2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题09对数与对数函数(教学案)含解析

第9讲对数与对数函数
考试
说明
1、理解对数的概念及其运算性质,明白用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对
数;了解对数在简化运算中的作用。

２。

理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特别点,会画底数为２,１0,
的对数函数的图像、
3、体会对数函数是一类重要的函数模型;
４、了解指数函数y＝aｘ(a>0且a≠1)与对数函数y＝loｇa x(a>0且ａ≠１)互为反函数、
考情
分析
考点考查方向考例
对数的概念及其运算对数的概念及其运算2015全国卷Ⅱ５
对数函数的图像对数函数图像的识别与应用
对数函数的性质
单调性、比较大小２017全国卷Ⅰ9
2013全国卷Ⅱ８
【重温教材】必修1 第7７页至第78页
【相关知识点回顾】完成练习册【知识聚焦】
【探究点一】对数式的化简与求值:【练习册】02３页
【探究点二】对数函数的图像及应用:【练习册】02３页
【探究点三】对数函数的性质及应用:【练习册】0２３页
１、已知函数f(ｘ)=ln ｘ+ln (2—x),则
()
(x)在(0,2)单调递增 (ｘ)在(0,2)单调递减
＝ｆ(x)的图像关于直线x=1对称=f(ｘ)的图像关于点(1,0)对称
２、若a＞b＞1,0〈c〈1,则() <b cﻩﻩﻩ<ｂa c ＜b log a c ﻩ＜lｏg b c
3、设函数则=ﻩ()
ﻩ、6 Ｃﻩ。

第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

课标分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。

学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。

课标对本节内容要求主要包括：① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

② 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③ 知道指数函数y ax = (01)a a >≠且与对数函数log (01)a y x a a =>≠且互为反函数.学情分析本节授课对象是高二即将进行结业考试的学生，是在学习了高中必修知识基础上，对前面所学内容的复习升华。

因此本节课的主要目标是让学生在熟练掌握有关对数和对数函数性质基础知识的基础上，突破对典型题目的解答和掌握。

对于高二的学生来说，已具备一定的观察分析、解决问题的能力，对类比、转换、分类讨论、数形结合等基本数学思想方法已有较好的体验，并在前几节课的对指数函数的复习基础上，类比解决对数函数问题。

大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。

通过对指数函与指数函数的复习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。

因此，学生已具备了探索发现研究对数函数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

2.5对数与对数函数考情分析1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 基础知识 1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N(a ＞0且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)几种常见对数2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①alog a N ＝N ；②log a a N＝N(a ＞0且a≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d.(3)对数的运算法则如果a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log am M n＝n m log a M.3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 注意事项1.对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．2.解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．3.画对数函数4.对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较． 典型例题题型一 对数式的化简与求值【例1】计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg 2)lg 2lg 50lg25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+ 解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯213332113222118811⨯=+-+-⨯=-=（2）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++ (11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2=++=+=（3）原式lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 3()()()()lg 3lg 9lg 4lg8lg 32lg 32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅= 【变式1】已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x--+--==-+-题型二 对数值的大小比较【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f(log 123)＝f(－log 49)＝f(log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)＜f(log 123)＜f(log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B【变式2】设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e ＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C. 答案 C题型三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝log a (2－ax)，是否存在实数a ，使函数f(x)在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．. 解 ∵a ＞0，且a≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f(x)＝log a (2－ax)在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．【变式3】 已知f(x)＝log 4(4x－1) (1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域． 解 (1)由4x－1>0解得x>0， 因此f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f(x 1)<f(x 2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f(2)＝log 415， 因此f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]． 重难点突破【例1】设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.【例2】► (2018辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．巩固提高1． 2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2018·黄冈中学月考)函数f(x)＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f(x)，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R.由y ＝log 2t ，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(2018汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析 法一 当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1。

2019-2020学年高考数学一轮复习对数与对数函数学案理知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a 1 与a<1两种情况。

3、 反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

一、题型探究探究一：对数的运算例1：【2014辽宁高考理第3题】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>例2：已知=a ，=b ，用a ， b 表示探究二：对数函数及其性质例3：【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞例4：已知，若函数y=的定义域为R ，函数恒为正数，求实数a 的取值范围。

