《动态几何教程》前言

第五讲全等三角形动态几何一、知识梳理所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线，上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。

解动态几何题一.般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系(如等量关系、变量关系)、图形位置关系(如图形的特殊状态、图形间的特殊关系)等进行研究考察.抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。

二、典型例题例1、如图，已知AB ＝12米，MA ⊥AB 于点A ，MA ＝6米，射线BD ⊥AB 于点B ，点P 从点B 出发沿BA 方向往点A 运动，每秒走1米，点Q 从点B 出发沿BD 方向运动，每秒走2米，若点P 、Q 同时从点B 出发，出发t 秒后，在线段MA 上有一点C ，使由点C 、A 、P 组成的三角形与△PBQ 全等，则t 的值是_____．【答案】4秒例2、如图，有一个直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2/cm s 的速度运动，问P 点运动___________秒时(t 0)>，才能使ABC ≌QPA 全等．【答案】2或8例3、图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝100，E ，F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为40或75．【分析】设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，使△AEG 与△BEF 全等，由∠A ＝∠B ＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，列方程解得t ，可得AG ；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，列方程解得t ，可得AG ．【解答】解：设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，因为∠A ＝∠B ＝90°，使△AEG 与△BEF 全等，可分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，∵BF ＝AE ，AB ＝100，∴3t ＝100﹣2t ，解得：t ＝20，∴AG ＝BE ＝2t ＝2×20＝40；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，∵BE ＝AE ，AB ＝100，∴2t ＝100﹣2t ，解得：t ＝25，∴AG ＝BF ＝3t ＝3×25＝75，综上所述，AG ＝40或AG ＝75．故答案为：40或75．例4、如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t =1时，AP =BQ =1,BP =AC =3,又∠A =∠B =90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA BAC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ (SAS ).∴∠ACP =∠BPQ ,∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90*.∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC =BP ，AP =BQ ，34t t xt=-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩;②若△ACP ≌△BQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.例5、如图，已知△ABC 中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒得速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CQP ？（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？例6、如图（1）AB =8cm ，AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC =BD =6cm ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们的运动时间为t (s )．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠= ”，其他条件不变，设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）当1t =时，2AP BQ ==，6BP AC ==，又∠A =∠B =90°，在ACP ∆与BPQ ∆中AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ (SAS )，ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠= ，90CPQ ∴∠= ，即PC PQ ⊥；（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC BP =，A P B Q =，8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得12t x =⎧⎨=⎩；②若△ACP ≌△BQP ，则AC BQ =，AP BP =，6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得23t x =⎧⎨=⎩，综上所述，存在1223t t x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，使得ACP ∆与BPQ ∆全等.例7、在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AB 的中点，动点E 从A 点出发沿着AC 匀速运动到终点C ，动点F 从C 点出发沿着CB 匀速运动到终点B ，他们同时出发并同时到达终点，连结DE ，DF ，EF ，在运动过程中。

动态几何教案引言：动态几何是计算机图形学的一个重要领域。

在此，我们将通过一张动态几何教案，介绍如何使用计算机技术和动态几何软件来帮助学生学习几何知识。

本教案被设计用来教授9-12年级初学者。

教案通过引导学生使用动态几何软件，帮助他们更好的理解几何概念的基础知识。

1.教学目标：本教案的主要教学目标包括：1.1 理解几何概念1.2 学会使用动态几何软件1.3 学习如何解决几何问题2.使用的软件：教师将使用如下动态几何软件CarMetal进行教学：2.1 CarMetal是一个免费的软件，用户可以在Windows、Mac OS X和Linux等操作系统上使用。

