2018年高考数学 命题角度2.3 应用正弦定理和余弦定理求解三角形中的范围问题大题狂练 理

三角函数考纲原文 （八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x ,y =t a n x 的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos xx x= （5）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（十）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.名师解读对于三角函数与三角恒等变换的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.样题展示考向一 三角恒等变换样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-样题2已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α= AB CD 【答案】B12cos()13αβ-=⇒ 5sin()13αβ-=，34sin()cos()55αβαβ+=-⇒+=-，则sin 2sin[()()]ααβαβ=-++ sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=-++-+5412356()()13513565=⨯-+⨯-=-，故选B. 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.考向二 三角函数的图象和性质样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D样题4（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.样题5 （2017年高考浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】（1）由2sin3π=21cos 32π=-，22211()()()322f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．考向三 利用正、余弦定理解三角形()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin u A y sin =样题6 （2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．综上可得，△BCD的面积为2，cos 4BDC ∠=．样题7 （2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b=，c =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--= .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.样题8（2017天津文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c --．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．考向四 解三角形的应用样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）求D 救援中心与着陆点A 间的距离．【解析】（1）由题意知,PA AC PA AB ⊥⊥，则,PAC PAB △△均为直角三角形，在Rt PAC △中，1,60PA PCA =∠= ，解得AC =；在Rt PAB △中，1,30PA PBA =∠= ，解得AB =又90CAB ∠= ，则3BC ==．即,B C 万米.。

2018年高考试题训练一：2018年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：在平面四边形ABCD 中，090=∠ADC ，045=∠A ，2=AB ，5=BD 。

（Ⅰ）求ADB ∠cos ；（Ⅱ）若22=DC ，求BC 。

本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。

如下图所示：根据正弦定理得到：A AB ADB BD ADBAB A BD sin sin sin sin ⋅=∠⋅⇒∠=525222sin sin =⨯=⋅=∠⇒BD A AB ADB 。

根据三角函数同角之间的基本关系得到：ADBADB ∠-=∠22sin 1cos 25232521=-=。

根据大边对大角得到：ADBADB A ADB BC AB ∠⇒<∠⇒<∠⇒<045为锐角523cos 0cos =∠⇒>∠⇒ADB ADB 。

（Ⅱ）本题目是标准的余弦定理已知两边和两边夹角的经典题型。

在BCD Rt ∆中：5=BD ，22=CD ，ADBBDC ∠-=∠090)90cos(cos 0ADB BDC ∠-=∠⇒。

诱导公式：090终边在y 轴正半轴ADB ∠-⇒090是第一象限角cos ⇒在第一象限为正，090是090的奇数倍cos ⇒名称改为sin 名称。

52sin )90cos(cos 0=∠=∠-=∠ADB ADB BDC 。

根据余弦定理得到：BDCBD DC BD DC BC ∠⋅⋅⋅-+=cos 2222525833525222258=⇒=-=⋅⋅⋅-+=BC 。

训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ∆的面积为。

本题解析：本题目是边角转化与余弦定理综合题型。

边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把方程每一项的边全部转化为对角正弦，保持次数不变。

第四章 三角函数与解三角形第六节 正弦定理和余弦定理考点1 利用正、余弦定理解三角形（2018·浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝√7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.【解析】如图，由正弦定理asin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝√7×√32＝√217. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1（舍去）． 【答案】√217 3（2018·天津卷（文））在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知b sin A ＝a cos (B −π6).（1）求角B 的大小；（2）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A －B ）的值．【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sinB ．又由b sin A ＝a cos (B −π6)，得a sin B ＝a cos (B −π6)，即sin B ＝cos (B −π6)，可得tan B ＝√3. 又因为B ∈（0，π），所以B ＝π3.（2）在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝√7.由b sin A ＝a cos (B −π6)，可得sin A ＝√217 .因为a ＜c ，所以cos A ＝2√77.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝4√37， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17. 所以sin （2A －B ）＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝4√37×12－17×√32＝3√314.【答案】见解析（2018·全国卷Ⅲ（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C等于（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 【解析】∵S ＝12ab sin C ＝a 2+b 2−c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.∵C ∈（0，π），∴C ＝π4.【答案】C（2018·全国Ⅱ卷（文））在△ABC 中，cos C 2＝√55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于（ ） A ．4√2B ．√30C ．√29D ．2√5 【解析】∵cos C 2＝√55， ∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×(√55)2－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×(−35)＝32，∴AB ＝√32＝4√2.【答案】A（2018·全国Ⅱ卷（文））如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2√2，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】（1）证明 因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2√3.如图，连接OB ．因为AB ＝BC ＝√22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB ．因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ，作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由（1）可得OP ⊥CH ，因为OM ∩OP ＝P ，OM ，OP ⊂平面POM ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题意可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝4√23，∠ACB ＝45°，所以在△OMC 中，由余弦定理可得，OM ＝2√53， CH ＝OC·MC sin ∠ACB OM ＝4√55.所以点C 到平面POM 的距离为4√55.【答案】见解析（2018·全国Ⅰ卷（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．【解析】∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sinC ．又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2+c 2−a 22bc ＝82bc ＝4bc ＞0， ∴cos A ＝√32，bc ＝4cos A ＝8√33， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8√33×12＝2√33. 【答案】2√33 （2018·北京卷（文））若△ABC 的面积为√34（a 2＋c 2－b 2），且∠C 为钝角，则∠B ＝________；c a 的取值范围是________．【解析】由余弦定理得cos B ＝a 2+c 2−b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cosB ．又∵S ＝√34（a 2＋c 2－b 2），∴12ac sin B ＝√34×2ac cos B ，∴tan B ＝√3，又∠B ∈（0，π），∴∠B ＝π3. 又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A ＞π2， ∴0＜∠A ＜π6. 由正弦定理得c a ＝sin(2π3−∠A)sin A＝√32cos A+12sin A sin A ＝12＋√32·1tan A .∵0＜tan A ＜√33，∴1tan A ＞√3， ∴c a ＞12＋√32×√3＝2， 即c a ＞2.∴c a 的取值范围是（2，＋∞）．【答案】π3 （2，＋∞）。

