2019年高等数学专升本真题(回忆版)

2020/11~122019年成人高校专升本招生全国统一考试本试题共150分，考试时间150分钟。

一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.lim x →∞（1+2x ）x=A.-e 2B.-eC.eD.e 22.设函数y =arcsin x ，则y ′=A.-11-x 2√B.11-x 2√ C.-11+x 2D.11+x23.设函数f （x ）在a ，b []连续，在（a ，b ）可导，f ′（x ）＞0，f （a ）f （b ）＜0，则f （x ）在（a ，b ）零点的个数为A.3B.2C.1D.04.设函数y =x 3+e x ，则y （4）=A.0 B.e x C.2+e x D.6+e x5.d d x∫11+x2d x =18.设函数z =x arcsin y ，则ə2z əx2=.19.幂级数∞n =1∑nx n 的收敛半径为.20.微分方程y ′=2x 的通解y =.三、解答题：21~28题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21.（8分）若lim x →0sin x +2kx x =2，求k .22.（8分）设函数y =sin （2x -1），求y ′.23.（8分）设函数y =x ln x ，求y ″.24.（8分）计算∫（x 13+e x ）d x .25.（8分）设函数z =1x -1y ，求x 2əz əx +y 2əz əy .26.（10分）设D 是由曲线x =1-y 2，x 轴，y 轴在第一象限围成的有界区域.（1）求D 的面积S ；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .27.（10分）求微分方程y ″-5y ′-6y =0的通解.28.（10分）计算D∬（x 2+y 2）d x d y ，其中D 是由曲线x 2+y 2=1，y =x ，x 轴在第一象限围成的有界区域.. All Rights Reserved.2020/11~12A.arctan xB.arccot xC.11+x 2D.06.∫cos2x d x =A.12sin2x +C B.-12sin2x +CC.12cos2x +CD.-12cos2x +C7.1∫（2x +1）3d x=A.-10 B.-8C.8D.108.设函数z=（x-y ）10，则əz əx=A.（x-y ）10B.-（x-y ）10C.10（x-y ）9D.-10（x-y ）99.设函数z =2（x-y ）-x 2-y 2，则其极值点为A.（0，0）B.（-1，1）C.（1，1）D.（1，-1）10.设离散型随机变量X 的概率分布为X -1012P 2aa3a4a则a =A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.4二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分。

2019年专升本<<高等数学>>真题答案解析一、选择题：本题共有5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.D【解析】极限精确定义，若存在a x n n =∞→lim ，则对于ε<->∃>∀a x N n a n ,,0.2.A【解析】B 应改为0→h ，C 是可导的必要条件，D 改为∞→h .3.B【解析】原式=⎰∑+=⋅+=∞→101sin 11sin1limdx x n n i ni n ππ4.B【解析】A.条件收敛B.0cos lim 2≠∞→n n 发散C.2=x 为瑕点，D.令t x tan =,则()20323arctan 442sin 2(22cos 1sec 11123arctan 23arctan 23arctan 2322+-=-=+==+⎰⎰⎰∞+ππππt t dt t dt tdx x 5.C 【解析】由044=+'-''y y y ，特征方程0442=+-r r ，即()022=-r ，所以()xe x c c y 221+=二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.解：ee e e nn nnn nn n n n n n n n ====+=+∞→∞→⋅⋅⋅∞→∞→111sin lim1sin lim 1sin 1sin 1)1sin 1(lim 1sin 1(lim 7.解：10)5(,2)(-='-='h t t h 8.解：x e a e a x xe a x x x x x x x x 2lim )(21lim )()1ln(cos 1lim 032030-=-=-+-→→→极限存在且不等于0，且02lim 0=→x x ，1,01)(lim 0=∴=-=-∴→a a e a xx ，且212lim 0-=-→x e a x x .362122arcsin41212πππ=-==-⎰x dx x9.t t t t t t dtdx dt dx dy d dx y d ttt dx dy t dt dx t dt dy 33222cos 1sec cos sec cos )tan ((tan cos sin ,cos ,sin -=-=-='-==-=-==-=解：10.解：222011000sin ()sin lim lim lim lim (0,)xn n n n x x x x t dt g x x x C x xnx nx --→→→→====≠≠∞⎰所以12,3n n -==即.11.解：由定积分的几何意义可得，定积分为41圆的面积，211144ππ=⋅⋅=⎰.12.解：方程两边分别对x 求导得，(1)()0x yey y xy +''+-+=所以x yx y y e y e x ++-'=-,所以dy dx ++--==--x y x y y e y xy e x xy x.13.解:(),x ∈-∞+∞236,66,y x x y x '''=+=+令0,1y x ''==-解得当1,0x y ''<-<时;1,0x y ''>->时所以，拐点为(1,2)-.14.解:222221111322x V dx xdx x ππππ====⎰⎰.15.解:2()39,9(ln 9)9(2ln 3)====x x n x n x ny y 三、计算题：本大题共8小题，其中16—19小题每小题7分，20—23小题每小题8分，共60分.16.解：原式00011(1)11111lim lim lim 222(1)2x x x x x x x x x →→→-+--++====-+.17.解:()ln(2cos )x y x x x π=++=ln ln(2cos )xx x e π++ln ln(2cos )x xx e π=++ln sin (ln 1)2cos x x x y e x x πππ-'=+++sin (ln 1)2cos x xx x xπππ-=+++(1)1y '=1(1)x dyy dx dx ='==.18.解:2,,2t x t dx tdt===则sin 22(cos )2(cos cos )2(cos sin )+Ct tdt td t t t tdt t t t =⋅=-=--=--⎰⎰⎰原式sin C =-+.19.解:当02x π≤<时，000()()cos sin sin x x xp x f t dt tdt tx ====⎰⎰；当2x ππ≤<时，222000221()()cos sin 2x x p x f t dt tdt tdt tt πππππ==+=+⎰⎰⎰221128x π=+-；22sin ,[0,)2()()11,[,]282ππππ⎧∈⎪⎪∴==⎨⎪+-⎪⎩⎰xx x p x f t dt x 20.解:距离为8s =⎰2,1,2u t u dt udu ==-=则，当0,1;8,3t u t u ====时当时283320113313=26(1)16()403s udu u duu u u =⋅=-=-=⎰⎰⎰（u -1）物体运动到8秒时离开出发点的距离为40米.21.解:2lim ()lim ()x x f x x a a --→→=+=0lim ()lim (1)0ax x x f x e ++→→=-=若2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导，则它在0x =处一定连续，所以0lim ()x f x -→=0lim ()(0)x f x f +→=，所以(0)0f a ==200()(0)(0)lim lim 0x x f x f x f x x ---→→-'===00()(0)0(0)lim lim 0x x f x f f xx +++→→-'===所以当0a =时，(0)0f '=，也就是函数2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导.22.解:平面1π的法向量为(1,1,1)=-1n ，平面2π的法向量为2(1,0,1)=-n ，所求直线的方向向量为111211⨯=-=++-12i j ks =n n i j k 又已知所求直线过点(1,0,2)A ，所以，所求直线方程为12121x y z --==.22.解：11lim lim 11n n n n n nu x nx u n x +-→∞→∞=⋅=<+收敛区间为(-1,1)当1=x 时，级数11n n ∞=∑发散；当1-=x 时，级数11(1)n n n -∞=-∑收敛；所以，收敛域为)1,1[-令111()n n S x x n ∞-==∑,则11()nn x S x xn∞=⋅=∑111(())1n n x S x x x∞-='⋅==-∑0001()ln(1)1ln(1)0()0ln(1)(0)lim ()lim1ln(1),[1,0)(0,1)()1,0xx x x S x dt x tx x S x xx x S S x xx x S x xx →→∴⋅==-----∴≠==--===--⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩⎰当时，当时，由和函数在收敛域内连续可导得，综上，11111()2ln 222-∞=⎛⎫∴== ⎪⎝⎭∑n n S n 四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.解:32(4)1,(),()263OBPMBPN xy x S x S f t dt y x +'=⋅==+⎰322()41()263()4()()22214()()x f x x x f t dt f x x x f x f x f x f x x x x+⋅+=++'+-='-=-⎰由题意，化简，即，1124()(())4((1))dxdx xxf x ex e dx c xx dx c x ---⎰⎰=-+=-+⎰⎰224()4(2)0,4()44=++=++=∴=-∴=-+ 又x x c xx cx f c f x x x 25.解：成本为32()2123021c x x x x =-++323222()60()()()60(2123021)2123021,(0)()624306(45)()0,51r x x y x r x c x x x x x x x x x y x x x x x x y x x x ==-=--++=-++-≥'=-++=---'===-收入为利润为令得：或（舍）x （0,5）5（5，+∞）()y x '+0-()y x 179所以，5x =是利润()y x 的极大值点，又因为5x =是()y x 的唯一驻点，所以5x =是利润()y x 的最大值点.(5)179=y .因此公司应生产5千件产品时，公司取得最大利润，并且最大利润为179万元.26.解：（1）2()()(0)(0),02f f x f f x x x ξξ'''=++<<（2）证明：()[1,1]f x M m ''- 在上有最大值和最小值，[][]2111211111()()1()(0)21,1()()()()(0)0233(),1,1()333()33m f x Mf f x f x x f f f f x dx f xdx x dx m f x M x m f M m Mf x dx ξξξξξ----''∴≤≤'''=+-'''''''=+=+=''≤≤∈-''∴≤≤∴≤≤⎰⎰⎰⎰而由（）知对上式进行积分即而(3)证明：由（2）可知11()33m Mf x dx -≤≤⎰，所以113()m f x dx M-≤≤⎰[][]11()1,1()3(),1,1f x f f x dx ηη--''∴=∈-⎰ 在上只有二阶连续导数，由介值定理知，。

