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（3） 5 、10 、（15 ）、（ 20 ）、25 、30 ；（4） 28 、（ 24 ）、20 、16 、12 、8 ；（5） 88 、79 、70 、（ 61 ）、52 、（ 43 ）；（6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ 28 ）、30 、60 。
第二讲 等差数列（一）知识要点：数列按照一定次序排列的一列数叫数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2 项、第3 项、……、第n 项、……。
数列的一般形式可以写成：a 1 、a 2 、a 3 、……、a n 、……；其中a n 是数列的第 n 项；这个数列可以简记作{a n }（ n 为正整数）。
等差数列如果一个数列{a n }，从第2 项起的每一项 a n 与它的前一项a n -1 的差等于同一个 常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示。
等差数列的几个计算公式：等差数列求和公式：和= （首项+ 末项） ⨯ 项数÷2字母公式： S = (a 1 + a n )⨯ n ÷ 2等差数列的通项公式：第n 项= 首项+ （项数-1） ⨯ 公差a n = a 1 + (n -1)⨯ d字母公式： 等差数列的项数公式：项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1字母公式： n = (a n - a 1 )÷ d +1一、基础应用：【例1】 在括号里填上合适的数。
）、 4 、5 、（ （1）1、2 、（ ）； ）、16 ；（2） 4 、6 、8 、10 、（ ）、（ （3） 5 、10 、（ （4） 28 、（）、25 、30 ；）、（ ）、20 、16 、12 、8 ；（5） 88 、79 、70 、（ ）、52 、（ ）；（6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ ）、30 、60 。
【解析】填法如下：（1）1、2 、（ 3 ）、4 、5 、（ 6 ）；（2） 4 、6 、8 、10 、（ 12 ）、（14 ）、16 ；4+2 6×2 12+2 14×2 28+2 30×2 60 。
等差数列初步(求公差与某一项、求项数)1.等差数列中，第9 项和第17 项相隔__________个公差．2.等差数列中，第6 项和第20 项相隔__________个公差．3.一个等差数列共有15 项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为30，那么末项是__________．4.一个等差数列，每一项都比它的前一项大2，第3 项为33，那么第10 项是__________．5.一个等差数列第4 项为25，第15 项为113，那么这个等差数列的公差是__________．6.一个等差数列第7 项为50，第12 项为75，那么这个等差数列的公差是__________．7.一个等差数列首项为5，末项为101，公差为8，那么首项和末项之间相隔了__________个公差．8.一个等差数列首项为20，末项为116，公差为6，那么首项和末项之间相隔了__________个公差．9.已知等差数列2，9，16，23，30，…，那么86 是这个等差数列的第__________项．10.已知等差数列3，9，15，21，27，…，那么93 是这个等差数列的第__________项．11.一个等差数列的首项为7，第8 项为91，127 是第__________项．12.一个等差数列的首项为12，第7 项为90，129 是第__________项．答案：1.（8） 2.（14） 3.（58）4.（47）5.（8） 6.（5）7.（12）8.（16）9.（13）10.（16）11.（11）12.（10）等差数列求和（配对求和、利用中间数求和）1.计算：13+17+21+25+29+33+37+41=__________．2.计算：32+34+36+38+40+42+44+46+48+50= __________．3.3+7+11+15+……，等差数列共12 项，那么这12 项的和是__________．4.4+7+10+13+……，等差数列共20 项，那么这20 项的和是__________．5.计算：5+7+9+……+53+55=__________．6.计算：13+19+25+……+67+73=_________．7.