进行放大．【典例3】（茶陵县）一幅地图的比例尺是1：3000000，这幅地图上两个城市之间的距离是20cm ，那么这两个城市之间的实际距离是 km ．【典例4】（江北区）王阿姨买了一辆电瓶车，七五折优惠付了1500元．这辆车比原来便宜了多少钱？先在线段图上补上缺少的信息和问题，再列式计算．【典例5】（海安市）甲、乙两地相距2千米，在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是4厘米，这幅图的比例尺是 ．在这幅图上量得乙、丙两地的距离是5厘米，则乙、丙两地间的实际距离是千米．综合练习一．选择题1．（邵阳模拟）两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的（ ）一定，这两种量就叫做成反比例的量． A ．和B ．差C ．积D ．比值2．（云梦县）表示x 和y 成正比例关系的式子是（ ） A ．x +y ＝10B ．x ﹣y ＝10C ．y ＝10x3．（天津模拟）下列等式中，a 与b （a 、b 均不为0）成反比例的是（ ） A ．2a ＝5bB ．a ×7=b2C ．a ×b3=14．（亳州）表格中，若x 和y 成正比例，则k 的值为（ ）x 2 k y 812A ．1.5B ．3C ．65．（天津模拟）a 和b 成反比例关系的式子是（ ） A ．5a ＝4bB ．a5=b4C ．5a =4bD ．5a ＝b +46．（广东期末）把一个长方形按3：1放大，得到的图形的面积与原图形的面积的比是（ ） A ．3：1 B ．9：1C ．1：3D ．1：97．（蕲春县）把改写成数值比例尺是（ ） A ．1：4000000B ．1：8000000C ．1：120000008．（蓬溪县）如图，长方形是按一定的比例放大或缩小，则x ＝（ ）A ．10B ．12C ．14D ．169．（临朐县）一幅地图的比例尺是1：1000000，下列说法不正确的是（ ） A ．这是一个数值比例尺B ．说明要把实际距离缩小1000000倍后，再画在图纸上C．图上距离相当于实际距离的11000000D．图上1厘米相当于实际1000000米10．（广州）一个正方形的面积是100cm2，把它按10：1的比放大．放大后图形的面积是（）A．1000cm2B．2000cm2C．10000cm211．（连江县）把一个边长为3厘米的正方形按2：1放大，放大后的正方形的面积是（）A．36平方厘米B．18平方厘米C．9平方厘米D．6平方厘米12．（长沙）把一个长4厘米，宽2厘米的长方形按3：1放大后，得到的新图形的面积是（）平方厘米。

第八讲分解质因数（二）
一、例题学习 (六年级) 班级姓名
1、例4、右面算式中不同的字母代表不同的数字，求这算式：abc×d=2002
2、试一试：在算式AB×DC=1110中，不同的字母代表不同数字，求这个算式。

3、例5、有三个自然数a，b，c，已知a×b=6，a×c=14，b×c=21，求a×b×c是多少？
4、试一试：有三个自然数a，b，c，已知a×b=10，a×c=14，b×c=35，求a×b×c。

5、例
6、将右面六个数分成乘积相等的两组，20、36、50、56、63、80。

6、试一试：把18，24，56，70，90，150这六个数分成两组，使两组乘积相同。

二、作业：
1、右面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式abc×d=1995
2、三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？
3、287除以一个两位数，余数是47，求这个两位数中最小的一个。

4、2574的约数中最大的两位数是几？
5、五个连续自然数的积是95040，求这五个数。

六年级备课教员：×××第八讲面积计算一、教学目标： 1. 暑智能版六年级第8讲：面积计算。

2. 利用移补的方法解决阴影部分的面积问题,体会转化数学思想的应用。

3.通过寻找高相等的三角形,思维的灵活性和严谨性得到提升。

二、教学重点：利用等底等高三角形的面积相等这一性质求图形的面积。

三、教学难点：根据需要寻找高相等的两个三角形。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时〈50分钟〉一、导入〈5分〉师：同学们,我们全班有24个人,我现在要把你们平均分成两组,该怎么样分？生：每组12个就可以了。

师：平均分成3组呢？生：每组8个就可以了。

师：是的,这是有具体的数字,我们很容易就可以算出来,如果我们要把一个三角形分成面积相等的2个三角形,该怎么样分呢？生：……师：如果是分成3个面积相等的三角形呢？生：……师：很好,你们是根据什么去分的。

生：……师：是的,如果两个三角形的底和高都相等,我们称它们是等底等高三角形, 并且它们的面积也是相等的,今天这节课,我们将用这个性质去求面积。

板书：巧求面积二、探索发现授课〈40分〉〈一〉例题一：〈13分〉四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15cm2。

求四边形ABCD的面积〈如图所示〉。

师：同学们,如果要把一个三角形分成面积相等的两个三角形,怎么分？生：……师：如果要把一个三角形分成面积相等的三个三角形呢？生：……师：你们的依据是什么？生：……师：说的太棒了！如果两个三角形的底和高相等,则它们的面积相等。

