2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题4：幂与指数常考题专练(解析版)

沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）本章复习题一、单选题1. 将指数式转化为对数式，其中正确的是()A. B. C. D.2. 方程的解集为A，方程的解集为B，那么()A. B. C. D.3. 已知，，和的图像只可能是()A. B.C. D.4. 如果函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么的解析式是().A. B. C. D.5. 函数（且）的反函数所过定点的坐标为()A. B. C. D.6. 方程的解是()A. B.100 C.10 D.10或100二、填空题________．函数的定义域为________.函数的单调递减区间是________ ．函数的反函数是________.函数的值域是________．若和分别是方程的两个根，则的值为________. 设，则________.函数在的最大值为，那么________.已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.三、解答题解不等式：.已知，求证：.解方程。

求实数a满足什么条件时，关于x的方程有解.讨论a取不同值时，关于x的方程的解的个数.已知，其中且.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的方程.已知.（1）如果，求x，y的值；（2）当x，y为何值时，取得最小值，最小值是多少？已知函数.（1）当时，在上都有意义，求实数k的取值范围；（2）当时，的反函数就是它自身，求实数k的值；（3）在（2）的条件下，解关于x的方程.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）本章复习题一、单选题1.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化【解析】直接利用对数指数的定义得到答案【解答】a x(a x)5=N，则b=loga Na3x=(a b)′=N，则c=logaN故选：C．2.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】解对数方程得到A={2}，解指数方程得到B={1，求并集得到答案【解答】lg(x2−2)=lg x，则x2−2=x，解得x=2或x=−1（舍去），故A={2}4x+2x−1−5=0，即(22)2+12⋅2x−5=0，解得2x=2或2x=−52（舍去），即x=1B={1}，故A∪B={1,2}故选：B．3.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用【解析】由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像．【解答】函数y=loga(−x)的定义域为(−∞,0)，据此可排除选项A.C函数y=a x与y=loga(−x)的单调性相反，据此可排除选项D，故选B．4.B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】y=2x−1，则log2y=x−1x=log2y+1，计算反函数得到答案【解答】函数y=f(x)的图像与函数y=2−1的图像关于直线y=x对称，即f(x)为y=2−1的反函数，y=2−1，则log2y=x−1x=log2y+1故f(x)=log2x+1故选：B．5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域由三视图求体积函数的概念及其构成要素【解析】f(x)=a1−1过定点(−1,1)，再根据反函数性质得到答案【解答】f(x)=a x−1过定点(−1.1)，故反函数y=f−1(x)所过定点的坐标为(1,−1)故选：B．6.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】在x2=x3100两端同时取对数，得到(lg x)2−3lg x+2=0，解方程即可得到答案【解答】因为x=x 3100，所以.(gx)2=lg x3100=3lg x−2，即(lg x−1)(lg x−2)=0所以lg x=1或lg x=2，解得x=10或x=100故选：D二、填空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。

【期末宝典】专题5：对数常考题专练（原卷版）一、单选题1．（2021·上海·复旦附中高一期末）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 2．（2021·上海徐汇·高一期末）人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足13()9lg 110x d x -=⨯ ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB ，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ）A ．36dB B ．63 dBC ．72 dBD ．81 dB 3．（2020·上海·高一单元测试）设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+- 4．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m>0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( )A ．160B ．60C ．2003D ．3200 5．（2020·上海市控江中学高一期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110- 6．（2020·上海·高一单元测试）已知2480,0,log log log (43)m n k m n m n >>===+，则k =（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．12 7．（2020·上海市市西中学高一期中）若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则试卷第2页，共5页A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =8．（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a b m 的值为（ ）ABC．D．9．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知m >0，设函数f (x )=m 的图像与函数g (x )=|log 2x |的图像从左至右相交于点A ．B ，函数h (x )=821m +的图像与函数g (x )=|log 2x |的图像从左至右相交于点C ．D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a.b ，当m 变化时，b a的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．10．（2020·上海·高一专题练习）设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+D ．212c a b =+二、填空题11．（2021·上海市建平中学高一期末）如图所示，已知函数2()log 4f x x =图象上的两点A 、B 和函数2()log g x x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时，设点B 的坐标为(,)p q ，则2qp的值为________．12．（2021·上海市川沙中学高一期末）已知0a >且1a ≠，若log 2a m =，log 3a n =，则m n a +=_______________.13．（2021·上海市建平中学高一期末）已知31log 5a=，57=b ，则用a 、b 的代数式表示63log 105=________． 14．（2021·上海闵行·高一期末）已知()()log 0,1a f x x a a =>≠，若函数()y f x =的图象经过点()4,2，则(f =________.15．（2021·上海·位育中学高一期末）设0a >且1a ≠，0b >，若5log log 3a b a ⋅=，则b =________16．（2021·上海·格致中学高一期末）已知6log 2a =，用a 表示4log 12=_____. 17．