人教版初三数学上册切线的性质与判定导学案

第2课时 切线的判定与性质★知识管理1、圆的切线的性质切线的性质定理：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

2. 圆的切线的判定定理：问： 判断直线与圆相切有哪些方法？ （1） ：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：（3）3. 三角形内切圆：★热身练习1．如图1，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6cm ，AB=4cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．45cmB ．25cm C ．213cm D ．13m2. 如图2，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°3．如图3，已知∠AOB=30°，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，•2cm•为半径作⊙M，•当OM=______cm 时，⊙M 与OA 相切．4．（2010•四川）如图4，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．P O A B＊颗粒归仓：★典型例题例：（2012•陕西）如图，PA PB 、分别与O 相切于点A B 、，点M 在PB 上，且//OM AP ，MN AP ，垂足为N ．（1）求证：=OM AN ；（2）若O 的半径=3R ，=9PA ，求OM 的长．★追踪练习1. 已知：（2006•北京）如图，△ABC 内接于⊙O，点D 在OC 的延长线上，sinB=12，∠CAD=30°．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD 的长．2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB•于点M ，交BC 于点N ．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．★挑战新高（2010•河南）如图，AB为⊙O的直径，AC，BD分别和⊙O相切于点A，B，点E为圆上不与A，B 重合的点，过点E作⊙O的切线分别交AC，BD于点C，D，连接OC，OD分别交AE，BE于点M，N．（1）若AC=4，BD=9，求⊙O的半径及弦AE的长；（2）当点E在⊙O上运动时，试判定四边形OMEN的形状，并给出证明．后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。

A圆的切线的性质和判定学习目标：掌握切线的判定定理和性质定理 重点：掌握切线的判定定理和性质定理 难点：切线的判定定理和性质定理应用 学法：先学后教 学习过程： 一．学习指导：阅读课本P 并完成以下各题。

１．切线的判定定理：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。

２．判断一条直线是否为圆的切线，现已有 种方法：一是看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系；三是利用 。

３．切线的性质定理：圆的切线 的半径。

二．课堂练习：１．下面关于判定切线的一些说法：①与直径垂直的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ；③与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④经过半径外端的直线是圆的切线； ⑤经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，其中正确的是（ ） Ａ ①②③ Ｂ②③⑤ Ｃ ②④⑤ Ｄ③④⑤２．圆的切线（ ）Ａ．垂直于半径 Ｂ．平行于半径 Ｃ．垂直于经过切点的半径 Ｄ．以上都不对３．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°， 则∠D 等于（ ）Ａ４０° Ｂ５０° Ｃ６０° Ｄ７０° ４．如图，两个同心圆，弦AB ，CD 相等，AB 切小 圆于点E 。

求证：CD 是小圆的切线。

DB ACA三、当堂检测１如图，两个同心圆的半径分别为３ｃｍ和５ｃｍ，弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为（）A4cm B5cm C6cm D8cm2如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D,且的半径为2，则CD的长为（）A 32 B 43 C 2 D 43如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的半径为。

4．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D 作DE⊥BC，交AB 的延长线于E，垂足为F。

lA图2图3《切线的判定与性质》导学案 NO ：41班级____姓名________小组_______评价______一、学习目标1、掌握切线的判定定理与性质定理，并运用于计算与推理证明；2、能区分切线的性质与判定，学会与切线有关的常见辅助线添加方法。

二、自主学习1、回忆：怎样由圆心到直线的距离d 和半径r 的数量关系来判断直线与圆相切？2、思考：已知点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？ 动手试一试。

连接________，过A 点作OA 的________3、阅读教材，归纳出切线的判定定理： 经过_____________并且________这条半 径的的直线是圆的切线 。

（读三遍）4、这个判定定理结合右图，用数学语言该怎样表示呢？5、请你总结一下圆的切线的判定方法。

6、阅读教材的“思考”。

切线的性质定理：圆的切线______过_____的半径（读五遍）。

（1）性质定理和判定定理是什么关系？（2）提升：经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过________；经过圆心且垂直 于圆的切线的直线必经过________（以上读3遍）。

（3）一条直线若满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的任意两个 条件，一定能得出第三个吗？（与同学交流）7、添加辅助线的常用方法。