文雯为了增肥，计划每天吃包子，第一天她吃了5 个包子，以后每天都比前一天多吃 3 个包子，最后一天吃了32 个包子．那么文雯一共吃了________ 天包子，共吃8.一个等差数列共15 项，那么这个等差数列的中间数是第__________项．9.一个等差数列共9 项，那么这个等差数列的中间数是第__________项．10.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5 周吃了20 根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了_________根香蕉．11.旦旦很喜欢吃包子，她每天吃的包子数成等差数列，已知她第6 天吃了30 个包子，那么旦旦前11天一共吃了__________个包子．12.已知一个等差数列的下列条件：① 第1 项是7；② 第7 项是25；③ 第8 项是28；④ 第13 项是43；⑤ 公差是3；⑥ 共13 项．以下选项中不能求出这个等差数列和的是__________．• A. ①、④和⑥• B. ③、⑤和⑥• C. ②和⑥• D. ③和⑥答案：1.（216） 2.（410） 3.（300）4.（650）5.（780）6.（473）7.（10,185）8.（8）9.（5）10.（180）11.（330）12.（D）等差数列应用(求中间数、中间数的应用)1. 9 个连续自然数之和为126，其中第5 个数是__________．2. 7 个连续自然数之和为105，其中第4 个数是__________．3.9 个连续自然数之和为135，其中最小的数是__________．4.9 个连续自然数之和为153，其中最大的数是_________．5.把248 表示成8 个连续偶数的和，其中最大的偶数是__________．6.等差数列中，第5 项到第13 项共有______ 项，第5 项到第13 项的中间项是第_______ 项．7.等差数列中，第3 项到第9 项共有________ 项，第3 项到第9 项的中间项是第_________ 项．答案：1.（14） 2.（15） 3.（11）4.（21）5.（38）6.（9,9）7.（7, 6）割圆术数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。
第三讲 智巧趣题知识要点：智巧问题是有趣的一类问题，它有时可能并不需要你复杂的计算，而是通过我们的灵感、技巧和巧妙的构思来解决问题。
这就要求我们要细心，善于观察，综合考虑各种情况，并要充分利用学到的知识来解决问题。
一、基础应用：【例1】 下图中，两只母鸡正在盘算着，要使每行、每列、每斜行中的鸡蛋不超过2 个。
他们最多能在这蛋格子里下多少个蛋？蛋格子中已经下好了2 个蛋。
【解析】最多8 个。
如上右图为一种下法。
【例2】 有一根粗心不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2 个小时。
但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定它燃烧到绳子中点需要多长时间。
但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？【解析】同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完。
【例3】 妈妈拿来5 盒完全一样的小球，并对小雨说：“这5 盒小球看上去是一样的，每盒都是5 只，可是其中有一盒是次品，它里面的小球每只都轻一克，你能不能只用秤称一次，把次品的那一盒找出来。
小雨想了半天也找不到方法。
小朋友动动你的脑筋，帮帮小雨，好吗？【解析】 从5 盒小球中各取1只、2 只、3 只、4 只和5 只放在一起称，看他们的重量比标准重量轻多少克。
如果轻1克，那么拿出一只小球的那盒是次品，如果轻2 克，那么拿出2 只小球的那盒是次品，……，依次类推，就能找到答案了。
【例4】 一个卖酒的老板要招聘两名伙计，它给前来面试的人两个瓶子，一个是 5 升的瓶子，一个是 7 升的瓶子，还有一大缸酒，要求他们盛出 4 升的酒。
这下难倒了很多前来应聘的人。
小朋友你会吗？（注：瓶子不带刻度）【解析】可以。
将 7 升的瓶子装满，然后往 5 升的空瓶子里面装。
5 升的瓶子满了， 将其清空，把 7 升瓶子里面余下的酒再倒入 5 升的瓶子，再将 7 升的瓶子装满，依次原来 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 5 升 0 0 5 0 2 25再继续倒下去，你会发现，其实不仅仅是可以倒出 4 升的酒，1～7 升的酒都能盛的出来。