2.2 这个软件提供了一个友好的用户界面，可以方便地绘制几何图形和执行几何操作。

2.3 学生将使用CarMetal软件，来亲手制作和观察几何图形，并了解其中的几何概念和技巧。

3.教案内容：本教案包含五个部分：直线，圆，三角形，四边形和多边形。

3.1 直线：直线是几何的基本元件之一，学生将学习并理解直线的定义，如何用刻度尺绘制直线和如何使用CarMetal软件绘制直线。

学生还将学习如何测量和角度和距离，以及如何做平行和垂直线的构造。

3.2 圆：学生将学习并理解圆的基本定义，如何用圆规和直尺绘制圆形，如何测量圆的半径和直径，并使用CarMetal绘制和观察圆形的运动。

3.3 三角形：学生将学习并理解三角形的基本定义，如何用规和直尺绘制三角形，如何计算三角形的面积和周长，如何使用CarMetal绘制和观察三角形的运动。

3.4 四边形：学生将学习并理解四边形的基本定义，如何用直尺和角规绘制四边形，如何计算四边形的周长和面积，并使用CarMetal观察四边形的运动。

3.5 多边形：学生将学习并理解多边形的基本定义，如何用直尺、角规和圆规绘制多边形，如何计算多边形的周长和面积，并使用CarMetal观察多边形的运动。

4.实践操作：在理解和掌握了几何概念及其运算方法之后，学生将有机会运用所学知识完成一些实际操作和问题解答，例如计算圆的面积和周长、计算多边形的面积和周长等等。

九年级数学动态几何问题说课稿说课稿
九年级数学动态几何问题说课稿
动态几何问题说课稿说教材：动态几何问题，是近几年来各地中考的热点问题，涉及知识点较为广泛，速度、时间、路程的关系，三角形、四边形、相似形、圆等几何图形的基本性质，点、线、面、体之间的相互联系及位置关系，所考查的数学思维方法与知识包括数形结合，分类讨论，函数与方程等，要求学生能全面思维，在解决矛盾中发展，学会观察总结。

说教法：动态几何问题重点在于理解运动，要教会学生如何能在动中求静，寻求解决问题的方法与技巧，通过师生的互动，学生讨论，认真观察图形，结合已学知识，让学生发现规律，寻找解决问题的突破口，尤其注意相似的思维技巧，充分发挥学生解决问题的主观能动性，并能达到互相关心，加强合作，共同提高的目的。

教学过程中主要运用讨论法、讲练结合法。

说学法：学习动态型几何问题，如何发现图形中的各种联系、性质及规律是关键，学生要能认真观察图形，在动中求静，数形结合，分类讨论，多与同学交流讨论，发现规律，共同提高，学会总结，充分发挥自己的主观能动性，才能学有所得，解决问题。

经历动态过程 还原思维历程引言：抛砖方能引玉，与大家交流，目的是想偷各位高手们的绝招，为我的课堂教学服务，解救自己，造福学子。

群内高手们绝招太多，或许用起来时根本就想不起来应该用哪一招，所以成此拙作，就是想诱发大家的课堂教学回忆，激发思考，求同存异，为动点几何教与学共支招，造福更多的师生。

运动几何问题以平移、旋转、翻折等图形变换方式呈现，代数、几何核心知识联袂，动静有序，充满创意，凝聚着命题者的智慧与心血。

受时间等因素的影响，批阅或评讲时，过于迷信答案，或受参考答案先入为主的制约，就会考虑不周而出错，或者不能揭示思考过程，从而错失提升学生解决问题能力的良机。

笔者以平常我们为学生选择的8个练习作业的立意、评讲及解答为例，从点动、线动、面动三个类型，剖析动态类几何教学现状，探讨如何动态几何教学引入时机、如何引导学生揭示解答动态几何问题等策略，还原思维历程，提升学生解决问题的能力，抛砖引玉。

1当前动态几何教学现状1.1学生因素由于学生基础知识不均衡，思维水平参差不齐，思考问题方式及层次差异，加上学习缺少毅力，大约有七成学生是惧怕动态类几何题，他们感觉无法下笔，对这类题一般是放弃。

但事实表明，如果我们早介入，早指导，早训练，相当多的学生还是能接受的。

1.2教师因素动态几何问题，作为教师，两个方面有待改进。

一是担心，二是指导不得法。

担心过早介入，会影响整体学生学习积极性，让学生有畏难情绪，从而影响学习效果，所以总是在放在九年级用专题复习，收效甚微。

就题讲题、用而不研，课堂内重结论、轻视学生基本活动经验的做法很普遍，导致学生不能发现、提出问题；缺少对基本思想方法的归纳，无法提升学生分析、解决问题的能力；不能形成系统的模型思想。

考试时很难实现整体水平提高、及格到优分、优分更优的蜕变。

案例1:如图（1），已知AC=AE ，∠BAD=∠EAC=∠EDC（1）若△ABC 中，∠B ﹤90°,D 为BC 上的一点，点E 在△ABC 的外部，求证：AD=AB 。

