江苏省南京市2020届06月03日高三年级三模数学+评分标准

南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．236． 37．2n ＋1－2 8．62 9．8310．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞) 13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································ 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分 (2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． ··································································· 10分 因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ． ·················································· 12分 又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ． 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ·································· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ··································· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ························································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······························· 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45． ········ 8分因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ······················· 10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22． ····· 12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4． ····································································· 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． ···························································· 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55． 化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ·············································· 4分 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85， 所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ············································· 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ······························································· 12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． ···························································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． ··········· 4分 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ·································································· 10分因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．① ········································································ 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0． 因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ················· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． ····················································· 16分 19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ··················································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ························································· 4分 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ··························································· 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ························································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx (4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ·················································· 6分因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)． ··························································· 8分 (3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． ···················································· 10分 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点． ························································· 12分 因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0， 所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． ············································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2n (n －1)2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n (n －1)2，n ∈N *． ·················· 2分(2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ············································ 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． ··········· 6分 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ···················· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ·············································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p )n ]． ································································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．··································································· 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ········································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ························································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． ············· 2分曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2 ······························ 4分＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ········································································ 6分当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ·················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ········································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ····························································· 10分 22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ·············································· 2分 因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ············································································· 4分 (2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ····································· 6分所以sin ＜n ，AB →＞＝317．设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ·························· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等 ． ········································································································ 10分 23．（本小题满分10分）解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35．所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125． ········································ 2分(2)证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C nn ×(25)n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C nn ＋1×(25)n ＋1×35；······································································································ 4分 ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n2n ×(25)n ＋1×(35)n ；则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n2n ×(25)n ＋1×(35)n＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]， ························ 6分因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]－(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|2＜x ＜4}，B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B________．2. 若z ＝a1＋i＋i(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为________．3. 某校共有教师300人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为________．4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为________． S ←0For i From 1 To 4 S ←S ＋i End For Print S(第 4 题) (第6题)5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为________．6. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f(π2)的值为________．7. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则{a n }的前n 项和为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F.若以F为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为________．9. 若正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥AB 1CD 1的体积为________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f （－x ），x ＞0，g(x)＝f(x －2)．若g(x －1)≥1，则实数x 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA →⊥OB →.若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为________．12. 若对任意a ∈[e ，＋∞)(e 为自然对数的底数)，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围是________．13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D.若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为________．14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin Bsin C 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，点E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：(1) EF ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.16.(本小题满分14分)已知向量m ＝(cos x ，sin x)，n ＝(cos x ，－sin x)，函数f(x)＝m·n ＋12.(1) 若f(x2)＝1，x ∈(0，π)，求tan(x ＋π4)的值；(2) 若f(α)＝－110，α∈(π2，3π4)，sin β＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．17. (本小题满分14分)如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为85海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险)，其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝55.现有一艘科考船以105海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．(1) 若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (2) 在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(－2，0)和(1，32)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；(3) 若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e xx 2－ax ＋a(a ∈R )，其中e 为自然对数的底数．(1) 若a ＝1，求函数f(x)的单调减区间；(2) 若函数f(x)的定义域为R ，且f(2)＞f(a)，求a 的取值范围；(3) 求证：对任意a ∈(2，4)，曲线y ＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20. (本小题满分16分)若数列{a n }满足n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，则称数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1(n ∈N *)为{a n }的“L 数列”．(1) 若a 1＝1，且{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且{a n }的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；(3) 若a n ＝1＋p n －1，其中p ＞1，记{a n }的“L 数列”的前n 项和为S n ，试判断是否存在等差数列{c n }，对任意n ∈N *，都有c n ＜S n ＜c n ＋1成立，并证明你的结论.2020届高三模拟考试试卷(十九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0，a ∈R .若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，－2)．(1) 求矩阵A ；(2) 求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⊥AC 1. (1) 求AA 1的长；(2) 试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等，并说明理由．23. 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n ∈N *)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其他情况均不获奖．记获奖概率为P n .(1) 求P 1；(2) 求证：P n ＋1＜P n .2020届高三模拟考试试卷(十九)(南京)数学参考答案及评分标准1. {x|1＜x ＜4}2. 23. 604. 105. 236. 37. 2n ＋1－2 8. 62 9. 83 10. [2，4]11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. 证明：(1) 取PC 的中点G ，连结DG ，FG .在△PBC 中，因为点F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且点E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG.(4分)因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD.(10分)因为PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA.(12分)因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD.(14分)16. 解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x)，n ＝(cos x ，－sin x)， 所以 f(x)＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos 2x ＋12.(2分)因为f(x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3·tanπ4＝－2－ 3.(6分)(2) 若f(α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分)所以cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22.(12分)因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，且A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ， 即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55. 化简得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)， 所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险． 答：若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0.因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100，所以E(50，100)， 所以AE ＝505，OE ＝505，(12分)此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.答：x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. 解：(1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和(1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 204＋y 20＝1，（x 0＋2）24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝±32，所以M(－1，±32)．(6分) (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分)因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M(－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2)．(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化简得4m 2＝4k 2＋1 ①.(12分)因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4 ②.(14分) 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ＞0，因此k ＝±112.所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 解：当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ，f ′(x)＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2.令f′(x)＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f(x)的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 解：由函数f(x)的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4.(4分)(解法1)由f(x)＝e xx 2－ax ＋a ，得f′(x)＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a ，2)上单调递减， 所以f(a)＞f(2)，不符题意．(6分) ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减， 所以f(a)＜f(2)，满足题意．综上，a 的取值范围是(2，4)．(8分)(解法2)由f(2)＞f(a)，得e 24－a ＞e aa .因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e aa(4－a)． 设函数g(x)＝e xx (4－x)－e 2，0＜x ＜4.(6分)因为g′(x)＝e x ·－（x －2）2x 2≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)． 所以a 的取值范围是(2，4)．(8分) (3) 证明：设切点为(x 0，f(x 0))，则f′(x 0)＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2， 所以切线的方程为y －ex 0x 20－ax 0＋a ＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2×(x －x 0)． 由0－ex 0x 20－ax 0＋a ＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2×(0－x 0)， 化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分) 设h(x)＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点.由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R ，h ′(x)＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a.因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h′(x)＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1＜x 2. 列表如下：所以函数h(x)最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h(0)＝－a ＜0，h(1)＝a －2＞0，h(2)＝a －4＜0，h(5)＝50－11a ＞0， 所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0.因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．(16分)20. 解： (1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n－1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1. (解法1)设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3（n ＋1）＋k －3＝1－1n ＋k －2. 因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N *恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N *恒成立．(4分) 因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1（n ＋k －2）（n ＋k －1），所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0.当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意．(6分) 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0. 