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知x b a =，y c a =，bc a =，其中a ，b ，,()1c ∈+∞，则11x y+=___________. 18．（2021·上海市进才中学高一期末）若lg 2a =，lg3b =，则5log 24=________.19．（2020·上海师大附中高一期末）设22a b m ==，且112a b+=，则m =_________. 20．（2021·上海市行知中学高一期末）设平行于x 轴的直线l 分别与函数2x y =和12x y +=的图像相交于点A ，B ，若在函数2x y =的图像上存在点C ，使得ABC 为等边三角形，则C 点的纵坐标为_________.三、解答题21．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）3－2＝19； （2）-31=1255⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）13log 27＝－3； （4）＝－6(x >0，且x ≠1)．22．（1（2）计算1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （3）log 86x =，则x 的值为多少？23．（2021·上海·高一课时练习）设30x y >>，且满足3332log (3)log (3)log x y x y y -=++，试卷第4页，共5页 求x y的值． 24．（2021·上海·高一课时练习）一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，现在这种物质1克，试写出其剩留质量随时间变化的函数关系式；你能算出大约经过多少年，剩留的质量是原质量的一半吗？（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈，lg 70.85≈）25．计算下列各式的值：（1）12lg 3249−43（2）lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg 2)2. 26．计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.（2）57log 43log lg 25-5+lg 4； （3）5log 3333322log 2-log +log 8-25.927．已知函数2()log (41)x f x ax =+-.（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；（2）若4a =，求函数()f x 的零点．28．（2021·上海·高一期末）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立．（1）函数1()f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数2()lg,1a f x M x =∈+求a 的取值范围； （3）设函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a ，证明：函数2()2x f x x M =+∈，并求出对应的0x （结果用a 表示出来）．29．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）（1）设α，β是方程2lg lg 30x x --=的两根，求log log αββα+的值．（2）已知23a b c ==，且111a b+=-，求c 的值． 30．（2020·上海交大附中高一期末）已知函数()(log a f x x =，()1,x ∈+∞，0a >且1a ≠.（1）若a 为整数，且2222a a f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，试确定一个满足条件的a 的值；（2）设()y f x =的反函数为()1y fx -=，若()()1*442n n f n n N --+<∈，试确定a 的取值范围； （3）若2a =，此时()y f x =的反函数为()1y f x -=，令()()()11221f x k g x f x --+=+，若对一切实数1x ，2x ，3x ，不等式()()()123g x g x g x +>恒成立，试确定实数k 的取值范围.试卷第6页，共1页。

沪教版(上海) 高一第二学期新高考辅导与训练第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）本章复习题一、单选题(★★) 1. 将指数式转化为对数式，其中正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 2. 方程的解集为A，方程的解集为B，那么（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知，，和的图像只可能是（）A．B．C．D．(★★) 4. 如果函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么的解析式是（）.A．B．C．D．(★★) 5. 函数（且）的反函数所过定点的坐标为（）A．B．C．D．(★★) 6. 方程的解是（）A．B．100C．10D．10或100二、填空题(★★★) 7. _________ .(★) 8. 函数的定义域为_________.(★★★) 9. 函数的单调递减区间是 _____ ．(★★★) 10. 函数的反函数是 ___________ .(★★★) 11. 函数的值域是__．(★) 12. 若和分别是方程的两个根，则的值为_________.(★★★) 13. 设，则________.(★★★) 14. 函数在的最大值为，那么________.(★★) 15. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是___________________.三、解答题(★★) 16. 解不等式：.(★★) 17. 已知，求证：.(★★★) 18. 解方程：.(★★★) 19. 求实数 a满足什么条件时，关于 x的方程有解. (★★★) 20. 讨论 a取不同值时，关于 x的方程的解的个数.(★★★) 21. 已知，其中且.（1）求函数的解析式；（2）解关于 x的方程.(★★★) 22. 已知.（1）如果，求 x， y的值；（2）当 x， y为何值时，取得最小值，最小值是多少？(★★★) 23. 已知函数.（1）当时，在上都有意义，求实数 k的取值范围；（2）当时，的反函数就是它自身，求实数 k的值；（3）在（2）的条件下，解关于 x的方程.。

2021年上海新高一数学--第四章幂函数、指数函数与对数函数【过关测试】（学生版）第四章幂函数、指数函数与对数函数【过关测试】一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若幂函数()y f x =的图像经过点1(,2)8，则1()8f -的值为_________. 2．已知幂函数()()257m f x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______． 3．幂函数()y f x =的图像经过点142?，，则1()16f 的值为__________. 4．幂函数()a f x x =的图像经过点12,2?? ???，则()3f =______. 5．函数13x y a -=+恒过定点______.6．已知log 21a ＜(其中0a ＞且1a ≠),则a 的取值范围是________.7．已知112112322α?∈---，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．8．设11,,1,2,332α??∈--，若()f x x α=为偶函数，则α=______． 9．若0,m n k Q <<∈且k 0<，则1k m ?? ???与1k n ?? ???的大小关系是_________． 10．设m R ∈，若()()43 11f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是__________.11．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示）12．幂函数21(237)35()(1)()m m f x m m x m -++=-+∈Z 是偶函数，则m =________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（）A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数14．已知实数x ，y 满足()01x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++ B ．22()ln 1l 1)n(x y +>+ C ．