动态问题初步(一)█知识模块1|与数轴有关的动态问题知识梳理点动、线动、面动构成的问题称之为动态几何问题，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一位．期末压轴题一般都会以综合题的形式出现，这就奠定了“动态问题”在压轴题中的重要地位．与数轴相关的动态问题的解题思路一般有两种：1. 行程问题：寻找点在运动前后路程的变化，依题意求解．2. 动点表示法：表示出任意时刻动点位置，依题意列方程求解．【注意】动点问题大多需要分类讨论，要考虑多解问题以及解的取舍问题．动点在数轴上的表示方法：（1）如图1所示，数轴上有两点A、B，在数轴上表示的数分别为a、b，A向左运动，速度为x个单位长度/秒，B向右运动，速度为y个单位长度/秒．若t秒过后，A运动后所在的位置为A′，则A′表示的数为a−xt；B运动后所在的位置为B′，则B′表示的数为b+yt．（2）动点问题中常考察中点问题．如图2所示，已知数轴上有两点A、B，在数轴上表示的数分别为a、b，设AB的中点为P，表示的数为p．则中点公式为：p=a+b2 (和原点所在位置无关)精讲精练▎例题1已知数轴上两点A、B对应的数分别是6、−8，M、N为数轴上两个动点，点M从A 点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N从B点出发向右运动，速度为M点的3倍，经过多长时间，点M与点N相距50个单位长度？这时点M、N 所对应的数分别是多少？▎例题2如图，点A、B都在数轴上，且AB=6（1）点B表示的数是____________；（2）若点B以每杪2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是_______；（3）若点A、B都以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，而点О不动，t秒后有一个点是另外两点连线的中点，求t.▎例题3如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为90（1）请写出与A、B两点距离相等的M点对应的数；（2）现在有一只电子蚂蚁Р从B点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁Р从B点出发，以5个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？▎例题4如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点，且a、b满足|a+3|+(b+3a)2=0（1）求点C表示的数；（2）点P从A点以3个单位每秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位每秒的速度向左运动，若AP+BQ=2PQ，求时间t；（3）若点P从点A向右运动，点M为AP中点，在点P到达点B之前：①PA+PBPC的值不变；②2BM−BP的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值▎例题5如图，已知数轴上有三点A、B、C，AB =12AC，点C对应的数是200．（1）若BC= 300，求点A对应的数；（2）点A、C从（1）中的位置同时出发匀速向左运动，速度分别为5单位长度/秒、10单位长度/秒；另有一点E也同时从点A的位置出发向点C匀速运动，当首次遇到点C后立即返回向点A运动，遇到点A后又立即返回向点C运动．如此往返，直到点C追上点A时，点E立即停止运动．若点E的速度为15单位长度/秒，求点E一共运动了多少单位长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒、2单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN(不考虑点R与点Q相遇之后的情形).▎例题6阅读理解：如图，A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是[A,B]的好点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A,B]的好点；又如,表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A,B]的好点，但点D是[B,A]的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．（1）数___________所表示的点是[M ,N]的好点；（2）现有一只电子蚂蚁Р从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，P、M、.N中恰有一个点为其余两点的好点？▎例题7如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为−1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）用含有t的代数式表示AM的长为__________；（2）当t =_____秒时，AM+ BN=11；（3）若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位的速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程中，AM和BN 可能相等吗？若相等，请求出t的值；若不相等，请说明理由．随堂测试建议用时：30分钟你的用时：分钟⑦ 测试1如图，点A、B在数轴上表示的数分别为−12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒（1）运动___________秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，点P在数轴上表示的数是___________；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解答过程）测试2如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A、B两点间的距离为10．动点Р从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．（1）数轴上点B表示的数是_______，点P表示的数是_________（用含t的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点Р与点Q间的距离为8个单位长度？