河南省2019年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试《高等数学》注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标。

1.函数)1ln()(2x x x f -+=在定义域是（）A.不确定B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇函数[解析]D由()()f x f x -=-得，为奇函数2.已知()f x 的定义域为[]1e ，，则()xf e 的定义域为（）A.(]1,0B.[]0,1 C.()1,0 D.[)10，[解析]B由101xe e x ≤≤⇒≤≤；3.曲线32116132y x x x =+++在点(0,1)处的切线与x 轴的交点坐标为（）A.1(,0)6-B.()10，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,61 D.()0,1-[解析]A由200=6661x x k y x x y x =='=++=⇒=+，与x 轴的交点即当0y =时得交点坐标为1(,0)6-；4.当0x →1与212x -等价，则=a （）A.32-B.32-C.21-D.32[解析]A由当0x →2113ax -→，所以22113=322ax x a -⇒=-；5.极限22324lim 354x n n n n →∞+-=-+（）A.1B.43 C.52-D.34-[解析]D由抓大头口诀：相同即为系数比，可得223244lim 3543x n n n n →∞+-=--+；6.极限0sin 4lim =5x xx→（）A.45B.51C.54 D.1[解析]C00sin 444lim=lim 555x x x x x x →→=；7.当0x →时，221x e -是2x 的_______无穷小（）A.高阶B.低阶C.等价D.同阶非等价[解析]D 当0x →时，22212x ex -→，故是2x 的同阶非等价；8.已知函数()ln 21a xf x ax +⎧=⎨-⎩在1x =处连续，则a =（）A.1B.1- C.0D.3题号一二三四五总分分值602050146150班级：姓名：准考证号：[解析]A9.设1,1()=cos ,12x x f x x x π-≥<⎧⎪⎨⎪⎩则1x =是____间断点（）A.连续点B.可去C.跳跃D.第二类[解析]A 10.函数()f x 在x a =处可导，则()()limf a x f a x xx +--→（）A.()2f a 'B.0C.()a f ' D.()a f '21[解析]A11.已知()12x f x x=+，求1(1)f -=（）A.1- B.1C.13-D.13[解析]反解12y x y=-，交换,x y 得反函数12x y x =-，则1(1)1f -=-。

2019年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项。

1.函数f (x )=ln(√1+x 2−x)在定义域内是（ ） A.不确定 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数2.已知f (x )的定义域是[1,e ]，则f (e x )的定义域为（ ）A.(0,1]B.[0,1]C.[0,1)D.(0,1) 3.曲线y =13x 3+12x 2+6x +1在点(0,1)处的切线与x 轴的交点坐标为 （ ）A.(−16,0)B.(−1,0)C.(16,0)D.(1,0) 4.当x →0时，√1+ax 23−1与−12x 2等价，则a = （ ）A.−32 B.32C.12D.−125.极限lim x→∞3+2n−4n 23n 2−5n+4=（ ）A.1B.−1C.−43D.436.极限lim x→0sin 4x 5x= （ ）A.−45B.45C.−54D.547.当x →0时，e 2x 2−1是x 2的（ ）A.低阶无穷小B.高阶无穷小x u a ny iC.等价无穷小D.同阶非等价无穷小8.已知函数f (x )={a +ln x ,x ≥12ax −1, x <1，在x =1处连续，则a =（ ）A.1B.−1C.12D.−129.设f (x )={1−x, x <−1cos π2x ,x ≥−1,则x =−1是f (x )的（ ）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点10.函数f (x )在点x =a 处可导，则：lim x→0f (a+x )−f (a−x )x=（ ）A.2f ′(a )B.−2f ′(a )C.f ′(a )D.−f ′(a )11.设f (x )=x 1+2x，那么f −1(1)= （ ）A.−1B.1C.−13D.1312.已知y =xe x ，求 dy = （ ）A.(x −1)e 2x dxB.(x −1)e x dxC.(x +1)e x dxD.xe x dx13.曲线y =x 21+x 的垂直渐近线为 （ ）A.x =1B.x =−1C.y =1D.y =−114.方程3x −2sin x =0 (−∞<x <+∞)的实根的个数为 （ ） A.0B.1C.2D.无数个15.曲线y =2x 3+x +1的拐点为 （ ） A.x =0B.(1,1)C.(0,0)D.(0,1)16.若在区间[a,b ]内，g ′(x )=f ′(x )，则下列等式正确的是 （ ）A .g (x )=f(x)B.(∫g(x)dx )′=(∫f(x)dx )′C.g (x )=f (x )−CD.∫g(x)dx =∫f(x)dx17.计算不定积分∫11−2xdx =（ ）A.12ln |1−2x |+CB.12ln (1−2x )+CC.−12ln |1−2x |+C D.−12ln (1−2x )+C18.ddx ∫cos t dt ba = （ ）A.sinxB.cosxC.0D.xsinx19.当k 为何值时，广义积分∫e −kx dx 0−∞收敛 （ ）A.k >0B.k ≥0C.k <0D.k ≤0x u a ny i20.已知函数f (x )在(1,5)上可积，∫f (x )dx =1,∫f (x )dx =2,5−11−1求∫3f (x )dx 15 （ ）A.−2B.2C.−3D.321.平面x −2y +7z +1=0与平面5x −y −z +5=0的位置关系是 （ ）A.重合B.垂直C.平行D.相交但不垂直22.已知向量a ⃗=(6,x,−4),b ⃗⃗={y,−2,−2}，已知a ⃗与b⃗⃗平行，则x,y =（ ）A.4,−3B.−3,−4C.−4,3D.3,−423.二元函数z =x ln (x +y )，则ð2zðxðy = （ ）A.x(x+y )2B.−x(x+y )2C.y(x+y )2D.−y(x+y )224.一元函数在某点处极限存在是在该点可导的_____条件 A.必要B.充分C.充要D.无关25.已知D ={(x,y )|x 2+y 2≤9}，则二重积分∬D√9−x 2−y 2dxdy =（ ）A.18πB.36πC.9πD.6π26.设L 是直线x +y =0上从(2,−2)到(−2,2)的一段弧，则曲线积分∫Lcos y dx =（ ）A.−2sin 2B.2sin 2C.−2cos 2D.2cos 227.已知∑∞n=1(u 2n−1+u 2n )收敛，则（ ）A.∑∞n=1u n 收敛B.lim n→∞u n =0C.∑∞n=1u n 不确定D.∑∞n=1u n 发散28.y =Ce x 是y ′′−y =0的 （ ） A.解B.通解C.特解D.所有解29.已知y =2e x −x 2+x +1，则y (520)= （ ） A.520e x B.2e xC.2e 520xD.030.x 2−y 2=1表示的二次曲面是（ ）A.锥面B.抛物面C.双曲柱面D.单叶双曲面二、填空题（每小题2分，共20分）31.极限lim x→∞(1+33+x)x =_____。