sin sin x y > D ．33x y >15．已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( )A ．1,0a b ≥≥B ．0,1a b >≥C ． 2log 0b a +≥D ．20b a +≥16．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．（1）2y x ；（2）53y x -=；（3）13y x =；（4）32y x =．18．已知函数22()log (23)f x x x =-++（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()f x 的最值，并求此时x 的值.19．已知函数a y x =、b y x =、c y x =在第一象限的函数图象如图，试比较a b c ，，的大小；20．已知函数1()(0x f x a a -=>且1)a ≠（1）若函数()y f x =的图象经过P （3，4）点，求a 的值；（2）若(lg )100f a =，求a 的值21．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，且点A 又在函数())f x x a =+的图像上.（1）求实数a 的值；（2）解不等式()f x a <；（3）(2)22g x b +-=有两个不等实根时，求b 的取值范围.。

【期末宝典】专题6：幂函数常考题专练（原卷版）一、单选题1．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．1133<a b2．（2021·上海市延安中学高一期末）在下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0-∞上是严格增函数的是（ ） A ．45y x -=B ．35y x -=C ．53y x =D ．45y x =3．（2021·上海闵行·高一期末）下列函数中，值域为(0,)+∞的是（ ） A ．2yxB ．2x y =C ．ln y x =D ．1y x x=+4．（2021·上海徐汇·高一期末）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ．III, VII5．（2020·上海·华师大二附中高一期末）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数6．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3试卷第2页，共4页7．已知实数a ，b ，c 满足136a =，756log 8log 49b =+，72425b b c +=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >>D ．c a b >>8．（2020·上海·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．当m =0时，函数m y x =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数9．（2020·上海市洋泾中学高一期末）现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ） ①幂函数()k y x k Q =∈的图象与函数1y x=的图象至少有两个交点；①函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3x y =的图象经过平移得到；①函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ①函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2021·上海市进才中学高一期末）已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是 A ．1,3- B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332二、填空题11．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知幂函数()f x的图象过点⎛ ⎝⎭，则()3f =______.12．（2020·上海嘉定·高一期末）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(,0)-∞上单调递增，则α=________．13．（2021·上海市控江中学高一期末）已知幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.14．（2021·上海·复旦附中高一期末）不等式()()2233131x x ->+的解集为____. 15．（2021·上海市川沙中学高一期末）幂函数12y x =的定义域为________________. 16．（2021·上海·格致中学高一期末）已知124{2,1,,,,2},333a ∈--当x ①(-1，0)①(0，1)时，不等式||a x x >恒成立，则满足条件的a 形成的集合为_____. 17．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）已知幂函数()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________．18．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）幂函数()f x 的图象过点(，则函数()()()31,0g x af x a R a =-+∈≠的图象经过定点__________．19．（2020·上海·复旦附中高一期末）幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．20．（2021·上海市第二中学高一期末）设12{21 2}33k ∈--，，，，，若(1 0)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则k 取值的集合是___________.三、解答题21．已知函数253()(1)m f x m m x --=--，当m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是(0,)+∞上的增函数； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数.22．（2020·上海·华东师范大学第三附属中学高一期中）若幂函数()243251m m y m m x ++=+-的定义域为R ． （1）求实数m 的值；（2）作出此幂函数的大致图象．23．（2021·上海·位育中学高一期末）设m 为实数，22()(1)m f x m m x -=--，已知幂函数()y f x =在区间(0,)+∞上是严格增函数，试求满足13()f x x >的x 的取值范围．24．（2020·上海·高一课时练习）已知幂函数(1)n ypy x-⋅=（其中*,,n p q N ∈，且p ，q 互素）试卷第4页，共4页试研究当n ，p ，q 分别取奇数和偶数时的图像特征． 25．若()()2233132--+>-a a ，求实数a 的取值范围.26．（2020·上海·高一专题练习）若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 27．（2020·上海·高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式. 28．比例下列各组数的大小.（1）788--和781()9-；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）2253(4.1)(3.8)-，和35( 1.9)-.29．（2021·上海·高一期末）已知函数13()f x x =，函数2133()23g x a x x =⋅-⋅-， （1）将()f x 的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）；（2）如果()g x 在区间[1,5]上严格单调递减，求实数a 的取值范围. 30．（2021·上海市第二中学高一期末）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数. （1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.。