命题角度2.1：利用正弦定理和余弦定理解三角形1.如图C ∆AB 中，已知点D 在C B 边上，且D C 0A ⋅A =，22sin C 3∠BA =，32AB =，D 3B =．（1）求D A 的长； （2）求cos C ． 【答案】（1）3；（2）63． 试题解析：（1）因为D C A ⊥A ，所以sin C sin D cos D 2π⎛⎫∠BA =+∠BA =∠BA⎪⎝⎭， 所以22cos D 3∠BA =． 在D ∆AB 中，由余弦定理可知，222D D 2D cos D B =AB +A -AB⋅A ⋅∠BA即2D 8D 150A -A +=，解之得D 5A =或D 3A =，由于D AB >A ，所以D 3A =．（2）在D ∆AB 中，由正弦定理可知，D sin D sin D B AB=∠BA ∠A B，又由22cos D 3∠BA =可知1sin D 3∠BA =，所以sin D 6sin D D 3AB ∠BA ∠A B ==B 因为D DC C C 2π∠A B =∠A +∠=+∠，即6cosC 3=考点：1．诱导公式；2．正弦定理与余弦定理．2.在ABC ∆， 3B π=， 2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上， AD DC =， DE AC ⊥， E 为垂足， 62ED =，求角A 的值.【答案】（1）61AB =+；（2）4A π=.（2）因为62ED =，所以6sin 2sin ED AD DC A A ===. 在BCD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC CDBDC B=∠，因为2BDC A ∠=∠，所以26sin22sin sin60A A =︒. 所以2cos 2A =，所以4A π=.3.如图，在ABC ∆中， 3B π∠=D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，410AC =， 4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值． 【答案】（1）42CE =（2）21+【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。