（1）当已知一条直线是圆的切线时，常连接_____和_____，得到半径，那么半径 _____切线；（2）要证明直线是圆O 的切线，若直线经过圆O 上一点A ，则连接________， l l 证_______；若直线与圆O 的公共点不确定，常_________，证________。

l 8、自学检测（1）如图1，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C ，若 ∠A=25°，则∠D=______(2)教材练习第1，2题。

三、合作探究1、如图2，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°，A图1图4图5E图6CADA图8求证：CD 是⊙O 的切线。

中考数学复习切线的判定与性质导学案学校 班级 姓名一、学习内容：中考数学复习——切线的判定与性质二、学习目标：1、知识技能：（1）掌握切线的判定定理，能判断一条直线是否为圆的切线；（2）掌握切线的性质定理，能利用切线的性质定理解决相关问题。

2、能力技能（1）通过观察、比较切线的判定方法，发展学生的推理与归纳能力；（2）学生通过运用切线的性质解决问题的过程，逐渐形成用数学语言表述问题的能力。

（3）通过学习添加辅助线，提高思维能力。

3．情感、态度与价值观经历复习圆的切线的判定与性质的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累学习经验，获得成功的体验；利用数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．三、重、难点:重点：掌握切线的判定定理和性质定理难点：切线的判定定理和性质定理应用四、自学导学（一）知识简要归纳——温故而知新阅读课本P 95-96１．切线的判定定理：经过半径的 并且２．判断一条直线是否为圆的切线，现已有 种方法：一是看直线与圆公共点的个数：（ 与圆有公共点的直线是圆的切线）二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系；（当d r 时，直线是圆的切线） 三是利用 。

3.认真观察下列图形，看看下列说法是否正确(1)．与圆有公共点的直线是圆的切线． （ ）(2)．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; （ ）(3)．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; ( )(4)4图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）（二）、合作探究例1（教材P 95）直线A B 经过⊙O 上的点C , 并且O A =O B ,C A =C B ,求证:直线A B 是⊙O 的切线.归纳小结： 象例1 这种证明方法可简记为：例2:已知：O 为∠B A C 平分线上一点，O D ⊥A B 于D ,以O 为圆心，O D 为半径作⊙O 。

求证：⊙O 与A C 相切。

归纳小结：象例2这种证明方法可简记为： 。

1 / 2oB A M 24.2.2.2切线的性质、判定定理班级： 姓名： 小组： 评价： 【学习目标】1．理解切线的判定定理与性质定理；2．会应用切线的判定定理和性质定理解决简单问题． 【重点难点】切线的判定定理和性质定理的应用． 【导学流程】 一、了解感知：1.如图1，已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？2.如图2，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线L ⊥OA ，则圆心 O 到直线 L 的距离是多少？直线 L 和⊙O 有什么位置关系？你能得到什么结论呢？3.将2中的问题反过来，如图3，在⊙O 中，如果直线 L 是⊙O 的切 线， 切点 为A ，那么半径 OA 与直线 L 是不是一定垂直呢？你能得到什么结论呢？二、深入学习：1. 如图4，已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D. 求证： AC 是⊙O 的切线．2.如图5，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT 是⊙O 的切线．课海拾贝/ 反思纠错三、迁移运用：如图6，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ． 求证：DE 是⊙O 的切线。

当堂检测1．下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线 2如图，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA = 3，∠APO = 30°，那么OP = . 3.如图，已知∠AOB=30°，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，•2cm•为半径作⊙M ，•当OM=______cm 时，⊙M 与OA 相切．4.如图，PA 是⊙O 的切线，切点是A ，过点A 作AH ⊥OP 于点H ，交⊙O 于点B 。

《圆的切线的判定和性质》导学案咸丰民族中学陈永红学习目标：理解切线的判定定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理的两种辅助线思路及其运用它们解决一些具体的题目：学习流程：一、揭示目标二、教学过程（一）复习下列内容1.直线和圆有三种位置关系，分别是——、——、——。

2.直线与圆有两个公共点时，直线与圆——；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆——；直线与圆没有公共点时，直线与圆——。