2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知直线l 、m 与平面α，其中m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】举出反例得到充分性不成立，由线面垂直的定义得到必要性成立. 【详解】如图1，满足l m ⊥，但,l α不垂直，充分性不成立，当l α⊥时，因为m α⊂，由线面垂直的定义可知：l m ⊥，必要性成立， 故“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件. 故选：B2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱BC 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积（ ）A ．与,x y 都有关B ．与x 有关，与y 无关C ．与y 有关，与x 无关D ．与,x y 都无关【答案】B【分析】作出辅助线，求出()14AOESa a x =-，点F 到平面ABCD 的距离为定值a ，故四面体O AEF -体积为()214V a a x =-，得到体积与x 有关，与y 无关. 【详解】连接AC ，BD 相交于点O ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ， 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，则22AO BO a ==， 因为平面1111D C B A //平面ABCD ，11A C ⊂平面1111D C B A ， 所以11//A C 平面ABCD ，因为动点F 在线段11A C 上，所以点F 到平面ABCD 的距离为定值a ， 因为BE x =，故CE a x =-，由相似知识可知：GE CEBO BC=，即22GE a xa a -=， 所以()22GE a x =-， ()()1122122224AOESAO EG a a x a a x =⋅=⨯⨯-=-， 故四面体O AEF -的体积为()211312AOE V S a a a x =⋅=-，故体积与x 有关，与y 无关.故选：B3．已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若tan tan 1tan tan 3C C A B +=，则222a b c +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】C 【分析】先化为11tan tan 31tan A B C+=，将切化弦，结合正弦定理得到c cos c s 3o os A B a b c C +=，再利用余弦定理求出2227a b c +=，得到答案. 【详解】因为tan tan 1tan tan 3C C A B +=，所以11tan tan 31tan A B C +=即cos cos sin sin 3sin cos A B A B CC+=， 由正弦定理得：c cos c s 3o os A B a b cC+=， 由余弦定理得：222222222226b c a a c b a b c abc abc abc+-+-+-+=，整理得：2227a b c +=， 所以2227a b c +=故选：C4．如图，一张4A 纸的长122PP a =，宽1422P P a =，,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体，下列关于该多面体的命题：①该多面体是三棱锥；②平面⊥BAD 平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ；④该多面体外接球的表面积为24πa ； 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】将该多面体放入长方体中，利用题干条件求出长方体的长、宽、高，从而得到该多面体是三棱锥，①正确；求出各边长，求出222AP CP AC +=，得到AP ⊥CP ，再由AP ⊥BD 即可证明线面垂直，从而得到面面垂直，②正确；同理可证明出平面BAC ⊥平面ACD ，③正确；长方体的外接球即为该几何体的外接球，求出长方体的体对角线，从而求出外接球半径和表面积. 【详解】将该多面体放入长方体中，如图，设长、宽、高分别为,,x y z ， 则222222222433x y a x z a y z a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：22x a y a z a ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，满足题意，从而该多面体是三棱锥，①正确；由勾股定理得：2232AP CP a a a ==-，而AC 2a =，所以222AP CP AC +=， 由勾股定理逆定理得AP ⊥CP ，因为3AB AD a ==，P 为BD 中点，所以AP ⊥BD ， 因为BD CP P =，,BD CP ⊂平面BCD ，所以AP ⊥平面BCD ， 因为AP ⊂平面BAD ，所以平面⊥BAD 平面BCD ，②正确；取AC 的中点H ，连接HB ，HD ，因为3AB BC DA DC a ====，故BH ⊥AC ，DH ⊥AC ， 且2232BH DH a a a =-=，又2BD a =，故222BH DH BD +=，所以BH ⊥DH ， 因为,DH AC ⊂平面ACD ，且DH AC H ⋂=，所以BH ⊥平面ACD ，又因为BH ⊂平面BAC ，所以平面BAC ⊥平面ACD ，③正确； 从图形可知，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，2225x y z a ++5a， 故该多面体外接球的表面积为2245π5πa a =⎝⎭，④错误. 故选：D【点睛】在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解.二、填空题5．已知复数z 满足i 1z =-(i 是虚数单位)，则复数z =______．【答案】i【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得. 【详解】解：因为i 1z =-，所以211ii i iz --⨯===. 故答案为：i6．已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面α的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l α，则实数x =_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】因为//l α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直， 即(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=，解得：10x =. 故答案为：107．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______． 【答案】8π【分析】圆柱的侧面展开为矩形，求出矩形的长和宽，得到侧面积.【详解】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π24π⨯=，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为24π8π⨯=. 故答案为：8π8．已知向量(2,1),(1,1)a b ==-，且a 与a b λ+的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_____． 【答案】(),5-∞-【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数λ的取值范围.【详解】()()()2,11,12,1a b λλλλ+=+-=+-， 因为a 与a b λ+的夹角为钝角，所以所以()()()2,12,142150a a b λλλλλλ⋅+=⋅+-=++-=+<，解得：5λ<-， 且a 与a b λ+不反向共线，即()()2120λλ--+≠，解得：0λ≠， 综上：5λ<-，故答案为：(),5-∞-.9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则直线1BB 与平面11ACC A 的距离是__． 【答案】2【分析】先证明出1//B B 平面11ACC A ，得到B 到平面11ACC A 的距离即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离，作出辅助线，证明出BD ⊥平面11ACC A ，BO 即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离，求出2BO =即为答案.