2019年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数f(x)=的无穷间断点的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C2．设函数f(x)=｜x(x一1)｜，则A．x=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B．x=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C．x=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，且点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B3．通过x轴和点(一3，1，一2)的平面方程为A．x一2y+3z=0B．x+3y=0C．2x—y—z=0D．2y+z=0正确答案：B4．微分方=ex-y的通解为A．ey-ex=CB．ey+ex=CC．ey+x=CD．ey-x=C正确答案：A5．下列级数中绝对收敛的是A．B．C．D．正确答案：C填空题6．极限=_______．正确答案：17．已知函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，f’(0)=1，则极限=_______．正确答案：28．函数y=y(x)由参数方程所确定，则=_______．正确答案：2t9．设连续函数f(x)满足f(x)=sinx—，则f(x)=_______．正确答案：10．设曲线L：x2+y2=a2，则对弧长的曲线积(1+x2+y2)2ds=_______．正确答案：2πa(1+a2)2解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．求极限正确答案：原式12．求由方程y=1+xey的确定的隐函数y=y(x)的二阶导数．正确答案：两边对x求导得y’=ey+xeyy’，解出y’得13．求不定积分正确答案：原式14．计算定积分∫04正确答案：15．设函数u=f(x2—y2，exy)，函数f具有二阶连续偏导数，求及．正确答案：=f1’·(一2y)+f2’·exy·x=一2yf1’+xexyf2’=一4xyf11’’+2(x2一y2)exyf12’’+xye2xyf22’’+(1+xy)exyf2’16．已知函数f(x，y，z)=x+y2+z3(1)求函数f(x，y，z)的梯度；(2)求函数f(x，y，z)在点P0(1，1，1)处沿方向l=(2，一2，1)的方向导数.正确答案：f(x，y，z)=x+y2+z3在点P0(1，1，1)处可微，则在该点的梯度为gradfP0=(1，2，3)，l0=(cosα，cosβ，cosγ)=从而有17．计算二重积(1—4x2—4y2)dxdy，其中D是由y=z，x2+y2=1和x轴在第一象限内所围成的区域．正确答案：D={(r，θ)：0≤θ≤，0≤r≤1}18．计算曲线积(2x—y+4)dx+(5y+3x一6)dy，其中L为三顶点分别为(0，0)、(3，0)和(3，2)的三角形的正向边界．正确答案：由格林公式得19．求幂级数的和函数.正确答案：，收敛半径R=3，当x=3时，级数收敛，当x=一3时，级数发散，故收敛域为(一3，3]．令=ln3一ln(3+x)，x∈(一3，3] 20．求微分方程y’’一2y’=3e2x的通解．正确答案：特征方程为λ2一2λ=0，特征根λ1=0，λ2=2，对应齐次方程的通解y=C1e2x+C2，设方程y’’一2y’=3e2x的一个特解为y*=Axe2x，代入方程y’’一2y’=3e2x，得，特解为y*=xe2x，故原方程的通解为y=C1e2x+C2+xe2x．证明题21．证明：当x＞0时，不等式＜ln(1+x)＜x．正确答案：令f(x)=ln(1+x)，x＞0在[0，x]上对f(x)应用拉格朗日定理得ξ∈(0，x)，使得f(x)一f(0)=f’(ξ)(x一0)=，因为0＜ξ＜x，所以从而得证22．求由曲线y=x2与y2=x2所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的体积V．正确答案：两曲线交点为(0，0)和(1，1)两曲线交点为(0，0)和(1，1)S=∫01V=π∫01(x3一x4)dx=。

高等数学一第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 当时，为的 （ ）0x →234x x x x +++x A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小D.4阶无穷小2. （ ）2lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C. D.2e -e-e 2e 3. 设函数，则＝ （ ）cos 2y x =y 'A. B. C. D.2sin 2x2sin 2x-sin 2xsin 2x -4. 设函数在上连续，在可导，＞0，f (a ) f (b )＜0，则在内()f x [,]a b (,)a b ()f x '()f x (,)a b 零点的个数为 （ ）A.3B.2C.1D.05. 设为的一个原函数，则＝ （ ）2x ()f x ()f x A.0B.2C. D.2x 2x C+6. 设函数，则 （ ）()arctan f x x =()d f x x '=⎰A. B.arctan x C -+211C x -++C. D.arctan x C+211C x ++7. 设，，，则（ ）1210d I x x =⎰1320d I x x =⎰1430d I x x =⎰A. I 1＞I 2＞I 3 B. I 2＞I 3＞I 1C. I 3＞I 2＞I 1D. I 1＞I 3＞I 28. 设函数，则＝（ ）2e y z x =(1,0)z x∂∂A.0B.C.1D.2129. 平面的一个法向量为 （ ）2340x y z +-+=A. B. C. D.{1,3,4}-{1,2,4}{1,2,3}-{2,3,4}-10. 微分方程的阶数为 （ ）34()yy y y x ''++=A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分）11..0tan 2limx xx→=12.若函数在点处连续，则a =.0x =13. 设函数，则d y =.2e x y =14.函数的极小值点x = .3()12f x x x =-15.= .x 16..121tan d x x x -=⎰17.设函数，d z =.32z x y =+18.设函数，则＝.arcsin z x y =22zx ∂∂19.幂级数的收敛半径为.1n n nx ∞=∑20.微分方程的通解y =.2y x '=三、解答题（21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤）21.（本题满分8分）若，求k .0sin 2lim2x x kxx→+=22.（本题满分8分）设函数，求.sin(21)y x =-y '23.（本题满分8分）设函数，求.ln y x x =y ''24.（本题满分8分）计算.13(e ) d x x x +⎰25.（本题满分8分）设函数，求.11z x y =-22z z x y x y ∂∂+∂∂26.（本题满分10分）设D 是由曲线与x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域.求：21x y =-（1）D 的面积S ；（2）D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V .27.（本题满分10分）求微分方程的通解.560y y y '''--=28.（本题满分10分）计算，其中D 是由曲线，，轴在第一象限围成的有界区22()d d Dx y x y +⎰⎰221x y +=y x =x 域.参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.【应试指导】，故是的等价无穷2342300limlim(1)1x x x x x x x x x x→→+++=+++=234x x x x +++x 小.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】.22222222lim(1)lim(1)[lim(1)]e x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=3.【答案】B【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.【应试指导】·.(cos 2)sin 2y x x ''==-(2)2sin 2x x '=-4.【答案】C【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.【应试指导】由零点存在定理可知，在上必有零点，且函数是单调函数，故其()f x (,)a b 在上只有一个零点.(,)a b 5.【答案】B【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.【应试指导】由题可知，故.()d 2f x x x C =+⎰()(()d )(2)2f x f x x x C ''==+=⎰6.【答案】C【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.【应试指导】.()d ()arctan f x x f x C x C '=+=+⎰7.【答案】A【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】在区间内，有x 2＞x 3＞x 4，由积分的性质可知(0,1)＞＞，即I 1＞I 2＞I 3.120d x x ⎰130d x x ⎰140d x x ⎰8.【答案】D【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】，故2×1×1＝2.2e y zx x∂=∂(1,0)z x ∂=∂9.【答案】C【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点.【应试指导】平面的法向量即平面方程的系数{1，2，}.3-10.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.【应试指导】微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.二、填空题11.【答案】2【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点.【应试指导】.00tan 22limlim 2x x x xxx →→==12.【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.【应试指导】由于在处连续，故有.()f x 0x =0lim ()lim 50(0)x x f x x f a --→→====13.【答案】22e d x x【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点.【应试指导】d y = d(e 2x ) = e 2x ·(2x )′d x = 2 e 2x d x.14.【答案】2【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点.【应试指导】，当或时，，当x ＜2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+2x =2x =-()0f x '=时，＞0；当＜x ＜2时，＜0；当x ＞2时，＞0，因此x =2是极小值2-()f x '2-()f x '()f x '点.15.【答案】arcsin x C+【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】.arcsin x x C =+16.【答案】0【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】被积函数x tan 2x 在对称区间上是奇函数，故.[1,1]-121tan d 0x x y -=⎰17.【答案】23d 2d x x y y+【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】，，所以.23z x x ∂=∂2z y y ∂=∂2d d d 3d 2d z z z x y x x y y x y∂∂==+=+∂∂18.【答案】0【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.【应试指导】，.arcsin z y x ∂=∂220zx ∂=∂19.【答案】1【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点.【应试指导】，设，则有，故其收敛半径1nn n n nx nx ∞∞===∑∑n a n =11limlim(1)1x x n n nρ→∞→∞+==+=为.11R ρ==20.【答案】2x C+【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.【应试指导】微分方程是可分离变量的微分方程，两边同时积分得2y x '=.2d 2d y x x x y xC '=⇒=+⎰⎰三、解答题21.，故.00sin 2sin limlim 2122x x x kx x k k x x →→+=+=+=12k =22.[sin(21)]y x ''=-·cos(21)x =-(21)x '- .2cos(21)x =-23.()ln (ln )y x x x x '''=+，ln 1x +故.1(ln )y x x'''==24.1133(e )d d e d xx x x x x x +=+⎰⎰⎰1131e 113x xC+=+++ .433e 4x x C =++25.，，故21z x x ∂=-∂21z y y ∂=∂··2221z z x y x y x∂∂+=-∂∂22x y +21y .110=-+=26.（1）积分区域D 可表示为：0≤y ≤1，0≤x ≤1y 2，-120(1)d S y y=-⎰3101()3y y =-.23（2）120πd V y x=⎰ 10π(1)d x x =-⎰.π2=27.特征方程，解得或，故微分方程的通解为2560r r --=11r =-26r =（C 1，C 2为任意常数）.1261212e e e e r x r x x x y C C C C -=+=+28.积分区域用极坐标可表示为：0≤≤，0≤r ≤1，θπ4所以22()d d DI x y x y=+⎰⎰ ·r d rπ12400d r θ=⎰⎰ ·π4=41014r.π16=。

