_九级数学下册第二十七章相似27.1图形的相似知能演练提升新版新人教版1227153

第二十七章 相似 27.1 图形的相似 第1课时 相似图形01 教学目标1.通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.02 预习反馈阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似.并完成下列预习内容. ①把形状相同的图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？ 相似.④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？ 不相似.⑤全等三角形相似吗？ 相似.⑥生活中哪些地方会见到相似图形？ 答案不唯一.【点拨】 研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.03 名校讲坛例1 下列各图中哪组图形是相似图形(C)A B C D 【点拨】 观察图形，要从本质入手，如C ，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形. 【跟踪训练1】 下列图形中，不是相似图形的是(C)A BC D【跟踪训练2】 (教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似.04巩固训练1.如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)A BC D2.下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.其中相似的组数有(C)A.4组B.3组C.2组D.1组05课堂小结1.本节课学习了哪些主要内容？2.全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？第2课时 相似多边形与比例线段01 教学目标1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.02 预习反馈阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：①对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如a b ＝cd (即ad ＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例.②相似多边形的对应角相等，对应边成比例.③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等.④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B) A.角A 是原来的5倍 B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对03 名校讲坛例1 下列图形中，不一定相似的是(D) A.任意两个等腰直角三角形 B.任意两个等边三角形 C.任意两个正方形 D.任意两个菱形【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.1习题)下列四组图形中，一定相似的是(D) A.正方形与矩形 B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形例2 (教材P26例)如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【解答】 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应角相等，由此可得， α＝∠C ＝83°，∠A ＝∠E ＝118°. 在四边形ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EH AD ＝EF AB ，即x 21＝2418. 解得x ＝28.【点拨】 相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字.【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.1习题)(教材P28T5的变式)如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似.解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13， DE BC ＝39＝13. (2)证明：∵DE ∥BC ， ∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似.例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是1∶250__000. 【点拨】 图上距离与实际距离的比叫做比例尺.【跟踪训练3】 (教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离.解：设两地的实际距离为x. 30x ＝110 000 000.解得x ＝300 000 000. ∵300 000 000 cm ＝3 000 km. ∴两地的实际距离为3 000 km.04 巩固训练1.下列各组线段中，成比例线段的是(B)A.1，2，3，4B.1，2，2，4C.3，5，9，13D.1，2，2，3 2.下列各组图形中，必定相似的是(D) A.两个等腰三角形 B.各有一个角是40°的两个等腰三角形 C.两条边之比都是2∶3的两个直角三角形 D.有一个角是100°的两个等腰三角形3.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为4∶1.4.5.已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是6.在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？ 解：设1，2，3，4对应边长为a ，b ，c ，d ，根据相似多边形对应边的比相等，则有a 1＝b 2＝c 3＝d 4＝85，解得a ＝85，b ＝165，c ＝245，d ＝325.所以另一个五边形的周长为：a ＋b ＋c ＋d ＋8＝85＋165＋245＋325＋8＝24.05 课堂小结1.本节课学习了哪些内容？2.如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 教学目标1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.02 预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理.并完成下面的预习内容.①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB （AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【点拨】 找准对应线段是关键.03 名校讲坛例1 (教材补充例题)如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.AD AB ＝AE ACB.DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD.BC DE ＝AC AE 【跟踪训练1】 如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是(A)A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF例2 (教材补充例题)如图，ED ∥BC ，EC ，BD 相交于点A ，过A 的直线交ED ，BC 分别于点M ，N ，则图中有相似三角形(C)A.1对B.2对C.3对D.4对【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.2.1第1课时习题)如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，△AEF ∽△ABC.04 巩固训练1.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为(C)A.28°B.32°C.42°D.52°2.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE ，BA 交于点F ，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长.解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6.05 课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，201 教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.02 预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容. ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BCHI ，所以他们不相似.乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确.【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.03 名校讲坛例1 (教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A′B′＝12 cm ，B′C′＝18 cm ，A′C′＝24 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝412＝13，BC B′C′＝618＝13， AC A′C′＝824＝13， ∴AB ＝BC ＝AC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.2.1第2课时习题)如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.解：相似.理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE. ∴△ABC ∽△ADE.例2 (教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝73，AC A′C′＝146＝73，∴AB A′B′＝ACA′C′. 又∠A ＝∠A′，∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形. (1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数.解：(1)相似.