综上，k 的取值范围是(1，＋∞). (8分)(解法2)令f(x)＝1－1x ＋k －2，所以f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k ，＋∞)上单调递增.当0＜k ＜1时，f(1)＝1－1k －1＞1，f(2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．(6分)当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．(8分)(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋pk ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)．因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p ).(1p ＋1p 2＋ (1)n －1＋1p n )， 即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p)n ]．(14分) 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p. 设c n ＝n p ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1， 所以存在等差数列{c n }满足题意. (16分)2020届高三模拟考试试卷(南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分) 因为点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0.(4分) (2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1－2 2，(6分) 所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 6， 所以点Q′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 解：由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)，得直线l 的方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分) ＝⎪⎪⎪⎪2cos （θ＋π3）＋1＋32.(6分) 当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分) 曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分) C. 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab(a 2＋b 2)＝a 2a(a －b)＋b 2b(b －a)＝(a －b)[(a)5－(b)5]．(4分)若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a)5≥(b)5，得(a －b)·[(a)5－(b)5]≥0.(6分)若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a)5＜(b)5，得(a －b)·[(a)5－(b)5]＞0.(8分)综上，a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．(10分)22. 解：(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AA 1＝t(t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)．(2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)，所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0. 取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量．因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分)所以sin 〈n ，AB →〉＝317. 设P(3，0，m)，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m)．因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分) 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解， 所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等 .(10分)23. (1) 解：根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35， 所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125.(2分) (2) 证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×(25)n ＋1； 前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×(25)n ＋1×35；(4分) ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1； 前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n ×(25)n ＋1×(35)n ； 则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n 2n ×(25)n ＋1×(35)n ＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]，(6分) 因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]} ＝(25)n ＋1×{(1－35)×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]} ＝(25)n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×(35)2＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋1＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]}(8分) ＝(25)n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n 2n ＋1×(35)n ＋1＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2]}， 则P n ＋1－P n ＝(25)n ＋1×[C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1－C n 2n ＋1×(35)n ＋1－C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2] ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n 2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)． 因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n 2n ＋1)＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1， 所以P n ＋1－P n ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1＜0， 因此P n ＋1＜P n .(10分)。

【试题】江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝ ． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．第4题第6题5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ． 12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式eax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD BC ，则sinBsinC 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ， F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝5，现一艘科考船以海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，2)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知为a ，b 非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝ ． 答案：(1，4)考点：集合的并集运算解析：∵集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<， ∴A U B ＝(1，4)． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 答案：2 考点：复数 解析：∵(2)i i 1i 2a a a z +-=+=+是实数，∴实数a 的值为2． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 答案：60考点：分层抽样 解析：12512006030012001000⨯=++．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．答案：10 考点：伪代码解析：第一步：i ＝1，S ＝1；第一步：i ＝2，S ＝3； 第一步：i ＝3，S ＝6；第一步：i ＝4，S ＝10；故输出的结果为10．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：22223323A A P A ==． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．考点；三角函数的图像与性质 解析：首先222[()]33πππω=--，解得ω＝1， 又222326k k πππϕπϕπ+=+⇒=-+，k Z ∈，∵22ππϕ-<≤， ∴6πϕ=-，故()2sin()6f x x π=-，所以()2sin()226f πππ=-=．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ． 答案：122n +-考点：等比数列的前n 项和公式，等差中项解析：∵1a ，2a ，32a -成等差数列，∴22a ＝1a ＋32a -＝3a ，故q ＝2，∴12(21)2221n n n S +-==-- 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a =，则c =，离心率e ＝2c a ==． 9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 答案：83考点：正四面体的体积计算解析：可知三棱锥A —B 1CD 1是以V ＝38123⨯=． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ． 答案：[2，4]考点：函数与不等式 解析：首先2, 0()2, 0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，由()(2)g x f x =-知(1)(3)g x f x -=-，当()1f x ≥，解得11x -≤≤，故(1)(3)1g x f x -=-≥，得131x -≤-≤， ∴24x ≤≤，故实数x 的取值范围为[2，4]．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ． 答案：6考点：直线与圆综合解析：取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，易知：d 1＋d 2＝2dOA u u u r ⊥OB ⇒u u u r D 轨迹为：22max 13x y d +=⇒=⇒d 1＋d 2的最大值为6．12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ． 答案：[﹣2，+∞)考点：函数与不等式（恒成立问题） 解析：当0x ≤时，显然成立，b R ∈； 当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln ()ax bx e x ax b b x ex f x +≤⇒≤+⇒≥-=1()ex f x x -'=，易知：max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-； 综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．答案：94-考点：平面向量数量积解析：A ，P ，D 共线，不妨令3AP mAD =u u u r u u u r又2BD DC =u u u r u u u r，故12233AD AB AC AP mAB mAC AB AC λμ=+⇒=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此121182311844AP AB AC λμλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩u u u r u u u r u u u r ， 则7184PB AB AP AB AC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故11719()()84844PA PB AB AC AB AC ⋅=-+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为． 答案：38考点：解三角形综合解析：22222213222a bcbc AD a a +=+=+≤ 22113sin sin sin 228bc a B C A ⇒≤⇒≤=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ．(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面P AD ．因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ．又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ．因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12．因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3，所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3．