现在回到题目,同学们能找出面积相等的三角形吗？生1：△ABE、△AEF和△AFD的面积相等。

生2：△BEC、△EFC和△FCD的面积相等。

师：所以△ABD的面积是△AEF的几倍？生：3倍。

师：△BCD是面积是△EFC的几倍呢？生：3倍。

师：很好,题目告诉我们四边形AECF的面积为15平方厘米,而四边形AEFC等于哪两个三角形的面积和？生：△AEF和△EFC。

第八讲复杂直线型计算我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 本讲知识点汇总：我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 一、角度问题1. n 边形的内角和是()1802n ︒⨯-；2. n 边形的外角和是360°． 二、基本直线形的面积计算：三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）． 三、直线形中的比例关系1. 等高三角形：面积比等于底的比．2. 共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积．如右图所示，阴影三角形与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的13，右侧边占大三角形右侧边的12，那么它的面积就是大三角形的111236⨯=． 3. 沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两边呈交叉关系，则有比例关系a c eb d f==成立．4. 长方形中的比例关系：（1） 共边长方形的面积比等于另一组边的比．如右图所示，12S aS b=．bbb12::S S a b=abS 2 S1aba b（2） 如右图所示，长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四，则有面积比例：3124S S aS S b ==．将其写成交叉相乘的形式可得1423S S S S ⨯=⨯．5. 一般四边形中的比例关系：（1） 如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面积有3124S SS S =的比例关系成立．（2） 如右图所示，连接四边形的一条对角线CD ，并在CD 上取一点O ，连接OA 和OB ，将四边形分为四部分．立．上述两个比例关系还可以通过交叉相乘，写成1423S S S S ⨯=⨯6. 金字塔模型：右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是金字塔模型．金字塔模型的比例关系如右图： 1122a b a b =和11112122a b c a a b b c ==++． 7. 燕尾三角形：上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC 被线段AD 一分为二，且有比例关系12::S S a b =． 如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之间的比例关系如图中所示．面积之间的比例关系如图中所示．a b= 外比：3124S S BD S S CD== BC D内比：1234S S AO S S OD== 12cc = 金字塔模型例1．A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．则A、B中阴影部分的周长之差是多少厘米？「分析」根据图中标出的字母，你能用字母a、b分别表示出长方形的长和宽以及两图中阴影部分的周长之差吗？练习1、下图中，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形．如果阴影部分的周长是l20(阴影部分周长由内、外两部分组成)，那么大正六边形的周长是多少？例2．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？「分析」正五边形的每个内角是多少度？等边三角形每个内角又是多少度？由此如何求出∠BFE的度数？AC DEFBBaA练习2、如下图，已知ABCDEF是正六边形，ABIJK是正五边形，ABGH是正方形，图中∠AFK、∠AHK哪个大，它们的差是多少度？例3．如图，四边形ABCD与四边形CNMP都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF 的面积分别是21和43，则三角形BNE的面积为多少？「分析」两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件，那么如何使用平行线作为我们的解题突破口呢？练习3、图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面积是多少？例4．已知四边形ABCD 是平行四边形，三角形AEF 的面积为4，三角形CDE 的面积为9，那么平行四边形的面积等于多少？「分析」这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出．练习4、图中的梯形被分成四小块，其中两块的面积已经标出，那么梯形的面积是多少？例5．如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、35、49．那么图中阴影图形的面积为多少？「分析」图中的阴影三角形是包含在长方形中的．如何利用三角形与长方形的面积比来求阴影部分呢？AB CDO 416例6．如图所示，ABCD 是一个长方形，点E 在CD 延长线上．已知AB =5，BC =12，三角形AFE 的面积等于15，那么三角形CFE 的面积等于多少？「分析」在这道题中你首先能求出哪些部分的面积请先求出，然后再根据这些面积的关系去寻找图中的线段长度关系．A BCDE课堂内外几何原本《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷．这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作．在《原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学．而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作．《几何原本》集整个古希腊数学的成果和精神于一书．既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识．除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．《几何原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，如今见到的《几何原本》是经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图形的知识（即几何知识）．1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》．1600年，明代数学家徐光启（1562- 1633）与利玛窦相识后，便经常来往．1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》．后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚历译完的．《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）．《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设．（其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础．全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的．比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证．都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明．欧几里得的《几何原本》是中学生学习数学基础知识的好教材．它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材．历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了伟大的贡献．两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就．作业1. 如图，它是由若干块面积为12平方厘米的小长方形砖和3块白色小正方形砖砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？2. 如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于A 点，求∠1等于多少度？3. 如图，ABCD 是一个长方形，E 为CD 边的一个三等分点，如果图中阴影部分面积为1，求长方形ABCD 的面积．4. 如图，面积为4的正方形ABCD 中，E 、F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．5. 如图，三角形ABC 的面积是1，D 、E 、F 分别是相应边的三等分点，三角形ADO 的面积是多少？CBFBCDC EDCFE第八讲 复杂直线型计算例题：例7． 答案：16厘米详解：长方形的长为2a b +，宽为a b +．再根据长比宽多8厘米，就能求出8b =厘米．长方形A 中，阴影部分的周长为()6424b a b a b +-=+．长方形B 中，阴影部分有6条边，它的周长其实就等于大长方形的周长，等于()2246a b a b a b +++⨯=+．两者相差22816b =⨯=厘米．例8． 答案：168︒详解：因为△CDF 是正三角形，所以60CFD FCD ∠=∠=︒．正五边形的内角和是()521803180540-⨯︒=⨯︒=︒，每个内角是5405108︒÷=︒．因此1086048BCF ∠=︒-︒=︒．△BCF 是等腰三角形，所以()18048266BFC ∠=︒-︒÷=︒，同理DFE∠也等于66︒．因此看得到360360666066168BFE BFC CFD DFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．例9． 答案：22详解：如图连接AM ，因为PM ∥AD ，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP 与三角形AFM 面积相等；同样道理三角形BEN 与三角形AEM 面积相等，所以三角形BEN 面积=43－21=22． 例10． 答案：30详解：三角形AFE 与三角形DCE 构成沙漏模型，而已知面积比为4:9，所以对应边长比为EF :EC =2:3，因此FE :FC =2:5．三角形AFE 又与三角形BFC 构成金字塔模型，所以三角形AFE 与三角形BFC 的面积比为4:25，因此三角形BFC 的面积为25，所以四边形ABCE 的面积为25－4=21，因此平行四边形的面积为21+9=30．例11． 答案：15详解：:12:241:2GE EH ==，所以13GE GH =．:49:357:5GF FH ==，所以512FH GH =．由此可得，15113124EF GH =--=．而1128ACDJ S EF S GH =⨯=阴影，因此阴影部分的面积等于()11122449351588ACDJ S ⨯=⨯+++=．例12． 答案：30详解：三角形ABF 与三角形DEF 构成沙漏模型，所以AB AFDE FD=，即21530AB FD DE AF ⋅=⋅=⨯=，所以306FD AB =÷=，又因为AD=12，所以AF=6，因此2155DE AF =⨯÷=．所以三角形CFE 的面积=()230CD DE FD +⨯÷=．练习：1. 答案：90简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分的外周长等于内周长的3倍，因此阴影部分外周长等于总周长的34，即3120904⨯=．2. 答案：3︒简答：四边形内角等于90°，五边形内角等于108°，六边形内角等于120°，所以1089018KAH ∠=︒-︒=︒，12010812KAF ∠=︒-︒=︒．△AFK 与△AHK 都是等腰三角形，因此()18018281AHK ∠=︒-︒÷=︒， ()18012284AFK ∠=︒-︒÷=︒，两者相差3︒．3. 答案：25简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可．4. 答案：36简答：三角形AOD 与三角形BOC 构成沙漏模型，而已知面积比为4:16=1:4，所以对应边长比为OD :OB =1:2，因此三角形AOD 与三角形BOA 的面积比为1:2，所以三角形BOA 的面积为8．由蝴蝶模型可知三角形COD 的面积也是8，所以梯形的面积是4+16+8+8=36．作业：1. 答案：270简答：设小长方形的长为x ，宽为y ．从水平方向的线段可以看出533x x y =+，因此23x y =．所以小长方形的长宽比为3:2，而相应小正方形的边长就是321-=份．由此可得小长方形的面积是白色小正方形的326⨯=倍，即1262÷=．接着把小长方形与小正方形的面积相加即可得到答案．2. 答案：75°简答：如右图，添加一个点F ．△ADE 是正三角形，所以，因此，由于△AFE 是由△BFE 折叠而来的，因此两个三角形完全相同，都是直角三角形，而且．因此．3. 答案：24简答：由，得：，．又由，得，所以整个长方形的面积为24． 4. 答案：1简答：不妨设．由EF 与AB 平行，得． 所以，，16ABFE S a =四边形．又，所以，阴影部分面积为． 5. 答案：简答：AD :AB =1:3由金字塔模型可知．在三角形ADO 与三角形EFO 中由沙漏模型可知DO :OE =AD :EF ，而由金字塔模型可知EF :AB =2:3，所以DO :OE =AD :EF =1:2，因此，因此三角形ADO 的面积为．127:1:3ADO ADE S S =△△ :1:9ADE ABC S S =△△ 1276=1a 816=3a 28==33ADE BCF ABFE ABCD ABCD S S S S S --=△△四边形四边形四边形 9AOB S a =△ 3EOA FOB S S a ==△△ :::1:3OE OB OF OA EF AB === =OEF S a △ 3=12DAC ACE S S =△△ 3CD CE = =4ACE S △ =3=3OAE OCE S S △△ ::1:3CO OA EC AB == 19075FEA ∠=︒-∠=︒ 1152FEA FEB BEA ∠=∠=∠=︒ =906030BEA ∠︒-︒=︒ 60AED ∠=︒ FCD。