【详解】因为11//B B A A ，1A A ⊂平面11ACC A ，1B B ⊄平面11ACC A ， 所以1//B B 平面11ACC A ，故点B 到平面11ACC A 的距离即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离， 连接BD 交AC 于点O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， 又因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A A ⊥BD ， 因为1A AAC A =，,1A A AC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，故BO 即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离， 因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以221122222BO BD ==⨯+=， 故直线1BB 与平面11ACC A 的距离为2.210．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，点E 和F 分别为线段1CC 和1CD 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为__．【答案】16【分析】作出辅助线，找到1PQD ∠或其补角为异面直线AE 与BF 所成角，再求出1PQD 的三边长，利用余弦定理求出答案.【详解】取AB 的中点Q ，连接1D Q ， 因为点F 为1CD 的中点，所以1D F QB =， 又1//D F QB ，故四边形1D FBQ 为平行四边形， 所以1//D Q FB ，连接BE ，取BE 的中点P ，连接PQ ， 因为Q 为AB 的中点，所以PQ //AE ，所以1PQD ∠或其补角为异面直线AE 与BF 所成角，过点P 作PG ⊥1CC 于点G ，PM ⊥BC 于点M ，连接11,,D G QM D A ， 因为12,1AB AA AD ===，所以22115D A AD DD =+2211516D Q AD AQ ++ 因为点E 为线段1CC 中点，则1122PM CE ==，1122PG BC ==，113222C G =-=，12BM =，由勾股定理得：22111195442D G D C C G =+=+=， 22112512644D P D G PG =++，221514MQ BQ BM =+=+=， 2215644PQ MQ PM =++=在1PQD 中，由余弦定理得：22211116266144cos 266262PQ D Q PD PQD PQ D Q +-+-∠===⋅⨯⨯，异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为16.故答案为：1611．已知P 是二面角l αβ--内的一点，PA 垂直于α于,A PB 垂直于β于,83,8B AB PA PB ===，则二面角l αβ--的大小为__． 【答案】3π 【分析】设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，可证得AOB ∠即二面角l αβ--的平面角，在APB △由余弦定理求出APB ∠，即可求出二面角l αβ--的大小．【详解】解：设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，由于PA α⊥，PB β⊥，l ⊂α，l β⊂，故PA l ⊥，PB l ⊥，又PA PB P =，,PA PB ⊂平面PAB ， 故l ⊥平面PAB ，又OA ，OB ⊂平面PAB ，故l OA ⊥，l OB ⊥， 所以AOB ∠为二面角l αβ--的平面角，由于PA α⊥，PB β⊥，OA α⊂，OB β⊂，故PA OA ⊥，PB OB ⊥， 故在四边形PAOB 中，APB ∠与AOB ∠互补， 又3AB =8PA PB ==，在APB △中由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠， 即()2228388288cos APB =+-⨯⨯∠，解得1cos 2APB ∠=-， 又0APB π<∠<，所以23APB ∠=π， 故233AOB πππ∠=-=，则二面角l αβ--的大小为3π． 故答案为：3π． 12．已知球O 的半径为1，球面上有三点A ，B ，C 且2AB BC AC ===，则球面上的点到平面ABC 的距离的最大值为__． 【答案】333+ 【分析】求出等边三角形ABC 外接圆半径，进而求出圆心O 到平面ABC 的距离，从而延长EO 交球与点D ，则点D 到平面ABC 的距离最大，求出最大距离.【详解】显然三角形ABC 为等边三角形，设点E 为三角形ABC 的中心， 则OE ⊥平面ABC ，连接BO ，BE ，则1BO =，BE 为三角形ABC 的外接圆半径， 因为2AB BC AC ===，由正弦定理得：262sin 603BE ==︒， 由勾股定理得：2233OE OB BE =-=， 延长EO 交球与点D ，则点D 到平面ABC 的距离最大，最大距离为333OD OE ++=.33+13．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由余弦定理求出3BD AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得： 2212cos 14432BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠+-⨯因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥， 直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面1AB =为平行四边形， 故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影， 设BC 与AD 相交于点M ，11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ， 则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒， 故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===， 即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点， 连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大， 如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =， 由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =； 如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ， 其中2211112A N A B B N =+=， 设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：()2221122AO A N ON h =+=+-，2221OC OE EC h =+=+， 故()22221h h +-=+，解得：54h =， 此时外接球半径为25411164OC =+=，故外接球表面积为41414ππ164⨯=，但因为点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.14．ABC 中，π,1,2A AB AC ==A 的直线l 在平面ABC 上，且ABC 在直线l 的同一侧，将ABC 绕直线l 旋转一周所得的几何体的体积的最大值为______．【分析】作出图形，得到将ABC 绕直线l 旋转一周所得的几何体体积为台体OD 的体积减去上下两个圆锥的体积，设出角度，表达出台体体积及两个圆锥体积，从而表达出旋转一周所得的几何体的体积πsin 3V θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，正弦函数图象，求出最大值.