理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ， ∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2， ∴AC CF ＝CG AC. 又∵∠ACF ＝∠GCA ， ∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ， ∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF ＋∠2＝45°， ∴∠1＋∠2＝45°.04 巩固训练1.在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A′B′＝4.5 cm ，B′C′＝2.5 cm ，C′A′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D)A.△ABC 与△A′B′C′相似B.AB 与B′A′是对应边C.两个三角形的相似比是2∶1D.BC 与B′C′是对应边2.在△ABC 与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC ∽△A′B′C′，还应增加的条件是(C) A.AC ＝A′C′ B.∠A ＝∠A′ C.∠B ＝∠B′ D.∠C ＝∠C′3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例.5.如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC. 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23. ∴BC ＝2 cm.【点拨】 运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算.05 课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时 相似三角形的判定定理301 教学目标1.掌握相似三角形的判定定理3.2.了解两个直角三角形相似的判定方法.3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.02 预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.完成下列预习内容. ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等.再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似. 【点拨】 要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似.03 名校讲坛例1 (教材P35例2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长.【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°. 又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长.解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BC DE. ∴5AD ＝45. 解得AD ＝254.例2 (教材补充例题) 已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD时，△ABC ∽△CDB ， 此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CDB.(2)当AB BD ＝BCCD 时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC .∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b aa 2－b 2.∴当BD ＝baa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝baa 2－b 2时，这两个三角形相似.【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况.【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.2.1第3课时习题)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A.∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝ACA 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1D.AB B 1C 1＝AC A 1C 104 巩固训练1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.证明：∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠ABC，∴△ABC∽△BCD.05课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？27.2.2 相似三角形的性质01 教学目标理解并掌握相似三角形的性质.02 预习反馈阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容.(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. (2)如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ⊥BC 于点D ，A′D′⊥B′C′于点D′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？【解答】 其他的相似三角形还有△ABD ∽△A′B′D′，△ADC ∽△A′D′C′. ②△ABC 与△A′B′C′中，C △ABC C △A′B′C′＝k ，S △ABCS △A′B′C′＝k 2.【点拨】 在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.03 名校讲坛例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.【解答】 在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12. 又∠D ＝∠A ，∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12.∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125， ∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CE.∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF. ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝(DE CD ＋DE)2＝(DE 3DE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝(DE CD )2＝(DE 2DE )2＝14.∴S △CEB ＝90，S △ABF ＝40.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S 四边形BCDF ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝40＋90－10＝120.04 巩固训练1.若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C)A.2∶1B.1∶ 2C.1∶4D.1∶52.如图，在▱ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为(B)A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶13.如果△ABC ∽△DEF ，A ，B 分别对应D ，E ，且AB ∶DE ＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D) A.BC ∶DE ＝1∶2B.△ABC 的面积∶△DEF 的面积＝1∶2C.∠A 的度数∶∠D 的度数＝1∶2D.△ABC 的周长∶△DEF 的周长＝1∶24.如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3.5.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，BE ，B 1E 1分别是它们对应边上的中线，且BE ＝6，则B 1E 1＝4.6.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是斜边AB ，DF 上的中线，已知AC ＝9 cm ，CB ＝12 cm ，DE ＝3 cm.(1)求CM 和EN 的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？解：(1)在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋CB 2＝92＋122＝15， ∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM ＝12AB ＝7.5.∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE AC ＝DF AB ，即39＝13＝DF 15. ∴DF ＝5.∵EN 为斜边DF 上的中线， ∴EN ＝12DF ＝2.5.(2)∵CM EN ＝7.52.5＝31，相似比为AC DE ＝93＝31，∴相似三角形对应中线的比等于相似比.05 课堂小结本节课我们学习了哪些内容？27.2.3 相似三角形应用举例01 教学目标1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识.2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.02 预习反馈阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容. (1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比).(2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？ 答：相似.03 名校讲坛例1 (教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R.已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ.【解答】 ∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△PQR ∽△PST. ∴PQ PS ＝QR ST， 即PQ PQ ＋QS ＝QR ST ，PQ PQ ＋45＝6090，PQ ×90＝(PQ ＋45)×60. 解得PQ ＝90 m.答：河宽大约为90 m.【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.2.3习题)(菏泽中考)如图，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的直线距离.解：连接MN. ∵AC AM ＝301 000＝3100，AB AN ＝541 800＝3100，∴AC AM ＝ABAN. 又∵∠BAC ＝∠NAM ， ∴△BAC ∽△NAM. ∴BC MN ＝3100，即45MN ＝3100.∴MN ＝1 500. 答：M ，N 两点之间的直线距离为1 500米.例2 小刚用下面的方法来测量学校大楼AB 的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA ＝21 m ，当他与镜子的距离CE ＝2.5 m 时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ，已知他的眼睛距地面高度DC ＝1.6 m ，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB 是多少m ？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【解答】 根据反射角等于入射角，则有∠DEF ＝∠BEF ，而FE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BEA.又∵∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DEC ∽△BEA. ∴CD AB ＝EC EA . 又∵DC ＝1.6，EC ＝2.5，EA ＝21， ∴1.6AB ＝2.521. ∴AB ＝13.44.答：建筑物AB 的高度为13.44 m.【点拨】 从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键.【跟踪训练2】 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上.已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度.解：由题意可得，△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EF AC， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米， ∴0.520＝0.25AC. 解得AC ＝10.故AB ＝AC ＋BC ＝AC ＋DG ＝10＋1.5＝11.5(米).答：旗杆的高度为11.5米.04 巩固训练1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m ，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置，则球拍击球时的高度h 为2.4m.2.如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽.解：由题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ， ∴△ADB ∽△EDC. ∴AB EC ＝BD CD， 即AB ＝BD·EC CD ＝120×5060＝100(m).答：河宽AB 为100 m.【点拨】 证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种.3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ，然后测出两人之间的距离CD ＝1.25 m ，颖颖与楼之间的距离DN ＝30 m(C ，D ，N 在一条直线上)，颖颖的身高BD ＝1.6 m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC ＝0.8 m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？解：过点A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得，FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，BD ＝1.6 m ， ∠AEB ＝∠AFM ＝90°. 又∵∠BAE ＝∠MAF ， ∴△ABE ∽△AMF. ∴BE MF ＝AE AF， 即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30. 解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m). 答：住宅楼的高度为20.8 m.05 课堂小结利用相似三角形进行测量的一般步骤：(1)因地制宜，构造相似三角形；(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.27.3位似第1课时位似图形的概念及画法01教学目标1.正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心.2.在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情.02预习反馈阅读教材P47～48，完成下列预习内容.(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(2)下列说法正确的是(D)A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D)A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置【点拨】位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质.03名校讲坛例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【解答】 1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；2.作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；3.在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；4.顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.所得到的图形就是符合要求的图形.【点拨】作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线.注意：不要连错对应点之间的连线.【跟踪训练1】(《名校课堂》27.3习题)如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形.例2请画出如图所示两个图形的位似中心.图1图2【解答】如图所示的点O1，就是图1的位似中心.如图所示的点O2，就是图2的位似中心.【点拨】正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心.【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心.04巩固训练1.在下列图形中，不是位似图形的是(D)A BC D2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A.1∶3B.1∶2C.1∶ 3D.1∶93.如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2.4.如图，△DEF 是△ABC 经过位似变换得到的，位似中心是点O ，请确定点O 的位置，如果OC ＝3.6 cm ，OF ＝2.4 cm ，求它们的相似比.解：连接AD ，CF 交于点O ，则点O 即为所求.∵OC ＝3.6 cm ，OF ＝2.4 cm ，∴OC ∶OF ＝3∶2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2.5.如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 与△A′B′C′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.(1)找出位似中心点O ；(2)△ABC 与△A′B′C′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O 为位似中心画出△ABC 的另一个位似图形△A″B″C″.解：(1)如图所示，点O 即为所求.(2)∵AC A′C′＝21， ∴△ABC 与△A′B′C′的位似比为：2∶1.故答案为：2∶1.(3)如图所示，△A″B″C″即为所求.05 课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？3.利用位似作图的步骤有哪些？第2课时 平面直角坐标系中的位似01 教学目标1.让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形.2.让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用.02 预习反馈阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容.(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？答：线段缩小后，点A ，B 的坐标与其对应点的坐标的比为13. (2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k.(3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是12. (4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1(2，4)，B 1(2，0)，C 1(6，6).03 名校讲坛例 (教材P49例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【解答】 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).顺次连接点A′，B′，O ，所得△A′B′O 就是要画的一个图形.【点拨】 作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标.然后在坐标中描出对应点，连线即可.【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3).(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求.。