（六年级）备课教员：×××第八讲定义新运算一、教学目标： 1. 熟悉定义新运算的意义。

2. 掌握新旧转化的方法及基本类型。

二、教学重点： 1. 使学生学会运用定义新运算解决基本题型。

三、教学难点： 1. 掌握定义新运算的解题方法。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们你们还记得乘法运算定义吗？生：……师：乘法是在加法运算上发展出来的新运算。

我们再来看看我们身边的变化。

师：改革开放30多年，中国发生翻天覆地的变化昔日的农村的土坯房变成了今天的高楼大厦，交通也发生了新的变化，这些变化都是由于改革的需要。

而在我们的数学中，有时为了某种需要，会用一种新符号来表示含有加、减、乘、除的运算，这种运算是根据需要而定义的，我们称之为定义新运算。

让我们一起来探讨其中的知识。

【板书课题：定义新运算】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？师：同学们，我们来看下题目，其中的*是什么符号？生：……师：它是一种定义的符号，同学们还记得乘法的定义吗？（乘法表示几个相同的数相加，类同于新定义的加法运算）生：……师：那么这里*符号的运算是什么呢？生：3A+2B。

师：我们再来看看题目中要求的是7*5，这里A是多少？B是多少？生：A是7,B是5。

师：我们在计算新运算的时候，把数字代入相对应的字母，再按照我们以前学习的四则运算进行计算。

（要强调“代入”这个概念，这是定义新运算的关键知识点）板书：7*5=3×7+2×5=31练习1：（6分）如果A*B=5A+3B，那么6*4的值是多少？分析：找到定义新运算字母中相对应的数字，并代入计算。

A=6,B=3。

板书：6*4=5×6+3×4=42（二）例题2：（13分）如果A#B 表示4B A + ，照这样的规定，9#（6#5）的结果是多少？ 师：这里新定义的符号是什么？生：#。