测试3阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是[A,B]的妙点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．.表示1的点C到点A的距离是2，,到点B的距离是1，那么点C是[A,B]的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A,B]的妙点，但点D是[B,A]的妙点.知识运用：（1）如图2，M、N_为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．数_________所表示的点是[M,N]的妙点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发向左运动，到达点A停止．点Р运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点？动态问题初步(二)█知识模块1|与线有关的动态问题知识梳理与线有关的动态问题在历年的压轴题中经常出现．这类问题往往需要进行线段的计算与证明，这就需要在推理能力和思维能力的锻炼上勤加练习．以全国的视角观察这类考题，“定值问题”一般作为最后一问出现．所谓定值问题，即探究点或线或图形在运动的过程中，某一个量的计算结果是否改变．这种问题的解题束略有两类：1. 设元，表示出这个量，探究表达式的特征；2. 推理计算这个量的结果．精讲精练▎例题1如图，线段AB=24，动点P从A出发，以2单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP 的中点（1）出发多少秒后，PB=2AM；（2）点P在线段AB上运动时，试说明2BM−BP为定值；（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．▎例题2如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB= 12厘米，点C在线段AB上．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点О的速度为2厘米/秒．（1）当点P、O分别在线段AC、BC的中点时,线段PQ=_________厘米．（2）若AC=6厘米，点P、点Q分别从点C、点B同时出发沿射线BA方向运动，当运动时间为2秒时，求PO的长；（3）若AC=4厘米，点P、点Q分别从点C、点B同时出发在直线AB上运动，则经过多长时间后PQ的长为5厘米？▎例题3如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA = 20cm，AB = 60cm，BC=10cm．点P 从点О出发，沿OM方向以lcm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点О匀速运动(点Q运动到点О时停止运动)，两点同时出发．（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，试探究OB−APEF的值是否变化，若不变，求出其值；若变化，说明理由．█知识模块2|与角有关的动态问题知识梳理与角有关的动态问题有两类常见的出题形式：1. 射线绕某个点旋转；2. 定值的角（一般是直角三角板的某个角）绕某个点旋转．精讲精练▎例题4已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点О沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点О沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒<t≤90秒）（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角(指大于0° 而不超过180° 的角)的平分线？如果存在，请写出t的值；如果不存在，请说明理由．▎例题5（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC，则∠EOF 的度数为_____________°（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC，则∠EOF 的度数为_____________°（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点О旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，a>β，则∠EOC=________(用含α与β的代数式表示)▎例题6如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与О重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t(s)．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9° 的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由.随堂测试建议用时：30分钟你的用时：分钟⑦ 测试1如图，P是线段AB上任一点，AB = 12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP=8cm①运动1s后，求CD的长；②当D在线段PB上运动时,试说明AC= 2CD；（2）如果t=2s时，CD=lcm，试探索AP的值．测试2如图，已知∠AOB=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4° 的速度顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针方向旋转．当OC与OA成180°时，OC与OD同时停止旋转．（1）当OC旋转10秒时，∠COD=____________°（2）当OC与OD的夹角是30° 时，求旋转的时间；（3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间．测试3如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．图 1 图 2图3（1）将图1中的三角板绕点О逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将图1中的三角板绕点О按每秒4° 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？（3）将图1中的三角板绕点О顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．BO。

