第二章方差分析与相关分析

第九章 方差分析与回归分析习题参考答案

1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显著影响.

（0.05(2,9)4.26F，0.01(2,9)8.02F）

解：r=3,

12444nn321nn,

T=120 ,12001212022nTC

计算统计值7228.53,389AAAeeSSfFSSf……

方差分析表

方差来源平方和自由度均方F值临界值显著性品种A36 

误差 总 计

结论:由于0.018.53(2,9)8.02,AFF故果树品种对产量有特别显著影响.

2. 解：22..4,3,12,180122700lmnlmCxn

计算统计值90310.5251.43,3.563.56AABBABeeeeSfSfFFSfSf方差来源平方和自由度F值临界值显著性品种 试验结果 行和ixTi 行均值.ix

A1 10 7 13 10 40 10

A2 12 13 15 12 52 13

A3 8 4 7 9 28 7

试验

结果 燃料B

B1 B2 B3

推进器

A A1 14 13 12 39 13

A2 18 16 14 48 16

A3 13 12 11 36 12

A4 20 18 19 57 19

65 59 56 180

16.25 14.75 14 15 推进器A 燃料B 误差 总 计结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显著影响；燃料对火箭的射程有显著影响.

3．为了研究某商品的需求量Y与价格x之间的关系，收集到下列10对数据：

第二章方差分析与相关分析

在统计学中，方差分析和相关分析是两种常用的数据分析方法。方差分析用于比较两个或多个组之间的差异，而相关分析用于探究变量之间的关系。本章将详细介绍方差分析和相关分析的概念、原理和应用。

1.方差分析

方差分析是一种用于比较不同组之间差异的统计方法。它基于一种基本假设，即不同组之间的差异是由于随机误差造成的。方差分析以方差作为度量不同组之间差异的指标，通过计算组内方差和组间方差来评估不同组之间的差异程度。

方差分析通常包括三个步骤：建立假设、计算方差和进行显著性检验。首先，建立假设，即空假设和备择假设。空假设认为不同组之间的差异是由于随机误差造成的，而备择假设则认为不同组之间存在显著差异。接下来，计算组内方差和组间方差，通过比较两者的大小来评估不同组之间的差异程度。最后，进行显著性检验，判断不同组之间的差异是否显著。

方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。例如，在医学研究中，可以用方差分析比较不同治疗方法的疗效差异；在市场调研中，可以用方差分析比较不同广告策略的效果差异。

2.相关分析

相关分析用于探究两个变量之间的关系。它通过计算两个变量之间的相关系数来评估它们之间的相关性。相关系数的取值范围为-1到1，负值表示负相关，正值表示正相关，而0表示无相关。 相关分析通常包括两个步骤：计算相关系数和进行显著性检验。首先，计算两个变量之间的相关系数。常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。皮尔逊相关系数适用于连续变量之间的相关性分析，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量之间的相关性分析。接下来，进行显著性检验，判断两个变量之间的相关性是否显著。

相关分析广泛应用于各个领域的数据分析中。例如，在经济学中，可以用相关分析研究两个经济指标之间的相关性；在社会学中，可以用相关分析探究两个社会变量之间的关系。

3.应用案例

方差分析和相关分析在实际应用中的案例非常丰富。以方差分析为例，假设我们研究了三种不同的农药对作物产量的影响。我们可以将农田划分为三个区域，并在每个区域使用不同的农药处理。通过方差分析，我们可以比较各个区域的产量差异，并判断不同农药处理对产量的影响是否显著。

【数理统计基础】06-相关分析和⽅差分析

1. 相关分析

1.1 相关系数

在⼀堆变量中，找到并分析它们之间的关系，是复杂环境和模型中的重要任务。由于线性关系的特殊、常见和简单，数学上往往采⽤线

性关系来逼近实际关系。上篇的线性回归以及概率论中的线性回归，更关注的是线性函数的参数估计。如果想单纯地度量随机变量的线性关

系，直接讨论相关系数即可，请先复习斜⽅差的相关概念。

两个变量之间的线性关系，就是之前学过的协⽅差的概念\text{Cov}(X,Y)。在得到n个样本(X_i,Y_i)后，容易得到式（1）的⽆偏估计，

注意其中降低了⼀个⾃由度，继⽽还可以有式（2）的样本相关系数。相关系数是线性关系的直接度量，它可以作为相关假设的检验条件，

最常⽤的就是当|r|\leqslant C时认为X,Y是不相关的。

\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\approx\text{Cov}(X,Y)\tag{1}

r=\dfrac{1}{S_XS_Y}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}),\;\;S_X^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\tag{2}

为了能找到关于r的枢轴变量，这⾥还是要做⼀些假设，即(X,Y)是⼀个⼆元正态分布。回顾⼆元正态分布的知识（《初等概率论》第5

篇公式（27）），可知X,Y完全符合⼀元线性回归的模型。为此这⾥暂且取定X_i，⽽把Y_i看成随机变量，并对它们进⾏⼀元回归分析。⽐

较发现系数估计满⾜\alpha_1=r\cdot\dfrac{S_Y}{S_X}，在假设\rho=0（即系数a_1=0）的情况下，把这个等式代⼊上篇公式（12）右的枢轴

变量，整理后得到式（3）。由于该结论与X_i的取值⽆关，因此它对于变量X_i也成⽴，它就是我们要找的枢轴变量。

\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t_{n-2}\tag{3}

Equation Chapter 1 Section 1

《多 元 统 计 分 析》

Multivariate Statistical Analysis

主讲：统计学院 许启发（xuqifa1975@）

统计学院应用统计学教研室

School of Statistics

2004年9月 注意电子文档使用范围 第 页 1 第三章 判别分析

【教学目的】

1． 让学生了解判别分析的背景、基本思想；

2． 掌握判别分析的基本原理与方法；

3． 掌握判别分析的操作步骤和基本过程；

4． 学会应用聚类分析解决实际问题。

【教学重点】

1． 注意判别分析与聚类分析的关系（联系与区别）；

2． 阐述各种判别分析方法。

§1 概述

一、什么是判别分析

1．研究背景

科学研究中，经常会遇到这样的问题：某研究对象以某种方式（如先前的结果或经验）已划分成若干类型，而每一类型都是用一些指标12,,,pXXXX来表征的，即不同类型的X的观测值在某种意义上有一定的差异。当得到一个新样本观测值（或个体）的关于指标X的观测值时，要判断该样本观测值（或个体）属于这几个已知类型中的哪一个，这类问题通常称为判别分析。也就是说，判别分析（discriminant

analysis）是根据所研究个体的某些指标的观测值来推断该个体所属类型的一种统计方法。

判别分析的应用十分广泛。例如，在工业生产中，要根据某种产品的一些非破坏性测量指标判别产品的质量等级；在经济分析中，根据人均国民收入，人均工农业产值，人均消费水平等指标判断一个国家的经济发展程度；在考古研究中，根据挖掘的古人头盖骨的容量，周长等判断此人的性别；在地质勘探中，根据某地的地质结构，化探和物探等各项指标来判断该地的矿化类型；在医学诊断中，医生要根据某病人的化验结果和病情征兆判断病人患哪一种疾病，等等。值得注意的是，作为一种统计方法，判别分析所处理的问题一般都是机理不甚清楚或者基本不了解的复杂问题，如果样本观测值的某些观测指标和其所属类型有必然的逻辑关系，也就没有必要应用判别分析方法了。