专升本高等数学（二）真题2019年第［卷（选择题）一・选择題在每小登给出的四个选顶中•只有一顶是符合题目要求的・• A.-e2• B.-e• C.e］1 + %23•设函数 f(x)在［a ,b］上连续,≡(a ,b)内可导zf,(x) > 0 ,f(a)f(b)< 0则f(x)≡(ar b)内李点的个数为 __ ■Iirn ( 1 十一)二X >≈XD［解Iiln(I+-)X = Iim(U-)2 2 = ι⅛(i+-)∣2=e2 .χ→a X2•设函数 y=arcsinx ,则 y,≡≡_ ［解析］arcsine•A3• B.2•Cl• D.04•设函数y=×3+eκf则 y r4,≡___ • A.0• B.e x• C.2+eκ• D.6+e x⅛∕-f⅛dX=A ・ arctanxB ・ arccotx1厂1 +%2D . 06・ JCOS2xdx= _____Sin2 尤÷ C1-sin2jc + C-~cos2τ + C c. 2- 4-COS 2X + C• A.-10 • B.-8 • C.8 • D.10 D -［解⅛ flj ⅛ 4 (⅛+l)⅛(⅛H) 4 ∙⅛⅛M f析］丿 O 2 4 i 4“∂z8•设函数z=(x-y)1° f 则B 兀= ___• A.(x-y)iθ • B.-(x-y)1° • C.10(x-y)9 • D.-10(x-y)9 C ［解析］9•设函数z=2(x ∙y)-χRy 2 ,则其极值点为 ___ • A.(0 i 0) • B.(-l f 1) • C.(l, 1) • D.(l, -1) D -(2咒 + 1 )3d l r∣2∂Z［解析］曲I=0^=010 •设韶散型随机变量X 的概率分布为X -1 0 1 2 P 2a a 3a4a• A.0.1 • B.0.2 • C.0.3 • D.0.4 A［解析］由概率分布的性质可知2a+a + 3a+4a = 10a=l ,得a=0.1・第II 卷QE 选择题) 二填空题1. 当X→O 时f(x)与3x 是等价无穷小，则=x-→0 X ------- ~~3［解析］由题可知-2 -2y,令,可得驻点为(1. -1),而故厶=0-(-2)∙(-2)=-4<0f 因此(「・1)星函数的极值点・ZX 1. e -11IlnI --- 2.x→O XCly= d(InSinX)COSΛ:ClX = cottcLx.si n%2x 11. C — 1 Ilm= Iim^= =2. %→o 14•设χ2为f(χ)的一个原函数，则Kx)= __ ・ 2x^昭析］由题意可知Jf(x)dx=χ2+C ,因而f(x)=(∫ f(x)dx) =(χ2+C)'=2x .5.设函数 y=lnsinx f 则 dy= _____COtXdX［解 析］1 +2Y∕,ω=⅛w ,(∣)≡［解析］1+2x1 30■ ― ■■ .1•则F ⑴二 ____J (%cos2x +2)<⅛二_______________________ ［解析］Z ■■9・设函数X ,贝P尤'I*10.设函数 Z=SinX lny , dz= _____CoSXlnyfk ÷ SinX —dyy嚴析］dz=d(sinx∙lny)=lnyd(sinx)+si nxd(lny)=cosxlnyd×+三.解答题共70分•鮮答应写出推湮、漓算步骤・1. 计算(XCOS4χ +2)(IX =Jxcos-=0+4=4.Oz_ XΣ ^Xdy ~2Λ XSInX1- Iim-mαo X2+ Iimg;TroQ 久•2•设函数」,求f(x)∙Zf、 1 +/ — % • 2兀八宀(F1 -/(1 *)2X.专升本商等数学真题2019第11页共9页12 (In%)2J_25. 一个袋中有10个乒乓球,其中7个橙色r 3个白色I 从中任 取2个，设事件A 为"所取的2个乒乓球颜色不同"•求事件A 发生的概率P(A).6•设函数f(x)=aG+bχ2+cx 在x=2处取得极值，点(1 ,・1)为曲 线y=f(x)的拐点，求a , b r c . 解:f(x)=3ax 2+2bx+c Z f(x)=6ax÷2b r由于f(x≡×=2处取得极值，则f(2)=12a+4b+c=0 r 点(1 • -1)是 y=f(x)的拐点■故有 f(l)=-l, f"(D=O r(IibiC- -1,I 3即 / A J Λ Wft=y 5⅛≡ -γ,c=0. 6« +2i=01 - 27.已知函数f(x)的导函数连续，且f(l)=0 ,P(Q专升本商等数学真题2019X.第12页共9页。

