有关角平分线的证明

三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。

三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。

本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。

一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。

2. AB/BC = BD/DC。

角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。

根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。

性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。

这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。

二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。

首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。

根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。

三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。

以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。

根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。

证明角平分线的三种途径从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.几何学习中，关于角平分线的证明问题屡见不鲜.解答它们，既可以根据定义，又可以利用角平分线的判定定理，还可以借助等腰三角形的性质.一、考虑要证明的角平分线把角分成两个相等的角，根据定义证明例1. 如图，E 、F分别为△ABC的边AB及边CA的延长线上的点，且AE＝AF，AD∥EF.求证：AD平分∠BAC.B CD简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠1＝∠2.证明：在△AEF中，因为AE＝AF,所以∠AEF＝∠F.因为AD∥EF，所以∠1＝∠AEF，∠2＝∠F.所以∠1＝∠2.所以AD平分∠BAC.二、考虑要证明的角平分线上某一点到角的两边距离相等，利用角平分线的判定定理证明例2.如图，在△ABC中，外角∠BCE和外角∠CBD的平分线CF、BF相交于点F.求证：AF平分∠BAC.DA C简析：要证明AF平分∠BAC，只要证明点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等.证明：过F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥AC于点P.因为BF平分∠CBD，所以FM＝FN.因为CF平分∠BCE，所以FP＝FN.所以FM＝FP.所以点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等.所以点F在∠BAC的平分线上.所以AF平分∠BAC.三、考虑要证明的角平分线为等腰三角形底边上的中线或高，借助等腰三角形的性质证明例3. 如图，点D是△ABC的BC边的中点，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.BCD简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明AD是等腰△ABC底边BC上的中线.证明：在△ABD和△ACD中，因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,所以∠1＝90°，∠2＝90°.所以△BDE和△CDF都是直角三角形.因为BE＝CF，BD＝CD,所以△BDE≌△CDF（HL）.所以∠B＝∠C, △ABC是等腰三角形.所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线.所以AD平分∠BAC.。

三角形内角平分线定理的多种证明方法已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB/AC=MB /MC证明：方法一：（面积法）三角形ABM 面积S=（1/2）*AB*AM*sin / BAM,三角形ACM 面积S=（1/2）*AC*AM*sin / CAM,所以三角形ABM面积S:三角形ACM面积S=AB:AC又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，即三角形ABM面积S:三角形ACM面积S=BM:CM所以AB/AC=MB / MC方法二（相似形）过C作CN平行于AB交AM的延长线于N三角形ABM相似三角形NCM,AB/NC=BM/CM,又可证明/ CAN= / ANC所以AC=CN，所以AB/ AC=MB / MC方法三（相似形）过M作MN平行于AB交AC于N三角形ABC相似三角形NMC,AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明/ CAM= / AMN所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC 所以AB/ AC=MB / MC方法四（正弦定理）A 作三角形的外接圆，AM交圆于D,由正弦定理，得，AB/sin / BMA=BM/sin / BAM,AC/sin / CMA=CM/sin / CAM又/ BAM= / CAM, / BMA+ / AMC=180 sin / BAM=sin / CAM,sin /BMA=sin / AMC, 所以AB/AC=MB / MC阅读下面材料，按要求完成后面作业。

三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

般只要证 BD DC 与 AB AC 或BD AB 与DC AC 所在的三角形相似，现在 B DC 在一条直线，△ ABD 与厶ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

BD AB在比例式 DC =AC 中，AC 恰好是BD DC AB 的第四比例项，所以考虑过 C 作CE// AD 交BA 的延长线于E ,从而得到BD DC AB 的(1) 完成证明过程:证明：(2) 上述证明过程中，用到了哪些定理(写对两个即可)答：用了：① ______________ ；② _______________ 。

学生做题前请先回答以下问题问题1：总结角平分线的相关定理：①______________________________________________；②_____________________________________________；③在下图中成立的比例_________________．问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，___________重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现_______________________；③___________（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+_____________，进而出现等腰结构．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：总结角平分线的相关定理：①；②；③在下图中成立的比例．答：问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现；③（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+ ，进而出现等腰结构．答：与角平分线有关的证明、计算一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )A.150°B.168°C.135°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )A.9B.10.5C.12D.15答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于点E，过E作EF∥AC交AB于F，连接CF，则下列判断正确的是( )A.BE=BFB.BE=EFC.BF=EFD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线4.如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，连接BE，若CD=2，则BE的长为( )A. B.C.6D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形5.（用两种方法进行求解）如图，在△ABC中，若∠C=90°，，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线6.（用三种方法进行求解）如图，在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，AF平分∠BAC交BC于点F，BD⊥AF，交AF的延长线于点D，则AD的长为____________．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A.8B.6C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处．若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是__________．( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，CE交OB于点E，过点B作BF⊥CE于点F，交AC于点G，则的值为( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且CE⊥AB，BE=2AE．若四边形AECD的面积为7，则梯形ABCD的面积为____．答案：15解题思路：试题难度：知识点：三线合一。