考点18：正弦定理与余弦定理【考纲要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

【命题规律】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题．今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用．题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题．【典型高考试题变式】 （一）正弦定理的应用例1 【2017新课标2】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =＿＿＿＿＿＿．【答案】π3【解析】由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=．因为sin 0B ≠，所以1cos 2B =，所以π3B =． 【方法技巧归纳】正弦定理的应用技巧： （1）求边：利用公式sin sin sin ,,sin sin sin b A a B a Ca b c B A A===或其他相应变形公式求解； （2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin sin sin sin ,sin ,sin a B b A c AA B C b a a===或其他相应变形公式求解； （3）相同的元素归到等号的一边：即sin sin sin ,,sin sin sin a A b B c Cb Bc C a A===，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题．【变式1】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦等式给出，所求没改变】在ABC ∆2sin b A =，则B ∠为（ ）A ．3π B ．6π C ．3π或32π D ．6π或65π 【答案】C2sin sin A B A =．因为sin 0A ≠，所以sin B =，则B ∠为3π或32π，故选C ． 【变式2】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦及余弦混合等式给出，所求没改变】在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】A（二）余弦定理的应用例2．【2017新课标Ⅰ】ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =＿＿＿＿＿＿．A B C ．2 D ．3【答案】D【解析】由余弦定理得2254223b b =+-⨯⨯⨯，解得3b =或13b =-（舍去），故选D ．【方法技巧归纳】利用余弦定理解三角形主要途径：（1）余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”；（2）已知三边及一角求另两角的两种方法：①利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直接；②利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断．【变式1】【例题中的条件的相关数据作了改变，另外给出了两边的大小关系，在命题方式基本没有改变】设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．1 【答案】B【解析】由题意，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(222222b b +-⋅=，即2680b b -+=，解得2b =或4，又bc <=所以2b =，故选B ．【变式2】【例题中的非特殊角改变为特殊解，其它的没有改变】ABC ∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，若c =120b B ==，则边a 等于（ ）A B C D. 2 【答案】C【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知222212cos ,62,2b a c ac B a a ⎛⎫=+-∴=+-⨯-∴= ⎪⎝⎭C ．（三）三角形面积公式的应用例3 【2013新课标2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =，6B π=，C=4π，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B 1C ．2D 1 【答案】B【方法技巧归纳】（1）由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；（2）如果已知两边及其夹角可以直接求面积，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【变式1】【将例题中的已知两角一边改变为两边一角，所求问题没改变】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,b c ==4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B 1C ．2D 1 【答案】B 【解析】由正弦定理sin 1sin sin sin 2b c b C B B C c =⇒==，又c b >，且(0,)B π∈，所以6B π=，所以712A π=，所以ABC ∆的面积为117sin 22212S bc A π==⨯⨯＝122⨯⨯1，故选B ． 【变式2】【例题中的两个角改为两个角的关系、所求由求面积改变为了求面积最值】在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=c ，B A sin 3sin =，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．23B ．3C ．2D ．2 【答案】B（四）正、余弦定理的综合的应用例4 【2017新课标1】ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知△ABC的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23（2）3. 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =，故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=故ABC ∆的周长为3【方法技巧归纳】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【变式1】【将例题中条件与（2）小题的结论在给出方式上进行换位，两个小问题的解法没改变】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos ,2,4B b ==求ABC ∆的面积S .【答案】（1）sin 2sin C A =；（2.【变式2】【例题由条件改为边角关系，所求问题均不变化，但均需利用正弦定理与余弦定理解决】在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos a b b C -=.（1）求证：sin tan C B =；（2）若1a =，C 为锐角，求c 的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）(1,.【解析】（1）由cos a b b C -=根据正弦定理得sin sin sin cos A B B C -=， 即()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+， sin cos sin C B B =，得sin tan C B =．（2）由余弦定理得()222222cos 4428c a b ab C b b b =+-=+-=+-，由cos a b b C -=知21cos 1cos a b C C==++，由C 为锐角，得0cos 1C <<，所以12b <<，从而有218c <<.所以c 的取值范围是(1,． 【数学思想】 1．函数与方程思想在解三角形中求边或角时，除直接利用正弦定理与余弦定理求解外，多数情况下要结合正弦定理或余弦定理、面积公式建立方程（组）来解决．求三角形中的最值时通常要通过建立函数，通过求函数的值域来处理．2．转化与化归的思想在解三角形中转化与化归思想主要体现为：（1）利用正弦定理、余弦定理进行角化边或边化角；（2）与三角函数结合进行三角函数角之间的转化．3．数形结合思想解三角形问题本身就离不开图形，特别是要注意三角形在边与角的特殊性，利用图形的特殊性进行直观处理，常常可达到快速解题的目的．4．分类讨论思想利用正确定理解决三角形的解个数时，如果含有字母参数，常常要用到分类讨论的思想． 【处理解三角形问题注意点】1．已知两边及其一边的对角，应当运用正弦定理，从而得到另一角的正弦值，些时要注意对三角形的形状做出判断．2．利用正弦定理与余弦定理求角或边时，不注意挖掘条件的隐含条件，忽视边或角的大小取值范围，进行造成多解或漏解．3．利用正弦定理与余弦定理求三角形的边或边的取值范围时，常常会忽视构造三角形的条件（大边对大角、小边对小角），造成多解或扩大边的取值范围．4．利用正弦定理讨论三角形多解情况时常常会因为弄不清比较对象而致错． 5．利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状时，常常会没有将已知条件用尽，提前对三角形的形状作出判断，或条件过多而没弄清楚其逻辑关系，可能会造成错判．【典例试题演练】1．【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）】ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 2a =，b =45A =︒，则B =（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 【答案】A【解析】由正弦定理可得：1222bsinAsinB a===．又因为a b >，所以A B >，所以30B =︒，故选A ．2．【四川省绵阳中学实验学校2017届高三5月模拟】在△ABC 中，2sin b A =，则B ∠为（ ）A ．3π B ．6π C ．3π或32π D ．6π或65π【答案】C【解析】2sin sin A B A =，sin B = ，则B ∠为3π或32π，故选C ．3．【湖南省2017届高三考前演练卷（三）】在ABC ∆中，角A B C 、、的对边,,a b c 满足222b c a bc +=+，且8bc =，则ABC ∆的面积等于（ ）A． B ．4 C． D ．8 【答案】A【解析】因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 3A π= ，三角形面积S=1sin 2bc A =A ． 4．【天津市河西区2017届高三二模】已知a b c ，，分别为ΔABC 的三个内角A B C ，，的对边， ()()()sin sin sin a b A B c b C A ∠+-=-=，则 A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π3【答案】C【解析】利用正弦定理将()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-的角化为边可得222b c a bc +-=,由余弦定理可得2222cos b c a bc A +-=,则1cos 2A =，所以π3A ∠=，故选A ． 5．