3.若圆O的半径为4，直线a与点O的距离为5，则直线a与圆O——；直线b与点O的距离为4，则直线b与圆O——；直线c与点O的距离为1，则直线c与圆O——。

4、直线与圆相切有哪几种判断方法？思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如和过点A作⊙o的切线呢？交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A 点作OA的垂线从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？（二）小结：切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（三）切线判定定理的运用：例1.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D。

求证：BD是⊙O 的切线学生练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B 且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．例2.如图大⊙O的半径为8，弦AB= ，以O为圆心，4为半径作小圆，求证：AB与小圆O相切.学生练习：如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。

证明切线的常用辅助线方法小结：1连半径，证垂直（直线与圆的公共点明确时）2作垂直，证半径（直线与圆的公共点不明确时）四、当堂检测1、下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线．B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB是⊙O的切线.C O A3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

一、教学目标(一)知识与技能：1.掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明；2.掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明；3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.(二)过程与方法：1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力；2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力.二、教学重点、难点重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用.难点：探索圆的切线的判定方法.三、教学过程知识回顾直线和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？交点个数：两个公共点、只有一个公共点、没有公共点位置关系：相交、相切、相离数量关系：d＜r、d＝r、d＞r1.⊙O的半径为2cm，点O到直线AB的距离为OA.(1)若OA=2cm，则⊙O与AB_____；(2)若OA=3cm，则⊙O与AB_____；(3)若OA=1cm，则⊙O与AB_____.2.已知⊙O的半径为3cm，直线l与⊙O相切，切点为E，则OE=___cm .只有一个公共点⇔相切⇔d＝r判断一条直线是圆的切线，你现在有多少种方法？1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2.数量法(d=r)：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.切线具有什么性质？1.切线和圆只有一个公共点；2.圆心到切线的距离等于半径.思考如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线.这样，我们得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.定理应用格式：∵ OA是半径，l⊥OA于A∴l是⊙O的切线已知一个圆和圆上一个点，如何过这个点画出圆的切线？思考将前面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？证明：假设半径OA与直线l不垂直，那么过点O作OB⊥l，垂足为B.由于“点到直线的距离垂线段最短”，所以OB＜OA.根据“直线l和⊙O相交⇔d＜r”，所以直线l和⊙O相交.这与已知相矛盾，因此假设不成立，则半径OA与直线l垂直.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.定理应用格式：∵直线l切⊙O于点A∴ OA⊥l例1如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D∴ OD⊥AB又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.∴ AO是∠BAC的平分线∴ OE=OD，即OE是⊙O的半径这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切.练习1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线.证明：∵ AT=AB∴∠ATB=∠ABT=45°∴∠BAT=90°，即AB⊥AT∴ AT是⊙O的切线2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点，l1、l2有怎样的位置关系？证明你的结论. 答：l1∥l2.理由如下：∵ AB是直径，直线l1是⊙O的切线，切点为A.∴l1⊥AB同理可得：l2⊥AB∴l1∥l2.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.一、教学目标(一)知识与技能：1.掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明；2.掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明；3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.(二)过程与方法：1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力；2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力.(三)情感态度与价值观：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.二、教学重点、难点重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用.难点：探索圆的切线的判定方法.三、教学过程知识回顾直线和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？1.⊙O的半径为2cm，点O到直线AB的距离为OA.(1)若OA=2cm，则⊙O与AB_____；(2)若OA=3cm，则⊙O与AB_____；(3)若OA=1cm，则⊙O与AB_____.2.已知⊙O的半径为3cm，直线l与⊙O相切，切点为E，则OE=___cm .判断一条直线是圆的切线，你现在有多少种方法？切线具有什么性质？思考如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线.这样，我们得到切线的判定定理：定理应用格式：已知一个圆和圆上一个点，如何过这个点画出圆的切线？思考将前面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？切线的性质定理：定理应用格式：例1如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.练习1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线.2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点，l1、l2有怎样的位置关系？证明你的结论.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.。

24.2.2 切线的判定和性质【学习目标】1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.【重难点】运用切线的判定定理和性质定理证明一条直线是圆的切线【导学流程】一、自主学习【问题一】已知圆O 上一点A ，怎样根据圆的切线定义过点A 作圆O 的切线l ？【问题二】填空(1)直线l 与⊙O 有______个交点；(2)圆心O 到直线l 的距离d 与r 的关系是______(3)直线l 和⊙O 半径r 的位置关系是______(4)由此你发现了什么？切线的判定定理：。