(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，BEA COD xy所以2α＋β的值为7π4．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为5危险），其中OB ＝2013tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD 55海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)．(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0．因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400| 42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险． 答：若快艇立即出发有触礁的危险．(2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k | 12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12．由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝50 5，OE ＝505，此时两船的时间差为50 5105－50 550＝5－ 5，所以x ≥5－ 5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． 18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32，所以M (－1，±32)． (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． 19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )＞f (2)，不符题意． ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意． 综上，a 的取值范围为(2，4)．方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4．因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)． 所以，a 的取值范围为(2，4)．(3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点．因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0，所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论． 解：（1）由题意知，112n n n a a +=，所以12n n na a +=， 所以(1)121123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==L L L即数列{}n a 的通项公式为(1)22n n n a -=（2）因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立．因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0， 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意． 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，证明如下：因为11111111k k kkk a p p a p p p-+-+==+++，k N *∈， 所以2111111(1)()1111n n nn S p p p p p p -=+-++++++++L ， 又因为1p >，所以110p->， 所以2111111(1)()n n n n n S p p p p p p p-<<+-++++L ， 即11(1)n n n n S p p p p<<+-， 因为111(1)n p p p -<，所以1n n n S p p+<<， 设n n c p=，则111n n n n c c p p p ++-=-=，且1n n n c S c +<<， 所以存在等差数列{}n c 满足题意．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2， 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0．(2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2，所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：曲线C ：(x ﹣1)2＋y 2＝1，直线l ：0x +=圆心C(1，0)到l 的距离设为d ，12d =故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为112++，即32+．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．证明：因为a ，b 为非负实数，3322)a b a b ab +-+=+55]-若a b ≥≥，从而55≥，得55]0-≥，若a b <<，从而55<，得55]0->，综上，3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AB ，AC ⊂平面ABC ，故AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又AB ⊥AC故以A 为原点，{AB uuu r ，AC u u u r ，1AA u u ur }为正交基底建立空间直角坐标系设AA 1＝a ＞0，则A 1(0，0，a )，C(0，4，0)，B 1(3，0，a )，C 1(0，4，a )，1B C u u u r ＝(﹣3，4，﹣a )，1AC u u u u r＝(0，4，a )因为B 1C ⊥AC 1，故11=0B C AC ⋅u u u r u u u u r ，即2160a -=，又a ＞0，故a ＝4，即AA 1的长为4；（2）由（1）知：B(3，0，0)，B 1(3，0，4)，假设存在，设1BP BB λ==u u u r u u u r(0，0，4λ)，(0,1)λ∈， 则P(3，0，4λ)，则CP u u u r＝(3，﹣4，4λ)AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，又AC I AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C 的法向量为AB uuu r＝(3，0，0) 设PC 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则sin cos ,CP AB α=<>=u u u r u u u r，设平面BA 1C 的法向量为n r＝(x ，y ，z )，平面AA 1C 的法向量为AB uuu r ＝(3，0，0)由（1）知：1AC u u u r＝(0，4，﹣4)，BC uuu r ＝(﹣3，4，0)，AC u u u r ＝(0，4，0)， 1340440n BC x y n AC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r，令3y =，则n r ＝(4，3，3) 设二面角B —A 1C —A 的大小为β，则cos cos ,n AB β=<>=r u u u r ，因为αβ=，则22298sincos 1162517αβλ+=+=+，无解，故侧棱BB 1上不存在符合题意的点P ．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35， 所以1212222344()5555125P C =⨯+⨯⨯=； （2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n +1次取出的是白球，概率为12()5nn n C +⨯前n+1次取出n 次白球，第n +2次取出的是白球，概率为1123()55nn n C ++⨯⨯ 前2n ﹣1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为112123()()55nn n n C +--⨯⨯ 前2n 次取出n 次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为1223()()55nn n n C +⨯⨯ 则111112122323()()()()55555nn n n nn n n n n n P C C C +++-+-=⨯+⨯⨯++⨯⨯+L 11011121212232333()()()[()()]555555n n n n n n nn n n n n nC C C C C ++--+-⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯L 因此2011111221222333()[()()]5555n n n n n n n n n n n P P C C C C ++++++++-=⨯+⨯++⨯+⨯L 1011112122333()[()()]5555n n n nn n n n nC C C C +--+--⨯+⨯++⨯+⨯L 101111221222333(){[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +++++++=⨯+⨯++⨯+⨯L01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555n n n n n n n n n n n C C C C C +-+⨯++⨯+⨯⨯L 则11111212221222333()[()()()]5555n n n n n n n n n n n n P P C C C ++++++++++-=⨯⨯-⨯-⨯ 1111222122233()()()555n n n nn n n n C C C +++++++=⨯-- 11112122233()()()555n n n n n n C C ++++++=⨯- 因为11111212221212121212133231()55555n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++++++-=-+=-=-， 所以11121231()()()0555n n n n n n P P C ++++-=⨯⨯-<，因此1n n P P +<．。

1 绝密★启用前
江苏省南京市普通高中
2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试
数学试题参考答案
2020年6月
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8．62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94
14．38
二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ． 因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,。

南京2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|2<x<4}，B ＝{x|1<x<3}，则A ∪B ＝________．2. 若z ＝a1＋i＋i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为________．3. 某校共有教师300人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为________．4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为________．5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为________．6. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中ω>0，－π2<φ<π2 的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2 的值为________．7. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则数列{a n }的前n 项和为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为________．9. 若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥AB 1CD 1的体积为________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，f （－x ），x>0，g(x)＝f(x －2)．若g(x －1)≥1，则实数x 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上的两个动点，且OA → ⊥OB →.若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为________．12. 若对任意a ∈[e ，＋∞)(e 为自然对数的底数)，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为________． 13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D.若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为________．14. 在△ABC 中，A ＝π3，D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin B sin C 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证： (1) EF ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.16. (本小题满分14分)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝m·n ＋12.(1) 若f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，x ∈(0，π)，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的值； (2) 若f (α)＝－110，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值.17. (本小题满分14分)如图，港口A 在港口O 正东方向的100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为85海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险)，其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝55.