七年级数学下册9.2第2课时多边形的外角和课件(新版)华东师大版

2
条对角线.
自主学习
n边形除去一个内角外，其余内角和为 2570°，求这个多边形的边数。
分析：多边形的内角和为180°的整数倍，而每个多边 形的内角都小于180°大于0°
小结：
1. n边形的内角和定理是什么？
n边形的内角和为 (n 2) 180
2.推导多边形内角和定理时所用的方法是什么？ 把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的 内角和为180°，求出多边形的内角和
C
A
D
D
B
E
A
B
图1
C
F
1、什么是多边形？类比三角形的读法图1这个多边形该怎 样表示?怎样读？ 2、多边形的分类有哪些？ 3、结合图2指出这个四边形的顶点、边、内角、外角？分 别有几个？五边形呢？n边形呢？ 4、什么是正多边形？它的边、内角、外角分别有怎样的关 系？
…
三角形
四边形
五边形
六边形
多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的
n－2
多边形的内角和 … 180° 360°540° 720° 900° （n－2）×180°
n边形的内角和＝（n－2）·180°（n≥3）

通过本节课的学习， 你还有哪些疑问，请 大胆提出，让我们共同解决。
刚才我们连接对角线分成三角形，我们还 可以在平面内再选一点与多边形的各个顶点 相连，能推出多边形的内角和呢？
分成三角形的个数
…
多边形的内角和
…
展示、评价分工
展示内容 第1题 第2题
展示方式 口答并讲解
讲解
展示分工 第二组 第三组
评价分工 第四组 第一组
展示要求： 1、吐字清晰，语言简练。 2、非展示同学要结合展示点评，迅速记录，及时提问并补充。

2.一个多边形的内角和等于1800°，求它的 边数.
25
认识多边形的外角
与三角形类似，如图所示，
∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四边形ABCD的四个内角， ∠CBE和∠ABF都是与∠ABC
相邻的外角，两者互为对顶角.
多边形内角的一边与_另_一__边__的_延__长_线 M2
所组成的角叫做这个多边形的外
注意：多边形的外角和与边数无关
29
例2： 一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是 几边形吗？
解法1 分析：正多边形的每一个内角都相等。
设这个多边形的边数为n，则有
（n－2）×180°=150n
30n=360°
解法2
n=12
每一个相邻的内角与外角之和为180°，则外角为
180°－150°=30° n=360°÷30° n=12
8
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
9
多边形的分类
如图，画出四边形ABCD的任何一条 边所在直线，整个四边形都在这条直线 的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
A
B
C
D
10
凹四边形
A
C
B
D
四边形ABCD是 凹四边形，因为画 出边CD（或BC）所 在直线，整个四边 形不都在这条直线 的同一侧。
n边形的内角和为___(_n_-_2__)_×___1_8_0__°_．
21
想一想
如图，在n边形的边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个 顶点，可得几个三角形？（以四边 为例）你能否根据这样划分 多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）×180°？

线，写出它的条数。
0
1
5
2
3
多边形 的边数 4
图
形
分割出的三 角形的个数 2 3
多边形的 内角和 360º 540º …… (n－2)×180º
5
…… n ……
……
n－2
n 边形的内角和公式：
(n 2) 180
n是大于或等于3的自然数
多边形内角的一边与另一边的反向延长线 所组成的角叫做这个多边形的外角(exterior angle) 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫做这个多边形的外角和.
C n边形的外角和等于360° 3 D
典例解析
例1. 过某个多边形一个顶点的所有对角线,
将这个多边形分成5个三角形.这个多边形 是几边形?它的内角和是多少? 解: 依题意, 这个多边形是七边形, 它的内角和是(7－2) ×180°=900°
例2. 如果一个多边形的内角和是1440°， 那么这是 十 边形。 方法小结： 解：由n边形的内角和公式可得 求多边形的边数、 （n －2）·180 = 1440 角度的常用方法: n －2 = 8 利用公式列方程.
1
一般地，在多边形的任一顶点处 按顺(逆)时针方向可作外角，n边 形有n个外角.
2
5
4 3
探究 在 n 边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和= n个平角-n边形内角和 =n×180 ° -(n-2) × 180° =360 °
B 2
1
A n
F 4 5 E
结论：
x=120°.
解得n=6 .
再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=(n－2)×180°.