相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。

人教版九年级数学下册第二十七章-相似专题测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，若AB＝4，BC＝6，CE＝1，则CF的长为（）A B．1.5 C D．12、如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥B C．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（）A．92B．6 C．152D．93、在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DE∥BC，AD：BD＝3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（）A ．3：5B ．4：25C ．9：16D ．9：254、如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，3S ：2S 的值为（ ）A ．12 B ．23C D 3525、若578a b ck ===且323a b c -+=，则243a b c +-的值是（ ） A ．14 B ．42 C ．7 D ．1436、下列图形中，不是位似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知32a b =，那么下列等式中正确的是（ ）A ．53a b b += B ．13a b b -= C ．23a b = D ．23ab =8、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA ＝1：25，则BEEC的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1259、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A ．2：3B ．4：9C D ．16：8110、如图，DE ∥BC ，则下列式子正确的是（ ）A ．=AB BDEC AEB ．AD DEAB BC= C ．=AE ABEC ADD ．AD DEAB BC=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC275=，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 _____．2、如果5a＝4b，那么ba＝____．3、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且54OEEA=，则FGBC=________．4、如图，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为______．5、如图，在ABCD □中，E 为CD 上一点，连结BE 并延长交AD 延长线于点F ．如果:2:3DE EC =，那么:DEF ABF S S =△△____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，O 为坐标原点，B ，C 两点坐标分别为()3,1-，()2,1．（1）以O 为位似中心在y 轴左侧将OBC 放大两倍，并画出图形； （2）分别写出B ，C 两点的对应点B '，C '的坐标；（3）已知(),M x y 为OBC 内部一点，写出M 的对应点M '的坐标． 2、如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 的坐标分别为()1,3，()3,2．（1）画出OAB绕点B顺时针旋转90︒后的O A B''△；''''；（2）以点B为位似中心，相似比为2:1，在x轴的上方画出O A B''△放大后的O A B3、在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F在BC边上，连接DF，EF．（1）如图1，当DF是∠BDE的平分线时，若AE＝2，求EF的长；（2）如图2，当DF⊥DE时，设AE＝a，则EF的长为（用含a的式子表示）．4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝A＝60°，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，顶点D、G分别在边AC、BC上，点E、F在边AB上，设AE＝x，DG＝y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当矩形DEFG 的面积S 取得最大值时，求△CDG 与△BFG 的相似比．5、如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC ． （1）作出ABC 关于x 轴对称的A B C '''；（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出A B C '''的位似图形A B C ''''''△，使A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1：2；（3）若ABC 的面积为3.5平方单位，求出A B C ''''''△的面积．---------参考答案----------- 一、单选题 1、D 【解析】 【分析】过O 作OM ∥BC 交CD 于M ，根据平行四边形的性质得到BO ＝DO ，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM ＝12CD ＝2，OM ＝12BC ＝3，通过△CFE ∽△MOE ，根据相似三角形的性质得到CF CEOM EM=，代入数据即可得到结论．【详解】解：过O作OM∥BC交CD于M，在▱ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∴CM＝12CD＝2，OM＝12BC＝3，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴CFOM＝CEEM，即1 33 CF，∴CF＝1．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．2、A【解析】【分析】设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：设CE =x ，∵四边形EFDC 与四边形BEFA 相似， ∴AB CEBE EF=， ∵AB =3，BE =2，EF =AB ， ∴323x =， 解得：x =4.5， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与四边形BEFA 相似得到比例式． 3、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：BD ＝3：2， ∴:3:5AD AB =， ∴22:3:59:25ADE ABCSS==，∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9：16.故选：C. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 4、C 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到512AEAB 和BE AE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例． 【详解】解：设正方形ABCD 的边长为a ， ∵点E 是AB 上的黄金分割点，∴512AE AB，BE AE =∴AE AB ==，∴2BE a ==⎝⎭，∵2221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭，22S BE BC =⋅=，∴)222232S a a ==，∴)2232:2S S a ==． 故选C ．【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．5、D【解析】【分析】将,,a b c 用k 表示出来，得到5,7,8a k b k c k ===，再将求出,,a b c 的结果与323a b c -+=联立求出,,a b c 的值 ，最后把所求的,,a b c 代入所求的代数式即可求解．【详解】 解：578a b c k ===， 5,7,8a k b k c k ∴===，323a b c -+=，352783k k k ∴⨯-⨯+=， 解，得13k =，578,333a b c ∴==，= 578142432433333a b c ∴+-=⨯+⨯-⨯=， 故选：D ．【点睛】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示,,a b c 是解题的关键．6、D【解析】【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．【详解】解：根据位似图形的概念，A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；D 中的两个图形不符合位似图形的概念，两个三角形不相似，故不是位似图形．故选D ．【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．7、C【解析】【分析】由题意设()30,a k k =≠ 则2,b k = 再逐一代入各选项进行计算与检验即可得到答案.【详解】 解： 32a b =， 设()30,a k k =≠ 则2,b k =∴55,22a b k b k +==故A 不符合题意； 321,22a b k k b k --==故B 不符合题意； 263,a k b ==故C 符合题意；32,,2233a k b k ==则,23a b ≠故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键.8、B【解析】【分析】根据∥DE AC 可得BED BCA ∽△△，DOE COA ∽，再根据相似三角形的性质可得BE DE BC AC=和DOE △与COA 的相似比为1:5，进而可得15BE BC =，最后用BC 表示EC 即可求出BE EC ． 【详解】解：∵∥DE AC ，∴BED BCA ∠=∠，ODE OCA ∠=∠．∵DBE ABC ∠=∠，DOE COA ∠=∠，∴BED BCA ∽△△，DOE COA ∽． ∴BE DE BC AC=． ∵:1:25DOE COA S S =△△，∴DOE △与COA 的相似比为1:5． ∴15DE CA =． ∴15BE BC =． ∴15BE BC =． ∴45EC BC BE BC =-=． ∴14BE EC =．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．9、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B ．