五年级春季比较与估算六年级暑期分数裂项六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级寒假计算模块综合选讲一六年级春季计算模块综合选讲二掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义知识站牌在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：111111335577999101+++++⨯⨯⨯⨯⨯ .但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1335577999101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算一、整数裂项()()()112231123⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ n n n n n 例如：1×2+2×3+3×4+…+9×10()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；……()19109101189103⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；那么，原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+9×10×11-8×9×10）13⨯=（9×10×11-0×1×2）13⨯=330二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．课堂引入经典精讲教学目标模块一：裂项例1：因数差1的整数裂项例2：因数差不是1的整数裂项例3：多个因数乘积的整数裂项例4：整数裂项的应用模块二：通项归纳例5：整数裂项中的通项归纳例6：平方差公式中的通项归纳模块三：综合运用例7：通项归纳的灵活运用例8：裂项的综合运用计算：⑴12231920⨯+⨯++⨯= ________．⑵4556675960⨯+⨯+⨯++⨯= ________．（学案对应：超常1，带号1）【分析】⑴本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式：)1=192021012=26603⨯⨯-⨯⨯⑵原式()7196054361605931=⨯⨯-⨯⨯=.计算：⑴35573335⨯+⨯++⨯= ________．⑵14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ =_________（学案对应：超常2）【分析】（1）原式=()712053137353361=⨯⨯-⨯⨯．（2）原式()15572741555249914=⨯⨯-⨯⨯+=例题思路计算：⑴12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ⑵1234234534569101112⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= ⑶123423453456(1)(2)(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++= ⑷357579192123⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ⑸135735795791119212325⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （学案对应：带号2）【分析】⑴()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，原式()1910111201234=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯191011124=⨯⨯⨯⨯2970=从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++++=+++ ．⑵()()()()()()()()1112(3)123(4)112(3)55n n n n n n n n n n n n n n +++=++++--+++，原式()1910111213012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯19101112135=⨯⨯⨯⨯⨯30888=⑶()()12342345345612(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()1123(4)5n n n n n =++++⑷原式()11921232513578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯28665=⑸原式1105(192123252713579)10=+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯619458=计算：1!32!43!54!62012!20142013!⨯-⨯+⨯-⨯+-⨯+= ．【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!⨯=⨯+=+，2!42!(13)2!3!⨯=⨯+=+原式1!2!2!3!3!4!4!5!2011!2012!2012!2013!2013!=+--++--+++--+ 1=．1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434591011=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31111112122323349101011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3112121011⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭81110=大约1500年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.计算：22222222246201231517120131⨯⨯⨯⨯=---- （学案对应：超常3，带号3）【分析】通项归纳：()()()222222221211n n n n n n n n ⨯==⨯+++-原式=1231006123410071007⨯⨯⨯⨯= 计算：222222221223201220132013201412232012201320132014++++++++⨯⨯⨯⨯ （学案对应：超常4，带号4）【分析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n++++==+=+⨯+⨯+⨯++原式=213243542013201220142013()()()()()()122334452012201320132014++++++++++++ 2013201320132402620142014=⨯+=（法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+原式1111222212232012201320132014=++++++++⨯⨯⨯⨯ 120132(1)2014=⨯+-201340262014=计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【分析】设原式=B A ()333300************1=⨯⨯-⨯⨯=+A B 500099252322=⨯++⨯+⨯+=- A B 原式=B A ()()()()3283338350003333005000333300=-+=--+-++=A B A B A B AB1.计算：1234234517181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= 【分析】原式()11718192021012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯488376=2.计算：357579313335⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式()13133353713578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯165585=3.计算111111111335192124______111111111111123234345192021++++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式111111113351912421111111111111111111111111123123234234345345192021192021=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (11111111111111111111111123123423453420211920)=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (23123423453420211920)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…兔妈妈买来10个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把10个萝卜分成4份．从左到右分别是1个、2个、3个、4个.小黑闹着要吃那份最多的.妈妈说：“你如果能只移动1个萝卜，使4份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是4个、3个、2个、1个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.附加题=（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通过整数裂项方法得到结果．原式11192021(202122123)573833=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=4.147474647464547464521525251525150525150495251504965⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】首先把每项分数约分．14747464746454321525251525150525150495251504948⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 再将原式各项的分母都通分为5251504948⨯⨯⨯⨯，则各项的分子依次为51504948⨯⨯⨯，50494847⨯⨯⨯，49484746⨯⨯⨯，…………4321⨯⨯⨯．计算中可以应用下面的公式：()()()12342345123n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()()112345n n n n n =++++．根据上面的公式，分子的和为148495051525⨯⨯⨯⨯⨯，与分母约分，结果为15．5.222222222222233333333333331121231234122611212312341226+++++++++-+-+-=+++++++++ 【分析】先找通项公式：2222223333(1)(21)1232212116()(1)1233(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯++++++===⨯=⨯+⨯+++++⨯++ ，所以，原式21111111131223342627⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2152132781⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭6.计算1×100+2×99+3×98+…+98×3+99×2+100×1=.【分析】通项公式2(101)101n a n n n n =-=-，所以原式1101(1100)10021001012016=⨯+⨯÷-⨯⨯⨯=1717007.计算：2323233--- （共2013条分数线）=【分析】32272133321--==-43261521332772133--=-==--5421431213321515213233--=-==---………………2122132213233n n ++--=--- ，所以2013条分数线的话，答案应该为201520142121--一、整数裂项1122334(1)(1)(1)3n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=-⨯⨯+ 1123234345(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=-⨯-⨯⨯+ 110111112121399100(9910010191011)3⨯+⨯+⨯++⨯=⨯⨯-⨯⨯ 二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第n 项公式2..将归纳出的公式用到每一项，进行计算1.请计算：1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ =_________【分析】原式()4165021051504931=⨯⨯-⨯⨯=.2.请计算：24462426⨯+⨯++⨯= ________．【分析】原式()291242028262461=⨯⨯-⨯⨯=3.计算：2464686810222426⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式家庭作业知识点总结()12224262802468=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48048=4.计算：2013!(1!2!23!34!42011!20112012!2012)-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯= ．【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!⨯=⨯-=-2!22!(31)3!2!⨯=⨯-=-原式2013!(2!1!3!2!4!3!2012!2011!2013!2012!)=--+-+-++-+- 2013!(2013!1!)=--1=5.计算：111112122312233412233499100++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434599100101=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 311111121223233499100100101⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 311212100101⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭1514720200=6.计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【分析】通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 29999110050=⨯=7.计算：2222122318191920⨯+⨯++⨯+⨯ 【分析】方法一：2(1)(1)[(2)1](1)(2)(1)n a n n n n n n n n n n =+=++-=++-+原式123122342318192018191920211920=⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯++⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯ 123234181920192021(122318191920)=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯++⨯+⨯111920212219202143=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯41230=方法二：分拆(21-)232222⨯=-，(31-)232333⨯=- 再用公式原式323232333222(22)(33)(2020)(12320)(12320)=-+-++-=++++-++++ 221120212021414123046=⨯⨯-⨯⨯⨯=8.计算：12343456567817181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （提示：()2333211214n n n +++=+ ）【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678916171819B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ ，则12342345345617181920A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 117181920214883765=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．1234234534564567567817181920A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 4(123345567...171819)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)18(181)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24618)4(24618)=⨯++++-⨯++++ 221148*********=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯64440=所以，()488376644402276408A =+÷=．【超常班学案1】计算：⑴34455619202021⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⑵233445100101⨯+⨯+⨯++⨯= 【分析】⑴134=345-2343⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；145=56-3453⨯⨯⨯⨯⨯⨯（4）；156=67-4563⨯⨯⨯⨯⨯⨯（5）；……12021=2122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯（20）；原式=15-234+56-35++202122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （3444）超常班学案=1202122-2343⨯⨯⨯⨯⨯（）=3072⑵原式(234123)(345234)(10010110299100101)3⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯= ()11001011021233=⨯⨯⨯-⨯⨯343398=本题也可直接采用结论：()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则原式()1223344510010112=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 110010110223=⨯⨯⨯-343398=【超常班学案2】请计算：（1）25588116265⨯+⨯+⨯++⨯= ________；（2）3771111156367⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()110626568258304509=+⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()12163677137112497612=+⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常班学案3】计算：121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【分析】通项公式为：()()()1121231212n n n n n n n n n n +++++==⨯+++-+-+ ，（n 从2开始）原式32435451501425364952=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3507515226=⨯=【超常班学案4】计算：22222212231001011223100101++++++⨯⨯⨯ 【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：2222(1)2112(1)(1)(1)n n n n n n a n n n n n n +++++===+⨯+++，所以原式=1111001002222002001223100101101101++++++=+=⨯⨯⨯ 方法二：原式=22222132()()12122323++++⨯⨯⨯⨯ 22101100()100101100101++⨯⨯21321011001223100101=++++++ 上式为若干组同分母分数的和，而且这些和都是2，所以原式⋅=+⨯= 1011002001011001002【超常123班学案1】请计算：（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________；（2）4556674950⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()11213142347203=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()1495051345416303=⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常123班学案2】S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+ +2010×2011×2012，试求出4×S÷（2010×2011×2012）的值．【分析】1123=1234-01234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；1234=345-12344⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）；1345=456-23454⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（3）；……12010201120122010201120122013-20092010201120124⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）原式=12010201120122013012342010201120124⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）=2013【超常123班学案3】222111111213120131⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】22221(1)(1)111(1)1(1)1(2)2n n n n n a n n n n n n ++++=+===⨯+-+-⨯++原式223320132013132420122014=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 220132013120141007=⨯=【超常123班学案4】计算：22222222212323489103353517+++++++++++++ 【分析】原式2222222222221232348910213191++++++=+++--- 通项归纳，()()22222221132551133111211n n n n n n n n n -++++⎛⎫==+=+- ⎪----+⎝⎭原式511138122910⎛⎫=⨯++-- ⎪⎝⎭292242799=+=１２３班学案。