【广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合】ABC ∆的内角A ， B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，已知1a =，b = 30A =︒， B 为锐角，那么角::A B C 的比值为（ ）A ．1:1:3B ．1:2:3C ．1:3:2D ．1:4:1 【答案】B【解析】由正弦定理：1sin 2sin 1b AB a===，B 为锐角，则： 30,90B C ==，角::A B C 的比值为 1:2:3，故选B ．6．【四川省雅安市2017届高三下学期第三次诊断】若ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，已知2sin23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于 A ．32 B ．43C【答案】C【解析】由2sin23sin b A a B =，得4sin sin cos 3sin sin B A A A B =，得3cos 4A =，又2c b =，根据余弦定理得222222232cos 4424a b c bc A b b b b =+-=+-⨯=，得a b=故选C ．7．【河南省息县第一高级中学2017届高三第七次适应性】已知锐角ABC的外接圆半径为BC ，且3AB =， 4AC =，则BC =（ ） AB ．6C ．5 D【答案】D8．【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第一次适应性】在ABC 中， 60A =︒，1b =，ABCS=sin cC=（ ） ABC．【答案】B【解析】依题意有1sin603,42S bc c===，由余弦定理得13a ==由正弦定理得sin sin c a C A ===故选B ．9．【2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考】已知ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（ ） A ．23 B ．34 C ．56 D ．710【答案】B【解析】设三边： 1,,1x x x -+，所以：111sin sin22sin cos x x x A A A A-++==，所以： 2221(1)(1)cos 52(1)2(1)x x x x A x x x x +++--==⇒=-+，三边为：4，5，6，所以3cos 4A =，故选B ．10．【甘肃省肃南县第一中学2017届高三4月】已知三角形ABC 的三边长构成公差为2） A ．15 B ．18 C ．21 D ．24 【答案】A【解析】不妨设三边分别为,2,4a a a ++，由题设可知边4a +所对角为0120，则由余弦定理可得()()()222142222a a a a a ⎛⎫+=++-+-⎪⎝⎭，即260a a --=，解之得3,2a a ==-（舍去），故三角形的周长为3615L a =+=，故选A ． 11．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查】在梯形ABCD 中，0//,1,2,60AB CD AB AC BD ACD ===∠=,则AD = ( )A ．2B D ．13-【答案】B12．【湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）】在ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若214a cb =， sin sin sin A C p B +=，且B 为锐角，则实数p 的取值范围为（ ）A ．(B ．⎝C ．⎝D ．( 【答案】B【解析】sin sin sin A C p B += ,a c pb ∴+=．由余弦定理 ,2222cos b a c ac B =+-＝()222cos a c ac ac B +--＝222211cos 22p b b b B --,即231cos 22p B =+． 0cos 1B <<,得23,22p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由题意知 0p > ，2p ⎛∈ ⎝,选B ．13．【北京市丰台区2017届高三5月综合练习（二模）】在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c sin cos B b A =，则角A 的大小为________． 【答案】π6sin cos B b A =sin sin cos A B B A =，显然sin 0B ≠，所以tan 3A =6A π=．14．【河南省豫南九校2016-2017学年高三下学期第三次联考】在三角形ABC 中，内角,,A B C 满足222cos cos sin sin sin B C A A B --=，则C =__________．【答案】23π 【解析】()()222222cos cos sin ,1sin 1sin sin B C A sinAsinB B C A sinAsinB --=-∴----= ,222sin sin C sin B A sinAsinB ∴--= ,22212,cos ,23a b c ab C C π∴+-=-∴=-∴=．15．【河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底】在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C的对边， 23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+=__________．【解析】由余弦定理可得： 22221cos 522a cb B b ac ac +-==-⇒=，再有正弦定理角化边可得：()()2sin 5sin 5sin sin sin sin 5sin sin sin sin sin A C B A C A C B A C A CB +=⇒+=⇒==．16．【吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟】在ABC ∆中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 所对的边，若cos 2cos C a cB b-=，则B =__________． 【答案】3π【解析】因为cos 2cos C a c B b -=，由正弦定理得cos 2sin sin cos sin C A CB B-=，即cos sin 2sin cos sin cos C B A B C B =-，()2sin cos cos sin sin cos sin sin A B C B C B B C A =+=+=，所以1cos 2B =， 3B π=． 17．【辽宁省葫芦岛市2017届高三第二次模拟考试（5月）】在ABC ∆中，若222sin sin sin sin A B C A B +=，则2sin2tan A B 的最大值是__________．【答案】3-【解析】222a b c += ，由余弦定理得2223cosC 224a b c C ab π+-==-= ，4A B π=-，222A B π=-，()()2222222cos 11cos sin 2?tan cos2?cos cos B B B sin A B B B B --∴==＝22132cos cos B B ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤3-3-2sin2tan A B 的最大值是3- 18．【辽宁省鞍山市第一中学2017届高三下学期最后一次模拟】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ， b ， c ，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC ∆面积的最大值为__________．19．【甘肃省兰州市2017届高三冲刺】已知ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222sin +sin =sin -sin sin A B C A B ．（1）求角C ；（2）若c =ABC ∆的中线2CD =，求ABC ∆面积S 的值．【答案】（Ⅰ）23π；（Ⅱ） 【解析】（I ）由正弦定理得： 222a b c ab +-=-，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==-0C π<<，∴23C π=（II ）由122CD CA CB =+=可得： 22216CA CB CA CB ++⋅=，即2216a b ab +-=，又由余弦定理得2224a b ab ++=，∴4ab =，∴1sin 24S ab C ab === 20．【宁夏石嘴山市2017届高三下学期第三次模拟】,,,,,ABC A B C a b c ∆在中，角所对的边分别为且()212sin 2cos 2C b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求角A 的大小；（2）若4b c ==，D 是BC 的中点，求AD 的长.【答案】（1）A 6π=（2）AD =21．【重庆市第八中学2017届高三适应性月考卷（八）】已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且()222sin cos a b c C C +-=．（1）求角C ；（2）若c =2b a -的取值范围． 【答案】（1）π=3C ；（2）()230b a -∈-，． 【解析】（1）由余弦定理，可得2222cos a b c ab C +-=，所以2cos sin cos ab C C C =，所以sin C =， 又π02C <<，所以π=3C ．（2）由正弦定理，2sin sin sin a b c A B C====，所以2π22sin 4sin 2sin 4sin 3sin 3b a B A A A A A ⎛⎫-=-=--=-⎪⎝⎭，π23b a A ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π02{2ππ032A A <<<-<，，得ππ62A <<，所以ππ5π+236A <<，πcos 032A ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()230b a -∈-，． 22．【湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷（二）】如图，在边长为2的正三角形ABC∆中， D 为BC 的中点， ,E F 分别在边,CA AB 上．（1）若DE CE 的长；（2）若060EDF ∠=，问：当CDE ∠取何值时， DEF ∆的面积最小？并求出面积的最小值． 【答案】（1）CE =2）060CDE ∠=时， DEF ∆【解析】（1）在CDE ∆中，060,1,DCE CD DE ∠===，由余弦定理得， 22202cos60DE CD CE CD CE =+-⨯⨯⨯，得210CE CE --=，解得CE =（2）设0,3090CDE αα∠=≤≤， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin sin DE DCDCE CED=∠∠，所以()00sin60sin 602sin 60DE α==++，同理2sin DF α=，故1sin 216sin sin 6048sin 230DEF S DE DF EDF ∆=⨯⨯⨯∠==++-， 因为000003090,30230150αα≤≤≤-≤，所以当060α=时， ()sin 230α-的最大值为1，此时DEF ∆的面积取到最小值．即060CDE ∠=时， DEF ∆的面积的最小值为4．。