2019专升本高数题库(含历年真题)章节练习极限、连续1、【单项选择】当x一0时，与3x2+2x3等价的无穷小量是( )．正确答案：B2、【单项选择】正确答案：B3、【单项选择】正确答案：B 4、【单项选择】ABCD正确答案：B 5、【单项选择】B 1C正确答案：D6、【单项选择】当 x一0时，kx是sinx的等价无穷小量，则k等于( )正确答案：B7、【单项选择】正确答案：A8、【单项选择】正确答案：C 9、【单项选择】正确答案：B 10、【单项选择】正确答案：A 11、【单项选择】正确答案：D 12、【单项选择】正确答案：D 13、【单项选择】ABCD正确答案：B1、【案例分析】正确答案：2、【案例分析】正确答案：所给极限为重要极限公式形式．可知3、【案例分析】正确答案：4、【案例分析】正确答案：5、【案例分析】正确答案：6、【案例分析】当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则正确答案：由等价无穷小量的定义可知【评析】判定等价无穷小量的问题，通常利用等价无穷小量的定义与极限的运算．7、【案例分析】正确答案：8、【案例分析】正确答案：9、【案例分析】正确答案：10、【案例分析】正确答案：11、【案例分析】正确答案：a=012、【案例分析】正确答案：13、【案例分析】正确答案：一元函数微分学1、【单项选择】正确答案：B2、【单项选择】设函数f(x)=COS 2x，则f′(x)=( )．正确答案：B3、【单项选择】设正确答案：B4、【单项选择】曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为( )正确答案：C5、【单项选择】设y=lnx，则y″等于( )正确答案：D6、【单项选择】设Y=e-3x，则dy等于( )．正确答案：C7、【单项选择】设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)正确答案：B8、【单项选择】设，y=COSx，则y′等于( )(1分)正确答案：A 9、【单项选择】正确答案：A 10、【单项选择】正确答案：B11、【单项选择】正确答案：B12、【单项选择】正确答案：D13、【单项选择】设，f(x)在点x0处取得极值，则( )ABCD正确答案：A14、【单项选择】设Y=e-5x，则dy=( )正确答案：A15、【单项选择】曲线y=x3+1在点(1，2)处的切线的斜率为( )正确答案：C16、【单项选择】曲线y=x3+1在点(1，2)处的切线的斜率为( )正确答案：C17、【单项选择】设 y=2^x，则dy等于( )正确答案：D18、【单项选择】正确答案：A19、【单项选择】正确答案：D20、【单项选择】设Y=sinx+COSx，则dy等于( )．(1分)正确答案：C1、【案例分析】求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值正确答案：注意函数的定义域为2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值正确答案：4、【案例分析】求函数的极大值与极小值．正确答案：5、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得6、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．7、【案例分析】证明：正确答案：【评析】8、【案例分析】求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．正确答案：【评析】求函数f(x)的单调区间，应先判定函数的定义域．求出函数的驻点，即y′=0的点；求出y的不可导的点，再找出y′>0时x的取值范围，这个范围可能是一个区间，也可能为几个区间求曲线在点(1，3)处的切线方程曲线方程为，点因此所求曲线方程为或写为设Y=2ex-1则y″=e-x正确答案：11、【案例分析】正确答案：12、【案例分析】设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____正确答案：设y=fx)可导，点a0=2为fx)的极小值点，且f2)=3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为______．正确答案：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f′(2)=0．曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f′(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程14、【案例分析】设Y=xsinx，求Y′正确答案：15、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得16、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．17、【案例分析】正确答案：一元函数微分学1、【单项选择】正确答案：B 2、【单项选择】正确答案：B设正确答案：B正确答案：C5、【单项选择】设y=lnx，则y″等于( )正确答案：D正确答案：C7、【单项选择】设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)正确答案：B8、【单项选择】正确答案：A 9、【单项选择】正确答案：A 10、【单项选择】正确答案：B 11、【单项选择】正确答案：B 12、【单项选择】正确答案：D13、【单项选择】ABCD正确答案：A正确答案：A 15、【单项选择】正确答案：C 16、【单项选择】正确答案：C正确答案：D18、【单项选择】求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值正确答案：注意函数的定义域为【评析】判定f(x)的极值，如果x0为f（x)的驻点或不可导的点，可以考虑利用极值的第一充分条件判定．但是当驻点处二阶导数易求时，可以考虑利用极值的第二充分条件判定．2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值正确答案：4、【案例分析】求函数的极大值与极小值．正确答案：5、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得6、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．7、【案例分析】证明：正确答案：【评析】8、【案例分析】求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．正确答案：9、【案例分析】求曲线在点(1，3)处的切线方程曲线方程为，点因此所求曲线方程为或写为设Y=2ex-1则y″=e-x正确答案：11、【案例分析】正确答案：12、【案例分析】设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____正确答案：13、【案例分析】设y=fx)可导，点a0=2为fx)的极小值点，且f2)=3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为______．正确答案：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f′(2)=0．曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f′(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程14、【案例分析】设Y=xsinx，求Y′正确答案：一元函数积分学1、【单项选择】正确答案：C 2、【单项选择】ABCD正确答案：D 3、【单项选择】正确答案：A 4、【单项选择】正确答案：B 5、【单项选择】正确答案：A 6、【单项选择】ABCD正确答案：B 7、【单项选择】正确答案：A 8、【单项选择】正确答案：B9、【单项选择】BD正确答案：D 10、【单项选择】正确答案：C 11、【单项选择】正确答案：C 12、【单项选择】正确答案：D 13、【单项选择】正确答案：C 14、【单项选择】正确答案：D 15、【单项选择】正确答案：D 16、【单项选择】正确答案：B 17、【单项选择】正确答案：A 18、【单项选择】等于( )正确答案：D 19、【单项选择】正确答案：A 1、【案例分析】正确答案：2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】正确答案：4、【案例分析】正确答案：5、【案例分析】正确答案：6、【案例分析】正确答案：7、【案例分析】(1)求曲线Y=ex及直线x=1，x=O,y=0所围成的平面图形(如图3—3所示)的面积A．(2)求(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx(1分)正确答案：8、【案例分析】【评析】定积分的分部积分运算u，u'的选取原则，与不定积分相同．只需注意不要忘记积分限．如果被积函数中含有根式，需先换元，再利用分部积分．正确答案：。

2019河南专升本高数真题及答案解析基本信息：[矩阵文本题] *1. lim x→0sin3xx= [单选题]A.-1B.1C.2D.3(正确答案)2. 当x→0时，In (1+x) 与x 比较是（） [单选题]A.高阶的无穷小B.等价的无穷小(正确答案)C.非等价的同阶无穷小D.低阶的无穷小3. 设函数f(x)=2x−1的断点为x=（） [单选题]A.1(正确答案)B.0C.-1D.24. 设函数y=cosx+1,则 dy=( ) [单选题]A.(sinx+1)dxB.(cosx+1)dxC.-sinxdx(正确答案)D.sin xdx5. 设函数f(x)在区间[a,b]l 连续，在（a,b)可导，f'(x)>0,若f(a).f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内（） [单选题]A.不存在零点B.存在唯一零点(正确答案)C.存在极大值点D.存在极小值点6. 曲线 y=x3的拐点坐标是（） [单选题]A.(-1,-1)B.(0,0)(正确答案)C.(1,1)D.(2,8)7. 函数f(x)=ln(x2 +2x+2)的单调递减区间是（） [单选题]A.（-∞，-1）(正确答案)B. （-1，0）C.（0，1）D.（1，+∞）8. 设函数 y=ln sinx ,则 dy=_______________. [单选题]A.2 cos 2x dx(正确答案)B.cos 2x dxC.--2cos2xdxD.-cos 2x dx9. 设函数y=2+sinx ,则y'= ( ) [单选题]A. cosx(正确答案)B.-cosxC.2+cosxD.2-cosx10. d(sin2x)=( ) [单选题]A.2 cos 2xdx(正确答案)B.cos 2x dxC.-2cos2xdxD.-cos 2x dx11. ∫-11x2 sinxdx=( ) [单选题]A.-1B.0(正确答案)C.1D.212. ∫01 (5x4 +2)dx [单选题]A.1B.3(正确答案)C.5D.713. 设函数f(x)=∫0x costdt ,则F'(x)= [单选题]A.cosx(正确答案)B.sinxC.costD.sint14. 设A,B是两随机事件，则事件A ----表示（） [单选题]A.事件A,B都是随机发生B.事件B发生而事件A不发生C.事件A发生而事件B不发生(正确答案)D.事件A，B,都不发生15. 甲乙两人同时向一个目标射击，甲击中的概率是0.9，乙击中的概率是0.8，求两个人都击中目标的概率（ ) [单选题]A.0.8B.0.9C.0.72(正确答案)D.0.1816. 设函数z=x2 +y,则dz= ( )[单选题]A.x(正确答案)B.2x+y+z=1C.x+2y+z=1D.x+y+2z=117. 当x →0时，sin3x 是2x 的（） [单选题]A.低级无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量(正确答案)D.高阶无穷小量18. 设函数f(x)=ln (3x),则f'(2)=( ) [单选题]A.6B.ln6C.1/2(正确答案)D.1/619. 已知函数f(x)的导函数f'(x)=3x2 -x-1,则曲线y=f(x)在x=2 处切线的斜率是（） [单选题]A.3B.5C.9(正确答案)D.1120. 函数f(x)在[0，2]上连续，且在（0，2）内f'(x)>0则下列不等式成立的是（） [单选题]A.f(0)>f(1)>f(2)B.f(0)<f(1)<f(2)(正确答案)C.f(0)<f(2)<f(1)D.f(0)>f(2)>f(1)。

2019年高等数学专升本真题（回忆版）一、选择题1.下列是同一函数的是（）A 、2ln ,ln 2x y x y ==B 、xx y y 2log ,2==C 、11,12--=+=x x y x y D 、||,2x y x y ==2.当0→x 时12-x e 是inx 3s 的（）A 、低阶无穷小B 、同阶无穷校C 、等价无穷小D 、高阶无穷小3.设xx x x f 22log 16)(+-++-=，则)(x f 的定义域为（）.A 、[2,3）B 、（2，3）C 、[-2,2)u(2,3]D 、(0,2)u(2,3)4.0=x 为函数xx x f 1sin )(2=（）.A.可去 B.跳跃C.连续点D.无穷5.设a x x z ln 2+=，则=dxdz （）.A.a x ln 2+B 、ax x +2 C.ax a x ++ln 2 D.x26.求曲线1234+-=x x y 在R 上拐点个数为（）.A.0 B.1 C.2D.37.函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,0,10,1)(2x e x x x x f x则函数f(x)在x=0处是（）.A 、极限存在B 、右极限存在C 、左极限存在D 、连续8.下列式子成立的是（）.A 、)2(ax ad adx +=B 、22221dx e dx xe x x =C 、xd dx x =D 、xdxdx 1ln =8.函数f(x)在定义域[0,1]上连续，其中0)('',0)('><x f x f ，则下列说法正确的是（）.A 、单调减函数且凹B 、单调减函数且凸C 、单调增函数且凹D 、单调增函数且凸10.已知函数1232)(323+++=x x x x f ，求=∞→)(lim x f x （）.A 、2B 、-2C 、1D 、-1二、填空题11.设=++=+)(,2)1(2x f e x x f x则.12.已知1,sin ,2-====x w w v v u e y u ，则=y .13.==',)(cos y x y x .14.=+⎰dx x11.15.=-+∞→1lim n n n n .16.==)(2,n x y e y 则.17.)3ln(x x y -+=在区间连续.18.已知参数方程⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ，在4π=t 的切线方程.19.=-→xe x x sin 31lim 20.(等价无穷小)三、计算题20.⎰4sin πxdx⎰4cos πxdx .21.=⎰dx xe x 22.22.=--+-→111(lim 0xe x x x .23.由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数，求y 的二阶导数''y .24.30sin tan lim x x x x -→.四、应用题25.求抛物线342-+-=x x y 与其点)3,0(-和)0,3(处切线所围成的图形的面积.五、证明题26.证明：当0>x 时，x x +>+1211成立.。