三年级数学思维专题训练—等差数列1、一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，依此下去，站以后，车上坐满乘客。
2、一个剧场设置了30排座位，第一排有28个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场一共有多少个座位？3、在6和26之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是。
4、九个连续偶数，最大的一个是998，这九个连续偶数的平均数是。
5、下面这列数中，最大的三位数是。
1，8，15，22，29，36…6、计算：2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998+1997+1996-…-7-6+5+4-3-2+1= 。
7、思思每年的母亲节都会给妈妈折纸鹤，祝福妈妈健康快乐。
从第二年开始，每年都会比前一年多折七只，八年一共折了212只，那么，思思第一年折了只。
8、王芳大学毕业找工作，她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。
甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。
以五年计算，王芳应聘公司工作收入更高。
9、小青蛙沿着台阶往上跳，每跳一次都比上一次升高4厘米。
它从离地面10厘米处开始跳，这一处称为小青蛙的第一次的落脚点，那么它的第100个落脚点正好在台阶尽头的亭子内，这亭子高出地面厘米。
10、某校师生共为地震灾区捐款46200元，经统计发现，他们各自所捐的钱数，共有10种不同档次。
最低档次共有10人，而每上升一个档次，捐款人数就减少1人；且从第二档次开始，以后各档次的每人捐款钱数，分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍，那么捐款最多的人捐款元。
11、有37个人排成一行依次报数，第一个人报1，以后每人报的数都是把前一人报的数加3。
报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011。
那么是第个报数的人报错了。
三年级下册数学教案：等差数列（二）教学目标：1. 让学生理解等差数列的概念，并能识别等差数列。
2. 使学生掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式求出数列中的任意一项。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点与难点：1. 等差数列的概念和通项公式的理解与应用。
2. 运用等差数列的知识解决实际问题。
教学方法：1. 讲授法：讲解等差数列的概念和通项公式。
2. 演示法：通过演示等差数列的例子，帮助学生理解等差数列的特点。
3. 练习法：通过练习题，让学生巩固等差数列的知识。
教学步骤：1. 导入新课：回顾上节课学习的等差数列的概念，引导学生思考等差数列的特点。
2. 讲解等差数列的通项公式：通过具体的例子，讲解等差数列的通项公式，并解释公式的含义。
3. 演示等差数列的例子：通过演示等差数列的例子，帮助学生理解等差数列的特点。
4. 练习题：布置一些练习题，让学生运用等差数列的通项公式解决问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强调等差数列的概念和通项公式的重要性。
6. 作业布置：布置一些与等差数列相关的作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：本节课通过讲解等差数列的概念和通项公式，帮助学生理解等差数列的特点。
通过演示等差数列的例子和练习题，让学生巩固等差数列的知识。
在教学过程中，要注重学生的参与，鼓励学生积极思考，提高他们的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，要及时关注学生的学习情况，对学生的学习困难进行指导和帮助。
在以上提供的教案中，需要重点关注的是“教学步骤”部分，因为这一部分详细描述了课堂教学的实施过程，包括导入新课、讲解通项公式、演示例子、练习题、总结和作业布置。
这些步骤的设计直接关系到学生能否有效地理解和掌握等差数列的知识。
以下将对这一重点细节进行详细的补充和说明。
1. 导入新课导入新课是激发学生兴趣和引导学生进入学习状态的重要环节。
在这一部分，教师可以通过提出问题或者展示与等差数列相关的现象来吸引学生的注意力。
