人教2011版小学数学三年级数学广角-重叠问题

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重叠问题

作者：

来源：《小天使·三年级数学人教版》2011年第06期

举一反三

同学们，14+7=21，这样的算题我们人人都会做，但是现实生活中有时会出现14+7不等于21的情况。这是怎么一回事呢？

有这样一个问题：穿裙子的女生有14人，戴红丝巾的女生有7人，问女生一共有多少人？如果回答：“14+7=21（人），女生一共有21人。”那你就上当了，因为穿裙子的女生也可以同时戴红丝巾。当然，这样的失误是由于题目条件不明确造成的。现将题目改为：穿裙子的女生有14人，戴红丝巾的女生有7人，既穿裙子又戴红丝巾的有2人，问一共有多少人？解答这个问题时就要重点考虑既穿裙子又戴红丝巾的2人，因为穿裙子的14人中有她们2人，戴红丝巾的7人中还有她们2人，如果直接用7+14=21人，则她们2人被重复计算了1次，所以实际上只有7+14-2=19人。解决这类问题时，我们在计算时常采用“去掉重复的数值”的方法，也就是我们讲的重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——即包含与排除原理，也就是当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真地分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确求的那一部分，从而找出解答方法。

举例1

有100位游客，其中有10位既不懂英语也不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位游客中，既懂英语又懂俄语的有多少人？

思路分析：根据题意，画图表示，如图1。先从100位游客中去掉10位既不懂英语，又不懂俄语的人，剩下90位是懂外语的人，75位懂英语的人里面包含只懂英语和两种语言都懂的人，83位懂俄语的人包括只懂俄语和两种语言都懂的人。用83+75的和再去掉懂外语的90人，得到的就是两种语言都懂的人数，也就是重叠部分。

《数学广角》——重叠问题

一、生活实例，渗透方法

1、生活实例引入

（请班里一名同学站起来）

师：咱们现在排队，某同学从前向后数他排第5个，从后向前数他也是第5个，那这队有有多少人呢？

（猜想）生： 9人，10人，11人。

师：你怎样证明呢？

（验证）生：（利用画图、算式，解决问题）

【预设】

生1：111101111 共有9人。

生2：4+1=5人，5+4=9人

生3：5+5-1=9人

师：有人提问吗？

生：第2位同学，4是哪来的？1是哪里来的？生解答：4是A同学前面的人数，后面的4是后面同学的人数，1是A同学。

2、图与算式相结合

师：大家一起看第3位同学写的算式，5+5-1=9人，大家有问题吗？

生：为什么减1？ 生：根据自己理解回答。

师：算式中第一个5在图中哪儿表示？第2个5在图中哪儿表示？

生：（板演动手，在图中圈出）

师：那你们发现什么？

生：前5位同学中有A同学，后5为同学中也有A同学。

师：但是咱们的A同学只有一个人，所以减1。

师：这个排队的问题，我们通过画图，圈图，列式计算成功解决了。

设计意图：使学生从一个实际问题出发，结合学生的生活经验，体会可以利用画图的方法解决实际问题，并使学生初步感知集合圈，激起学生的好奇心和学习新知的兴趣，为新课学习准备良好的条件。

二、情境引入，学习新知

1、实例引入

师：今天咱们在排队的基础上探索一个新的问题。

（板书课题：重叠问题）

老师说一个报兴趣班事情，根据老师大致了解，班里有5人参加合唱组，7人参加美术组，那这两组同学一共有多少人？

生：12人。

师：咱们用1个数字代表一个同学的学号。

（依次数人数填表）

合唱组 1 2 3 4 5

美术组 6 7 8 9 10 11 12

设计意图：依靠直观性原则，采用图表展示已知条件，帮助学生分析问题，为后面提出问题做铺垫。

2、创设问题，产生矛盾 师：报合唱组和美术组的同学，还可能会出现什么新情况？

1 数学广角——重叠问题

勐约乡中心小学 王国花

【教学内容及说明】

（一）教学内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书》三年级数学下册第九单元第一课时的内容（教材第108页的例1及相关练习）。