例5：下列关系 中，成立的是 （A ）、lo>>(B)>> lo(C) lo > > (D) lo >探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例 6：已知 ， ，且<1,则x 的取值范围是 。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 (5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【必会结论】1．对数的性质(a ＞0且a ≠1) (1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)a log aN＝N .2．换底公式及其推论(1)log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)；(2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a ；(3)log am b n＝n mlog a b ；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．高频考点一 对数式的运算例1、(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值为________．答案 3解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg 22＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.(2)已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝________.答案 2解析 因为3a＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412，1a ＝log 12 3，1b ＝log 124，所以1a ＋1b＝log123＋log124＝log1212＝2.【变式探究】(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．【方法规律】对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．解析 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. (2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 答案 (1)A (2)－1高频考点二 对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 答案 (1)B (2) a >1【方法规律】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2 ) D ．(2，2) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案 (1)C (2)B高频考点三 对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b解析 由y ＝x c 与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．答案 B【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四 和对数函数有关的复合函数 例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax ， 则t(x)＝3－ax 为减函数，x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a ， 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0.∴a<32.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ． [1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)D (2)A (3)C解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log33<log32<log33，log51<log52<log55，log23>log22， ∴12<a<1,0<b<12，c>1，∴c>a>b. (2)令函数g(x)＝x2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12－－，解得a>1或－1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、[2017·天津高考]已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，g (x )为偶函数． 又f (x )在R 上递增，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，且f ′(x )>0，g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )在[0，＋∞)上递增．a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，由对数函数y ＝log 2x 的性质，知3＝log 28>log 25.1>log 24＝2>20.8，∴c >a >b .故选C.【变式探究】(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<a<cD ．a<c<b(2)设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>bD ．c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b解析 (1)根据幂函数y ＝x0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根据对数函数y ＝log0.3x 的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1. 所以b<a<c.(2)∵a＝log2π>log22＝1，b ＝log 12π＝log21π<log21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b<c<a.(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝310log 35.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log3x ，y ＝log4x 的图象，如图所示．由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1，∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b.答案 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.高频考点六 有关对数运算的创新应用问题例6、[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【感悟提升】在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.【变式探究】里氏震级M 的计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．答案 6 10000解析 根据题意，由lg 1000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震的最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．1. （2018年天津卷）已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.，本题选择D选项.2. （2018年天津卷）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x 00 +极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x 1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值. 因为，故，所以.下面证明存在实数t ，使得.由（I ）可得，当时，有，所以存在实数t ，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线的切线.1、[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093.故选D. 答案 D2、[2017·天津高考]已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，g (x )为偶函数． 又f (x )在R 上递增，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，且f ′(x )>0，g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )在[0，＋∞)上递增．a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，由对数函数y ＝log 2x 的性质，知3＝log 28>log 25.1>log 24＝2>20.8，∴c >a >b .故选C.1、【2016·浙江卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．2、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b解析 由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确．∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．答案 B【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考浙江，理12】若4log 3a =，则22aa-+= ．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa . （2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D【解析】因为a x＜a y(0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D.（2014·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．（2014·广东卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________． 【答案】50（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·天津卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.（2014·重庆卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．【答案】－14【解析】f (x )＝log 2 x ·log2(2x )＝12log 2 x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14. （2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( ) A ．{x|x<－1或x>－lg 2} B ．{x|－1<x<－lg 2} C ．{x|x>－lg 2} D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·山东卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④【解析】①中，当a b≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln ＋(a b)＝ln a b＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b<1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b)＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立； ③中，当a b ≤1，即a≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln a b ＝ln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2， 又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln a ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0， 所以a>b>c ，选D.（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D.。

