随机信号分析

第5章 随机信号分析

5.1.随机信号简介

1.随机过程与随机信号的基本概念

而样本空间中的每个波形记录称为“样本函数”或“实现”。

全部可能观测到的波形记录称为“样本空间”或“集合”。

随机信号在t1的状态 {xi(t1)}或 X(t1)表示在某特定时刻观察X(t)各样本函数的取值，称为随机变量。

状态X(t)={xi(t)}是一族随时间变化的随机变量，可以用概率分布函数和概率密度函数描述。

2.随机过程的分布函数

随机信号是一种不确定信号，其波形的变换不存在。任何确定的规律。 因而无法准确预测未来值 {X[k], kZ}表示一个随机过程

一维分布函数 )][();(xkXPkxF

二维分布函数 )][,][(),;,(22112121xkXxkXPkkxxF

三维分布函数 ),,;,,,(2121NNkkkxxxF

)][,][(11NNxkXxkXP

3.随机信号的数字特征

均值 ]}[{][kXEkmx

方差 ]}[][{}])[][{(][2222kmkXEkmkXEkxxx

自相关函数 ]}[][{],[2121kXkXEkkRx

互相关函数 ]}[][{],[2121kYkXEkkRxy

4.平稳各态遍历随机信号的时域描述

（1） 平稳随机序列

指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列

严平稳随机序列：

),,;,,,(),,;,,,(21212121nknknkxxxFkkkxxxFNNNN

宽平稳随机序列：xmkXE]}[{ ][]}[][{nRnkXkXEx平稳随机信号自相关函数特性：

1）对称性 ][][nRnRxx

2）极限值 0n ]}[{]0[2kXERx

n 2][xxmR

3）不等式 ][]0[nRRxx

（2）各态遍历随机信号:时间平均等于统计平均

NNkNxkxNkXEm][121lim]}[{

NNkxNxxmkxNmkXE222]][[121lim}]][{[ ][][121lim]}[][{][nkxkxNnkXkXEnRNNkNx

5.平稳各态遍历随机信号的频域描述

随机信号的平均功率定义为

][121lim2kxNPNNkNx

对平稳、各态遍历的随机过程上式可写为]0[xxRP

随机信号的功率谱定义为(维纳—辛钦定理)

]}[{DTFT)(nRPxx

由IDTFT可得：d)(π21]0[ππxxxPPR

5.2、经典功率谱估计

1.谱估计的质量

估计量的偏差 }ˆ{}ˆ{biaE

估计量的方差 })}ˆ{ˆ({}ˆvar{2EE

的一致估计为ˆ则称,0}ˆvar{lim,0}ˆ{bia若N

2.相关法(间接法)进行功率谱估计

相关法的理论基础

维纳—辛钦定理 )(][DTFTxxPnR

估计的方法：

1) 由随机序列一个样本的N个观测值计算自相关函数的估计][ˆnRx

2) 对][ˆnRx进行DTFT即得该随机序列的功率谱估计

（2） 自相关函数的估计

X[k]是宽平稳各态遍历随机信号，x[k]是其一个样本

NNkNxnkxkxNnR][][121lim][

已知x[k]的N个观测值x[0],x[1],,x[N-1]， 则自相关函数的估计为

][][1][ˆ10nkxkxNnRNkx][*][1nxnxN

1)1(NnN

][ˆnRx的计算过程：

10Nn

][][1][ˆ10nkxkxNnRnNkx

0)1(nN

1][][1][ˆNnkxnkxkxNnR

nNlnlxlxN10][][1

1][][1][10NnnkxkxNnRnNkx

（3） 相关法进行功率谱估计

10][][1][NkxnkxkxNnR

nLLnxxnRPje][ˆ)(ˆ}e][ˆRe{2]0[ˆj11nNnnRR

(4） 相关法功率谱估计的质量

功率谱估计的质量与自相关函数估计的质量密切相关

][]}[{bianRNnnRxx

])[][][(1]}[ˆvar{2nrRnrRrRNnRr nN1nx[k+n],0nN1nx[k+n],0nn0N1x[k]][ˆ),(ˆDFTDTFT,][ˆ估计][mPPnRkxxxxN，偏差、方差趋于零，是一致估计。

N 固定时，n N，偏差较大

3.周期图法(直接法)进行功率谱估计

（1） 周期图法功率谱估计的计算

已知 其它 01,,1,0][][NkkxkxN

方法基础: ][*][1][ˆnxnxNnRNNx

由维纳—辛钦定理

]}[*][{DTFT1)(ˆnxnxNPNNx)e()e(1jjNNXXN

2j)e(1NXN 称周期图用)(NI表示

周期图法功率谱估计的步骤：

2j功率谱估计jDTFT)e(1)()e(][NxNNXNPXkx2功率谱估计DFT点L][1][][][mXNmPmXkxNxNN

其中，10jje][]}[{DTFT)e(NkkNNNkxkxX

10π2je][]}[{DFT][LkmkLNNNkxkxmX

例： 周期图法计算功率谱估计

已知实平稳随机序列X[k]单一样本的N个观测值为x[k]={1, 0，-1}，试利用周期图法估计其功率谱。

解：对x[k]进行离散时间傅里叶变换(DTFT)

2j10jje1e][)e(NkkNkxX

功率谱估计为：)e()e(1)e(1)(j*j2jNNNNXXNXNI )e1)(e1(312j2j)2cos(132

5.3、平稳随机序列通过LTI离散时间系统

][][][nkXnhkYn

1.输出序列的均值

]}[{][]}[{][nkXEnhkYEkmny

nxnhm][

)e(][0jHmkmxy

2.输出序列的自相关函数

][][][nRnRnRxhy

系统单位脉冲响应h[k]是确定信号，其自相关函数定义为][][][ nkhkhnRkh

Ry[n]是系统单位脉冲响应h[k]的自相关函数Rh[n]与输入随机序列X[k]

的自相关函数Rx[n]的卷积。

3.输出序列的功率谱

]}[][{DTFT]}[{DTFT)(nRnRnRPxhyy ]}[{DTFT]}[{DTFTnRnRxh

]}[*][{DTFTnhnh2j)e(H

)()e()(2jxyPHP

3.输入/输出序列的互相关函数及互功率谱

互相关 ][][]}[][{][nRnhnkXkYEnRxyx

][*][]}[][{][nRnhknYkXEnRxxy

例：平稳白噪声通过系统

一离散时间平稳白噪声通过一阶IIR数字滤波器

h（n） X[k] Y[k] 1]1[][][kykxky

求输出的自相关函数、平均功率和功率谱。

零均值白噪声的特征为 0]}[{kXE 2)(P

ΩnRnxdeπ21][j2ππ][2n

解：先获得系统的系统函数、单位脉冲响应及频率响应

azazzH111)(

][][kukhk jje11)e(H

22jcos211)e(H

（1）计算输出的自相关函数

][][][nkhkhnRkh0101220nnnknknknknkk21n

][][][nRnRnRxhy][2nRh221n

(2) 输出平均功率

]0[][121lim2yNNkNRkyN221

(3) 输出功率谱

)()e()(2jxyPHP22cos21