几何语言： ；； 二、例题讲解例1 如图， 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C ，并且 OA = OB ，CA = CB ． 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线． 例2. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC = 90°， ∠BAC 的平分线交 BC 于 D ，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ．求证：AC 是⊙O 的切线．总结： 总结：归纳：切线判定的三种方法① ； ② ； ③ 。

三、合作探究A如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为A ，那么半径 OA 与 l 垂直吗？切线的性质定理：。

几何语言：；；例3 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 证明：四、当堂检测1. 下列命题中，真命题是()A. 垂直于半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线2.如图，⊙O 切PB 于点B，PB = 4，PA = 2，则⊙O 的半径是多少？3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以AB 为直径的⊙O 交边BC 于P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是⊙O 的切线.。

教学内容：直线与圆的位置关系第2课时切线的判定教学设计【教材分析】本节内容选自九上册第二十四章《圆》24.2《直线和圆的位置关系》的第二课时《切线的判定和性质》.本课时内容是在学习了直线与圆的位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的条件，并为探究切线长定理而作准备的，它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用.因此，它是几何学习中必不可少的知识工具.针对《课程标准》要求和我所教学生的实际水平，本着因材施教的教学原则，我对教材内容略作了调整.当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，总结例1主要是连半径、证垂直；例2主要是作垂直、证半径.帮助学生进一步深化理解切线的判定，达到学以致用.【目标和目标解析】1、目标（1）理解切线的判定定理.（2）会用切线的判定定理解决简单的问题.（3）通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力.（4）通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.2、目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径.达成目标（2）的标志是：能运用切线的判定定理解决简单的问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法.达成目标（3）和（4）的标志是：学生通过动手操作发现并能用语言陈述切线的判定定理，用符号语言书写证明过程.三、教法与学法分析：教法上：充分发挥学生的主观能动性.本课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，并且九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了这种探究问题及合作交流的能力.因此，根据本节课的内容和学生的认知水平，以学生自主学习为主，引导学生自主探究，教师赋予合理的评价，激发学生的学习兴趣，调动学生课堂积极性.学法上：为了充分体现《课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位.为此，在本课的学习过程中学生主要使用探究式的学习方法.根据平面几何的特点，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法.本节是定理的教学，我认为要指导学生做好如下两方面的工作：（1）学习定理一定要注重对基本图形的把握，理解和灵活运用定理是证题的基础，这正是学生感到困难的地方.从几何定理的特征出发，要解决这个难题，就要下功夫把定理内容和相应的基本图形建立起联系，使定理在头脑中灵活展现出来.（2）常见的辅助线一定要了解，本节添加辅助线的关键在于“已知条件中是否明确了直线和圆的公共点.”如果无公共点就作垂线证d=r，有公共点的话，连半径证垂直，即“有点连线证垂直，无点做垂线证d=r.”【教学重难点】教学重点：发现并证明切线的判定定理，能简单运用判定定理进行证明.教学难点：圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.【教学准备】教师课前制作的多媒体课件.【教学过程】一、知识回顾1、圆与直线有哪几种位置关系？2、判断直线与圆相切有哪几种方法？我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是不是圆的切线，使用起来很不方便.有没有其它方法呢？这节课我们学习切线的判定.设计意图：一是概括了旧知识，引出新知识，温故而知新，使学生能够知道新知识和旧知识之间的联系.二是使学生明确本节课要讲述的内容，以激发起学生的求知欲望.板书课题：切线的判定二、探索新知思考 如图，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A ，作直线l ⊥OA ，直线l 和⊙O 有什么位置关系？引导学生分析：因为直线l ⊥OA ，所以圆心O 到直线l 的距离等于OA ，而OA 正好是圆O 的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，直线就是圆的一条切线”可知直线l 是圆O 的切线 . 切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （分析两个条件及几何语言的书写）定理的数学语言表达：∵OA 是⊙O 的半径 ，l ⊥OA ∴ l 是⊙O 的切线 .设计意图： 培养学生归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延；使学生树立几何学习应当关注：文字语言、图形语言、符号语言.练一练：判断下列说法是否正确.（多媒体显示）（1）过半径外端的直线是圆的切线．（ ）（2）与半径垂直的直线是圆的切线．（ ）（3）过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线.（ ）（学生判断、操作后，教师用多媒体演示下列反例）显然，图(1)中直线l 经过半径外端，但不与半径垂直；图（2）、（3）中直线l 与半径垂直，但不经过半径外端.