正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。

它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。

在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。

一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。

正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。

2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。

3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。

4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。

由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。

二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。

它可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

专题25 利用正（余）弦定理破解解三角形问题考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题C ab S sin 21=. 基础知识回顾: 1.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时，解的情况A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜bsinA a ＝bsinAbsinA ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解一解 一解 无解4.三角形常用的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知ABC ∆中， 3B π=， 2a =（Ⅰ）若3b =A ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为332，求b 的值.【答案】（Ⅰ）4A π=；（Ⅱ） 14b =.【例2】【2017江苏泰兴中学高三月考】在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【答案】10.点评：正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例3】【重庆市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，满足3tan bcA =. （1）若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角A ； （2）若cos 3sin a c b C b C +=+，试判断ABC ∆的形状. 【答案】(1) 3A π=；(2) ABC ∆为正三角形.【解析】试题分析：根据三角函数的余弦定理公式得到2222cos b c a bc A +-=，结合题干中的 公式可得（2）cos 3sin a c b C b C +=，由正弦定理有： sin sin sin cos 3sin sin A C B C B C +=，而A B C =+，∴sin cos cos sin B C B C += sin cos 3sin sin B C B C ， 即cos sin sin 3sin sin B C C B C +=，而sin 0C ≠，3sin cos 1B B -=，∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,B π∈，∴3B π=， 又由（1）知3sin A =，∵()0,A π∈及3B π=，∴3A π=，从而3A B C π===， 因此ABC ∆为正三角形.点睛：第一问结合余弦定理，得到角A 的三角函数值；第二问，先由正弦定理的到cos sin sin 3sin sin B C C B C +=，再化一得到角B ，根据第一问A ，得到两角相等，可以知道三角形为等边三角形。