现一艘科考船以105海里/小时的速度从点O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇． (1) 若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (2) 在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标； (3) 若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．已知函数f(x)＝e xx 2－ax ＋a(a ∈R )，其中e 为自然对数的底数．(1) 若a ＝1，求函数f (x )的单调减区间；(2) 若函数f (x )的定义域为R ，且f (2)>f (a )，求实数a 的取值范围；(3) 证明：对任意a ∈(2，4)，曲线y ＝f (x )上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20. (本小题满分16分)若数列{a n }满足n ≥2，n ∈N * 时，a n ≠0，则称数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1(n ∈N *)为{a n }的“L 数列”．(1) 若a 1＝1，且{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＝n ＋k －3(k >0)，且{a n }的“L 数列”为递增数列，求实数k 的取值范围；(3) 若a n ＝1＋p n －1，其中p >1，记{a n }的“L 数列”的前n 项和为S n ，试判断是否存在等差数列{c n }，对任意n ∈N *，都有c n <S n <c n ＋1成立，并证明你的结论．2020届高三年级第三次模拟考试(二十)数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0，a ∈R .若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)．(1) 求矩阵A ；(2) 求点Q (0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.(1) 求AA1的长；(2) 试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成的角和二面角B-A1C-A的大小相等，并说明理由．23. (本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N* )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其他情况均不获奖．记获奖概率为P n.(1) 求P1；(2) 证明：P n＋1<P n.2020届高三年级第三次模拟考试(二十)(南京)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. 23. 604. 105. 2 36. 37. 2n ＋1－2 8.62 9. 8310. [2，4] 11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. (1) 取PC 的中点G ，连结DG 、FG .在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以 GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以 DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以 GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG.(4分)又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面 PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形， 所以 CD ⊥AD.又因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 CD ⊥平面 PAD.(10分) 因为PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥PA.(12分)又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面 PCD.(14分)16. (1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以f (x )＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x＋12＝cos 2x ＋12.(2分) 因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.又因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝－2－ 3.(6分)(2) f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分) 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×210－⎝⎛⎭⎫－45×7210＝22.(12分) 又因为2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以2α＋β∈(π，2π)， 所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立平面直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，点A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ， 即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55， 化简得t 2＝4，解得t 1＝2或t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55， 所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d<r ，此时直线AC 与圆B 相交， 所以快艇有触礁的危险．故若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0. 因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2， 所以直线OD 的方程为y ＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100， 所以E(50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505，(12分) 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.故x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B(－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形， 所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)． 因为点M ，A 在椭圆C 上，所以M ⎝⎛⎭⎫－1，±32.(6分)(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分) 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2.(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1.①(12分)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 为矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4.②(14分)由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ>0，因此k ＝±112， 所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ， f ′(x )＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2，令f ′(x )<0，解得1<x <2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a <0，解得0<a <4.(4分)由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f ′(x )＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意．②当0<a <2时，因为当a <x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )>f (2)，不符题意．(6分)③当2<a <4时，因为当2<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )<f (2)，满足题意．综上，实数a 的取值范围为(2，4)．(8分) (3) 设切点为(x 0，f (x 0))，化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分)设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知当a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h ′(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a . 因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4⎝⎛⎭⎫a －322＋27>0恒成立， 所以h ′(x )＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2.所以函数h (x )最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a <0，h (1)＝a －2>0，h (2)＝a －4<0，h (5)＝50－11a >0， 所以h (0)h (1)<0，h (1)h (2)<0，h (2)h (5)<0. 因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点．(16分)20. (1) 因为{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N * ，即a n ＋1a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n －1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k >0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1.令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0<k <1时，f (1)＝1－1k －1>1，f (2)＝1－1k <1，所以b 2<b 1，不符合题意．(6分)当k >1时，因为2－k <1，所以f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以{b n }单调递增，符合题意．综上，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下： 因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋pk ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n )． 又因为p >1，所以1－1p>0，所以n p <S n <n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p <S n <n p ＋1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n .(14分) 因为1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n <1p ，所以np <S n <n ＋1p.设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p ，且c n <S n <c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意．(16分)21. A. (1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分)因为点P (1，1)在矩形A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20.(4分)(2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20＝[3－1－22]， (6分)所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以点Q ′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分)＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋1＋32.(6分)当θ＋π3＝2k π(k ∈Z )，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分)曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分)C. 因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．(4分)当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0.(6分) 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]>0.(8分) 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．(10分)22. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面 ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AA 1＝t(t>0)，又AB ＝3，AC ＝4，则 A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)， 所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)． (2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4， 所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0.