在亲身体验的基础上，让学生归纳出：只满足其中一个条件的直线不是圆的切线；因此利用切线的判定定理时，两个条件是缺一不可的；把定理中的“半径”改为“直径”结论也成立.提问：判断一条直线是圆的切线，共有几种方法？（学生讨论后，请学生代表陈述，再用多媒体显示）方法1：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.方法2：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.方法3：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.其中方法1是切线的定义；方法2和方法3本质相同，只是表达形式不同，可根据问题的特点选择适当的判定方法.设计意图：巩固概念，让学生说理由，巩固对定理两个条件的认识，使学生掌握概念的本质，特别是树立切线的判定定理的基本图形，为下一环节的简单证明作铺垫.AB三、例题精讲例1：已知如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ． 求证：直线AB 是⊙O 的切线．引导学生分组讨论得出：本题已知直线AB 与⊙O 有一个公共点C ，要证明AB 是⊙O 的切线，只需连接这个公共点AC 与圆心O ，得到半径OC,再证明半径OC 与直线AB 垂直即可.（学生口述证明过程）例2：如图，在△AOB 中，OA ＝OB ＝10㎝,∠AOB=120°，以O 为圆心、5㎝为半径的⊙O 与OA 、OB 相交．求证：AB 是⊙O 的切线．引导学生分组讨论得出：需要添加辅助线OC ⊥AB 于点C.再证明点O 到直线AB 的距离OC 等于圆O 的半径即可.设计意图：例1是使学生掌握用若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直. 例2是使学生掌握若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.学生讨论1、例1与例2证明上有什么不同？学生归纳：1、当直线与圆有明确的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”.简称为“连半径，证垂直”.2、当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段等于半径”.简称为“作垂直，证半径”.设计意图: 在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.四、课堂练习B（学生在规定的时间内独立完成.有困难的学生举手示意，教师给予指导，时间一到，多媒体显示正确答案，同学间交叉批改，并反馈信息）1、已知，如图，AB=AT ,∠T=45°，以AB 为直径作⊙O ．求证：AT 是⊙O 的切线．2、如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PE ⊥AC 于点E ．求证：PE 是⊙O 的切线．五、归纳小结1. 判定切线的方法有哪些？判定一条直线是圆的切线的三种方法：（1）根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．（3）根据切线的判定定理来判定．2. 证明切线时常用的辅助线方法有哪些？（1）当直线与圆有明确的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”.简称为“连半径，证垂直”.（2）当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段等于半径”.简称为“作垂直，证半径”.六、布置作业1、如图1，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 直径，∠CAE=∠B ．求证：AE 是⊙O 的切线．2、如图2， A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°,那么当∠CAB 的度数等于______时，AC 才能与⊙O 的相切.3、已知点O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于点D ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ．求证：AC 是⊙O 的切线．4、习题：教材第101页第4题，第5题七、板书设计24.2.2切线的判定1、判定定理例1 例2文字语言符号语言图形语言2、辅助线作法（1）有交点，连半径，证垂直.（2）无交点，作垂直，证半径.【设计意图】学生对知识点的掌握清晰明了，两个例题既规范学生的解题格式，又加强学生对辅助线的作法的理解.。

前言：该导学案（导学单）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。

实用性强。

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（最新精品导学案）第2课时切线的判定和性质1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．阅读教材第97至98页，完成下列问题．知识探究1．切线的判定定理：经过半径的________并且________这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有________公共点；②切线到圆心的距离等于________；③圆的切线________过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接________和________，得到半径，那么半径________切线．自学反馈1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝________.2．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD ＝2，TC＝3，则⊙O的半径是________．3．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，D为BC的中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下面结论正确的有________．①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝12AC；④DE是⊙O的切线．活动1小组讨论例1如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．解：相切．证明：连接OP、BP，则OP＝OB.∴∠OBP＝∠OPB.∵AB为直径，∴BP⊥PC.在Rt△BCP中，E为斜边中点，∴PE＝12BC＝BE.∴∠EBP＝∠EPB.∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB.。