分数、百分数应用题1、“已知一个数比另一个数多几分之几（或少几分之几），求这个数”求这个数的解题方法。

两种解法：○1先求出多或者少的这几分之几具体是多少，再用已知数加上或者减去多或少的部分，就可求出未知数○2已知数是单位1，用单位1加上或者减去未知数比已知数多或少的几分之几，就可以求出未知数是已知数的几分之几，再求出未知数是多少。

（一般来说，某个数的几分之几，“某个数”就是单位1，谁比谁多几分之几或少几分之几，“比”字后面的数字就是单位1，谁是谁的几分之几，“是”字后面的数量就是单位1）例1：天天攒了32元，乐乐攒的钱数是天天的3/4,欢欢攒的是天天的2/3 ，欢欢比乐乐多攒多少钱？2、求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题。

【方法】：比较量÷标准量＝对应分率实际生活中，经常需要比较两个数量的倍数关系，当它们的倍数等于１或大于１的时候，通常称为“几倍”；当它们的倍数小于１的时候，通常表示为一个数是另一个数的“几分之几”。

例题1、六（1）班有56人，参加数学竞赛的有21人，参加竞赛的学生是全班人数的几分之几？【思维拓展训练一】1、实验小学现有男生500人，女生400人，①男生是女生的几（百）分之几？②女生是男生的几（百）分之几？2、六（2）班有男生26人，女生24人，男生人数、女生人数分别占全班人数的百分之几？3、求一个数的几分之几或百分之几是多少的应用题。

【方法】标准量×对应分率＝比较量例题2、实验小学现有男生500人，女生人数是男生人数的4/5，实验小学现有女生多少人?【思维拓展训练二】1、一列火车原来每小时行驶80千米，提速了百分之三十，求提速后的火车速度是多少？2、6月份产煤2030吨，7月提高了20%，7月份产煤多少吨？4、已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数的应用题【方法】比较量÷分率＝标准量这是分数乘法应用题的逆向应用，也是学生容易与分数乘法相混淆的问题。