2019年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数)1ln()(2x x x f -+=在定义域内是()A ．不确定奇偶性B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇函数【答案】D【解析】因为函数()x f 定义域为R ，且()()x f x x xx x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-222221ln 11ln 1ln ，所以()x f 为奇函数．2．函数)(x f 的定义域为],1[e ，则)(x e f 的定义域是()A ．](1,0B ．[]1,0C ．()1,0D ．)[1,0【答案】B【解析】由题可知()x e f 中有e e x ≤≤1，解得10≤≤x ，所以()x e f 的定义域为[]1,0．3．曲线16213123+++=x x x y 在)1,0(处的切线与x 轴的交点坐标为()A ．)0,61(-B ．()1,0C ．)0,61(D ．)(0,1-【答案】A【解析】切线斜率()662=++'===x x x xy k ，则切线方程为(),061-=-x y 即16+=x y ，令0=y 得61-=x ，故切线与x 轴的交点坐标为)0,61(-．4．当0→x 时，1132-+ax 与221x -等价，则=a ()A ．23-B ．32-C ．21-D ．32【答案】A【解析】因为当0→x 时，23231~11ax ax -+，则1322131lim 2111lim 2202320=-=-=--+→→a x axx ax x x ，所以23-=a ．5．极限=+--+∞→453423lim 22n n n n n ()A ．1B ．43C ．52-D ．34-【答案】D【解析】34453423lim 453423lim 2222-=+--+=+--+∞→∞→nn n n n n n n n n ．6．极限=→xxx 54sin lim0()A ．45B ．51C ．54D ．1【答案】C 【解析】5454lim 54sin lim00==→→x x x x x x ．7．当0→x 时，122-x e 是2x 的()无穷小A ．高阶B ．低阶C ．等价D ．同阶非等【答案】D【解析】当0→x 时，222~12x e x-，则122lim 1lim 2202202≠==-→→x x xe x x x ，故当0→x 时，122-x e 是2x 的同阶非等价无穷小．8．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=1,121,ln )(x ax x x a x f 在1=x 处连续，则=a ()A ．1B ．1-C ．0D ．3【答案】A【解析】因为函数()x f 在1=x 处连续，且()()()()()1212lim lim ,1ln lim lim 1111-=-===+=--++→→→→a ax x f f a x a x f x x x x ，所以a a =-12，故1=a ．9．设⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=1,2cos 1,1)(x x x x x f π，则1=x 是其()A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】A【解析】因为函数()x f 在1=x 处有定义，且()()()()02coslim lim 101lim lim 1111=====-=--++→→→→x x f f x x f x x x x π，所以1=x 是函数的连续点．10．函数)(x f 在a x =处可导，则=--+→xx a f x a f x )()(lim0()A ．()a f '2B ．0C ．()a f 'D ．()a f '21【答案】A 【解析】()()()()()()()()()()().2lim lim )()(limlim0000a f a f a f x a f x a f x a f x a f xa f x a f a f x a f x x a f x a f x x x x '='+'=---+-+=+---+=--+→→→→11．已知xxx f 21)(+=，则=-)1(1f ()A ．1-B ．1C ．31-D ．31【答案】A【解析】由()x x x f 21+=，可得到其反函数xx x f 21)(1-=-，故()121111-=-=-f ，故应选A ．12．已知x xe y =，则=dy ()A ．dxxe x B ．dxe x C ．()dxe x x+1D ．()dxx e x+【答案】C【解析】()x x x e x xe e y +=+='1，故()dx e x dy x +=1．13．xx y +=12的垂直渐近线为()A ．1=xB ．1-=x C ．1=y D ．1-=y 【答案】B【解析】由题意可知，令01=+x ，可得1-=x 为其无定义点，故由定义可知∞=+-→xx x 1lim 21，所以垂直渐近线是1-=x ，故选B ．14．方程)(0sin 23+∞<<-∞=-x x x 的实根个数为()A ．0B ．1C ．2D ．无数个【答案】B【解析】设()x x x f sin 23-=，则()x x f cos 23-='，由于,1cos 1≤≤-x 5cos 231≤-≤x ，故()0>'x f ，()x f 在()+∞∞-,内单调递增，又因为()00=f ，所以函数()x f 只有一个零点，即方程0sin 23=-x x 只有一个实根．15．12213123++-=x x x y 的拐点为()A ．0=xB ．)1,1(C ．)0,0(D ．)1,0(【答案】D【解析】函数123++=x x y 的定义域为R ，x y x y 12,162=''+='，令0=''y 得0=x ，且0>x 时，0>''y ；0<x 时0<''y ，所以函数的拐点为()1,0．16．可导函数()x f 和()x g 满足)()(x f x g '='，则下列选项正确的是()A ．()()g x f x =B ．(())(())g x dx f x dx ''=⎰⎰C ．()()g x f x C =-D ．()()g x dx f x dx=⎰⎰【答案】C【解析】由()()x f x g '='两边同取积分得()()C x f x g -=，再积分得()()()()()Cx dx x f Cdx dx x f dx C x f dx x g -=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰，两边求导得()()()()()()C dx x f Cx dx x f dx x g -'='-='⎰⎰，故选C ．17．计算不定积分=-⎰dx x211()A ．1ln 122x C-+B ．1ln(12)2x C-+C ．1ln 122x C--+D ．1ln(12)2x C--+【答案】C 【解析】()C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰21ln 212121121211．18．cos bad tdt dx =⎰()A ．a b cos cos -B ．0C ．a b sin sin -D ．ba sin sin -【答案】B【解析】定积分的结果是一个确定的常数，常数求导是0，故选B ．19．当k 为何值时，dx e kx ⎰∞--0收敛()A ．0>kB ．0≥k C ．0<k D ．0≤k 【答案】C【解析】因为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>∞<-=-=∞==∞--∞-∞--⎰⎰,0,,0,11,0,1000k k k e k k dx dx e kx kx发散收敛发散所以当0≥k 时，dx ekx⎰∞--0发散；当0<k 时dx e kx ⎰∞--0收敛，故选C ．20．若)(x f 在)5,1(上可积，⎰-=111)(dx x f ，⎰-=512)(dx x f ，则⎰=15)(3dx x f ()A ．2-B ．2C ．3-D ．3【答案】C【解析】由定积分的性质，可知()()()⎰⎰⎰--+=115151dx x f dx x f dx x f ，故1)(51⎰=dx x f ，即313)(3)(35115-=⋅-=-=⎰⎰dx x f dx x f ．21．平面0172=++-z y x 和平面055=+--z y x 的位置关系为()A ．重合B ．垂直C ．平行D ．相交但不垂直【答案】B【解析】平面0172=++-z y x 的法向量()7,2,11-=n，055=+--z y x 的法向量()1,1,52--=n ，因为021=⋅n n，所以两平面垂直．22．若)2,2,(),4,,6(--=-=y b x a ，已知b a //，则y x ,的值分别是()A ．3,4-B ．4,3--C ．4,3-D ．3,4-【答案】D【解析】因为→→b a //，所以22426=--=-=x y ，故3,4=-=y x ．23．已知)ln(y x x z +=，则=∂∂∂yx z2()A ．()2y x x +B ．()2y x y +C ．()22y x y x ++D ．()22y x y x ++【答案】B【解析】()()()2221,ln y x y y x x y x y x z y x x y x x z +=+-+=∂∂∂+++=∂∂．24．一元函数在某点处极限存在是在该点可导的()条件A ．必要B ．充分C ．充要D ．无关【答案】A【解析】一元函数在某点处极限存在但在该点不一定可导；反之一元函数在某点处可导则在该点一定连续，进而在该点极限一定存在．25．级数nn n x n ∑∞=+122的收敛区间为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛-41,41B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21C ．()1,1-D ．()2,2-【答案】B【解析】因为()()()2322lim 2322lim lim 11=++=⋅++⋅==∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n ρ，所以级数n n n x n ∑∞=+122的收敛半径211==ρR ，故收敛区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21．26．已知L 为0=+y x 上从点)2,2(-到点)2,2(-上的一段弧，则=⎰Lydx cos ()A ．2sin 2-B ．2sin 2C ．2cos 2-D ．2cos 【答案】A【解析】22:,:-→-=x x y L ，则原式()2sin 2sin cos cos 2222-==-==--⎰⎰xdx x ydx L．27．已知∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则()A ．∑∞=0n n u 收敛B ．0lim =∞→n n uC ．