乡镇（街道） 学校班级 姓名 学号 ………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不……………………. 准…………………答…. …………题…绝密★启用前小学三年级数学下学期提升训练试题 含答案题 号 填空题 选择题 判断题 计算题 综合题 应用题 总分 得 分考试须知：1、考试时间：90分钟，满分为100分（含卷面分2分）。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
3、不要在试卷上乱写乱画，卷面不整洁扣2分。
一、用心思考，正确填空（共10小题，每题2分，共20分）。
1、量出钉子的长度。
2、换算。
7000千克=（ ）吨 8千克=（ ）克 23吨=（ ）千克 5200千克－200千克=（ ）吨 3、看图写分数，并比较大小。
4、把一根绳子平均分成6份，每份是它的（ ），5份是它的（ ）。
5、你出生于（ ）年（ ）月（ ）日，那一年是（ ）年，全年有（ ）天。
6、时针在7和8之间，分针指向7，这时是（ ）时（ ）分。
7、小林晚上10：00睡觉，第二天早上7：00起床，他一共睡了（ ）小时。
8、分针走1小格，秒针正好走（ ），是（ ）秒。
分针走1大格是（ ），时针走1大格是（ ）。
9、常用的长度单位有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
10、小红家在学校（ ）方（ ）米处；小明家在学校（ ）方（ ）米处。
二、反复比较，慎重选择（共8小题，每题2分，共16分）。
1、把一根长60厘米的铁丝围城一个正方形，这个正方形的面积是（ ）。
A.225平方分米 B.225平方厘米 C.360平方厘米2、广州新电视塔是广州市目前最高的建筑，它比中信大厦高278米。
中信大厦高322米，那么广州新电视塔高（ ）米。
A 、590B 、600C 、44D 、500 3、明天（ ）会下雨，今天下午我（ ）游遍全世界。
A 、一定 ，可能B 、可能，不可能C 、不可能，不可能D 、可能，可能 4、按农历计算，有的年份（ ）有13个月。
最新苏教版小学三年级数学下册第三单元提升精练检测试卷（及答案）时间：90分钟满分：100分学校: __________姓名：__________班级：__________考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的班级、姓名等信息。
2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整。
卷首寄语：亲爱的小朋友，经过一个学期的学习，你一定有不少的收获吧！请仔细审题，看清要求，认真答卷，祝你考出好成绩，加油！一、选择题1．一捆青菜5千克，每千克4元，买4捆青菜需要多少钱？这是求（）的问题．A．单价B．数量C．总价D．质量2．根据图中的信息，求收集的厨余垃圾和可回收物一共有（）千克。
A．60 B．45 C．75 D．903．琪琪去书店买书，她花了所带钱的一半多1元，买了一本《智慧数学》后还剩15元，琪琪带了（）元。
A．28 B．32 C．174．每个小组有4人在做纸花，平均每人能做5朵，三三班共有12个小组。
以下问题不能根据题中条件解决的是（）。
A．三三班共有多少人？B．一共做了多少朵纸花？C．每个小组做了多少朵纸花？D．三年级做了多少朵纸花？5．要求“运来的鲜花一共可以卖多少钱”，需要的条件是（）。
①每束12支②一共运来56束③每束鲜花可以卖28元A．①②B．①③C．②③6．学校有502根跳绳，每根的长度在190～210厘米之间，这些跳绳连起来大约长（）千米。
A．1 B．10 C．1007．解决实际问题除了可以从问题出发解决问题之外还可以用（）方法分析数量关系．A．从问题出发B．标点C．画线段图8．刘鑫买一套衣服，裤子是90元，___________，这套衣服一共多少元？下面的各项中（）不能解决这个问题。
A．上衣180元B．上衣比裤子贵90元C．运动鞋220元D．上衣的价钱是裤子的2倍9．小明家到学校有500米，妈妈每天接送小明要走两个来回，妈妈一天共走（）千米。
A．1 B．2 C．2000二、填空题10．把1吨平均分成4份，每份是( )千克。
最新苏教版小学三年级数学下册第三单元提升精练检测试卷（有答案）时间：90分钟满分：100分学校: __________姓名：__________班级：__________考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的班级、姓名等信息。
2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整。