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．10、B【解析】【分析】由题意直接根据平行线所截线段成比例进行分析判断即可.【详解】解：∵DE ∥BC ，∴,ADE ABC AED ACB ==∠∠∠∠,∴ADE ABC ， ∴AD DE AE AB BC AC==. 故选：B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．二、填空题1、10415【解析】【分析】过点F 作FG ⊥DG 交DC 延长线于G ，过点N 作NL ⊥FG 交BC 于H ，交FG 于L ，先证明四边形NLGD 是矩形，得到LG =ND =2，∠DNL =90°，NL =DG ，再证明四边形NHCD 是矩形，得到HH =CD =6，CH =ND =2，则125MH BC BM CH =--=；然后证明△EFG ≌△AEF 得到FG =DE ，275GE AD BC ===，则275NL DG DE EG DE ==+=+，设=DE FG x =，则2FL FG LG x =-=-，275NL x =+，证明△NMH ∽△NFL ，的MH NH FL NL=，即12652725x x =-+，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点F 作FG ⊥DG 交DC 延长线于G ，过点N 作NL ⊥FG 交BC 于H ，交FG 于L ， ∴∠NLG =∠G =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB =6，∠D =∠BCD =90°，AD BC =，∴四边形NLGD 是矩形，∴LG =ND =2，∠DNL =90°，NL =DG ，∴四边形NHCD是矩形，∴HH=CD=6，CH=ND=2，∴125 MH BC BM CH=--=；∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AED+∠FEG=90°，又∵∠FEG+∠EFG=90°，∴∠EFG=∠AED，又∵AE=EF，∠D=∠G=90°，∴△EFG≌△AEF（AAS），∴FG=DE，275 GE AD BC===，∴275 NL DG DE EG DE==+=+，设=DE FG x=，则2FL FG LG x=-=-，275 NL x=+，∵∠NHM=∠NLF=90°，∠MNH=∠FNL，∴△NMH∽△NFL，∴MH NHFL NL=，即12652725x x=-+，解得10415x=，∴10415 DE=，故答案为：104 15．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．2、5 4【解析】【分析】由5a＝4b，结合比例的基本性质即可求出ba的值．【详解】解：∵5a＝4b，∴54ba．故答案为：54．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．3、59【解析】【分析】 利用位似的性质得到FG OF OE BC OB OA ==，然后根据比例的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ， ∴FG OF OE BC OB OA ==， ∵54OE EA =， ∴55549FG BC ==+， 故答案为：59．【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．4、5或252 【解析】【分析】分情况进行讨论，当∠DPF =90°时，过点O 作OH ⊥AD 于H ，先证△DHO ∽△DAB ，得到1=2OH HD OD AB AD BD ==，求出1152OH AB ==，1202HD AD ==，证明∠HOP =∠HPO =45°，得到OH =PH =15，则PD =HD -PH =5；当∠PFD =90°时，先求出50BD =，得到11=2522OA OB OC OD AC BD =====，从而得到∠DAO =∠ODA ；证明△OFE ∽△BAD ，推出1152OF AB ==，则10DF OD OF =-=，最后证明△PDF ∽△BDA ，则12542PD BD ==． 【详解】解：如图1所示，当∠DPF =90°时，过点O 作OH ⊥AD 于H ，∴∠HPF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD =2OD ，∠BAD =∠OHD =90°，AD =BC =40，∴OH ∥AB ，∴△DHO ∽△DAB ， ∴1=2OH HD OD AB AD BD ==， ∴1152OH AB ==，1202HD AD ==， 由折叠的性质可得：1==452HPO FPO HPF ∠=∠︒∠，∴∠HOP =45°，∴∠HOP =∠HPO =45°，∴OH =PH =15，∴PD =HD -PH =5；如图2所示，当∠PFD =90°时，∴∠OFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=30，∴50BD=，∴11=2522OA OB OC OD AC BD=====，∴∠DAO=∠ODA，由折叠的性质可知：AO=EO=25，∠PEO=∠DAO=∠ODA，又∵∠OFE=∠BAD=90°，∴△OFE∽△BAD，∴12 OF OEAB BD==，∴1152OF AB==，∴10DF OD OF=-=，∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴14 PD DFBD DA==，∴12542 PD BD==，∴综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为5或252，故答案为：5或252．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．5、4：25##425 【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD ＝AB ．∴△DFE ∽△AFB ， ∴2()DEF ABF S DE S AB=． ∵DE ：EC ＝2：3，∴DE ：DC ＝DE ：AB ＝2：5，∴:425DEF ABF S S =：△△ 故答案为：4：25或425 ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．三、解答题1、（1）画图见解析；（2）点B'的坐标为（-6，2），点C'的坐标为（-4，-2）；（3）点M'的坐标为（-2x，-2y）【解析】【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出B、C的对应点B'，C'，然后顺次连接O，B'，C'即可；（2）根据（1）中所作图形即可得到B'，C'两点的坐标；（3）根据位似图形上对应点的坐标的横纵坐标对应比相同进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，△OO′O′即为所求；（2）如图所示，点B'的坐标为（-6，2），点C'的坐标为（-4，-2）；（3）∵△OO′O′是△OBC以O为位似中心，位似比为2的对应图形，点M（x，y）为△OBC内部一点，∴点M的对应点M'的坐标为（-2x，-2y）．【点睛】本题主要考查了画位似图形和求位似图形上的对应点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的相关知识．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）找到O,O绕点B顺时针旋转90︒后的对应点O′,O′,顺次连接O′，O′，O，则O A B''△即为所求；（2）延长OO′至O″,OO′至O″，使得OO″=2OO′,OO″=2OO′，连接O″O″，则''''即为所求O A B【详解】（1）如图，找到O,O绕点B顺时针旋转90︒后的对应点O′,O′,顺次连接O′，O′，O，则O A B''△即为所求；（2）如图，延长OO ′至O ″,OO ′至O ″，使得OO ″=2OO ′,OO ″=2OO ′，连接O ″O ″，则O A B ''''【点睛】本题考查了画旋转图形，在平面直角坐标系中画位似图形，掌握旋转的性质和位似图形的性质是解题的关键．3、（1）EF =2（2）72【解析】【分析】（1）根据DE ∥BC 证明ADE 是等边三角形，再根据D 是AB 中点，可证明BFD 是等边三角形，在证明DEF 是等边三角形，从而求得EF =2,（2）过点A 作AM 垂直BC 于点M ，可证DBF ∽ABM ,由相似可求出DF ，在利用勾股定理即可求出EF ．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∴∠A=∠ADE=60°，∴ADE是等边三角形，∴AD=DE=2,∵D是AB中点，∴BD=AD=2，∵DF平分∠BDE，∴∠BDF=∠EDF=12∠BDE=12（180°-60°）=60°，又∵∠B=60°，∴BFD是等边三角形，∴DF=BD=2,∵DF=DE=2,∠EDF=60°，∴DEF是等边三角形，∴EF=DE=DF=2;（2）过点A作AM垂直BC于点M，∵DE∥BC，DF⊥DE，∴∠BFD=∠FDE=90°，∵∠DFB=∠AMB=90°，又∵∠B=∠B，∴DBF∽ABM,∵D为AB中点，∴1=2 DB DFAB AM,∴DF=12AM，∵AM是等边三角形BC边上的高，∴M是BC的中点，∴BM=12BC=a，∴AM，∴DF=12AM，∴在Rt DEF △中，EF 32a a （）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，三角形的相似和勾股定理，熟练掌握三角形的相似是解决本题的关键．4、（1）y ＝8﹣4x ；（2）2√33 【解析】【分析】（1）依据Rt △ABC 中，∠O =90°,OO =4√3,∠O =60°，即可得到AC =4，AD =2AE =2x ，OO =12OO =12O ，再根据CD =AC -AD ，可得12O =4−2O ，进而得出y 与x 之间的函数关系式； （2）依据S =DE ×DG =√3O ×(8−4O )=−4√3(O −1)2+4√3，可得当x =1时，S 最大=4√3，再根据△DCG ∽△GFB ，即可得到OO OO =2√3=2√33，进而得出△CDG 与△BFG 的相似比． 【详解】解：（1）∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝A ＝60°，∴AC ＝4，AD ＝2AE ＝2x ，OO =12OO =12O ，∵CD ＝AC ﹣AD ，∴12O =4−2O ，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝8﹣4x ；（2）∵DE ，∴S ＝DE ×DG ×（8﹣4x ）＝﹣x ﹣1）2∴当x ＝1时，S 最大＝此时，GF ＝DE∴BG ＝2GF ＝DG ＝8﹣4＝4，∵∠C ＝∠BFG ＝90°，∠DGC ＝∠B ，∴△DCG ∽△GFB ，∴OO OO =2√3=2√33， ∴△CDG 与△BFG 的相似比为2√33． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）14平方单位．【解析】【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC 关于x 轴对称的A B C '''； （2）根据位似图形的性质即可画出A B C '''以点O 为位似中心的位似图形A B C ''''''△，A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1：2;（3）利用相似三角形的性质计算即可．【详解】解：（1）如图，A B C '''，即为所求作； （2）如图，A B C ''''''△，即为所求作；（3）∵A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1：2， ∴A B C '''∽A B C ''''''△，O ′O ′O ″O ″=12， ∴O △O ′O ′O ′O △O ″O ″O ″=(O ′O ′O ″O ″)2=14，∵ABC 的面积为3.5平方单位，即A B C '''的面积为3.5平方单位，∴A B C ''''''△的面积为：2O △O ′O ′O ′=4×3.5=14平方单位．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