命题角度2：利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题1.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin cos 0a B A =. （1）求cos A ；（2）若a = 2b =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）2cos 3A =；（2）S =【解析】试题分析：(1)利用正弦定理边化角，然后结合同角三角函数基本关系可得tan 2A =2cos 3A =.(2)利用余弦定理可求得边长3c =，则△ABC 的面积为1sin 2S bc A ==2.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos 2cos sin C A B A B +=. （1）求tan A ；（2）若b = AB 边上的中线CD =ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）tan 2A =; （Ⅱ）当2c =时， 1sin 42ABCSbc A ==；当6c =时， 12ABCS=.【解析】试题分析：（Ⅰ）将()C A B π=-+代入化简求值即可；（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理解得2c =或6，利用面积公式求解即可. 试题解析：（Ⅰ）由已知得()cos cos cos cos πcos cos C A B A B A B ⎡⎤+=-++⎣⎦()cos cos cos sin sin A B A B A B =-++=，所以sin sin 2cos sin A B A B =，因为在ABC 中， sin 0B ≠， 所以sin 2cos A A =， 则tan 2A =．3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， c =，且()s i n s i n s i na A c C ab B -=-. （1）求角C 的值；（2）若()cos 4cos cos c b A a A B +=+，求ABC ∆的面积.【答案】(Ⅰ）3C π=；（Ⅱ） 【解析】试题分析：（1）由正弦定理将条件转化为222a b c ab +=+，套用余弦定理即可求解；（2）由正弦定理得sin cos 2sin cos B A A A =，进而讨论sin A 是否为0求解即可. 试题解析：(Ⅰ）由正弦定理及()sin sin sin a A c C a b B -=-可得222a b c ab +=+， 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =，所以3C π=； （Ⅱ）由正弦定理及()cos 4cos cos c b A a A B +=+可得s i n s i n c o s C B A A A A B +=+，从而有sin cos 2sin cos B A A A =，当2A π=时， 2b =， ABC S =2A π≠时，有2b a =， 2,4a b ==.1sin 2ABC S ab C ==综上， ABC 的面积是 4.在中，内角的对边分别为，已知，且满足.（1）求边长； （2）若是锐角三角形，且面积，求外接圆的半径.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）由结合正弦定理可得，可得.（2）由，和（1）中所得可求，又由余弦定理，再用正弦定理求得外接圆的半径.试题解析：（1）∵，∴， ∴，∴，∴， ∴.（2）∵， ∴，∴，又为锐角， ∴，∴，∴，∴外接圆的半径.5.在锐角ABC ∆中， 2sin c c A ==.（1）若ABC ∆,a b ； （2）求ABC ∆的面积的取值范围.【答案】（1）2{2a b ==（2）ABC S ∆∈⎝试题解析：(1)2sin c A =2sin sin A C A =，∵sin 0A ≠，∴1sin sin 2C ab C ===，4ab =. 由222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-得224a b ab +-=，所以由224{ 4ab a b ab =+-=解得2{ 2a b ==.（2）由正弦定理得,a Ab B ==， ∴1sin sin2ABC S ab C A B ∆==.又23A B π+=，∴ 2sin 236ABC S A A A ππ∆⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为ABC ∆为锐角三角形，∴,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴3ABC S ∆⎛∈ ⎝. 6.已知分别是的角所对的边，且．（1）求角； （2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理得值，再根据三角形内角范围求角；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：，再根据余弦定理得，代人解得，，，由勾股定理得，最后根据直角三角形面积公式得的面积．又由余弦定理，得，②由①②，得，得，得，联立，得，．所以．所以．所以的面积．7.已知ABC ∆的外接圆半径R =，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2s i n s i n c o ss i n c o sA C CB B -=.（I ）求角B 和边长b ；（II ）求ABC ∆面积的最大值及取得最大值时的a 、c 的值，并判断此时三角形的形状. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）等边三角形． 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到()2sin cos A B sin B C =+，根据三角函数的诱导公式可得()sin 0sin B C A +=>，从而得出1cos 2B =，可得3B π=，最后由正弦定理可得b 的长；（Ⅱ）由3b =且1cos 2B =，利用余弦定理算出229a c ac +-=，再根据基本不等式算出9ac ≤，利用三角形的面积公式算出4ABC S ac ∆=，从而得到当且仅当a c =时， ABC S ∆有最大值4，进而得到此时ABC ∆是等边三角形.（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得222cos93a c ac π+-=,∴ 229a c ac +-=∴ 2292a c ac ac ac ac +-=≥-=，即9ac ≤，当且仅当a c =时取“=”∴ 1sin 92ABC S ac B ∆==≤=，即求ABC ∆ 联立229{a c ac a c+-==，解得3a c ==又3B π=∴ABC ∆为等边三角形.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式、判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 8.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝π2，AC ＝3，BC ＝2， P 是△ABC 内的一点． (1)若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长； (2)若∠BPC ＝2π3，设∠PCB ＝θ，求△PBC 的面积S (θ)的解析式，并求S (θ)的最大值．【答案】（12【解析】试题分析：（1）在△PAC中，已知两边一角求第三边，根据余弦定理可得（2）先由正弦定理用θ表示PC，再根据三角形面积公式得S(θ)，利用二倍角公式以及配角公式将S(θ)化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最大值试题解析：解(1)解法一：∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC＝2，∴∠PCB＝，PC＝，又∵∠ACB＝，∴∠ACP＝，在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PC cos＝5，∴PA＝.解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有C(0,0)，B(2,0)，A(0,3)，∵△PBC是等腰直角三角形，∠ACB＝，∴∠ACP＝，∠PBC＝，∴直线PC的方程为y＝x，直线PB的方程为y＝－x＋2，由得P(1,1)，∴PA＝＝，(2)在△PBC中，∠BPC＝，∠PCB＝θ，∴∠PBC＝－θ，由正弦定理得＝＝， ∴PB ＝sin θ，PC ＝sin， ∴△PBC 的面积S (θ)＝PB ·PC sin＝sinsin θ＝2sin θcos θ－sin 2θ＝sin2θ＋cos2θ－＝sin－，θ∈， ∴当θ＝时，△PBC 面积的最大值为.9.在ABC ∆中， D 为BC 边上一点， AD BD =， 4AC =， BC 5=.（1）若60C ∠=，求ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）设CAB B θ∠-∠=，若tan θ=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）R =;（2试题解析：（1）由余弦定理，得2222cos6021AB BC AC BC AC =+-⋅⋅=，解得AB =由正弦定理得，2,sin sin60AB R R C ===（2）设CD x =，则5,5BD x AD x =-=-，∵AD BD =，∴B DAB ∠=∠.∴CAD CAB DAB CAB B θ∠=∠-∠=∠-∠=.∵tan θ=70,cos 28πθθ<<=.∴222cos cos 2AD AC CD CAD AD ACθ+-∠==⋅，即()()2225472458x x x -+-=⨯⨯-，解得2x =. ∴3BD AD ==.∵sin sin AD CD C CAD =∠，∴3sinC sin 2θ==.∴11sin 4522ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=⨯⨯=. 10. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边长分别是,,a b c ，且a 是最长边，角A 的平分线AD交BC 于点D ，若2,b c =且()2cos cos cos .a B b A C += （Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a =ABD ∆的面积.【答案】（Ⅰ）cos C =（Ⅱ）13试题解析：（Ⅰ）因为()2cos cos .a B b A C +=由正弦定理得()2sin cos sin cos cos ,A B B A C C +=所以()2sin cos ,A B C C +=又因为A B C π++=，所以()3sin cos ,C C C π-=所以2sin cos ,C C C =因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，解得cos C =（Ⅱ）在ABC ∆中， 2,b c a C ===由余弦定理得2222cos ,AB AC BC AC BC C =+-⋅即()()22222c c c =- 整理得23850c c -+=，解得1c =或者5,3c =当53c =时， 103b a =>=,舍去；当1c =时， 2,b a =，11 此时ABC ∆为直角三角形，sin cos 5B C ==因为AD 是角A 的平分线，所以045BAD CAD ∠=∠= 在ABD ∆和ADC ∆中，有正弦定理得：()00sin45sin {,,sin45sin BD cADBCD b ADB π=∠=-∠所以11,23BDcBD BC CD b ====所以111sin 1.223ABD S BA BD B ∆=⋅⋅=⨯=。