卷首寄语：亲爱的小朋友，经过一个学期的学习，你一定有不少的收获吧！请仔细审题，看清要求，认真答卷，祝你考出好成绩，加油！一、选择题1．科技馆上午共有500名学生分三批来参观，第一批有169名，第二批有213名，则第三批有（）名学生参观。
A．128 B．118 C．3182．小亮有30朵小红花,笑笑比小亮多16朵,两人共有( )朵小红花。
A．46 B．76 C．44 D．623．果园里有梨树68棵，苹果树的棵数是梨树的4倍，梨树和苹果树一共有（）。
A．204棵B．272棵C．340棵4．一只羊的质量是40千克，一头牛的质量是这只羊的5倍，这头牛重（）千克。
A．18千克B．200 C．3605．操场跑道一圈是250米，跑了3圈后，还差（）米是1000米。
A．150 B．250 C．5006．一个碗6元，高压锅138元，茶杯4元一个。
一个高压锅比8只碗多（）元。
A．48 B．90 C．186 7．学校图书室有4个书架，每个书架有3层，每个书架每层可以放25本书。
这些书架一共可以放（）本书。
A．75 B．100 C．300二、填空题8．一辆汽车载重量是8吨，12辆这样的汽车一次可以运走( )吨货物。
9．小白兔采了24朵蘑菇,小黑兔比小白兔多采了9朵,两只小兔一共采了( )朵蘑菇。
10．小白兔拔了14个萝卜，小灰兔拔的萝卜个数是小白兔的3倍，小白兔和小灰兔一共拔了( )个萝卜，小白兔比小灰兔少拔了( )个萝卜。
11．光明小学三年级有男生136人，女生比男生少15人，求三年级一共有多少名学生，应先求出( )的人数，再求三年级一共有( )人。
⋯⋯⋯⋯⋯.号⋯学答⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓准.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯不班⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯内⋯⋯⋯⋯校⋯学⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯）⋯.道⋯街⋯（⋯密⋯⋯⋯绝密★启用前2019 年三年级数学下学期提升训练试题含答案题号填空题选择题判断题计算题综合题应用题总分得分考试须知：1、考： 90 分，分100 分（含卷面分 2 分）。
2、首先按要求在卷的指定位置填写您的姓名、班、学号。
3、不要在卷上乱写乱画，卷面不整扣 2 分。
一、用心思考，正确填空（共10 小，每 2 分，共 20 分）。
1、体育老第一小同学行50米跑 , 成如下小9秒 , 小 11秒 , 小明 8秒 , 小 10秒。
() 跑得最快 ,() 跑得最慢。
2、在里填上适当的数。
3、常用的度位有（）、（）、（）、（）、（）。
4、小林晚上 10： 00睡，第二天早上7： 00起床，他一共睡了（）小。
5、46÷9=5⋯⋯ 1中，被除数是（），除数是（），商是（），余数是（）。
6、你出生于（）年（）月（）日，那一年是（）年，全年有（）天。
7、上做花，做了2花， 4花，花占花数的（），花占花数的（）。
8、算。
7000 千克 =（）吨8千克 =（）克23吨 =（）千克5200千克－ 200千克 =（）吨9、小家在学校（）方（）米；小明家在学校（）方（）米。
10、□÷ 8＝138⋯⋯○，余数最大填（），被除数是（）。
二、反复比，慎重（共8 小，每 2 分，共 16 分）。
1、最大的三位数是最大一位数的（）倍。
A、 111B、110C、1002、下列 3个形中，每个小正方形都一大，那么（）形的周最。
3、四形（）平行四形。
A. 一定B.可能C.不可能4、按算，有的年份（）有13个月。
A. 一定B.可能C.不可能5、下面象中属于平移象的是（）。
A、开关抽B、开瓶盖C、的6、爸爸 3小行了 210千米，他是（）。
A、乘公共汽B、自行C、步行7、平均每个同学体重25千克，（）名同学重1吨。
第三讲 等差数列（二）知识要点：数列按照一定次序排列的一列数叫数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2 项、第3 项、……、第n 项、……。
数列的一般形式可以写成： a 1 、a 2 、a 3 、……、a n 、……；其中a n 是数列的第 n 项；这个数列可以简记作{a n }（ n 为正整数）。
等差数列如果一个数列{a n }，从第2 项起的每一项 a n 与它的前一项a n -1 的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