【详解】因为π,1,2A AB AC ===2BC =，将ABC 绕直线l 旋转一周所得的几何体体积为台体OD 的体积减去上下两个圆锥的体积， 设π0,2BAD θ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则OCA θ∠=，sin sin ,sin BD BA AO CA θθθθ====，cos cos ,cos AD AB CO AC θθθθ====，所以台体OD 的体积为(221ππ3BD OC OD ⋅+⋅⋅ ()()221πsin 3πcos sin cos cos 3θθθθθθ=⋅+⋅⋅⋅， 圆锥AD 的体积为2211ππsin cos 33BD AD θθ⋅⋅=⋅⋅，圆锥AO 的体积为221πcos sin 3OC AO θθ⋅⋅=⋅，故旋转一周所得的几何体的体积为()()222211πsin 3πcos sin cos cos πsin cos cos sin 33V θθθθθθθθθθ=⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅)33221π3cos cos 3sin cos 3θθθθθθ=++()()22221πsin cos 3cos cos sin 3θθθθθθ⎤=+++⎦)1ππ3cos sin 33θθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π,336θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin 3V θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最大值，.23.三、解答题15．已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥．(1)求tan α和sin 2α的值； (2)若5sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值． 【答案】(1)13-；35(2)π4【分析】（1）由m n ⊥得0m n ⋅=，化简可求tan α，结合万能公式可求sin 2α； （2）采用整体法，由()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，结合角度范围，分别求出()cos ,sin ,cos αβαα+，进而得解. 【详解】（1）因为m n ⊥，所以3sin cos 0αα--=，即1tan 3α=-；222122sin cos 2tan 33sin 22sin cos 1sin cos 1tan 519ααααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=====-+++； （2）由（1）得10sin α=，310cos α=，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π,22⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭αβ，因为()5sin 5αβ+=-，所以3ππ,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()25cos 5+=-αβ，所以()()531025102sin sin cos cos sin 5105102βαβααβα⎛⎫⎛⎫=+-+=-⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4β=. 16．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，π2BAD BCD ∠=∠=，1,2AB BC PA BD ====．过点C 作直线AB 的平行线交AD 于,F G 为线段PD 上一点．(1)求证：平面PAD ⊥平面CFG ；(2)求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)357π-【分析】（1）证明出AB ⊥平面P AD ，由CF //AB ，得到CF ⊥平面P AD ，故证明面面垂直； （2）作出辅助线，找到∠BED 为平面PBC 与平面PDC 所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ， 因为π2BAD ∠=， 所以AB ⊥AD ，因为P A AD =A ，,PA AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，因为CF //AB ，所以CF ⊥平面P AD ， 因为CF ⊂平面CFG ，所以平面CFG⊥平面P AD；（2）PA⊥平面ABCD，AD，AC⊂平面ABCD，所以P A⊥AD，P A⊥AC，因为π2BAD BCD∠=∠=，1,2AB BC PA BD====，由勾股定理得：AD=∠ADB=30°，同理可得CD=∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，AC CD==故PBPCPD过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，在△BCP中，由余弦定理得：222cos2BC CP PBBCPBC CP+-∠==⋅则cosCE BC BCP=∠=BE=在△CDP中，由余弦定理得：222cos2PC CD DPPCDPC CD+-∠==⋅在△CDE中，2229752cos322828 DE CE CD CE CD PCD=+-⋅∠=+-=，因为2223CE DE CD+==，所以DE⊥PC，所以∠BED为平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角，由余弦定理得：22219754cos2BE DE BDBEDBE DE+-+-∠===⋅故平面PBC与平面PDC所成二面角的大小为π-.17．如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸ABCDE ，其中3cm DE =，2π1cm,3BC CD BCD CDE ==∠=∠=，π3BAE ∠=．现将彩纸沿BE 向内进行折叠．(1)求线段BE 的长度；(2)若ABE 是等边三角形，折叠后使AB ⊥BC ，求直线AB 与平面BCDE 的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥A BCDE -，求该四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)23cm BE = (2)π3373【分析】（1）作出辅助线，得到CDF 为等边三角形，求出2cm BF =，4cm EF =，利用余弦定理求出答案；（2）作出辅助线，证明线面垂直，得到ABQ ∠即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，显然π3ABE ∠=，从而求出答案；（3）先求出四边形BCDE 的面积，要想折叠后得到的四棱锥A BCDE -体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面ABE ⊥平面BCDE ，且需要△ABE 边BE 上的高最大， 再利用余弦定理及基本不等式得到BE 上的高最大值，从而求出体积的最大值. 【详解】（1）延长BC ，ED 相交于点F ， 因为2π3BCD CDE ∠=∠=，所以π3FCD FDC ∠=∠=， 故CDF 为等边三角形，所以1cm CF DF ==，π3F ∠=因为3cm DE =，1cm BC =，所以112cm BF =+=，134cm EF =+=，在BEF △中，由余弦定理得：22212cos 416224122BE BF EF BF EF F =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以23cm BE =；（2）由（1）知：2cm BF =，4cm EF =，23cm BE =， 所以222BF BE EF +=，由勾股定理逆定理得：BC ⊥BE ， 因为AB ⊥BC ，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面ABE ，取BE 的中点Q ，连接AQ ，CQ ， 因为AQ ⊂平面ABE ， 所以BC ⊥AQ ，因为ABE 是等边三角形， 由三线合一得：AQ ⊥BE ，因为BE ，BC ⊂平面BCDE ，BE BC B =， 所以AQ ⊥平面BCDE ，所以ABQ ∠即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，显然π3ABE ∠=， 故直线AB 与平面BCDE 的所成角大小为π3.（3）延长BC ，ED 相交于点F ，由（1）（2）得：BF ⊥BE ，且CDF 为等边三角形， 故21122323cm 22BEFSBF BE =⋅=⨯⨯，21π3sin 23CDFS CF DF =⋅=， 故四边形BCDE 的面积为237323BEFCDFS S-==， 要想折叠后得到的四棱锥A BCDE -体积最大，则要四棱锥的高最大， 故要使平面ABE ⊥平面BCDE ，且需要△ABE 边BE 上的高最大， 因为π3BAE ∠=，3cm BE =，故只需使△ABE 的面积最大， 由余弦定理得：22222121cos 222AB AE BE AB AE BAE AB AE AB AE +-+-∠===⋅⋅，故2212AB AE AB AE +=⋅+，由基本不等式得：222AB AE AB AE +≥⋅，即122AB AE AB AE ⋅+≥⋅， 所以12AB AE ⋅≤，当且仅当AB AE =时，等号成立， △ABE 的面积最大值为21πsin c 3323m AB AE ⋅=，2333cm 23⨯=，该四棱锥的体积的最大值为3173733=cm 344⨯⨯.18．