六年级下册奥数第八讲第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？一般解这类题都归于逻辑推理类问题.我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为：V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝.V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如○中和②.日不是①.把已知条件不否定关系的两点之间画一条虚线，如○韩不是②；○加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线.现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性）由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出.这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题.图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，vp｝，V2有q个点，记为V2=｛vp+1，vp+2…，vp+q｝，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例.一般的图记为G＝（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合.大家在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象.现在的二分图是一类特殊的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点.关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配.就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C构造一个新的二分图：显然，推知B是（日3），因为B有2条虚线，而必然有1条实线，只能推出B与（日3）之间为实线.同理，（韩1）只能为C；剩下的唯一的情况留给了A为（中2）.全部问题解决了.再看最初的题目，如果你选择先判断中、日、韩和A、B、C三个代号之间的匹配关系，将会怎样呢？画一个图看，利用已知条件画出实、虚线.只能利用B不是韩国队及中国队第二，B不是第二（因此B不是中国队）这样一些条件，题目中另二句话：A不是第一名，第一名不是日本队，这种否定关系之间，没有传递性，你不能判定A是不是日本队.因此根据已知条件所画的图中只有两条虚线，之后最多只能确定日、B之间为实线.所以对这样的二分图，无法找出合理的最大匹配.这方法使问题求解走进了死胡同.那么你选择先判A、B、C和第一、第二、第三名之间的匹配关系，又会怎样呢？画一个图看.现在也只有二条虚线，仍然无法找出最大匹配，或说解不唯一，对求解问题无助.现在回过头来看，先找国别与名次之间的匹配，似乎有些“碰运气”，因为完全可以把题目改动，使先找国别与名次的匹配无法解决，例如叙述改为：中、日、韩三足球队比赛，已知结果为：第1名不是A，第2名不是韩国队也不是B，A不是日本队，中国队为B，问A、B、C，和1、2、3名与各国队如何匹配？细心读者发现，这只是把原题中A、B、C的地位与1、2、3名的地位互换而已.所以现在改动后的题目，再先抓“国别”和“名次”的匹配，就无法求解.但是数学要求找出一种解一般问题的方法而不是“碰运气”，而且完全可以找一个例子，使得无论取国别与名次；或国别与代号（A，B，C）；或代号与名次这三类二分图的匹配都无法求解，而必须找更广泛意义下的匹配才能解决，为此先介绍一般的三个因素一起考虑的“匹配”方法.先结合前例，将国别用三个不同点表示于上方，三个名次点表示于左下方，三个代号点表示于右下方.用实线的肯定关系和虚线的否定关系把已知条件“翻译”于图上.我们现在的目的是要寻找一个捆绑三条实线边的一条广义边，使每个国别与一个名次及一个代号捆绑在一起，使问题一次性解决，遵循的原则有以下4条：①肯定关系具有排它性（如中=第2名，则中≠第1名，中≠第3名，第2名≠日，第2名≠韩）.②肯定关系具有传递性（如已知中=第2名，一旦推知肯定关系第2名=A，那么中=A）.③任意两个类别的点之间要建立一种合理的完全匹配.（如国别和名次之间；名次与代号之间；国别与代号之间）.④如果某一点与另一类点中除一点以外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系.现在把这些原则具体操作于这个图上，就能把问题求解，请读者看图，不赘述.这类问题的思想方法上升到图论中，已经可以用一种更抽象的术语“超图”来描述，也就是顶点集合，仍用V来表示，而超图的边是一种抽象的“广义边”，把原来简单边捆绑在一起形成的一种“捆绑的边”.在这个具体例题中，就是要找出一套捆绑边，每一捆绑边，捆着一个国别，一个名次，一个代号.找出三套捆绑边，每套与别的套之间没有公共的点，也就是超图的匹配用了这种思想方法，去解决某些逻辑推理问题，变的非常快捷而准确了.再看例子，有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好只是足球、围棋和歌舞三种中的一种.已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞；喜欢足球的不是上海人；喜欢歌舞的是北京人；B不是广州人.请判断三市人的代号（指A、B、C）及爱好.现在把此逻辑推理问题，转化为图论中的“捆绑边”匹配问题，大家不难把此题的图和我们最初的例比较，它们完全“同构”.答为：B上海人，喜欢围棋；A喜欢歌舞，北京人；C喜欢足球，广州人.关于匹配问题本身，有很多问题和方法已经充分研究和圆满解决，并找到了可以利用电脑解决的很好的算法.例如从二分图的求最大匹配算法发展出称之为“交错路”的方法，直到网络上带权的最大（或最小）匹配.习题八1.小明、小强、小华三人参赛迎春杯，分别来自金城、沙市、水乡，并分获一、二、三等奖.现知：①小明不是金城选手；②小强不是沙市选手；③金城选手不是一等奖；④沙市选手得二等奖；⑤小强不是三等奖；问小华是何处选手，得几等奖？2.下面是一个一般的图，有9个点，V=｛v1，v2，…，v9｝，有16条边，E＝｛e1，e2，…，e16｝.请找一个边数最多的匹配（即找一个最大匹配）.3.有一个残缺棋盘（下图中的白格部分）.问是否可用1×2的骨牌将它完全覆盖？4.一张8×8的黑白相间国际象棋盘，任意挖去一个黑格和另一处的一个白格，剩下的62格残盘，可否用31张1×2骨牌完全覆盖？。

第八讲 设 值 法数学本身就是有它特殊的抽象性，而数学竞赛中出现的许多题目往往更加抽象，有的题目看上去好象数据不齐全，有的甚至连一个具体数据也不出现，却要我们去计算它。

但我们仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”补充题目缺少的条件。

“设值法”就是用假定的数据参与运算，使抽象的问题具体化。

这样一来，问题就更贴近同学们的生活，有利于理解和掌握它们的数量关系，同时又有了具体数据，同学们推算起来不仅感到方便，而且心中踏实。

但使用这种方法解题，有一定的限制，并不是所有的题目都适合，这需要由具体的题目来确定。

在用“设值法”解题之前，需要对题目本身有一个分析、判断过程。

【例1】一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时40千米，返回时每小时50千米，这辆汽车往返平均速度是多少？【分析与解】根据“往返平均速度=往返的总路程÷往返的总时间”，因此要求“往返平均速度”，就必须知道“往返的总路程”和“往返的总时间”，由于题中没有总路程也就无法求出总时间。