第11章课件制作随着信息技术的发展，很多中学投入大量资金建设和维护多媒体教室，越来越多的老师在教学中使用多媒体进行教学。

但同时也存在一些问题，有些老师觉得制作课件太辛苦，而且教学效果不理想，抱怨说“老师做累了，学生看傻了”；有些老师对多媒体教学了解地少，用得更少，只有在公开课上不得已而用之，属于“为用多媒体而用多媒体”；有些老师的多媒体课件都是使用Powerpoint制作，甚至直接将教材上的文字内容扫描，复制到Powerpoint中，成为“电子板书”。

这样的课件不是真正意义上的多媒体课件，称其为电子教案可能更恰当一些。

本章节将针对这些问题，介绍多媒体课件的特点，评价标准，指出“为什么要采用《超级画板》制作数学课件”，并给出相关案例。

（一）多媒体课件的特点多媒体课件是一种根据教学目标设计的计算机程序，主要用来传递教学信息，通过交互操作与学生一起完成教学，有教学性、科学性、交互性、易用性、开放性等特点。

充分了解多媒体课件的特点，有利于我们更好地制作多媒体课件，有利于在教学中充分发挥其作用。

（1）教学性多媒体课件要紧扣教学大纲，有明确的教学目的和任务。

选题恰当，内容丰富充实，知识信息量大，适合学生的身心发展需要。

突出主题，突出重点，突破难点，能解决传统教学难以解决的问题。

认知逻辑合理，符合教学原则，能提高学生获得知识技能的速度。

具有交互性和个性化，充分考虑学生的个体差异，使学生拥有一定的自主控制权，并对学习内容作及时反馈。

简单地说，一个课件是为实现特定的教育教学目的而设计，为完成一定的教学任务而制作。

（2）科学性科学性的基本要求不出现知识性错误，内容正确，突出重点，循序渐进，层次清楚，逻辑严谨，场景设置合理，素材选取真实可靠，引用数据准确可信，术语运用规范。

（3）交互性多媒体课件具有友好的人机交互界面，交互界面是学生和计算机进行信息交换的通道。

多媒体课件可以利用人机交互的手段和快速的计算处理能力进行教学。

第二篇平面几何平面几何作为一门系统的学科, 已有两千多年的历史, 其魅力经久不衰。

计算机科技的发展, 推出了动态几何作图软件, 使这门古老的科学焕发青春, 变得更加丰富多彩, 更有吸引力和挑战性。

《超级画板》是由动态几何作图软件发展而来, 平面几何动态作图当然是它的基本功能。

基本功能熟练了, 就有了登堂入室的基础。

这一篇里, 我们将通过一些实例, 学习动态几何作图, 图形的旋转、平移和缩放的操作机制, 图形的测量以及制作控制图形运动和变化的按钮方法。

看了这些例子你会看到, 优秀的作品源于对知识的创造性地运用。

再好的软件也不过是你手中的工具, 不过是圆规直尺铅笔这些古老的工具的发展。

创意永远是最重要的。

首先我们来看看动态几何作图与平时我们在纸上、黑板上作图有什么区别。

（一）共点的三个圆大家一起来试一试, 画出过同一点的三个圆。

合上书本, 自己动手。

完成后, 看看你的制作结果是不是与图中的图形相似？有三个圆, 六个点。

请大家随意拉动几个点试试, 看这三个圆是否还能“过同一点”？拖动结果可能如图2-1所示：图2-1为什么图形会“散架”, 可能作图过程是这样的（图5-2列出了最典型的初学者“画共点的三个圆”的步骤, 受到了传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响）。

图2-2在拖动过程中, 动态几何作图能够保持所有给定的几何关系, 因为它就是根据几何关系来设计的！那么, 你思考一下, 上述方法在画圆时, 到底给定了什么样的几何关系？我们知道, 圆是由两个点来决定的, 双击鼠标按下去的点即为圆心, 松开鼠标的点即为圆上的一点。

改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。

而在我们刚才的操作中, 我们所给的几何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下, 图中共三个圆, 六个自由点）。

根据这样的几何关系, 每个圆都可以随意地改变。

这就表明：在超级画板中, 不能再象在黑板上那样, 随手画出图来, 而每时每刻都得考虑几何关系。

(1 )当MN 〃AB时，求r的值；(2 )试探究：/为何值时，AMNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ,N是在动，意味着BM,MC以及DN.NC都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC.BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】解(1 )由题意知，当MW运动到/秒时，如图①，过Q作DE// AB交BC于E点，则四边形ABED 是平行四边形・AB // DE , AB// MN .A DE //. (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)【思路分析2］第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN 二NC 即 可，于是就漏掉了 MN 二MC,MC 二CN 这两种情况。

在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一 定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。

具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形 问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：① 当MN = NC 时，如图②作NF 丄BC 交BC 于F ，则有MC = 2FC 即.（利用等腰三角形底边高 也是底边中线的性质）.“ DF 4 • - sin ZC = -- =—CD 5/. cos ZC=| ,,-.10-2r = 2x —,5 ?5解得心彳・② 当MN = MC 时，如图③，过M 作AW 丄CD 于H ・则 CN = 2CH ,;.r = 2(10-2r)x| .60・t =— … 17 MC _ NC~EC~~CD10-2/ t10-3 ~5（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 50 •解碍心石③当MC = CN时，贝iJ10-2r = r .10Z_T •综上所述，当心丰、兽或£时，'MNC为等腰三角形.o 17 5【例2】(2010，崇文，一模)在^ABC中，zACB二45。