如图，斜三棱柱111ABC A B C 中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．(1)求证：直线1//A D 平面11BC D ；(2)设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱17AA =且异面直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角； (3)若122,2,tan AB AC BC A AB ===∠=111ABC A B C 内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C 的高． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)23θ= 236+【分析】（1）证明出四边形11A D BD 为平行四边形，从而11//A D BD ，得到线面平行； （2）先证明出E 为三等分点，然后运用余弦定理求出1AB 可得；（3）因为在三棱柱111ABC A B C 内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.【详解】（1）斜三棱柱111ABC A B C 中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点， 所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //， 所以四边形11A D BD 为平行四边形， 所以11//A D BD ，因为1BD ⊂平面11BC D ，1A D ⊄平面11BC D ， 所以1//A D 平面11BC D ；（2）因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ， 因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ， 所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ， 所以111C D AB ⊥,又1BC 与1AB 互相垂直，故1AB ⊥面11BC D ,得11⊥AB BD .即11B D E 为直角三角形，在11ABB A 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =， 由余弦定理可得：()2222221111111111132cos 21232t B E AB A B AA t A B A B D AB A B t +-+-⎝⎭∠====⋅⨯⨯解之：t =，所以11π,6A B A ∠=故112D E =1111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB ∴==∴=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD ∴⊥在11BD C △中，11tan D BC ∠=.1111,,A D BC BD BC == （3）过B 作1BP AA ⊥于E ，过P 作1FP CC ⊥于F ，连BPBPF ∴为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,AB AC BC ===222AC BC AB +=， 故AC ⊥BC ，则112CD AB ==设,BE =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得t =第 21 页 共 21 页 2326,33BP AP ==； 由最小角定理11221cos cos cos 263A AC A AB BAC ∠=∠∠=⨯= 12sin 3EF AC A AC =∠= 由CD ⊥面11ABB A ,易知1BE CC ⊥，23BF PF BF ∴===内切圆半径为：13r = 则12362sin .9h r r r A AB +=++∠=【点睛】定义法求解二面角，需要先作出辅助线，找到二面角的平面角，再求出各边长，利用余弦定理求解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.。

专题03第3-4章幂、指数与对数（函数）幂、指数与对数1．（2023上·上海普陀·高一校考期末）已知lg 2a =，则lg50=（用a 表示）．2．（2022上·上海杨浦·高一统考期末）设0a >，下列计算中正确的是（）A ．4334a a a⋅=B ．4334a a a÷=C ．4334a a⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4334a a-⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2023上·上海金山·高一统考期末）将53a a ⋅化为有理数指数幂的形式为．4．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知32a =，35b =，若用a 、b 表示6log 5，则6log 5=．5．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）已知正数a 和b 满足1223,1a b a b =+=，用a 及b 表示18log 12=.6．（2021上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）23()ln(1)1004(,,)f x ax b x c x x a b c =+⋅++++∈R 且3(lglog 10)1f =，则(lglg3)f 的值为．幂函数7．（2023下·上海宝山·高一统考期末）若幂函数()()2151m f x m m x +=-+为奇函数，则该函数的表达式()f x =.8．（2021上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）若幂函数22m m y x -++=（m 为整数）的定义域为R ，则m 的值为．9．（2023上·上海普陀·高一校考期末）已知函数22()kk f x x -++=在区间(0,)+∞上是严格增函数，则实数k 的取值范围是．10．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数()y f x =的表达式为()1,111,122x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <且()()f m f n =，则n m -的取值范围是．11．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知()2f x x =和()kg x x =，其中{}2,1,1,2,3k ∈--，若()()f x g x >对任意的()1,x ∈+∞成立，则所有的k 的值为．12．（2023下·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）若关于x 的不等式3843843833833843833843832xx a xx a +++--≥的解集为R ，则实数a 的最小值为.指数函数13．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）若指数函数的图像经过点3,272⎛⎫⎪⎝⎭，则其解析式为()f x =．14．（2023下·上海宝山·高一统考期末）无论a 为何值，函数()310,1x y a a a -=+>≠的图象恒经过一个定点，该定点坐标为.15．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数55x y x =+的单调增区间是.16．（2023上·上海静安·高一校考期末）若关于x 的方程34xa ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根，则实数a 的取值范围．17．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）若()()8,728,7x a x f x a x x -⎧≤⎪=⎨-->⎪⎩在(),∞∞-上是严格增函数，则实数a 的取值范围是．18．（2022下·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期末）已知函数()4f x x x=+，()21xg x a =+-，若对于任意11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是.