高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质

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1．抛物线的简单几何性质

类型 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)

图象

性

质 焦点 F,02p F,02p F0,2p F0,2p

准线 2px＝－ 2px 2py 2py

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0

对称轴 x轴 y轴

顶点 O(0,0)

离心率 e＝1

开口方向 向右 向左 向上 向下

2．直线与抛物线的位置关系

由方程y＝kx＋b与y2＝2px(p＞0)联立，消去y得k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0，当k≠0时，若Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．

3．过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦长是多少？

提示：2p

1．抛物线214yx的焦点坐标是( )．

A.10,16 B.1,016

C．(0,1) D．(1,0)

解析：将214yx化为标准形式x2＝4y，p＝2，12p

答案：C

2．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )．

A．x2＝±3y B．y2＝±6x

C．x2＝±12y D．x2＝±6y

解析：由对称轴为y轴，可设抛物线方程为x2＝my(m≠0)，

又∵34m，∴m＝±12.

∴抛物线方程为x2＝±12y.

答案：C

3．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m＝________.

解析：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，

∵点A到准线2px的距离为6，∴462p－，

2.4 抛物线及其标准方程（一）

教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.

教学重点：求出抛物线的方程.

教学难点：抛物线标准方程的推导过程.

教学过程：

一、复习准备：

1、提问：你能回顾一下在椭圆、双曲线中学过的动点、定点、定直线吗？

2、讨论：若一个动点(,)pxy到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

二、讲授新课：

1、教学抛物线

① 定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

(定义的实质可归纳为”一动三定”)

② 抛物线的标准方程:

22(0)ypxp 焦点坐标是( ,0)2pF 准线方程是x=-2p

22(0)ypxp 焦点坐标是( ,0)2pF 准线方程是x=2p

22(0)xpyp 焦点坐标是(0, )2pF 准线方程是y=-2p

22(0)xpyp 焦点坐标是(0, )2pF 准线方程是y=2p

2、教学例题：

①出示例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1) 焦点坐标是(5,0 )F

(2) 经过点(3,2 )A

(3) 焦点在直线240xy上

（抛物线草图----抛物线方程---参数p）

②变式训练:求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线0

210xy所得的弦长为15的抛物线的方程.

③出示例2：已知抛物线的标准方程是(1)28yx,(2) 28yx, 求它的焦点坐标和准线方程

（教师示范 → 学生板演 → 小结）

3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程.

三、巩固练习：

１.根据下列条件写出抛物线的标准方程:

(1)焦点坐标是(0,4)

(2)准线方程是y=4

２. 抛物线2(0)yaxa

3.作业：课本P69 1、2题

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义

知识讲解1．抛物线的定义

【概念】

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，

比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥

曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换

下，也可看成二次函数图象．

【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．

【性质】

我们以y2＝2px（p＞0）为例：

①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂

直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．

【实例解析】

例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为

解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，

∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），

∴|PQ|＝＝＝，

∴当x＝，即P（）时，

|PQ|取最小值．故答案为：．

这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最

值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．

例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线

的准线的距离之和的最小值是．

解：如图所示，

设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．

过点P作PM⊥l，垂足为M．

则|PM|＝|PF|．

设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．

∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．

即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．

这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，

然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了

高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析

知识点一 抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．

知识点二 抛物线的标准方程与几何性质

标准方程 y2＝2px

(p>0)

y2＝－2px

(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点 O(0,0)

对称轴 y＝0 x＝0

焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2

离心率 e＝1

准线

方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下

规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．

例1 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )

A.172B．3C.5D.92

例2 (2015年10月学考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝3x的距离为3，则p等于( )

A．2B．4C．23D．43

例3 (2016年10月学考)已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________________．