等差数列的几个计算公式：等差数列求和公式：和= （首项+ 末项） ⨯ 项数÷2字母公式： S = (a 1 + a n )⨯ n ÷ 2等差数列的通项公式：第n 项= 首项+ （项数-1） ⨯ 公差a n = a 1 + (n -1)⨯ d字母公式： 等差数列的项数公式：项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1字母公式： n = (a n - a 1 )÷ d +1一、基础应用：【例1】 一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高5 厘米。
它从离地面10 厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第101个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？【解析】第101个落脚点是在第一个落脚点的基础上连续跳101-1=100 （次），故第 101个落脚点为a 100 = 10 + (101-1)⨯5=510 （厘米）。
【例2】 自1开始，每隔两个数写出一个数来，可以得到数列1、4 、7 、……。
问： ①第20 个数是几？第31个数呢？②前20 个数的和是多少？前31个数的和是多少？【解析】①从题意可知，本题中数列的首项为1，公差为3 ，项数为20 。
求这个数 列的第20 项，可看作求到第20 项为止的这个数列的末项。
末项=首项+ （项数-1） ⨯ 公差所以， a 20 = 1+ (20 -1) ⨯3= 58同理可得a 31 = 1+ (31-1)⨯3【例3】 小童读一本课外书，第一天读了15 页，以后每天都比前一天多读 2 页，她一共读了21天，刚好把书读完。
问：最后一天读了多少页？这本课外书共有多少页？【解析】每天看的页数可构成一个等差数列，所以首项为15 ，公差为2 。
末项=首项+ （项数-1）⨯ 公差，所以最后一天（即第21天）读了15+（21-1）⨯ 2=55 （页），这本课外书一共有（15+55）÷ 2⨯ 21=735(页)。
【例4】 30 个小朋友排成一排报数，每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多4 。
小宏站在第一个位置，小米站在最后一个位置。
已知小米报的数是200 ，小宏报的数是多少？【解析】求首项，而首项= 末项- （项数- 1） ⨯ 公差，故小宏报的数是200-（30-1）⨯ 4=84 。
二、拓展训练：【例5】 已知一个等差数列的第二项是8 ，第三项是13 ，问： 48 是这个数列中的第几项？这个数列的前48 项的和是多少？【解析】第二项和第三项之间隔了1个公差，故公差为13-8=5。
根据项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1，则48 是这个数列中的第（48-8）÷5+1=9 （项）。
这个数列的第48 项为a 48 = 8 + (48 -1)⨯5=243 ，前48 项的和为（8+243）⨯（48 ÷ 2）=6024 。
【例6】下面数列中的每一项都是由3 个数组成的数组表示，它们依次是（1，5 ，9 ），（ 2 ，10 ，18 ），（ 3 ，15 ， 27 ）……第41个数组内三个数的和是多少？【解析】每个数组的和依次为15 ，30 ，45 ，……，每组的和构成了一个等差数列， 第41组的和为a 41 = 15 + (41-1)⨯15=615 。
【例7】 一个信箱，每天取4 次邮件，第一次是早晨7 点，最后一次是下午7 点。
如果取信的时间间隔相同，那么第三次取信的时间是几点？【解析】把每次取信的时间看为一个等差数列，所以项数为4 ，首项为7 ，末项为19 。
因为公差= （末项- 首项） ÷ （项数-1 ），所以公差为(19 - 7) ÷ (4 -1) = 4 ，第三项为7 + (3 -1)⨯ 4 =15 ，即第三次取信的时间为下午三点。
【例8】 在115 和192 之间插入10 个数以后，使它们称为一个等差数列。
插入的10 个数中，最小的是多少？最大的又是多少？= 91所以，第20 个数是58 ，第31个数是91。
②前20 个数的和是（1+58）⨯（20 ÷ 2）=590 。
前31个数的和是（1+91）÷ 2⨯31=1426 。
【解析】若能求出公差，则不难确定插入的数是多少。
插入10 个数后，一共有10+2=12个数，首、末两项隔了12-1=11（个）公差，公差为（192-115）÷（12-1）=7，故插入的最小数为115+7=122，插入的最大数为192-7=185 。
【例9】15 个连续偶数的和是450 ，其中最大的一个数是多少？【解析】奇数项的等差数列的求和公式为：和= 中间项⨯项数，故这15 个连续偶数的中间数（第8项）为450÷15=30，其中最大的偶数为30+（15-8）⨯2=44。