理求出这个多边形的内角和。
请你根据这样的方法求出五边形、六边形、七
边形的内角和。
•
• 五边形内角和
=4× 1800 -1800 = 5400
•
六边形内角和 =5× 1800 -1800 = 7200
七边形内角和 =6× 1800 -1800 = 9000
填写下表：
多边形的边 数
3
4
5
6
7…
n
分成的三角 形个数
7200 9000
…
(n-2) ·1800
归纳：从 n 边形一个顶点与其它不相
邻的各个顶点连接，得到（n-2）个三角形，则
n 边形的内角和为： (n-2) ·1800 。
S
如图，已知四边形SPQR。试说明
四边形SPQR的内角和是否等于3600。
O•
R 若是，请说明理由；若不是，也请说
明理由。
P
Q
解：在四边形SPQR内部任意找一点O，连接OP、OQ、 OR、OS。
•
六边形内角和 =6× 1800 -3600 = 7200
•
七边形内角和 =7× 1800 -3600 = 9000填写下：多边形的边 数3
4
5
6
7…
n
分成的三角 形个数
3
4
5
6
7…
n
多边形内角 和
1800
3600 5400
7200 9000
…
(n-2) ·1800
归纳：从n边形内部任意取一点与其各 个顶点连接，得到 n 个三角形，则n边形的 内角和为： n·1800-3600 = (n-2) ·1800。
即：四边形SPQR的内角和为3600。

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，
它们的和叫做这个多边形的外角和..
2、n边形的内角和与外角和是多少？
n边形的内角和等于(n － 2)•180° 多边形的外角和都等于360°
华东师大版七年级数学下册教学课件- 9.2 多边形的内角和与外角和
华东师大版七年级数学下册教学课件- 9.2 多边形的内角和与外角和
否则α、β、γ、δ都大于90°. α+β+γ+δ＞360°. 同理最多能有三个角小于90°.
华东师大版七年级数学下册教学课件- 9.2 多边形的内角和与外角和
华东师大版七年级数学下册教学课件- 9.2 多边形的内角和与外角和
课堂练习:
1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形 是几边形？
解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意， 可知道这个多边形的边数是：
所以 x+x+36=180
解得
x=72
360÷72=5
答 这个多边形的五边形.
华东师大版七年级数学下册教学课件- 9.2 多边形的内角和与外角和
华东师大版七年级数学下册教学课件- 9.2 多边形的内角和与外角和
练习：
1.一个多边形的外角都是45°，则这个
多边形是几边形？
2．多边形的每个外角都是相邻内角
例题赏析 华东师大版七年级数学下册教学课件-9.2 多边形的内角和与外角和
［例1］一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
(n－2)·180°,外角和等于360°， 所以：(n－2)·180=3×360 解得：n=8 答:这个多边形是八边形.
华东师大版七年级数学下册教学课件- 9.2 多边形的内角和与外角和

体育课上，小张同学从点A出发，前进10米，向右转
36°；再前进10米，又向右转36°....这样一直走下去，
他第一次回到出发点A时，一共转了多少度？一共走了多
少米？
A
B
C 36°
36°
学习目标
1.了解多边形外角和的概念 2.探索并掌握多边形外角和. 3.运用多边形的外角和解决问题.
情境引入
上节课，我们探究了多边形的内角和，那么n边形的 内角和是什么？请同学们根据公式分别求出四边形，五 边形，六边形的内角和。（当多边形的边数每增加一时， 它的内角和有什么变化呢？）
1
1
1
4
2
5
3
2 360°
多边形 的边数
3
3 2
360°
4 3
360°
4
5
6
多边形的 内角与外 3×180°4×180° 5×180° 角的总和 ＝540° ＝720° ＝900°
6×180° ＝1080°
1
2
6
3 5
4
360°
…
n
… n·180°
多边形的 内角和 180° 360°
多边形的 外角和 360° 360°
变式2： 已知一个多边形，它的每个内角与相邻外 角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
达标检测： 1.判断． （1）当多边形边数增加时，它的外角和也随着 增加． ( ) （2）三角形的外角和与八边形的外角和相等． ()
2.计算
如图，求图中x的值.
3.解决课前提出的问题。
体育课上，小张同学从点A出发，前进10米，向右转
540° 360°
720° 360°
… (n－2)·180°

证明五边形的外角和为360°
思路：
1A
每个顶点处的一个外角与内角和为180°
5个顶点处的内外角和为5×180°， B
5个内角的度数和为（5-2）×180°， 2
所以，5个外角度数和为：
5×180°-（5-2）×180°=360° C
所以，如图：
3
5
E
4
D
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=5×180°-(5-2)×180°
三、练习巩固：
1、正六边形的每一个外角等于_6_0_°__，每 一个内角等于__1_2_0_°__ 2、如果一个多边形的每一个外角都等于30。 那么这个多边形的边数是__1_2___
3、若一个多边形的内角和与它的外角和相 等，则它是__四____边形
四、 能力提升：
一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，它是几边形？
9.2.2 多边形的外角和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一、复习引入：
1、什么是三角形的外角？ 试着说一说什么是四边形的外角?
n边形的外角？
外角
2.什么是三角形的外角和？
如图:
D A
∠1+ ∠2+ ∠3的结果
1
C
就是三角形ABC的外角和 2
3F
∠1+ ∠2+ ∠3= 3600 E B
3.试着说一说什么是四边形，五边形…… n边形的外角和。
你能证明这个猜想吗？ 回想一下三角形外角和等于360度的证 法，分成小组分别证明四边形，五边形…… 外角和等于360度。
回顾：三边形的外角和360°的证明
思路：
E
每个顶点处的一个外角与内角和为180°1 3个顶点处的内外角和为3×180°，