取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分) 所以sin 〈n ，AB →〉＝317.设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93×32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分) 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等．(10分)23. (1) 根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×⎝⎛⎭⎫252×35＝425＋24125＝44125.(2分)(2) 累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35；(4分) …前2n －1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n，则P n ＝C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1＋C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n n ＋C nn ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]，(6分)因此P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫35n ] ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]}＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{⎝⎛⎭⎫1－35×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n×(35)n ]} ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×⎝⎛⎭⎫352＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]}(8分) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]}，则P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n 2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)． 因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n2n ＋1) ＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1， 所以P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1<0， 因此P n ＋1<P n .(10分)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. 23. 604. 105. 236. 37. 2n ＋1－2 8.62 9. 8310. [2，4] 11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. (1) 取PC 的中点G ，连结DG 、FG .在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以 GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以 DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以 GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG.(4分)又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面 PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形， 所以 CD ⊥AD.又因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 CD ⊥平面 PAD.(10分) 因为PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥PA.(12分)又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面 PCD.(14分)16. (1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以f (x )＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x＋12＝cos 2x ＋12.(2分) 因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.又因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝－2－ 3.(6分) (2) f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分) 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×210－⎝⎛⎭⎫－45×7210＝22.(12分)又因为2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以2α＋β∈(π，2π)， 所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立平面直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，点A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ， 即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55， 化简得t 2＝4，解得t 1＝2或t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55， 所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d<r ，此时直线AC 与圆B 相交， 所以快艇有触礁的危险．故若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0. 因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2， 所以直线OD 的方程为y ＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100， 所以E(50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505，(12分) 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.故x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B(－2，0)． 因为四边形AMBO 为平行四边形， 所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)． 因为点M ，A 在椭圆C 上，所以M ⎝⎛⎭⎫－1，±32.(6分)(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分) 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2.(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1.①(12分)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 为矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4.②(14分)由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ>0，因此k ＝±112， 所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ， f ′(x )＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2，令f ′(x )<0，解得1<x <2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a <0，解得0<a <4.(4分)由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f ′(x )＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意．②当0<a <2时，因为当a <x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )>f (2)，不符题意．(6分)③当2<a <4时，因为当2<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )<f (2)，满足题意．综上，实数a 的取值范围为(2，4)．(8分) (3) 设切点为(x 0，f (x 0))，化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分)设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知当a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h ′(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a . 因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4⎝⎛⎭⎫a －322＋27>0恒成立， 所以h ′(x )＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2.所以函数h (x )最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a <0，h (1)＝a －2>0，h (2)＝a －4<0，h (5)＝50－11a >0， 所以h (0)h (1)<0，h (1)h (2)<0，h (2)h (5)<0. 因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点．(16分)20. (1) 因为{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N * ，即a n ＋1a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n －1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k >0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1.令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0<k <1时，f (1)＝1－1k －1>1，f (2)＝1－1k <1，所以b 2<b 1，不符合题意．(6分)当k >1时，因为2－k <1，所以f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以{b n }单调递增，符合题意．综上，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下： 因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋pk ＝1p ＋1－1p 1＋p k ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n )． 又因为p >1，所以1－1p>0，所以n p <S n <n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p <S n <n p ＋1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n .(14分) 因为1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n <1p ，所以np <S n <n ＋1p.设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p ，且c n <S n <c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意．(16分)21. A. (1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分)因为点P (1，1)在矩形A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20.(4分)(2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20＝[3－1－22]， (6分)所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以点Q ′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分)＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋1＋32.(6分)当θ＋π3＝2k π(k ∈Z )，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分)曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分)C. 因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．(4分)当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0.(6分) 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]>0.(8分) 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．(10分)22. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以AA 1⊥平面 ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AA 1＝t(t>0)，又AB ＝3，AC ＝4，则 A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)， 所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)． (2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4， 所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0.