人教版八年级数学下册 一次函数与一元一次不等式(提高)知识讲解

八年级下期同步提高第五讲一元一次不等式和一次函数及应用一、知识概要：1、一元一次不等式与一次函数之间的关系.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.2、一元一次不等式与一次函数的关系在实际问题中的应用二、典型例题：例题1：作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x取哪些值时，2x－5=0?（2）x取哪些值时，2x－5＞0?（3）x取哪些值时，2x－5＜0?（4）x取哪些值时，2x－5＞3?例题2：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？例题3：已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？例题4：作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x取何值时，2x－4＞0？（2）x取何值时，－2x+8＞0?（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.例题5：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？例题6：某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？（4）什么情况下两家商场的收费相同？三、巩固训练：1.如果一次函数y =－x +b 的图象经过y 轴的正半轴，那么b 应取值为( )A.b ＞0B.b ＜0C.b =0D.b 不确定2.已知函数y =8x －11，要使y ＞0，那么x 应取( )A.x ＞811B.x ＜811C.x ＞0D.x ＜03.汽车由A 地驶往相距120千米的B 地，汽车的平均速度是30千米/时，则汽车距B 地的路程S (千米)与行驶时间t (小时)的关系式及自变量t 的取值范围是( )A.S =120－30t (0≤t ≤4)B.S =30t (0≤t ≤4)C.S =120－30t (t ＞0)D.S =30t (t ＞4)4.要使一次函数y =(2a －1)x +(a －1)的图象经过y 轴的正半轴且过x 轴的负半轴，则a 的取值范围是( )A.a ＞21B.a ＞1C.21＜a ＜1D.a ＜21 5.已知函数y =(2m －1)x 的图象上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( )A. m ＜21B. m ＞21C. m ＜2D. m ＞06.已知y =－x +12，当x ________时，y 的值小于零.7.已知：y 1=3x +2，y 2=－x +8，当x ________时，y 1＞y 2.8.如果一次函数y =kx +2，当x =5时，y =4，那么当x ________时，y ＜0.9.已知函数y =ax (a ＜0)，如果A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)是直线y =ax 上两点，并且x 2＞x 1，那么y 1与y 2的关系是________.10.若一次函数y =(m －1)x －m +4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________.11.已知一次函数y =kx +b 的图象经过点：A (－2，0)、B (m ，－7)、C (－21，－3). (1)求m 的值. (2)当x 取什么值时，y ＜0.12.画出一次函数y =32x －2的图象，并回答： (1)当x 取何值时，y =0？(2)当x 取何值时，y ＞0？(3)当－1＜y ＜1，求x 的取值范围.13.甲有存款600元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元.(1)列出甲、乙的存款额y 1、y 2(元)与存款月数x (月)之间的函数关系式，画出函数图象.(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？.14．某图书馆开展两种方式的租书业务，一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图1－41所示：图1－41(1)通过图象观察，使用会员卡、租书卡，这两种卡在什么情况下合算.(2)分别求出两种卡每天的租金.15．某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时，100千米/时，两注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.（1）设该批发商待运的海产品有x吨,汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1元和y2元，试求y1和y2与x的函数关系式；（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？。

一次函数与一元一次不等式（提高）撰稿：康红梅 责编：吴婷婷【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】要点一、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次不等式【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例1】1、已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式()1a x b --＞0的解集为（ ）A ．x ＜－1B ．x ＞－1C ．x ＞1D ．x ＜1【答案】A ；【解析】∵一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，∴b ＞0，a ＜0，把（2，0）代入解析式y ax b =+得：0＝2a ＋b ，解得：b a＝－2，∵()1a x b --＞0， ∴()1a x b ->，∴x －1＜b a， ∴x ＜－1，【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出a 、b 的正负，并正确地解不等式是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线y kx b =+与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，－3），则不等式kx b +＋3≥0的解集是（ ）A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ≥2D ．x ≤2【答案】A ；提示：从图象上知，直线y kx b =+的函数值y 随x 的增大而增大，与y 轴的交点为B （0，－3），即当x ＝0时，y ＝－3，所以当x ≥0时，函数值kx b +≥－3．2、函数11y x =+与2y ax b =+（0a ≠）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y 轴上，那么使1y ，2y 的值都大于零的x 的取值范围是___________．【思路点拨】使1y ，2y 的值都大于零的图象在x 轴的上方，这部分图象的自变量在与x 轴的两个交点的横坐标之间.【答案】－1＜x ＜2；【解析】由11y x =+，可知1y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），使1y ，2y 的值都大于零的图象在x 轴的上方，这部分图象的自变量的取值范围是－1＜x ＜2.【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例3】【变式】如图所示，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当 12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞2【答案】D ；提示：21y y >反映在图象上，是1y 的图象在2y 的上方，这部分图象自变量的取值范围有两部分，是x ＜－1或x ＞2.3、作出函数24y x =-的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当－2≤x ≤4时，求函数y 的取值范围；（2）当x 取什么值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0；（3）当x 取何值时，－4＜y ＜2．【答案与解析】解：当x ＝0时，y ＝－4，当y ＝0时，x ＝2，即24y x =-过点（0，－4）和点（2，0），过这两点作直线即为24y x =-的图象，从图象得出函数值随x 的增大而增大；（1）当x ＝－2时，y ＝－8，当x ＝4，y ＝4，∴当－2≤x ≤4时，函数y 的取值范围为：－8≤y ≤4；（2）由于当y ＝0时，x ＝2，∴当x ＜2时，y ＜0，当x ＝2时，y ＝0，当x ＞2时，y ＞0；（3）∵当y ＝－4时，x ＝0；当y ＝2时，x ＝3，∴当x 的取值范围为：0＜x ＜3时，有－4＜y ＜2．【总结升华】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论.类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题4、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后通话每分钟再付话费0.3元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6元，若一个月内通话时间为x 分钟，甲、乙两种业务的费用分别为1y 和2y 元．(1)试分别写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式；(2)画出1y 、2y 的图象；(3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠?【思路点拨】收费与通话时间有关，分别写成两种收费方式的函数模型(建立函数关系式)，然后再考虑自变量为何值时两个函数值相等，从而做出选择．【答案与解析】解：(1)根据题意可得：10.315y x =+(x ≥0)，20.6y x =(x ≥0)．(2)利用两点可画10.315y x =+(x ≥0)和20.6y x =(x ≥0)的图象，如下图所示．(3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当x＝50时，两个函数的值都等于30．因此一个月内，通话时间为50分钟．选哪一种通话业务都行，因为付费都是30元，当一个月内通话时间低于50分钟时，选乙种业务更优惠，当一个月内通话时间大于50分钟时，选甲种业务更优惠．【总结升华】解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数，找到它们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选择．。