【例10】有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共21层。
问：这个点阵共有多少个点？【解析】这个六边形点阵从内到外各层依次有点1，6 ，12 ，18 ，……，发现不看第一个数，从第二个数开始的数列构成了一个等差数列，这个等差数列的第20 项为6+（20-1）⨯6=120，故这个点阵共有点（6+120）⨯（20÷2）+1=1261（个）。
三、难题解析：【例11】编号为1~9 的九个盒子中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样多粒米。
如果1号盒子放11粒米，那么后面的盒子比它前一号盒子多放几粒米？如果3 号盒子放23 粒米呢？【解析】本题要求的是公差d 。
根据等差数列的特点，第5 个盒子（最中间的盒子）中放的粒数是：351÷9 = 39 (粒)。
（1）当1号盒子放11粒米时，而第5 个盒子中放的粒数比第1个盒子中放的粒数相差4 个公差，所以，后面的盒子比它前一号盒子多放(39 -11) ÷ 4 = 7 （粒）米。
（2）如果3 号盒子放23粒米，则后面的盒子比它前一号盒子多放米：(39 - 23) ÷ (5 - 3) = 8 (粒)。
【例12】欢欢读一本300 页的书，她每天比前一天多读4 页，12 天刚好读完。
那么她最后一天读了多少页？【解析】每天读的页数构成了一个等差数列，中间两项的和为300÷（12÷2）=50（页），中间两项的差为4，第7天读了（50+4）÷2=27，最后一天（即第12 天）读了27+（12-7）⨯4=47（页）。
四、巩固练习：1. 等差数列5 ，14 ，23 ，32 ，……中，第40 项是多少？前40 项的和是多少？=5+(40-1)⨯9=356，前40项的和为（5+356）⨯（40÷2）=7220。
【解析】第40 项是a402. 几个小朋友围成7 圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4 人，如果最内圈有6 人，7 圈共有多少人？【解析】第7圈有a=6+(7-1)⨯4=30（人），7 圈共有（6+30）÷2⨯7=126（人）。
73. 如果要在20 和120 之间插入若干个数，使它们组成一个公差是4 的等差数列，那么一共要插入多少个数？【解析】首项为20 ，末项为120 ，公差为4 ，20 为第一项，120 为末项，末项在第（120-20）÷4+1=26（项），故一共插入了26-2=24（项）。
4. 一个等差数列的首项是10 ，第10 项是82 ，那么这个等差数列的公差是多少？第15 项是多少？250 是这个数列中的第几项？=10 + (15 -1)⨯8=122 ，250 是这【解析】公差为（82-10)÷ (10- 1)= 8，第15 项是a15个数列的第（250-10）÷8+1=31（项）。
5. 有30 个同学参加聚会，见面的时候如果每人和其他同学都要握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次？【解析】将30 个同学编号为1~30 号。
1号要与2~30 号的同学握手，共握29 次；2 号要与3~30号的同学握手，共握28 次；3 号要与4~30号的同学握手，共握27 次；……，29 号要与30 号握手，握一次。
故参加聚会的同学一共要握手29+28+27+26++1=（1+29）÷2⨯29=435（次）。
6. 一个五层书架共放了300 本书，已知下面一层都比上面一层多10 本书。
最上面一层及最下面一层各放了多少本书？【解析】中间一层（即第三层）有书3 0 0÷5 = （本），最上面一层有书60-（3-1）⨯10=40（本），最下面一层有书60+（5-3）⨯10=80（本）。
7. 下图中有多少个正方形？【解析】定义其中最小的正方形边长为1，那么按照正方形的边长大小分类计数：边长为1的正方形个数为4⨯4+4=20（个）；边长为2 的正方形个数为3⨯3+2=11（个）；边长为3 的正方形个数为2⨯ 2 = 4（个）；边长为4 的正方形个数为1⨯1 = 1（个）。
综上可得，图中正方形总数为20 +11+4 +1 = 36 （个）。
8. 一本158 页的数，编页后，数字1在页码中出现了多少次？【解析】1~99 中，个位的1出现10 次，十位的1出现10 次，一共有10+10=20（次）；100~158中，个位的1出现6次，十位的1出现10 次，百位的1出现59（次），一共出现6+10+59=75 （次）。
综上数字1在页码中出现了20+75=95 （次）。