第9节对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [常用结论与微点提醒] 1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝nm log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C5.计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案 －12 3 3考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 (1)－20 (2)D规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2016·浙江卷)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.(2)(2018·日照调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 (1)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52， 所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b＝b a，所以b 2b＝b b2，即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4.(2)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 (1)4 2 (2)A考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2018·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案 (1)B (2)(1，＋∞)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A.0<a －1<b <1 B.0<b <a －1<1 C.0<b －1<a <1 D.0<a －1<b －1<1(2)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0解析(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，即log a a－1<log a b<log a1，所以，a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.答案(1)A(2)B考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度1比较对数值的大小【例3－1】(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0<c<1，则()A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b解析由y＝x c与y＝c x的单调性知，C，D不正确；∵y＝log c x是减函数，得log c a<log c b，B正确；log a c＝lg clg a，log b c＝lg clg b，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.又a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴log a c与log b c的大小不能确定.答案 B命题角度2 解对数不等式【例3－2】 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b(2)(2018·长春模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )有最小值12，则实数a 的值等于________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]. ①若a >1，由于函数f (x )有最小值12， 则g (x )应有最小值a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a －6， 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0<a <1，由于函数f (x )有最小值12， 则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意，综上，实数a ＝9. 答案 (1)D (2)9基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·濮阳检测)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 log 2(2x －3)<1⇔32<x <52.又4x >8⇔x >32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，故“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件. 答案 A2.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.答案 A3.(2018·成都诊断)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析 由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足.答案 C4.(2018·广东省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k (k 为常数)，则f (ln 5)的值为( )A.4B.－4C.6D.－6解析 易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1， 所以f (ln 5)＝－f (－ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4.答案 B5.已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A.(a －1)(b －1)<0B.(a －1)(a －b )>0C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<b a<1， 则b >a >1或0<b <a <1.故(b －a )(b －1)>0.答案 D二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案 －17.(2018·山西康杰中学联考)设函数f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)，且f (x 0)＝2，则x 0＝________.解析 易知x >1，且f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)＝lg x ，∴f (x 0)＝lg x 0＝2，则x 0＝100. 答案 1008.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).答案 (0，＋∞)三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝ln(a x ＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )>a ln a 的解集是( )A.(a ，＋∞)B.(－∞，a )C.当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )D.当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)解析 依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x ＝x ln a .∴f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a .当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a .答案 C12.(2018·九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4，4).答案 [－4，4)13.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。

2019-2020学年高考数学一轮复习 对数和对数函数教案教学内容学习指导 即使感悟 【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。

2、理解对数函数的概念和性质。

并能利用对数函数的图像研究性质。

3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。

【学习重点】对数函数的图形和性质。

x【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。

【回顾预习】 一回顾知识： 1、对数(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做 ，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． （2）、几种常见对数 对数形式 特点 记法一般对数 以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数自然对数 以 为底的对数常用对数 以 为底的对数（3）对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝ ②nma log ＝ ； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④nm b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数图像 1>a 10<<a定义域 值域过定点 单调性回顾知识3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线 对称． 基础自测：1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1⑤()yaxa y x alog log log =-⑥()y x a yxa -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭⎫⎝⎛b则 ( D )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03已知111222log log log b a c <<,则 ( A )A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b>> 4、()2321log -=x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤⎝⎛1，32【自主合作探究】 例1、计算：（1）222(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1（2）321lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066++++. =1例2、已知函数1()log 1axf x x+=-(0,1)a a >≠(1)求()f x 的定义域; (2)讨论()f x 的单调性;(3)求使()0f x 的x 的取值范围.解析：（1）(1+x)/(1-x)>0 (x+1)/(x-1)<0 ∴-1<x<1定义域为(-1,1)（2）f(x)+f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)+loga[(1-x)/(1+x)] =loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)] =loga(1)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x) =-1+2/(1-x)=x ∈(-1,1)时，x 增大，1-x 递减， 1/(1-x)递增，-1+1/(1-x)递增 ∴t=(1+x)/(1-x)是增函数 当a>1时，y=logat 递增，f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数 当0<a<1时，y=logat 是减函数∴ f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数 例3、已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)，求： (1)求函数的定义域（2）求函数f (x )的单调区间； 解：（1）∵∴-1＜x ＜3∴函数f （x ）的定义域为（-1，3）（2）函数f （x ）在（-1，1）上单调递增；函数f （x ）在（1,3）上单调递减。