第二十七章相似27．1 图形的相似第1课时相似图形教学目标1．通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形．2．经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力．3．体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识．预习反馈阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似．并完成下列预习内容．①把形状相同的图形叫做相似图形．②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？相似．④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？不相似．⑤全等三角形相似吗？相似．⑥生活中哪些地方会见到相似图形？答案不唯一．【点拨】研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形．例题讲解：例1下列各图中哪组图形是相似图形(C)A BC D【点拨】观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形．【跟踪训练1】下列图形中，不是相似图形的是(C)A BC D【跟踪训练2】(教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似．巩固训练1．如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)A BC D2．下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有(C)A．4组B．3组C．2组D．1组课堂小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？第2课时相似多边形与比例线段教学目标1．结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题．2．在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神．预习反馈阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：①对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如ab＝cd(即ad＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例．②相似多边形的对应角相等，对应边成比例．③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等．④用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B)A．角A是原来的5倍B．周长是原来的5倍C．每一个内角都发生了变化D ．以上说法都不对 例题讲解：例1 下列图形中，不一定相似的是(D) A ．任意两个等腰直角三角形 B ．任意两个等边三角形 C ．任意两个正方形 D ．任意两个菱形【跟踪训练1】 下列四组图形中，一定相似的是(D) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形例2 (教材P26例)如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【解答】 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应角相等，由此可得，α＝∠C ＝83°，∠A ＝∠E ＝118°.在四边形ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EH AD ＝EF AB ，即x 21＝2418.解得x ＝28.【点拨】 相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字．【跟踪训练2】 如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似．解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13，DE BC ＝39＝13.(2)证明：∵DE ∥BC ， ∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似． 例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是1∶250__000． 【点拨】 图上距离与实际距离的比叫做比例尺．【跟踪训练3】 (教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离．解：设两地的实际距离为x.30x ＝110 000 000. 解得x ＝300 000 000.∵300 000 000 cm ＝3 000 km.∴两地的实际距离为3 000 km.巩固训练 1．下列各组线段中，成比例线段的是(B)A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，3 2．下列各组图形中，必定相似的是(D) A ．两个等腰三角形B ．各有一个角是40°的两个等腰三角形C ．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形D ．有一个角是100°的两个等腰三角形3．在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为4∶1．4．把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为2．5．已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是23． 6．在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？解：另一个五边形的周长为24. 课堂小结1．本节课学习了哪些内容？2．如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例教学目标1．理解相似三角形的概念．2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 3．掌握判定三角形相似的预备定理． 预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理．并完成下面的预习内容．①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k．②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB （AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 【点拨】 找准对应线段是关键． 例题讲解：例1 (教材补充例题)如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.ADAB＝AEACB.DEBC＝ECACC.ADDB＝AEECD.BCDE＝ACAE【跟踪训练1】如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)A.ADDF＝BCCEB.BCCE＝DFADC.CDEF＝BCBED.CDEF＝ADAF例2(教材补充例题)如图，ED∥BC，EC，BD相交于点A，过A的直线交ED，BC分别于点M，N，则图中有相似三角形(C)A．1对B．2对C．3对D．4对【跟踪训练2】如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.巩固训练1．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(C)A．28°B．32°C．42° D．52°2．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE，BA交于点F，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长．解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6. 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，2教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理． 预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容． ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似．②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由．甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BCHI ，所以他们不相似．乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确．【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．例题讲解：例1 (教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝24 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝412＝13，BC B ′C ′＝618＝13，AC A ′C ′＝824＝13，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BCDE.