∑∞=0n n u 敛散性不确定D ．∑∞=0n n u 发散【答案】C【解析】收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如，级数()()() +-++-+-111111收敛于零，但级数() +-+-1111却是发散的．28．x Ce y =是0=-''y y 的()A ．解B ．通解C ．特解D ．所有解【答案】A【解析】微分方程0y y ''-=的特征方程为012=-r ，特征根为1,121-==r r ，则微分方程的通解为12x x y C e C e -=+．又因为x y Ce =，x Ce y ='，x Ce y =''，所以把y y '',代入方程可知，x Ce y =满足微分方程0=-''y y ，即x Ce y =是微分方程的解，但x Ce y =只有一个任意常数，则x Ce y =不是通解，不是特解，也不是所有解，故选A ．29．若122++-=x x e y x ，则=)520(y ()A ．520xe B ．2e xC ．5202xe D ．0【答案】B【解析】221x y e x '=-+，22x y e ''=-，2x y e '''=， ，(520)2x y e =，故选B ．30．122=-y x 表示的二次曲面是()A ．椭圆柱面B ．抛物面C ．双曲柱面D ．单叶双曲面【答案】C【解析】由方程特点可知，221x y -=表示双曲柱面．二、填空题(每小题2分，共20分)31．极限3lim 13xx x →∞⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________．【答案】3e 【解析】33333lim3333lim 1lim 133x x xx xxxx x ee x x →∞+⋅⋅++→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．32．微分方程1090y y y '''-+=的通解是________．【答案】912x x y C e C e =+，12,C C 为任意常数【解析】特征方程为21090r r -+=，特征根11r =，29r =，故通解为912x x y C e C e =+，其中12,C C 为任意常数．33．设(1)23f x x +=+，则(()3)f f x -=________．【答案】43x -【解析】(1)232(1)1f x x x +=+=++，()21f x x =+，故(()3)(22)43f f x f x x -=-=-．34．若⎰-=xdt t x f 0)1()(，则()f x 的单调增区间是________．【答案】(1,)+∞【解析】1])1([)(0-='-='⎰x dt t x f x，令()0f x '>，解得1x >，故()f x 的单调增区间是(1,)+∞．35．不定积分=________．C【解析】12221(1)(1)2x d x C -=++=⎰．36．62(sin )x x x dx ππ-⋅+=⎰________．【答案】323π【解析】因为x x sin 6⋅在区间],[ππ-上为奇函数，2x 在区间],[ππ-上为偶函数，所以由偶倍奇零，可得3622312(sin )2233x x x dx x dx x πππππ-⋅+==⋅=⎰⎰．37．交换积分次序21(,)x dx f x y dy =⎰⎰________．【答案】110(,)dy f x y dx⎰【解析】积分区域{}{}1,10),(0,10),(2≤≤≤≤=≤≤≤≤x y y y x x y x y x ，则交换积分次序21(,)x dx f x y dy =⎰⎰110(,)dy f x y dx ⎰．38．22z x y =+的全微分dz =________．【答案】22xdx ydy +【解析】22z zdz dx dy xdx ydy x y∂∂=+=+∂∂．39．将1()2f x x =-展开成2x +的幂级数为________．【答案】101(2)4n n n x ∞+=+∑，(6,2)x ∈-【解析】,)2(41)42(41421141)2(4121010∑∑∞=+∞=+=+=+-⋅=+-=-n n nnn x x x x x ，其中1421<+<-x ，即(6,2)x ∈-．40．参数方程331cos 21sin 2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的导数dy dx =________．【答案】tan t-【解析】t t t tt dt dx dt dy dx dy tan )sin (cos 23cos sin 2322-=-⋅⋅==．三、计算题(每小题5分，共50分)41．求不定积分cos x xdx ⎰．【答案】sin cos x x x C++【解析】cos sin sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．42．求极限21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】12【解析】令t x=1，则22200001111ln(1)ln(1)111lim ln 1lim lim lim lim 22(1)2x t t t t t t t t x x x t t t t t →∞→→→→-⎡⎤+-+⎛⎫⎡⎤+-+=-==== ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦．43．设方程y x xyz xy 42-=+所确定的隐函数),(y x z z =，其中0≠xy ，求zx∂∂，z y ∂∂．【答案】2z y yz x xy ∂+-=-∂，4z x xz y xy∂++=-∂【解析】令(,,)24F x y z xy xyz x y =+-+，则2x F y yz =+-，4y F x xz =++，z F xy =，由于0≠xy ，故2x z F z y yz x F xy ∂+-=-=-∂，4y z F z x xz y F xy∂++=-=-∂．44．已知2,0()0x x f x x ≤⎧⎪=>，求31(2)f x dx --⎰．【答案】325-【解析】令2x t -=，则2+=t x ，dx dt =，当1x =-时，3t =-，当3x =时，1t =，故原式325322)()()(10230320313113-=+=+=+==----⎰⎰⎰⎰⎰t t dtt tdt dt t f dt t f dt t f ．45．求过点(9,8,5)且与直线3210210x y y z ++=⎧⎨+-=⎩平行的直线方程．【答案】985236x y z ---==-【解析】设所求直线的方向向量为s ，由题意知320236(2,3,6)021==-+=-i j ks i j k ，又由于直线过点(9,8,5)，故所求直线的方程为985236x y z ---==-．46．计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是由1y =，y x =，2x =所围成的闭区域．【答案】56【解析】由题意可知，积分区域{}x y x y x D ≤≤≤≤=1,21),(，故2223221111115()326x Dxdxdy dx xdy x x dx x x ⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．47．求幂级数15(1)nn n x n ∞=+∑的收敛区间（不考虑端点）．【答案】(5,5)-【解析】因为115(1)1limlim 5(2)5n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞+===+，所以收敛半径15R ρ==，故收敛区间(5,5)-．48．求方程cos (0)xy y x x '+=>的通解．【答案】1(sin )y x C x=+，C 为任意常数【解析】方程可化简为1cos x y y x x'+=，由公式可得故()11cos 11cos (sin )dxx x x y e e dx C xdx C x C x xx-⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，C 为任意常数．49．求321312323y x x x =-+-的极值．【答案】在1x =时，取得极大值12，在2x =时取得极小值13【解析】函数的定义域为R ，232(1)(2)y x x x x '=-+=--，令0y '=，得11x =，22x =．列表，定义域被分为3个区间x (,1)-∞1(1,2)2(2,)+∞y '+0-0+y极大值极小值综上，函数在1x =时，取得极大值12，在2x =时取得极小值13．50．求椭球面222239x y z ++=在点(2,1,1)处的切平面方程．【答案】22390x y z ++-=【解析】令222(,,)239F x y z x y z =++-，则2x F x =，4y F y =，6z F z =，所以切平面的法向量(4,4,6)2(2,2,3)==n ，又由于切平面过点(2,1,1)，故切平面的方程为2(2)2(1)3(1)0x y z -+-+-=，即22390x y z ++-=．四、应用题(每小题7分，共14分)51．曲线2y x =，2x =，0y =所围图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【答案】325π【解析】联立方程22y x x ⎧=⎨=⎩，解得交点(2,4)，由题意可知，222520032()55x V x dx x πππ===⎰．52．已知血液浓度C 关于时间t 的函数为32004.004.003.0)(t t t t C -+=，求时间t 为多0.0885≈）【答案】02.7【解析】由题意可知，20012.008.003.0)(t t t C -+=')0(>t ，令0012.008.003.0)(2=-+='t t t C ，得35.01≈t (舍)，02.72≈t ．故02.7≈t 为唯一的驻点．又由于002.7012.008.0)02.7(<⨯-=''C ，故在02.7≈t 处，取得极大值，由实际意义可知，在02.7≈t 处，可取得最大值，即在02.7≈t 处，血液浓度最大．五、证明题(6分)53．函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，()f b b =且()0f x ≠，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=⋅．【解析】令()()xF x f x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且2)]([)()()(x f x f x x f x F '-='，又因为()1()a F a f a ==，()1()bF b f b ==，由罗尔定理知，至少存在一个点(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，又0)(≠ξf ，所以0)()(='-ξξξf f ，即()()f f ξξξ'=⋅．。