（二）内容说明

“数学广角”是人教版实验教材新增设的内容之一，主要是把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。本单元主要是结合实际，使学生初步体会集合和等量代换这两种数学思想方法。本单元的例1借助学生熟悉的题材，让学生了解简单的重叠问题，使学生掌握解决重叠问题的一些基本策略和方法，体验解决问题的多样性，渗透集合的有关思想。

【教学目标及说明】

（一）教学目标

1、通过观察直观图，让学生了解生活中简单的重叠问题。

2、学生通过合作探究，了解韦恩图中各部分的含义，体验解决重叠问题的基本策略和方法，并建立韦恩图的数学模型。

3、培养学生仔细观察、勤于思考、善于合作的能力和良好的学习习惯。

（二）目标说明

在教学中，要让学生亲历韦恩图的产生，借助直观表象理解韦恩图

2 中重叠部分的含义，在头脑中建立起韦恩图的清晰表象。 使学生掌握解决重叠问题的一些基本策略和方法，体验解决问题的多样性，培养学生的观察能力、思考能力和合作能力。

【教学重难点及说明】

（一）教学重难点

重点：利用韦恩图解决实际生活中简单的重叠问题。

难点：通过解决简单的数学实际问题，渗透集合和数学建模思想。

（二）重难点说明

集合思想是比较系统、抽象的数学思想方法，而三年级学生的数学思维以形象思维为主，让学生抽象地想像、理解数学思想是非常困难的。为此，教学时要让学生亲历集合图（即韦恩图）的产生，借助直观表象理解集合图中重叠部分的含义，在头脑中建立起集合图的清晰表象，从而真正建构、内化“重叠问题”的解题模型，以有利于学生克服学习困难，教学时不需要使用集合、集合的元素、交集、并集等数学化的语言进行描述。

1 重复有道 叠出精彩

——《重叠问题》教学设计与教学评析

黄厚瑄 执教（福建省泉州市第二实验小学）

李培芳 评析（福建省泉州市第二实验小学）

教学内容

人教版新课标三年级数学下册第九单元“数学广角”第108页例1。

教学目标:

1、学生从生活经验中了解重叠的含义，亲历集合思想方法的形成过程，初步理解集合知识的意义，会利用集合思想方法解决简单的实际问题。

2、学生借助直观图，在观察、猜测、操作、比较、交流等数学活动中体会集合思想，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，发展应用意识。

3、通过生活情景的课堂再现，感受数学与生活的密切联系，在探究、应用知识中感悟数学学习的价值，提高学习数学的兴趣。

教学重点难点

经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，能利用借助这一集合图解决简单的实际问题。

教学准备

教具：多媒体课件、各种食物图、磁铁和磁条等。

学具：学习卡和两个橡皮圈。

教学过程

一、巧设情境，引发冲突

1、导入情境，激发学习兴趣。

师：今天老师要带两位新朋友跟大家一起来探索一个有趣的问题，我们掌声欢迎。笑笑和淘气要参加学校的春游活动，瞧！他们要到……

生：厦门海沧野生动物园。

师：这些是他们春游带的水果，我们用以前学过圈一圈的办法，来表示他们带的水果。这些是笑笑带的，这些是淘气带的，他们一共带了多少个水果？怎么算？

2 【评析：通过学生熟悉的春游活动，巧妙地将数学问题融入生活情境中，从而顺势引出单集合圈，为后面的新知学习穿针引线，悄然为学生打开思维通道。】

2、提出问题，引发认知冲突。

生：4+5=9（个）

师：嗯，这个问题挺容易解决的，注意观察问题发生了什么变化？

生：多少个变成了多少种。

师：观察得真仔细，你们认为带了几种呢？

生：4种。

生：5种。

生：6种。

师：看来这个问题有点挑战性了，到底几种呢？你们可以在学习单上画一画、写一写、算一算。

生：在学习单上操作。