∴△ABC ∽△ADE. 例2 (教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： ∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ，∠A ′＝120°，A ′B ′＝3 cm ，A ′C ′＝6 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝73，AC A ′C ′＝146＝73，∴AB A ′B ′＝ACA ′C ′.又∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形．(1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数．解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ，∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2，∴AC CF ＝CGAC.又∵∠ACF ＝∠GCA ，∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ，∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF ＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°. 巩固训练1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A ′B ′＝4.5 cm ，B ′C ′＝2.5 cm ，C ′A ′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D)A ．△ABC 与△A ′B ′C ′相似 B ．AB 与B ′A ′是对应边C ．两个三角形的相似比是2∶1D ．BC 与B ′C ′是对应边2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知AB ·B ′C ′＝BC ·A ′B ′，若使△ABC ∽△A ′B ′C ′，还应增加的条件是(C)A ．AC ＝A ′C ′B ．∠A ＝∠A ′C ．∠B ＝∠B ′D ．∠C ＝∠C ′3．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例．4．右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例．5．如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC. 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23.∴BC ＝2 cm. 【点拨】 运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算． 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时 相似三角形的判定定理3教学目标1．掌握相似三角形的判定定理3.2．了解两个直角三角形相似的判定方法．3．深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法．完成下列预习内容． ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似．④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB ．理由是两角分别相等的两个三角形相似．⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等．再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似．【点拨】 要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似．例题讲解：例1 (教材P35例2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长．【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB .∴AD ＝AC ·AE AB ＝8×510＝4. 【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长．解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BCDE .∴5AD ＝45.解得AD ＝254. 例2 (教材补充例题)已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD 时，△ABC ∽△CDB ，此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b2a 时，△ABC ∽△CDB.(2)当AB BD ＝BCCD 时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC. ∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b a a 2－b 2.∴当BD ＝b aa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝b aa 2－b 2时，这两个三角形相似．【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况．【跟踪训练2】 在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A ．∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝ACA 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D.AB B 1C 1＝AC A 1C 1巩固训练 1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角 D ．都含有一个70°的内角 2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：(1)AB A ′B ′＝BC B ′C ′；(2)BC B ′C ′＝ACA ′C ′；(3)∠A ＝∠A ′；(4)∠C ＝∠C ′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有(C)A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是BC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D.求证：△ABC ∽△EBD.证明：∵ED ⊥AB ， ∴∠EDB ＝90°. ∵∠C ＝90°， ∴∠EDB ＝∠C.∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△EBD. 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？27．2.2 相似三角形的性质教学目标理解并掌握相似三角形的性质． 预习反馈阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容．(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比．(2)如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k，AD ⊥BC 于点D ，A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？【解答】 其他的相似三角形还有△ABD ∽△A ′B ′D ′，△ADC ∽△A ′D ′C ′.②△ABC 与△A ′B ′C ′中，C △ABCC △A ′B ′C ′＝k ，S △ABCS △A ′B ′C ′＝k 2．【点拨】 在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．例题讲解：例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积．【解答】 在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12.又∠D ＝∠A ， ∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12.∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CE.∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∴S△DEFS△CEB＝(DECE)2＝(DECD＋DE)2＝(DE3DE)2＝19，S△DEFS△ABF＝(DEAB)2＝(DECD)2＝(DE2DE)2＝14.∴S△CEB＝90，S△ABF＝40.∴S▱ABCD＝S△ABF＋S四边形BCDF＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝40＋90－10＝120.巩固训练1．若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C)A．2∶1 B．1∶ 2C．1∶4 D．1∶52．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶13．如果△ABC∽△DEF，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D)A．BC∶DE＝1∶2B．△ABC的面积∶△DEF的面积＝1∶2C．∠A的度数∶∠D的度数＝1∶2D．△ABC的周长∶△DEF的周长＝1∶24．如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3．5．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是32，BE，B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝4．6．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？解：(1)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋CB2＝92＋122＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝12AB＝7.5.∵Rt△ABC∽Rt△DFE，∴DEAC＝DFAB，即39＝13＝DF15.∴DF＝5.∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝12DF＝2.5.(2)∵CMEN＝7.52.5＝31，相似比为ACDE＝93＝31，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．课堂小结本节课我们学习了哪些内容？27.2.3 相似三角形应用举例教学目标1．通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识．2．在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．预习反馈阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容．(1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比)．(2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？答：相似．例题讲解：例1(教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.【解答】∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST.∴PQPS＝QRST，即PQPQ＋QS＝QRST，PQPQ＋45＝6090，PQ×90＝(PQ＋45)×60.解得PQ＝90 m.答：河宽大约为90 m.【跟踪训练1】(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．解：连接MN.∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.又∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM.∴BCMN＝3100，即45MN＝3100.∴MN＝1 500.答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．例2小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度．如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【解答】 根据反射角等于入射角，则有∠DEF ＝∠BEF ，而FE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BEA.又∵∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DEC ∽△BEA.∴CD AB ＝ECEA .又∵DC ＝1.6，EC ＝2.5，EA ＝21， ∴1.6AB ＝2.521.∴AB ＝13.44. 答：建筑物AB 的高度为13.44 m.【点拨】 从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键．【跟踪训练2】 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度．解：由题意可得，△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EFAC ，∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米， ∴0.520＝0.25AC.解得AC ＝10. 故AB ＝AC ＋BC ＝AC ＋DG ＝10＋1.5＝11.5(米)． 答：旗杆的高度为11.5米． 巩固训练1．如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m ，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置，则球拍击球时的高度h 为2.4m.2．如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽．解：由题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ADB ∽△EDC. ∴AB EC ＝BD CD ，即AB ＝BD ·EC CD ＝120×5060＝100(m)． 答：河宽AB 为100 m.【点拨】 证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种．课堂小结利用相似三角形进行测量的一般步骤：(1)因地制宜，构造相似三角形；(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法教学目标1．正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心．2．在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情．预习反馈阅读教材P47～48，完成下列预习内容．(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．(2)下列说法正确的是(D)A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D)A．原图形的外部 B．原图形的内部C．原图形的边上 D．任意位置【点拨】位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质．例题讲解：例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【解答】 1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；2．作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；3．在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；4．顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.所得到的图形就是符合要求的图形．【点拨】作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线．注意：不要连错对应点之间的连线．【跟踪训练1】如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形．例2请画出如图所示两个图形的位似中心．图1 图2【解答】如图所示的点O1，就是图1的位似中心．如图所示的点O2，就是图2的位似中心．【点拨】正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心．【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心．巩固训练1．在下列图形中，不是位似图形的是(D)A BC D2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ 3 D．1∶9第2题图第3题图3．如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2．4．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．解：连接AD，CF交于点O，则点O即为所求．∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，∴OC ∶OF ＝3∶2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2.5．如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上．(1)找出位似中心点O ；(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O 为位似中心画出△ABC 的另一个位似图形△A ″B ″C ″.解：(1)如图所示，点O 即为所求． (2)∵AC A ′C ′＝21， ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为：2∶1.故答案为：2∶1. (3)如图所示，△A ″B ″C ″即为所求． 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？ 3．利用位似作图的步骤有哪些？第2课时 平面直角坐标系中的位似教学目标1．让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形．2．让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用． 预习反馈阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容．(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？答：线段缩小后，点A ，B 的坐标与其对应点的坐标的比为13.(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k ． (3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是12．(4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1(2，4)，B 1(2，0)，C 1(6，6)．例题讲解：例 (教材P49例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0)．以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【解答】 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A ′(－3，6)，B ′(－3，0)，O(0，0)．顺次连接点A ′，B ′，O ，所得△A ′B ′O 就是要画的一个图形．【点拨】 作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标．然后在坐标中描出对应点，连线即可．【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求． 巩固训练1．某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的12，连接各点所得图形与原图形相比(C)A ．完全没有变化B ．扩大成原来的2倍C ．面积缩小为原来的14D ．关于纵轴成轴对称2．如图所示的△ABC ，以A 点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标．解：根据题意，图中的△AB 1C 1就是满足题意的三角形，其中A 点的坐标不变，仍是(－3，－1)，B 1，C 1的坐标分别为(3，－3)，(1，3)．课堂小结1．本节课学习了什么内容？2．想一想位似作图与平移作图、轴对称作图、旋转作图有什么共同点？。