对数函数19．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）设()0,1a ∈，则函数()log 1a y x =-的定义域是．20．（2022·北京顺义·校考模拟预测）已知函数()2lg 1f x x x =+-，则不等式()0f x >的解集是.21．（2022上·上海松江·高一统考期末）设平行于y 轴的直线l 分别与函数2log y x =和2log 1y x =-的图像相交于点A 、B ，若在函数2log y x =的图像上存在点C ，使得ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点C 的横坐标为.22．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若不等式2log 69a x x x <+-在[]2,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为．23．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是严格增函数，()10f -=，则不等式()2log 0f x <的解集为．24．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知函数()()220232023log 120232x x f x x x -=+++-+，若()()2564f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是.第3-4章综合解答题25．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）解答下列问题：(1)用ln ,ln ,ln x y z 表示43ln x y z；(2)已知23x y M ==，且231x yxy+=，求M 的值．26．（2022上·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）已知幂函数()()24Z m mf x x m -+=∈的图象关于y 轴对称，且在区间()0,+∞上是严格增函数．(1)求m 的值；(2)求满足不等式()()211f a f a -<+的实数a 的取值范围．27．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数()33x xaf x =+.(1)讨论函数()f x 的奇偶性，说明理由；(2)若函数()f x 在(],2x ∈-∞上为减函数，求实数a 的取值范围.28．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()1lg 1xf x x+=-.(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)判断并证明()f x 的单调性：(3)求解不等式()()()lg 20f f x f +>.1．（2021上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）23()ln(1)1004(,,)f x ax b x c x x a b c =+⋅++++∈R 且3(lglog 10)1f =，则(lglg3)f 的值为．2．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数222833x x my x x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，的值域为(,2m⎤-∞⎦，则实数m 的取值范围是．3．（2022上·上海黄浦·高一格致中学校考期末）设函数()()221202120211-++-=+x xx f x x 在区间[]2022,2022-上的最大值和最小值分别为M ､m ，则M m +=.4．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得()()12f x f x C =，则称常数C 是函数()f x 在D 上的“倍几何平均数”.已知函数()2xf x -=，[]1,2x ∈，则()f x 在[]1,2上的“倍几何平均数”是.5．（2021上·湖北宜昌·高三校联考期末）某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是．二、单选题6．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）若18log 9185b a ，==，则36log 45等于A ．2a ba++B ．2a b a+-C ．2a b a+D ．2a b a +7．（2022上·上海松江·高一统考期末）已知函数13,0()3,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩，若123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，则2123()x f x x x ⋅+的取值范围是（）A ．10,8⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3(0,)2D ．30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦8．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数(),1e ln 1,ea m x x f x x x x ⎧--<<⎪=⎨⎪-≥⎩（e是自然对数的底数）的最小值为0，关于()f x 有如下4个命题：①若()1,0a ∈-，则e ea m ≥+；②若()2,e a ∈-∞-，则22e e a m <--；③若()0,1a ∈，则e ea m ≥+；④若()2e ,a ∞∈+，则1m a ≥+.其中真命题的个数为（）个A ．1B ．2C ．3D ．49．（2021上·上海·高一校考期末）（1）设α，β是方程2lg lg 30x x --=的两根，求log log αββα+的值．（2）已知23a b c ==，且111a b+=-，求c 的值．10．（2023上·上海金山·高一统考期末）某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI ））与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足下图连续曲线，并测得当天AQI 的最大值为103．当[]0,14x ∈时，曲线是二次函数图像的部分；当(]14,24x ∈时，曲线是函数()2102log 13y x =--图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．(1)求当[]0,14x ∈时，函数()y f x =的表达式；(2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．11．（2022上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知x ∈R ，定义：()f x 表示不小于x 的最小整数，例如：(1.4)2f =，(3.8)3f -=-.(1)若0x <，且满足(2021)2022f x -=，求实数x 的取值范围；(2)若0x >，且满足1(6)(3())3xf f x f x +=+，求实数x 的取值范围.12．（2022上·湖北·高三校联考开学考试）已知函数()()2log 41xf x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20xg x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.13．（2021上·上海青浦·高一统考期末）已知函数()y f x =，若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =是定义域D 上的“k -利普希兹条件函数”.(1)判断函数21y x =+是否为定义域11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“1-利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；(2)若函数y x =是定义域[]1,4上的“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得1my x =-是定义域[)2,+∞上的“1-利普希兹条件函数”，若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.。