备战2018年高考数学（理）之高频考点解密解三角形问题一直是近几考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形调研1 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin 3b a C a C =+.(1)求A ; (2)若a =2bc =,求ABC △的周长.【解析】(1)cos sin b a C C =+,,sin sin cos sin B A C A C ∴=由正弦定理得,sin cos cos sin sin cos sin 3A C A C A C A C ∴+=+,tan A =即()0πA ∈又，,∴π3A =.(2)22π,32cos3b c bc =+-由余弦定理得,()233b c bc +-=即, 2bc =又,3b c ∴+=,故3ABC +△的周长为调研2 如图,ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3sin C cb =.(1)求角B 的大小;(2)点D 为边AB 上的一点,记BDC θ∠=,若ππ,2,2CD AD a θ<<===,求sin θ与b 的值. 【解析】(1)由已知c b =,得sin sin CB =, 因为sin 0C >,所以sin tan cos 3B B B==, 因为0πB <<,所以π6B =.(2)在BCD △中,因为sin sin sin CD BC aB BDC θ==∠,所以25sin sin B BDC=∠,所以sin θ=,因为θ为钝角,所以ADC ∠为锐角,所以()cos cos πADC θ∠=-==,在ADC △中,由余弦定理,得2222cos(π)5425b AD CD AD CD θ=+-⨯-=+-=,所以b =☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．题组二 与三角形面积有关的问题调研3 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长； (2)求ABC △的面积．【解析】(1) 在ABC △中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，所以BD ＝2x .在BCD △中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在ACD △中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝222525x x +-⨯⨯.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，＝－52x ，解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BCBD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.题组三 三角形形状的判断调研4 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos sin a C C b c =+. (1)求A ;(2)若2,a ABC =△试判断此三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理及cos sin a C C b c =+得,sin cos sin sin sin A C A C B C =+， 即()sin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C +=++3sin sin cos sin sin A C A C C ⇒-=,∵sin 0C >,()13sin cos 1sin 302A A A -=⇒-︒=,∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.(2)1sin 42S bc A bc ==⇒=,由余弦定理得:2222cos a b cbc A =+-=()23b c bc +-()241242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==,∵60A =︒,∴60B C ==︒, 故ABC △是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”； （2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2 解三角形的实际应用 题组 解三角形的实际应用调研1 某新建的信号发射塔的高度为AB ,且设计要求为:29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求, 先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ,测得60BDC ∠=︒,75BCD ∠=︒,40CD =米,并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°,且1CE =米,则发射塔高AB =A ．()1米B ．()1米C ．()1米D ．()1米【答案】A【解析】画出草图,如图所示,在BDC △中,45DBC ∠=︒,由正弦定理得sin sin BDCBC CD DBC ∠=⨯=∠;在AEF △中,30AEF ∠=︒,所以tan30202AF EF =︒=米, 所以1(2021)AB AF =+=米.选A ．☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．调研2 海中一小岛C 的周围()8nmile内有暗礁,海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75︒,航行8nmile 后,于B 处测得小岛C 在北偏东60︒(如图所示).(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B 处改变航向为东偏南(0αα>)方向航行,求α的最小值.附:tan752︒=+【解析】(1)如图1,过点作直线AB 的垂线,交直线AB 于点D .由已知得15,30,15A CBD ACB ∠=︒∠=︒∠=︒, 所以8nmile AB BC ==,所以在Rt BCD △中,sin CD AB CBD =⋅∠=184nmile 2⨯=.又48<,所以海轮有触礁的危险.(2)如图2,延长CD 至E ,使()8nmileCE =,故()12nmileDE =,由(1)得tan30CDBD ==︒,所以tan2DEDBEBD∠===.因为tan752︒=,所以tan152︒==.即tan tan15DBE∠=︒,所以15DBE∠=︒.故海轮应按东偏南15°的方向航行.☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步．考点3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在ABC△中,,,a b c分别为角,,A B C的对边,已知7,2c ABC=△的面积为33又tan tanA B+)3tan tan1.A B=-(1)求角C的大小;(2)求a b+的值.【解析】(1)因为)tan tan tan tan1,A B A B+=-所以()tan A B+=tan tan1tan tanA BA B+=-又因为,,A B C为ABC△的内角,所以2π,3A B+=所以π.3C=(2)由1sin2ABCS ab C==△及π,3C=得6,ab=又()2222221cos222a b c aba b cCab ab+--+-===,7,2c=所以11.2a b+=题组二解三角形与平面向量相结合调研2 如图,在ABC △中,已知点D 在边BC 上,且0AD AC ⋅=,sin 3BAC ∠=,AB =BD =．(1)求AD 的长; (2)求cos C ．【解析】(1)因为0,AD AC ⋅=所以,AD AC ⊥所以πsin sin cos ,2BAC BAD BAD ⎛⎫∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭即cos 3BAD ∠=． 在ABD △中,由余弦定理,可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即28150,AD AD -+=解得5,AD =或3AD =． 因为,AB AD >所以3AD =．(2)在ABD △中,由正弦定理,可知,sin sin BD ABBAD ADB =∠∠又由cos 3BAD ∠=可知1sin ,3BAD ∠=所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==．因为π,2ADB DAC C C ∠=∠+=+所以cos C =.1．（2017-2018学年陕西省西安中学高三上学期期中考试）已知ABC △中,,则A ．B ．C ．D ．【答案】A△中,角的对边分别为,若2．（2017-2018学年广东省百校联盟高三第二次联考）在ABC,且,则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.因为,且,所以由余弦定理可知,,解得,即.故选B．△中,内角的对边3．（2017-2018学年天津市静海县第一中学高三12月学生学业能力调研考试）在ABC△的面积为分别为,若,则ABCA．3 B．C．D．【答案】C4．（2017-2018学年广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上学期期中考试）如图,从气球上测得正前方的河流的两岸,的俯角分别为,,此时气球的高是,则河流的宽度等于A．m B．mC．m D．m【答案】C【解析】如图，由题意得,,,所以,,所以.选C ．5．（2018届广东省揭阳市高三学业水平期末考试）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知ABC△的面积为a =2,b =3,则sin aAA ．3B ．15C ．3D ．3或15【答案】D6．（2017-2018学年福建省厦门外国语学校高三上学期第三次阶段考试）在ABC △中,分别为内角的对边, 且,则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为,且,所以两式相减可得==,因为,所以,则2π3A =,此时,则b=c ,所以,故选B ．7．（2017-2018学年广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考）在锐角ABC △中,角所对的边分别为若则角等于__________．【答案】8．（2017-2018学年全国18名校大联考高三第二次联考）已知()cos17,cos73AB =︒︒，()2cos77,2cos13BC =︒︒,则ABC △的面积为__________.【答案】【解析】由题意得1c AB ==,2a CB ==,·BC BA =2cos77cos172cos13cos73-︒︒-︒︒=()2cos77cos17sin77sin17-︒︒+︒︒=()2cos 7717-︒-︒=1-;而·cos BC BA AB CB B ==2cos B =1-,解得1cos 2B =-,所以sin B =.所以ABC △的面积1sin 2S ac B ==. 9．（2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考）已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC =__________． 【答案】10．（2017-2018学年河南省漯河市高级中学高三上学期第四次模拟考试）如图，为了测量河对岸A B 、两点之间的距离,观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A B 、;找到一个点D ,从点D 可以观察到点A C 、;找到一个点E ，从点E 可以观察到点B C 、.并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,60E ∠=︒,则A B 、两点之间的距离为__________．(其中cos48.19︒取近似值23)【解析】由题意知,在ACD △中,30A =︒.由正弦定理得sin45sin 30CD AC ︒==︒在BCE △中,45CBE ∠=︒,由正弦定理得sin60sin 45CE BC ︒==︒在ABC △中,由余弦定理得2222cos 10AB AC BC AC BC ACB =+⋅∠=﹣，∴AB = 11．（2017-2018学年广西贵港市高三上学期12月联考）在ABC △中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且()3cos ,sin cos cos sin 05B A B c A B =--⋅=.(1)求边b 的值;(2)求ABC △的周长的最大值.【答案】(1) 1b =；1.12．（2017-2018学年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测）在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+. (1)求角C ;(2)若ABC △的面积为S =,求ab 的最小值.【答案】(1)2π3；(2) 12.13．（2017-2018学年皖江名校12月份高三大联考）在ABC △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos ,sin A A =m ,向量)2sin ,cos ,2A A =+=n m n .(1)求角A 的大小; (2)若b =,且c =,求ABC △的面积.【答案】(1) π4；(2)16.【解析】(1)2+m n=()()22cos sin sin cos A A A A +++=)4cos sin 4A A +-=+π4cos 4A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ππ44cos 4,cos 0,44A A ⎛⎫⎛⎫∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()0,πA ∈,∴ππ42A +=,则π4A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即()222π2cos4a =+-⨯,解得a =∴8c =,∴181622ABCS=⨯⨯=△.14．（2018届民族大学附属中学高三上学期期末考试）ABC△的内角A、B、C所对的边分别为,,a b c,且sin sina Ab B+=sin sin.c C B(1)求角C;(2)求πcos4A B⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值.【答案】(1)π4；(2) 2.15．（2017-2018学年山东省枣庄市第三中学高三一调模拟考试）设()f x=π1cos sin.22222x x x⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎭⎝⎭(1)求()f x的单调递增区间;(2)在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C的对边，已知π1,32f A a ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，求ABC △面积的最大值.【答案】(1) 2ππ2π,2π,33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2).1．（2016新课标全国Ⅲ理科）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =ABC．-D．-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos 210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ．2． (2015新课标全国Ⅱ理科)ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．3．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A .（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长. 【答案】（1）23；（2）3+. 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC 的周长为3+.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.4．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2.命题者的青睐．。