取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分) 所以sin 〈n ，AB →〉＝317.设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93×32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分)因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等．(10分)23. (1) 根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×⎝⎛⎭⎫252×35＝425＋24125＝44125.(2分) (2) 累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35；(4分) …前2n －1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n，则P n ＝C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1＋C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]，(6分)因此P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ] ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]} ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{⎝⎛⎭⎫1－35×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×(35)n ]}＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×⎝⎛⎭⎫352＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]}(8分)＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]}，则P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[Cn ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－Cn ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)． 因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n2n ＋1) ＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1， 所以P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1<0， 因此P n ＋1<P n .(10分)。

惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDACADDADBC1.【解析】{21}{0}x A x x x =<=<，{0}U C A x x =≥，故选D.2.【解析】21313i i 2222z =+=-+（），所以对应的点在第二象限，故选B.3.【解析】20201log πa =2020log 10<=，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()01∈，，1π2020c =1>，所以a b c <<.故选D.4.【解析】因为角θ终边落在直线3y x =上，所以tan 3θ=，21cos 10θ=， 所以3sin(2)2πθ-24cos 2(2cos 1).5θθ=-=--=故选A. 5.【解析】如图所示，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45AC →＝12AD →－45(AB →＋AD →)＝12b r －45(a r ＋b r )＝－45a r －310b r.故选C. 6.【解析】依题意，知－4a ＝－12a ，且－52a ≠12，解得a ＝±2.故选A.7.【解析】1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，故选D.8.【解析】11332815.14C C P C +==故选D. 9.【解析】()21sin 1xf x x e⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1sin 1x x e x e ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭是偶函数，排除C 、D ，又(1)0,f >Q 故选A. 10.【解析】如图：α//面CB 1D 1，α∩面ABCD =m ，α∩面ABA 1B 1=n ，可知n//CD 1，m//B 1D 1，因为△CB 1D 1是正三角形，m n 、所成角为60°． 则m 、n 所成角的正弦值为√32．故选D ．11.【解析】设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m , ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2，z结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A 、B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0,又F(14,0), ∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3．故选B ．12.【解析】 (x 0,x 0+1)区间中点为x 0+12，根据正弦曲线的对称性知f(x 0+12)=−1,①正确。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|2＜x ＜4}，B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B________．2. 若z ＝a1＋i＋i(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为________．3. 某校共有教师300人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为________．4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为________． S ←0For i From 1 To 4 S ←S ＋i End For Print S(第 4 题) (第6题)5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为________．6. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f(π2)的值为________．7. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则{a n }的前n 项和为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F.若以F为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为________．9. 若正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥AB 1CD 1的体积为________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f （－x ），x ＞0，g(x)＝f(x －2)．若g(x －1)≥1，则实数x 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA →⊥OB →.若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为________．12. 若对任意a ∈[e ，＋∞)(e 为自然对数的底数)，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围是________．13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D.若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为________．14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin Bsin C 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，点E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：(1) EF ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.16.(本小题满分14分)已知向量m ＝(cos x ，sin x)，n ＝(cos x ，－sin x)，函数f(x)＝m·n ＋12.(1) 若f(x2)＝1，x ∈(0，π)，求tan(x ＋π4)的值；(2) 若f(α)＝－110，α∈(π2，3π4)，sin β＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为85海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险)，其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝55.现有一艘科考船以105海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．(1) 若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (2) 在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(－2，0)和(1，32)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；(3) 若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．已知函数f(x)＝e xx2－ax＋a(a∈R)，其中e为自然对数的底数．(1) 若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；(2) 若函数f(x)的定义域为R，且f(2)＞f(a)，求a的取值范围；(3) 求证：对任意a∈(2，4)，曲线y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．若数列{a n }满足n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，则称数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1(n ∈N *)为{a n }的“L 数列”．(1) 若a 1＝1，且{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且{a n }的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围；(3) 若a n ＝1＋p n －1，其中p ＞1，记{a n }的“L 数列”的前n 项和为S n ，试判断是否存在等差数列{c n }，对任意n ∈N *，都有c n ＜S n ＜c n ＋1成立，并证明你的结论.2020届高三模拟考试试卷(十九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0，a ∈R .若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，－2)．(1) 求矩阵A ；(2) 求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.(1) 求AA1的长；(2) 试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角BA1CA的大小相等，并说明理由．23. 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N*)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其他情况均不获奖．记获奖概率为P n.(1) 求P1；(2) 求证：P n＋1＜P n.2020届高三模拟考试试卷(十九)(南京)数学参考答案及评分标准1. {x|1＜x ＜4}2. 23. 604. 105. 236. 37. 2n ＋1－2 8. 62 9. 83 10. [2，4]11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. 证明：(1) 取PC 的中点G ，连结DG ，FG.在△PBC 中，因为点F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且点E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG.(4分)因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD.(10分)因为PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA.(12分)因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD.(14分)16. 解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x)，n ＝(cos x ，－sin x)， 所以 f(x)＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos 2x ＋12.(2分)因为f(x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3·tanπ4＝－2－ 3.(6分)(2) 若f(α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分)所以cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22.(12分)因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，且A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ， 即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55. 