所以我们假设甲地到乙的路程为200千米，则去时所用时间为：200÷40=5（小时），返回所用的时间为：200÷50=4（小时），可得：200×2÷（4＋5）=4449（千米）。

【例2】小刚和小明进行了100米短跑比赛（假定二人的速度始终不变），当小刚跑了90米时，小明距终点还有25米，问小刚到达终点时，小明距终点还有多少米？【分析与解】路程、速度、时间，三个量中必须知道其中两个量才能求出第三个量，根据题意，我们设小刚的速度为每秒6米，则小明的速度为（100－25）÷（90÷6）=5（米），小刚到达终点需要（100÷6）秒，在这个时间小明跑了5×（100÷6），离终点还有：100－5×（100÷6）=1623（米）。

【例3】猎狗发现前方30米处有一只奔跑的野兔，立即追了上去，猎狗步子大，它跑4步的路程，野兔要跑9步，但野兔动作快，猎狗跑2步时间，野兔却能跑4步，猎狗跑出多少米能追上野兔？【分析与解】设狗每步跑0.9米，则野兔每步跑0.9×4÷9=0.4（米），又设狗每步步所用的时间为0.2秒，则野兔每步所用的时间为0.2×2÷4=0.1（秒），则狗速度为每秒0.9÷0.2=4.5（米），野兔的速度为：0.4÷0.1=4（米），狗每秒比野兔每秒多跑4.5－4=0.5（米）。