圆的切线定理（导学案）学习目标：1.理解切线的判定定理和切线的性质定理。

2.熟练运用切线的判定与性质定理解决圆的有关问题。

学习重难点：重点：理解切线的判定和性质定理。

难点：切线的判定和性质的综合运用。

教学过程：一、知识回顾：1.直线和圆都有哪些位置关系？。

2.如何判断直线和圆相切？。

二、新知探究，合作交流探究一：切线的判定定理独立完成：过⊙O上点A作⊙O的切线l，想一想：①作法②作图的依据是什么？由上面作图的过程可知，切线的判定定理：经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线。

数学语言：∵，∴。

例1.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠A=∠ABD=300，边BD交圆O 于点D,求证：BD是⊙O的切线。

A探究二：切线的性质定理如果直线l是⊙O的切线，切点是点A，连接OA，那么OA和直线l什么关系呢？l由上面作图的过程，可知，切线的性质定理：圆的切线垂直于。

数学语言：∵，∴。

例2.如图，MP切⊙O于点M，直线OP交⊙O于点A、B，AC∥MP，求证：MO∥BC.三、巩固练习1、基础练习（教材P98，练习1、2题）。

2、综合提升：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC与P，PE⊥AC。

求证：PE 是⊙O的切线。

四、自我检测1、判断下列说法是否正确：（1）与圆有公共点的直线是圆的切线。

（）（2）与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（）（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线。

（）（4）过圆的半径外端的直线是圆的切线。

（）（5）过圆的半径外端并且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

（）2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是三角形。

3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4,C为⊙O上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD交⊙O于点E.（1）求∠1的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形.五、课堂小结，请大家回顾一下：1、这节课大家学习了切线的判定和性质，总结一下，圆的切线的判定共有哪几种方法？2、证明切线的方法：连，证。

24.2.2《切线的判定和性质》导学案一、学习目标1．掌握切线的判定的判定方法。

2. 掌握切线的性质。

3．灵活运用切线的性质和判定进行计算和证明。

二、温故知新1.还记得吗，直线与圆有种位置关系：▲直线与圆有两个公共点时，叫做。

▲直线与圆有惟一公共点时，叫做，这条直线叫做这个公共点叫做。

▲直线和圆没有公共点时，叫做。

2.想一想，怎样判定一条直线是圆的切线？圆的切线具有哪些性质？3.自学课本97至98页。

三、探究学习1、思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如何过点A作⊙o的切线呢？请你与同桌一起探究、交流。

交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作OA的垂线2、从作图中可以得出：直线与圆相切的判定定理：经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线。

3、下面的说法你同意吗？画草图试试.①过半径的外端的直线是圆的切线（）②与半径垂直的的直线是圆的切线（）③过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）切线需满足的两个条件是：①经过半径外端；②垂直于这条半径．判定定理的几何符号表达：∵ OA是半径，l⊥ OA于A∴l是⊙O的切线。

4、自主归纳：切线的判定方法有三种：①直线与圆有公共点；②直线到圆心的距离等于；③切线的判定定理．即经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线 5、思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径， 直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？直线与圆相切的性质定理：圆的切线垂直于 。