第四节 解三角形考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.知识点精讲在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,.a b c1.角的关系180,sin sin()A B C A B C ++==+o cos cos(),tan tan(),A B C A B C =-+=-+ sincos ,cos sin .2222A B C A B C ++== 2.正弦定理2(2sin sin sin a b c R R A B C===为ABC ∆的外接圆的直径）. 正弦定理的应用： ①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角： 若a<b,已知角Ａ求角Ｂ. 1,sin 1,21,B B π>⎧⎪⎪===⎨⎪⎪<⎩无解；两解（一锐角、一钝角）若a 〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222cos c a b ab C =+-（已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）222cos 2a b c C ab+-=（已知三边求角）. 余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角；③已知两边及一边对角不熟第三边.4.三角形面积公式1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B ∆====题型归纳及思路提示题型67 正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；.sin 1sin sin 1A A A ⎧⎪<⎧⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪>⎩⎩大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－ （3）两边一对角，求第三边.一、利用正弦定理解三角形例4.39 已知ABC ∆中，53cos ,sin ,1135A B a ===求cos C 及边长c 分析 已知两角及一边用正弦定理.解析 因为,,A B C 为ABC ∆的内角，所以有cos cos[()]cos()C A B A B π=-+=-+cos cos sin sin .A B A B =-+因为(0,),A π∈且5cos 0,13A =>所以(0,),2A π∈12sin 13A =.由此知sin sin 0,AB >>据正弦定理得a b >所以,A B >因此(0,),2B π∈且3sin ,5B =得4cos ,5B = 故5412316cos .13513565C =-⨯+⨯=因此63sin .65C = 由正弦定理得,sin sin c a C A=得631sin 2165.12sin 2013a C c A ⨯=== 评注 本题已知两角及一边，用正弦定理：在ABC ∆中，sin sin .A B a b A B >⇔>⇔> 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C所对边依次为,,,2,a b c a b ==sin cos B B +=则角Ａ的大小为 .例 4.40 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,,30,6,a b c B c ∠==o 记().b f a =若函数()()(g a f a k k =-是常数）只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）..{03A k k <≤或6}k = .{36}B k k ≤≤ .{6}C k k ≥ .{6D k k ≥或3}k = 分析 三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解.解析 由()()0,g a f a k =-=且().b f a =，得(),k f a b ==如图4－34所示，由30,6,B c ∠==o 知ＡＣ边和的最小值为sin 3,c B =唯一的()a BC =符合()f a k =即若3,k =则()3,f a b ==此时存在函数()g a 有唯一零点，若36k <<时，则()(3,6),f a b =∈此时以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点12,C C ，如图4－34所示，则存在两个a 值1122(,),a BC a BC ==使得()()g a f a k =-有两个零点.若6k ≥时，则()6,f a b =≥则以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点3C ，使得3a BC =，故函数()g a 有唯一零点.综上，实数k 的取值范围为3k =或6.k ≥故选Ｄ.评注 三角形问题一般先根据题意作出图形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形.变式1 （1）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且32,2,b a == 如果三角形有解，则角A 的取值范围是 ; (2) 在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1,2,b a ==如果三角形有解，则角B 的取值范围是 ;（3）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且23,3,a c ==如果三角形有解，则角C 的取值范围是 .二、利用正弦定理进行边角转化例4.41 在ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值范围为（ ）. A.(1,2) .(1,3)B C.(2,2) D.(2,3)分析 题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的范围来定边的范围.解析 由正弦定理知sin sin 22cosB,sin sinBa A Bb B ===且()(0,),A B π+∈即03B π<<得03B π<<，因此1cos (,1),2B ∈所以(1,2).a b∈ 故选A. 评注 在ABC ∆中，利用正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.变式1 （1）若在锐角ABC ∆中，若A=2B ，则a b 的取值范围为 ; （2）若在直角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 ; （3）若在钝角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 . 变式2 在ABC ∆中，60,B AC ==o ，则AB+2BC 的最大值为 . 变式3（2012课标全国理17）已知,,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，cos sin 0a C c b c +--=，（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积为，求,b c .变式4 （2012江西理17）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知4A π=，sin()sin(),44b C c B a ππ+-+= （1）求证：;2B C π-=（2）若a =ABC ∆的面积. 题型68 余弦定理的应用思路提示(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值0,ABC 0,ABC .0,ABC >∆⎧⎪=∆⎨⎪<∆⎩则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形 一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 ABC ∆中，21,3b c C π==∠=，则①a= . ② ______.B ∠=分析 已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.解析①由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，得21312()2a a =+-⨯- ，即 220a a +-=，且 0a >，故 1.a = ②由正弦定理得，sin sinbc B C=，即1sin B = 1sin 2B =，又 b c B C <⇔< ，则 30B ∠=o变式1在 ABC ∆中， 3,2,a b B A ==∠=∠， (1)求cos A 的值；（2）求 c 的值.变式2（2012北京理11）在 ABC ∆中，若12,7,cos 4,a b c B =+==-，则______.b =变式3（2012福建理13）已知ABC ∆的等比数列，则其最大角的余弦值为 .例 4.43 （2012陕西理9）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,,a b c 若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）..2A 2B 1.2C 1.2D - 解析 因为2222222221cos 2222a b c c c c C ab ab c a b +-==≥==+当且仅当a b =时取“=”，所以cos C 的最小值为1.2故选C. 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 1.30a c B +=∠=o ，求b 的取值范围.变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 4.60,b B =∠=o ，求ABC S ∆的最大值.二、利用余弦定理进行边角转化例4.44在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若222()tan ,a c b B +-=则角B 的值为（ ）..6A π .3B π .6C π或56π .3D π或23π解析 （边化角）已知等式可变化为222tan ,22a c b B ac +-=则sin cos cos 2B B B ⋅=得sin (0,),2B B π=∈所以3B π=或23π.故选D. 变式1在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（1）求A 的值；（2）求sin +sin B C 的最大值.变式2 在锐角三角形中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若+=6cos b a C a b ，则tan tan +=______.tan tan C C A B 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且22-=2,sin cos =3cos sin a c b A C A C ，求.b题型69 判断三角形的形状思路提示（1）求最大角的余弦，判断ABC ∆是锐角、直角还是钝角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.例4.45 在ABC ∆中，若sin =2cos sin C A B ，则此三角形必为（ ）.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 分析 角化边或sin =sin(+)C A B .解析 解法一：角化边. 2222222+=2222c b c a b c b c a R bc R-⋅⋅⇒=+-b a ⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.解法二：因为sin =sin(+)C A B ，所以sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B +=sin cos cos sin 0A B A B ⇒-=， sin()0,(),,(0,)A B A B k k Z A B ππ-=-=∈∈0k A B ⇒=⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.变式1设ABC ∆的内角为,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若cos cos sin ,b C c B a A += 则ABC ∆的形状为（ ）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式2（2012上海理16）在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状为（ ）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式3已知ABC ∆中，2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形变式4（1）已知函数22()cos cos sin .f x x x x x =+-求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.题型70 正、余弦定理与的综合思路提示先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.例4.46在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且 1.AB AC BA BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求证：;A B = （2）求边长c 的值；（3）若6AB AC +=u u u r u u u r ，求ABC ∆的面积. 分析（3）中AB AC +u u u r u u u r 为ABCD Y 对角线AD 长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC ，设AB 中点为M ，12ABC S AB CM ∆=⋅ 解析 （1）利用数量积定义，cos cos 1bc A ac B ==cos sin cos sin b B B a A A⇒==tan tan A B ⇒=.A B ⇒= （2）如图4-35所示，取等腰三角形AB 边上的中线（即高线CM ，则cos 2c AM b A ==.cos 12c AB AC cb A c ⋅==⋅=u u u r u u u r ，故 2.c =或2c AM =是AC u u u r 在AB u u u r 方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知 21 1.2AB AC AB AM c ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u u r 故 2.c = (3)如图4-35所示，ABCD Y 中， 6,AB AC AD +==u u u r u u u r u u u r 在ABD ∆中，222,2cos(),BD a b AD c a a A π===+--在ABC ∆中，2222cos .BC b c bc A =+-2222262cos 2cos c a ac A a b c bc A ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩①②由①+②得22222622622,2,a c a a c a +=+⇒=-==即2a b c ===，在等边ABC ∆中，1133sin 222222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=或233.42ABC S a ∆== 评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在ABCD Y 中，222222AD BC AB AC +=+.变式1（2012湖南理7）在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ==⋅=u u u r u u u r ，则BC=（ ）．.3A .7B .22C .23D变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,(13)2.6A c b π=+=(1)求C ； （2）若13CB CA ⋅=+u u u r u u u r ，求,,.a b c 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且25cos , 3.25A AB AC =⋅=u u u r u u u r （1）求ABC ∆的面积； （2）6b c +=，求a 的值.变式4在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且cos 3cos cos .b C a B c B =-（1）求cos B 的值；（2）若2,BA BC ⋅=u u u r u u u r 且22b =，求a 和c 的值.题型71 解三角形的实际应用思路提示根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos .135A C == （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分析 （1）cos ,cos A C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC ∆中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题意列不等式求解.解析 （1）在ABC ∆中，因为123cos ,cos .135A C ==所以54sin ,sin .135A C ==从而 sin sin[()]sin()sin cos cos sinB AC A C A C A C π=-+=+=+5312463.13513565=⨯+⨯= 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 1040().63sin 565AC AB C m B =⋅=⨯= 所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，此时甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯ 2200(377050).t t =-+由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37t =时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 500().63sin 1365AC BC A m B =⋅=⨯= 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550(),m ⨯++=还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得50071033,50v -≤-≤解得1260625.4314v ≤≤ 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314（单位：m/min ）范围内. 评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km 的两个观测点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得30,ADC ∠=o 2分钟后，该船行驶到B 处，此时测得60,45ACB BCD ∠=∠=o o 60,ADB ∠=o 则船速为 .(km /min).最有效训练题20（限时45分钟）1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若角,,A B C 依次成等差数列，且1,3,a b ==则().ABC S =V.2A 3.B .3C .2D 2.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 2sin sin cos 2,a A B b A a +=则().b a =.23A .22B .3C .2D3.已知ABC ∆的三边长分别为,,,a b c 且面积2221(),4ABC S b c a ∆=+-则().A ∠=.15A o .30B o .45C o .120D o4 .若ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 满足22()4a b c +-=且60C =o ，则ab 的值为（ ）.4.3A .843B - .1C 2.3D 5. .在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）. .(0,]6A π .[,)6B ππ .(0,]3C π .[,)3D ππ 6.在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为（ ）.2.(0,)2A 12.[,)22B .(0,1)C 2.(,1)2D 7.在ABC ∆中，若120,5,A c ∠==o ABC ∆的面积为53，则______.a =8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c 如果3,30,c a B ==o 那么角C 等于 .9.已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆ 的面积为 .10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若sin a c A =，则a b c+的最大值为 .11.在ABC ∆中，已知2, 2.ABC AB AC S ∆⋅==u u u r u u u r（1）求tan A 的值；（2）若sin 2cos sin B A C =，求BC 的长.12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图4-38所示，要求60,ACB BC ∠=o 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC 的最短长度，并求出此时BC 的长度.。