第八讲五年级春季比较与估算六年级暑期分数裂项六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级寒假计算模块综合选讲一六年级春季计算模块综合选讲二掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义知识站牌在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：111111335577999101+++++⨯⨯⨯⨯⨯ .但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1335577999101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算一、整数裂项()()()112231123⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ n n n n n 例如：1×2+2×3+3×4+…+9×10()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；……()19109101189103⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；那么，原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+9×10×11-8×9×10）13⨯=（9×10×11-0×1×2）13⨯=330二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．课堂引入经典精讲教学目标第八讲模块一：裂项例1：因数差1的整数裂项例2：因数差不是1的整数裂项例3：多个因数乘积的整数裂项例4：整数裂项的应用模块二：通项归纳例5：整数裂项中的通项归纳例6：平方差公式中的通项归纳模块三：综合运用例7：通项归纳的灵活运用例8：裂项的综合运用计算：⑴12231920⨯+⨯++⨯= ________．⑵4556675960⨯+⨯+⨯++⨯= ________．（学案对应：超常1，带号1）【分析】⑴本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式：)1=192021012=26603⨯⨯-⨯⨯⑵原式()7196054361605931=⨯⨯-⨯⨯=.计算：⑴35573335⨯+⨯++⨯= ________．⑵14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ =_________（学案对应：超常2）【分析】（1）原式=()712053137353361=⨯⨯-⨯⨯．（2）原式()15572741555249914=⨯⨯-⨯⨯+=例题思路计算：⑴12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=⑵1234234534569101112⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= ⑶123423453456(1)(2)(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++= ⑷357579192123⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ⑸135735795791119212325⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （学案对应：带号2）【分析】⑴()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，原式()1910111201234=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯191011124=⨯⨯⨯⨯2970=从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++++=+++ ．⑵()()()()()()()()1112(3)123(4)112(3)55n n n n n n n n n n n n n n +++=++++--+++，原式()1910111213012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯19101112135=⨯⨯⨯⨯⨯30888=⑶()()12342345345612(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()1123(4)5n n n n n =++++⑷原式()11921232513578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯28665=⑸原式1105(192123252713579)10=+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯619458=计算：1!32!43!54!62012!20142013!⨯-⨯+⨯-⨯+-⨯+= ．【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!⨯=⨯+=+，2!42!(13)2!3!⨯=⨯+=+原式1!2!2!3!3!4!4!5!2011!2012!2012!2013!2013!=+--++--+++--+ 1=．第八讲1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434591011=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31111112122323349101011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3112121011⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭81110=大约1500年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.计算：22222222246201231517120131⨯⨯⨯⨯=---- （学案对应：超常3，带号3）【分析】通项归纳：()()()222222221211n n n nn n n n ⨯==⨯+++-原式=1231006123410071007⨯⨯⨯⨯=计算：222222221223201220132013201412232012201320132014++++++++⨯⨯⨯⨯ （学案对应：超常4，带号4）【分析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+⨯+⨯+⨯++原式=213243542013201220142013()()()()()()122334452012201320132014++++++++++++ 2013201320132402620142014=⨯+=（法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+原式1111222212232012201320132014=++++++++⨯⨯⨯⨯ 120132(1)2014=⨯+-201340262014=计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【分析】设原式=BA()3333002101011009931=⨯⨯-⨯⨯=+A B 500099252322=⨯++⨯+⨯+=- A B 原式=B A ()()()()3283338350003333005000333300=-+=--+-++=A B A B A B AB第八讲1.计算：1234234517181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【分析】原式()11718192021012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯488376=2.计算：357579313335⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式()13133353713578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯165585=3.计算111111111335192124______111111111111123234345192021++++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式111111113351912421111111111111111111111111123123234234345345192021192021=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯...11111111111111111111111123123423453420211920=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (23123423453420211920)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…兔妈妈买来10个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把10个萝卜分成4份．从左到右分别是1个、2个、3个、4个.小黑闹着要吃那份最多的.妈妈说：“你如果能只移动1个萝卜，使4份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是4个、3个、2个、1个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.附加题=（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通过整数裂项方法得到结果．原式11192021(202122123)573833=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=4.147474647464547464521525251525150525150495251504965⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】首先把每项分数约分．14747464746454321525251525150525150495251504948⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 再将原式各项的分母都通分为5251504948⨯⨯⨯⨯，则各项的分子依次为51504948⨯⨯⨯，50494847⨯⨯⨯，49484746⨯⨯⨯，…………4321⨯⨯⨯．计算中可以应用下面的公式：()()()12342345123n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()()112345n n n n n =++++．根据上面的公式，分子的和为148495051525⨯⨯⨯⨯⨯，与分母约分，结果为15．5.222222222222233333333333331121231234122611212312341226+++++++++-+-+-=+++++++++ 【分析】先找通项公式：2222223333(1)(21)1232212116()(1)1233(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯++++++===⨯=⨯+⨯+++++⨯++ ，所以，原式21111111131223342627⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2152132781⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭6.计算1×100+2×99+3×98+…+98×3+99×2+100×1=.【分析】通项公式2(101)101n a n n n n =-=-，所以原式1101(1100)10021001012016=⨯+⨯÷-⨯⨯⨯=1717007.计算：2323233--- （共2013条分数线）=【分析】32272133321--==-第八讲43261521332772133--=-==--5421431213321515213233--=-==--- (212)2132213233n n ++--=---，所以2013条分数线的话，答案应该为201520142121--一、整数裂项1122334(1)(1)(1)3n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=-⨯⨯+ 1123234345(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=-⨯-⨯⨯+ 110111112121399100(9910010191011)3⨯+⨯+⨯++⨯=⨯⨯-⨯⨯ 二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第n 项公式2..将归纳出的公式用到每一项，进行计算1.请计算：1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ =_________【分析】原式()4165021051504931=⨯⨯-⨯⨯=.2.请计算：24462426⨯+⨯++⨯= ________．【分析】原式()291242028262461=⨯⨯-⨯⨯=3.计算：2464686810222426⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式家庭作业知识点总结()12224262802468=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48048=4.计算：2013!(1!2!23!34!42011!20112012!2012)-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯= ．【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!⨯=⨯-=-2!22!(31)3!2!⨯=⨯-=-原式2013!(2!1!3!2!4!3!2012!2011!2013!2012!)=--+-+-++-+- 2013!(2013!1!)=--1=5.计算：111112122312233412233499100++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434599100101=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 311111121223233499100100101⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦311212100101⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭1514720200=6.计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【分析】通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 29999110050=⨯=7.计算：2222122318191920⨯+⨯++⨯+⨯ 【分析】方法一：2(1)(1)[(2)1](1)(2)(1)n a n n n n n n n n n n =+=++-=++-+原式123122342318192018191920211920=⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯++⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯ 123234181920192021(122318191920)=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯++⨯+⨯第１１级上超常体系教师版第八讲111920212219202143=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯41230=方法二：分拆(21-)232222⨯=-，(31-)232333⨯=- 再用公式原式323232333222(22)(33)(2020)(12320)(12320)=-+-++-=++++-++++ 221120212021414123046=⨯⨯-⨯⨯⨯=8.计算：12343456567817181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （提示：()2333211214n n n +++=+ ）【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678916171819B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ ，则12342345345617181920A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 117181920214883765=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．1234234534564567567817181920A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 4(123345567...171819)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)18(181)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24618)4(24618)=⨯++++-⨯++++ 221148*********=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯64440=所以，()488376644402276408A =+÷=．【超常班学案1】计算：⑴34455619202021⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⑵233445100101⨯+⨯+⨯++⨯= 【分析】⑴134=345-2343⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；145=56-3453⨯⨯⨯⨯⨯⨯（4）；156=67-4563⨯⨯⨯⨯⨯⨯（5）；……12021=2122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯（20）；原式=15-234+56-35++202122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （3444）超常班学案第１１级上超常体系教师版=1202122-2343⨯⨯⨯⨯⨯（）=3072⑵原式(234123)(345234)(10010110299100101)3⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯= ()11001011021233=⨯⨯⨯-⨯⨯343398=本题也可直接采用结论：()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则原式()1223344510010112=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 110010110223=⨯⨯⨯-343398=【超常班学案2】请计算：（1）25588116265⨯+⨯+⨯++⨯= ________；（2）3771111156367⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()110626568258304509=+⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()12163677137112497612=+⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常班学案3】计算：121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【分析】通项公式为：()()()1121231212n n n n n n n n n n +++++==⨯+++-+-+ ，（n 从2开始）原式32435451501425364952=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3507515226=⨯=【超常班学案4】计算：22222212231001011223100101++++++⨯⨯⨯ 【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：2222(1)2112(1)(1)(1)n n n n n n a n n n n n n +++++===+⨯+++，所以原式=1111001002222002001223100101101101++++++=+=⨯⨯⨯ 方法二：原式=22222132()()12122323++++⨯⨯⨯⨯ 22101100()100101100101++⨯⨯21321011001223100101=++++++ 上式为若干组同分母分数的和，而且这些和都是2，所以原式⋅=+⨯= 1011002001011001002第１１级上超常体系教师版第八讲【超常123班学案1】请计算：（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________；（2）4556674950⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()11213142347203=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()1495051345416303=⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常123班学案2】S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+ +2010×2011×2012，试求出4×S÷（2010×2011×2012）的值．【分析】1123=1234-01234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；1234=345-12344⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）；1345=456-23454⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（3）；……12010201120122010201120122013-20092010201120124⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）原式=12010201120122013012342010201120124⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）=2013【超常123班学案3】222111111213120131⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】22221(1)(1)111(1)1(1)1(2)2n n n n n a n n n n n n ++++=+===⨯+-+-⨯++原式223320132013132420122014=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 220132013120141007=⨯=【超常123班学案4】计算：22222222212323489103353517+++++++++++++ 【分析】原式2222222222221232348910213191++++++=+++--- 通项归纳，()()22222221132551133111211n n n n n n n n n -++++⎛⎫==+=+- ⎪----+⎝⎭原式511138122910⎛⎫=⨯++-- ⎪⎝⎭292242799=+=１２３班学案。