化简得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)， 所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险． 答：若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0.因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100，所以E(50，100)， 所以AE ＝505，OE ＝505，(12分)此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.答：x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. 解：(1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和(1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 204＋y 20＝1，（x 0＋2）24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝±32，所以M(－1，±32)．(6分) (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分)因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M(－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)．(10分) 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化简得4m 2＝4k 2＋1 ①.(12分)因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4 ②.(14分) 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ＞0，因此k ＝±112.所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 解：当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ，f ′(x)＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2.令f′(x)＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f(x)的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 解：由函数f(x)的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4.(4分)(解法1)由f(x)＝e xx 2－ax ＋a ，得f′(x)＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a ，2)上单调递减， 所以f(a)＞f(2)，不符题意．(6分) ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减， 所以f(a)＜f(2)，满足题意．综上，a 的取值范围是(2，4)．(8分)(解法2)由f(2)＞f(a)，得e 24－a ＞e aa .因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e aa(4－a)． 设函数g(x)＝e xx (4－x)－e 2，0＜x ＜4.(6分)因为g′(x)＝e x ·－（x －2）2x 2≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)． 所以a 的取值范围是(2，4)．(8分) (3) 证明：设切点为(x 0，f(x 0))，则f′(x 0)＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2， 所以切线的方程为y －ex 0x 20－ax 0＋a ＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2×(x －x 0)． 由0－ex 0x 20－ax 0＋a ＝ex 0（x 0－2）（x 0－a ）（x 20－ax 0＋a ）2×(0－x 0)， 化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分) 设h(x)＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)，则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点.由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R ，h ′(x)＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a. 因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h′(x)＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1＜x 2. 列表如下：因为a ∈(2，4)，所以h(0)＝－a ＜0，h(1)＝a －2＞0，h(2)＝a －4＜0，h(5)＝50－11a ＞0， 所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0.因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．(16分)20. 解： (1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n－1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1. (解法1)设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3（n ＋1）＋k －3＝1－1n ＋k －2. 因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N *恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N *恒成立．(4分) 因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1（n ＋k －2）（n ＋k －1），所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0.当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意．(6分) 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0. 综上，k 的取值范围是(1，＋∞). (8分)(解法2)令f(x)＝1－1x ＋k －2，所以f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k ，＋∞)上单调递增.当0＜k ＜1时，f(1)＝1－1k －1＞1，f(2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．(6分)当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．(8分)(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N *，(10分)所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p )n ]．(14分) 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以np ＜S n ＜n ＋1p.设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p ，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意. (16分)2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分)因为点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－2 0.(4分)(2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1－2 2，(6分)所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 6，所以点Q′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 解：由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)，得直线l 的方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分)＝⎪⎪⎪⎪2cos （θ＋π3）＋1＋32.(6分)当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分)曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分)C. 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab(a 2＋b 2)＝a 2a(a －b)＋b 2b(b －a) ＝(a －b)[(a)5－(b)5]．(4分)若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a)5≥(b)5， 得(a －b)·[(a)5－(b)5]≥0.(6分)若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a)5＜(b)5， 得(a －b)·[(a)5－(b)5]＞0.(8分) 综上，a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．(10分)22. 解：(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AA 1＝t(t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)， 所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)．(2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4， 所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0.取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量， 则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分) 所以sin 〈n ，AB →〉＝317.设P(3，0，m)，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m)． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分)因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解， 所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角BA 1CA 的大小相等 .(10分)23. (1) 解：根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125.(2分) (2) 证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×(25)n ＋1； 前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×(25)n ＋1×35；(4分) ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1； 前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n×(25)n ＋1×(35)n ； 则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n 2n ×(25)n ＋1×(35)n ＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n2n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n]，(6分) 因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n×(35)n ] ＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n]} ＝(25)n ＋1×{(1－35)×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n]} ＝(25)n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]－[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×(35)2＋…＋C n2n ＋1×(35)n ＋1＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2] －[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n]}(8分) ＝(25)n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1] －[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n2n ＋1×(35)n ＋1＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2]}， 则P n ＋1－P n ＝(25)n ＋1×[C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1－C n 2n ＋1×(35)n ＋1－C n ＋12n ＋2×(35)n ＋2] ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)． 因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n 2n ＋1)＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1， 所以P n ＋1－P n ＝(25)n ＋1×(35)n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1＜0， 因此P n ＋1＜P n .(10分)。