于30°,则这个多 边形的边数是 12 。
正n边形的每一个内角等于
每一个外角等于
360 n
,
. (n 2) 180 n
例3、（1）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= （2）如图是一个五角星的每个角剪去一部分所生成，求 ∠M1+∠M2+∠M3……+∠M10的度数。
M3 M4
M2
M5
M1
M6
M10 M9
M7 M8
例4、在凸n边形的所有内角中，锐角 的个数最多是 3 个。
凸n边形中有且仅有三个内角为钝角， 则n的最大值是 。6
[评]收获与注意：
1、任意多边形外角和为360°。 2、转化、特殊到一般、类比。 3、复杂图形转化为基本图形。求角的 和要用内角和与外角和。
3、一个多边形的内角和等于2340°，它 的边数为 十五 边。
4、多边形边数越多，内角和越 大 ， 边数增加一边，内角和增加 180 。
[四环导学] 探索多边形的外角和
多边形内角的一边与__另__一__边__的__反__向__延__长线 所组成的角叫做这 个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的 1 个外角， n个 外 角的和叫做多边形的外角和。
360°
[究]任意多边形的外角和都为 360°
[用]例1：一个多边形的每个内角为150°， 你知道它是几边形吗？
例2、一个多边形的内角和等于外角 和的5倍，这个多边形是几边形？
练习：1.正五边形的每一个外角等于_7_2° _.每一个 内角等于1_0__8_°_,
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个 多边形的边数是__6___
爱学数学

【解析】 如答图，延长 CD、DE， 则∠1＝∠7，∠2＝∠6， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝∠7＋∠6＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.
4．一个多边形的内角和与外角和之比是 7∶2，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为 n，则（n－326）0°·180°＝27，解得 n＝9， 故这个多边形的边数为 9.
类型之三 “星形角”和的计算
[2017·青岛模拟]阅读理解：图 1 是二环三角形，可得 S＝∠A1＋∠A2
＋…＋∠A6＝360°.
理由：连结 A1A4.
图1
∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，∠A1OA4＝
∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6.∵∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝
5．一个多边形的内角和与外角和之和 2 160°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为 n， 则(n－2)×180°＋360°＝2 160°，解得 n＝12. 故这个多边形的边数为 12.
6．如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB＝60°. (1)求证：AB∥DE； (2)连结 BD，如果 BD 平分∠CDA，求证：BD⊥AB. 证明：(1)六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∵六边形 ABCDEF 的内角都相等，∴每个内角的度数为 720°÷6＝120°. 又∵∠DAB＝60°，四边形 ABCD 的内角和为 360°， ∴∠CDA＝360°－∠DAB－∠ABC－∠C＝360°－60°－120°－120°＝60°， ∴∠EDA＝120°－∠CDA＝120°－60°＝60°，∴∠EDA＝∠DAB＝60°， ∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)． (2)∵DB 平分∠CDA，∴∠ADB＝∠BDC＝30°.又∵∠DAB＝60°， ∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB＝180°－30°－60°＝90°，∴BD⊥AB.

3.(2013·雅安中考)五边形的内角和为( )
A.720°
B.540°
C.360°
D.180°
【解析】选B.由多边形的内角和为(n-2)·180°得(5-2)
×180°=540°.
4.(2013·泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1， ∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3 等于( )
在四边形ADEF中， ∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°， 所以∠F+∠E=210°. 又因为∠E=80°， 所以∠F=130°.
【想一想错在哪？】把一个多边形截去一个内角后，它的内角 和为1260°，求原来这个多边形的边数.
提示：截去一个内角后得到的多边形可能与原多边形边数相同 或多一条边或少一条边三种情况，错解中遗漏其中两种情况.
7.如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种无缝隙，不重 叠图案，图中间的四边形是什么四边形，请说明你的理由.
【解析】正方形.理由：正八边形的内角是(8-2)×180°÷8 =135°，由题意可知，中间的四边形的每个内角是360°-2 ×135°=90°.又∵四边形的四条边都相等， ∴中间的四边形是正方形.
【总结】从n边形的一个顶点出发，与不相邻的顶点可作_(_n_-_3_)_ 条对角线，将n边形分成_(_n_-_2_)_个三角形，所以n边形的内角和 是：_(_n_-_2_)_·180°. 三、多边形的外角和 多边形的外角和都是_3_6_0_°__.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(打“√”或“×”) (1)各边都相等的五边形叫做正五边形. ( × ) (2)十一边形的内角和是1620°. ( √ ) (3)四边形的外角和是360°，每一个外角都等于90°.( × ) (4)十边形的外角和比三角形的外角和大. ( × ) (5)过六边形的每一个顶点都可以作3条对角线，它有六个顶 点，所以六边形共有18条对角线. ( × )