一、概述不等式与一次函数作为初中数学的重要内容，是数学中的基础知识之一。

通过学习不等式与一次函数，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学运算能力，培养数学思维。

在八年级下册中，不等式与一次函数的学习也是一个重点内容，本文将重点介绍八下一元一次不等式与一次函数的相关知识。

二、一元一次不等式的基本概念1. 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指一个未知数的一次方程，且不等式关系为大于、小于、大于等于或小于等于。

2. 一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。

解集一般用数轴上的区间表示。

3. 一元一次不等式的性质一元一次不等式的性质包括加减法性质、乘除法性质以及绝对值性质。

这些性质在求解一元一次不等式时起着重要作用。

三、一元一次不等式的解法1. 一元一次不等式的解法求解一元一次不等式时，可以通过加减法、乘除法性质，或者通过绝对值性质来进行变形。

然后求出不等式的解集。

2. 一元一次不等式的解集表示一元一次不等式的解集表示在数轴上的区间，可以用不等号的方向和顶点来表示。

3. 一元一次不等式的解的检验求解一元一次不等式后，需要进行解的检验，即将得到的解集带入不等式中，验证所求解是否正确。

四、一次函数的基本概念1. 一次函数的定义一次函数是指函数y=kx+b，其中k和b是常数，且k≠0。

一次函数的图像是一条直线。

2. 一次函数的图像特征一次函数的图像是一条直线，其斜率k决定了直线的斜率和方向，常数b决定了直线的截距。

3. 一次函数的性质一次函数的性质包括增减性、奇偶性、零点、定义域、值域等。

五、一元一次不等式与一次函数的通联1. 一元一次不等式与一次函数的关系一元一次不等式与一次函数之间存在着密切的通联，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域，通过一次函数的图像可以帮助理解不等式解集的表示。

2. 一元一次不等式与一次函数的应用一元一次不等式与一次函数的知识可以相互应用，通过一次函数的图像特征可以帮助理解不等式的解集表示，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域。

第21讲 一次函数与方程不等式的应用直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k-，bk -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

解一元一次方程0ax b +=⇐⇒当0y =时，求一次函数y ax b =+的x 值 （数的角度） 0ax b +=⇐⇒一次函数y ax b =+图象与x 轴的交点坐标 （形的角度）任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

解一元一次不等式0kx b +>⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴上方的部分图象所对应的x 值解一元一次不等式0kx b +<⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴下方的部分图象所对应的x 值（1）、以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同。

（2）、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点。

（3）、一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

考点1、一元一次方程与一次函数的关系例1、若方程x-3=0的解也是直线y=（4k+1）x －15与x 轴的交点的横坐标，则k 的值为（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、±1例2、已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b 的图象可能是（ ）A 、B 、C 、D 、例3、已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______． 例4、画出函数y=2x+1的图象，利用图象求： （1）方程2x+1=0的根； （2）不等式2x+1≥0的解；（3）求图象与坐标轴的两个交点之间的距离。

《一次函数与一元一次不等式》知识全解课标要求理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用一次函数及其图像解决一元一次不等式的问题，会用一元一次不等式解决实际问题。

知识结构一次函数与一元一次不等式的关系同一次函数与一元一次方程一样，一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0）与一元一次不等式：ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数）之间也有密切联系。

由于任何一个一元一次不等式都可以化为一般形式ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数），所以解一元一次不等式可以转化为求：当一次函数y=ax+b中，函数值y大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。

从图象上看，相当于直线y=ax+b在x轴上方（或下方）时，x的取值范围。

解关于x的不等式kx+b>mx+n有两种转化方式，分别为：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）内容解析求一次函数y=ax+b中，当自变量在什么范围取值时，函数值y＞0。

这个问题即为当x 取何值时ax+b＞0，正好是求一元一次不等式的解集；而从图象上看，因为纵坐标大于0的点都在x轴上面，所以求函数y=ax+b的函数值大于0时，自变量x的范围，就相当于求已知直线y=ax+b在x轴上面的图象所对应的横坐标的范围。

用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要．重点难点本节的重点是：用一次函数及其图象来解决一元一次不等式的问题难点是：正确理解一次函数与一元一次不等式的转化关系，并能用它们解决实际问题。

教法引导通过举例，让学生体会一次函数与一元一次不等式的转化关系。

通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决一元一次不等式的方法.学法建议学习时要积极动手动脑，通过自己动手画图象，总结体会怎样用一次函数及其图象来解决一元一次不等式的问题；加强小组间的交流，在不断交流、探讨中发现问题、解决问题。