2019年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数f(x)=x sin xA．当x→∞时为无穷大B．在(一∞，+∞)内为周期函数C．在(一∞，+∞)内无界D．当x→∞时有有限极限正确答案：C解析：采用排除法。

当x→∞时，xsinx极限不存在，且不为无穷大，故排除选项A与选项D；显然xsinx非周期函数，故排除选项B；从而选项C正确。

2．己知∫f(x)dx=x sin x2+C，则∫xf(x2)dx=A．x cos x2+CB．xsin x2+CC．x2sin x4+CD．x2cos x4+C正确答案：C解析：由∫f(x)dx=x sin x2+C，两边关于x求导得f(x)=sin x2+2x2+cos x2，进一步可知∫xf(x)2dx的导数为xf(x)2=x(sinx4+2x4 cosx2)，只需要将四个选项中的函数分别求导即可确定选项C正确。

3．下列各平面中，与平面x+2y一3z=6垂直的是A．2x+4y一6z=1B．2x+4y一6z=12C．=1D．一x+2y+z=1正确答案：D解析：由平面方程x+2y一3z=6可知该平面的法向量为(1，2，一3)。

由两平面垂直的条件是它们的法向量互相垂直，从而对应法向量内积为零。

不难验证四个选项中只有选项D所表示平面的法向量(一1，2，1)与(1，2，一3)内积为零，故选项D正确。

4．有些列关于数项级数的命题(1)若≠0，则必发散；(2)若un≥0，un≥un+1(n=1，2，3，…)且必收敛；(3)若收敛，则必收敛；(4)若收敛于s，则任意改变该级数项的位置所得到的新的级数仍收敛于s．其中正确的命题个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：由级数收敛的必要条件，即若级数un收敛，则=0，逆否命题为若≠0，则级数必发散。

2019年成人高等考试《数学二》（专升本）试题（网友回忆版）[单选题]1.=()。

A.-e2B.-eC.eD.e2参考答案：D参考解析：[单选题]2.设函数y=arcsinx，则y’=()。

A.B.C.D.参考答案：B参考解析：[单选题]3.设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f'（x）>0，f （a）f（b）<0则f（x）在（a，b）内零点的个数为()。

A.3B.2C.1D.0参考答案：C参考解析：本题考查零点存在定理，f（x）在（a，b）上必有零点，又因为函数单调，必然只存在一个零点。

[单选题]4.设函数y=x3+ex，则y（4）=()。

A.0B.exC.2+exD.6+ex参考答案：B参考解析：[单选题]5.=()。

A.arctanxB.arccotxC.D.0参考答案：C参考解析：[单选题]6.=()。

A.B.C.D.参考答案：A参考解析：[单选题]7.=()。

A.-10B.-8C.8D.10参考答案：D参考解析：[单选题]8.设函数z=（x-y）10，则=()。

A.（x-y）10B.-（x-y）10C.10（x-y）9D.-10（x-y）9参考答案：C参考解析：[单选题]9.设函数z=2（x-y）-x2-y2，则其极值点为()。

A.（0，0）B.（-1，1）C.（1，1）D.（1，-1）参考答案：D参考解析：，可得驻点为（1，-1），而=-2，，故Δ=0-（-2）·（-2）=-4<0，因此（1，-1）是函数的极值点。

[单选题]10.设离散型随机变量X的概率分布为则a=()。

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4参考答案：A参考解析：由概率分布的性质可知2a+a+3a+4a=10a=1，得a=0.1。

[问答题]1.计算参考答案：无参考解析：[问答题]2.设函数参考答案：无参考解析：[问答题]3.计算参考答案：无参考解析：[问答题]4.计算参考答案：无参考解析：[问答题]5.个袋中有10个乒乓球，其中7个橙色，3个白色，从中任取2个，设事件A为“所取的2个乒乓球颜色不同”，求事件A发生的概率P（A）。

2019年专升本<<高等数学>>真题一、选择题：本题共有5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1、设a x n n =∞→lim ，则下列说法不正确的是（）A.对于正数2，一定存在正整数N ，使得当N n >时，都有2<-a X n B.对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，不等式ε<-a x n 成立C.对于任意给定的a 的邻域()εε+-a a ,,总存在正整数N ，使得当N n >时，所有的点n x 都落在()εε+-a a ,内，而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外D.可以存在某个小的正数0ε，使得有无穷多个点n x 落在这个区间()00,εε+-a a 外2、设)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，则)(x f 在点0x 处可导的一个充分条件是（）A.()()hx f h x f h 0002lim-+→存在B.()()h h x f x f h ---→000lim 存在C.()()h h x f h x f h --+→000lim存在D.()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++∞→001lim x f h x f h h 存在3、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n πππsin 12sin 1sin 11lim等于（）A.⎰1sin dx x π B.⎰+1sin 1dxx πC.⎰+π0sin 1dxx D.⎰+1sin 1dxx π4、下列级数或广义积分发散的是（）A.()∑∞=-+-111001n n n B.∑∞=12cosn n C.dxx⎰-21241 D.()dxx ⎰+∞+322115、微分方程04'4"=+-y y y 的通解为（）A.()x e c x c x y 221-+=B.()()x e x c c x y 221-+=C.()()x e x c c x y 221+=D.()()xxe x c c x y 221-+=二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.极限=+∞→nn n1sin 1(lim 7.设一雪堆的高度h 与时间t 的关系为2100)(t t h -=，则雪堆的高度在时刻5=t 时的变化率等于.8.当a =时，极限)()1ln(cos 1lim30x x e a x x-+-→存在且不等于0.9.设⎩⎨⎧==t y t x cos sin ，则=22dx yd .10.设20()sin xg x t dt =⎰，且当0x →时，()g x 与n x 是同阶无穷小，则n =.11.定积分=⎰.12.设函数()y y x =由方程0x yexy +-=确定，则dydx=.13.曲线32()3y x x x =+的拐点是.14.由曲线轴及x x x x y 2,1,===所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于.15.设23xy =，则()n y =.三、计算题：本大题共8小题，其中16—19小题每小题7分，20—23小题每小题8分，共60分.16.极限20ln(1)lim x x xx→+-.17.设()ln(2cos )xy x x x π=++，求函数()y x 在1x =处的微分.18.求不定积分⎰.19.设cos ,0,2(),[,]2x x f x x x πππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎪∈⎪⎩，求0()()x p x f t dt =⎰在[0,]π上的表达式.20.一物体由静止开始以速度()v t =/秒）作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离.21.问是否存在常数a 使得函数2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导？若存在，求出常数a ，若不存在，请说明原因.22.求过点(1,0,2)A 且与两平面12:10,:0x y z x z ππ-++=-=都平行的直线的方程.23.求幂级数111n n n ∞-=∑的收敛区间及和函数，并计算级数11112n n n -∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.设()y f x =是第一象限内连接点(0,4),(2,0)M N 的一段连续曲线，(,)P x y 为该曲线上任意一点，点B 为P 在x 轴上的投影，O 为坐标原点.若梯形OBPM 的面积与曲边三角形BPN 的面积之和等于另一曲线4243=+x xy 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛+324,4x x x 处的切线斜率，求该曲线的方程(注:曲边三角形BPN 是指由直线段BP ，x 轴以及曲线段PN 所围成的封闭图形).25.假设某公司生产某产品x 千件的总成本是32()2123021c x x x x =-++(万元)，售出该产品x 千件的收入是()60r x x =(万元)，为了使公司取得最大利润，问公司应生产多少千件产品？（注：利润等于收入减总成本）26.设()f x 在[1,1]-上具有二阶连续导数，且(0)0f =.（1）写出()f x 的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式；（2）设,M m 分别为()f x ''在[1,1]-上的最大值与最小值，证明：11()33m Mf x dx -≤≤⎰；（3）证明：在[1,1]-上至少存在一点η使得11()3()f f x dx η-''=⎰.。