性质定理的几何符号表达： ∵ l 是⊙O 的切线,OA 是半径，。

∴l ⊥ OA例1 已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。

求证：直线AB 是⊙O 的切线。

例2 已知：O 为∠BAC 平分线上一点，DE ⊥OB 于E,以D 为圆心，DE 为半径作⊙ O 。

求证：⊙O 与OA 相切。

归纳分析：例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。

24.2.2直线和圆的位置关系第2课时切线的判定与性质一、新课导入1.导入课题:情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）2.学习目标:（1）能推导切线的判定定理和性质定理.（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.3.学习重、难点：重点：切线的判定定理与性质定理.难点：切线的判定与性质的初步运用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第97页的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：阅读思考，动手操作，归纳猜想.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O 有什么位置关系？a.直线l满足的条件是经过A点且垂直于OA .b.直线l和⊙O的位置关系是相切，为什么？②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看.④请总结一下判定切线共有哪几种方法？a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.b.切线的判定定理.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正结论.4.强化：（1）切线的判定定理:①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.（2）常见的辅助线作法及证法：①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.（3）练习：如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？解：是.理由：∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、思考、归纳.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？l⊥OA.②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l ⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.③切线共有哪些性质？a.切线与圆只有一个公共点.b.圆心到切线的距离等于半径.c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线.证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴OD=OE.又OE⊥AC，∴AC是⊙O 的切线.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况.②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求).（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正结论.4.强化：（1）①与圆有唯一公共点切线的性质②到圆心的距离等于圆的半径③垂直于过切点的半径..⎧⎪⎨⎪⎩.（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：l1∥l2.证明：∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列说法正确的是（B）A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.(10分)如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）A.24°B.25°C.28°D.30°3.(10分)如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为89cm.4.(20分)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP（垂径定理）.5.(20分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:AC是⊙O的切线.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O 的切线，交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出图形工件的直径.。

初三数学切线的判定和性质导学案【】初三数学切线的判定和性质导学案通过学习判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观看、分析、归纳问题的能力。

教学目标：1、使学生深刻明白得切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题;2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观看、分析、归纳问题的能力;3、通过学生自己实践发觉定理，培养学生学习的主动性和积极性.教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法;教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是通过半径外端;二是直线垂直于这条半径;学生开始时把握不行并极容易忽视.教学过程设计(一)复习、发觉问题观看、提出问题、分析发觉(教师引导)中直线l是⊙O的切线，如何样判定?依照切线的定义能够判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定专门不方便.我们从另一个侧面去观看，那确实是直线和圆的位置如何样时，直线也是圆的切线呢?直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线.这时我们来观看直线l与⊙O的位置.发觉：(1)直线l通过半径OC的外端点C;(2)直线l垂直于半径0C.如此我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法切线的判定定理.(二)切线的判定定理：1、切线的判定定理：通过半径外端同时垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的明白得：引导学生明白得：①通过半径外端;②垂直于这条半径.请学生摸索：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.图(1)中直线了l通过半径外端，但不与半径垂直;直线l与半径垂直，但不通过半径外端.从以上两个反例能够看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.(三)切线的判定方法教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯独公共点;②直线到圆心的距离等于该圆的半径;③切线的判定定理.(四)应用定理，强化训练例1已知：直线AB通过⊙O上的点C，同时OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则A B过半径OC的外端，只需证明OCOB。

第1页 共3页蒙山县第二中学 数学 学科导学案 编号：7主备：秦剑华 审核： 复核： 编制时间：2015.9.5 班级： 小组： 姓名：九 年级 上 册 课题： 24．2.2切线的性质和判定（一） 课时：1[来源学科网Z|X|X|K]【学习目标】 1. 掌握切线的判定定理[来源学科网]2、掌握切线的性质定理【重点难点】 应用切线的判定方法解决有关问题。

【知识链接】1、直线和圆的位置关系有几种？2、设⊙O 的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有：（1）当 时 ⇔直线与圆相交；（2）当 时 ⇔直线与圆相切；（3）当 时 ⇔直线与圆相离【学习过程】一、自主学习·质疑交流： 1、预习：阅读课本第95-96页[来源:Z+xx+]2、知新：思考下列问题：（1）切线有哪些性质？ （2）切线的判定方法有几种？3、质疑： 怎样判断一条直线是否是圆的切线？ 二、合作探究·展示反馈：探究1. 切线的判定 已知：点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？ 【小结】从作图中可以得出：经过_半径外端并且垂直于这条半径的的直线是圆的切线。

已知：点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？【针对性练习1】1、已知：如图2,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30°，求证：直线AB 是⊙O 的切线.探究2 切线的性质思考：如图1，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径，直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？ 【小结】圆的切线 垂直 于过 切点 的半径。

[来源:]【针对性练习2】2、判断下列说法是否正确： （1）垂直于半径的直线是圆的切线； （ ）（2）经过半径上一点垂直于半径的直线是圆的切线；（ ） （3）圆的切线垂直于半径；（ ）（4）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 （ ）【巩固练习】3、如图4，直线AB 过⊙O 上的点C ，且OA=OB,CA=CB,求证：直线AB 是⊙O 的切线。