【数学】2017-2018年陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

西安中学高2018届高三第一次月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，若复数1iz i=+，则z =（ ） A ．1122i - B ．112i + C ．112i - D ．1122i +2.若集合{A x y ==，{1}B x x =≥-，则AB =（ ）A ．[1,1)-B ．[1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(0,1]3.赵大姐常说“便宜没好货”她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件4.指数函数()x f x a =（0,1a a >≠），在R 上是减函数，则函数3()(2)g x a x =-在R 上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增 C. 单调递减 D ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减5.若函数()sin f x x x ωω=，0ω>，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12x x -的最小值为3π，则ω的值为（ ） A ．16 B ．13 C. 43D ．2 6.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C. 2，3π- D ．2，6π7.函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ）A ．(5,)πB ．(4,)π C. (1,2)π- D ．(4,2)π 8.设ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin()cos 6A A π-=，则角A 的大小为（ ）A ．56π B ．6π C. 23π D ．3π9.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,2) C. (0,3) D ．(0,2)10.已知函数2()(21)3x f x x e ax a =-+-（0x >）在(0,)+∞上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)-+∞B ．3[,)2e -+∞ C. (,-∞- D ．3(,]2e -∞- 11.已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足33()()22f x f x -+=+，当3(0,)2x ∈时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ）上的零点个数是（ ）A ．3B ．5 C.7 D ．9 12.已知函数321()3f x x a x =-，若对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有12()()1f x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[33-B ．(,33- C. 23[(0,]33-D．23((0,)33-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知712sin()cos()2225ππαα---+=，且04πα<<，则sin α= cos α= ．14.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则123420162017x x x x x x ++++++的值为 ．15.已知函数22,0()ln(1)4,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，则关于x 的方程2(4)6f x x -=的不同实根的个数为 ．16.已知函数2,(0)()21,(0)x e x f x ax x -⎧-≤=⎨->⎩（a 是常数且0a >），对于下列命题：①函数()f x 的最小值是1-； ②函数()f x 在R 上是单调函数；③若()0f x >在1[,)2+∞上恒成立，则a 的取值范围是1a >； ④对任意的120,0x x <<且12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f f ++< 其中正确命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知72c =，ABC ∆ta n ta n ta n 1)A B A B +=-.（1）求角C 的大小； （2）求a b +的值.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，090ACB ∠=，侧面PAB 为等边三角形，侧棱PC =（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AP C --的余弦值.19. 近年空气质量逐步雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望及方差，下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（1）若e =（2）设直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2e <≤，求k 的取值范围. 21. 已知函数2()2x f x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（0απ≤<，t 为参数），曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C 的形状； （2）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段C 的长. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()log (12)f x x x m =++--. （1）当7m =，求函数()f x 的定义域；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围西安中学高2017届高三第一次月考 数学试题（理科）参考答案及评分参考一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）tan tan tan 1)A B A B +-,tan tantan()1tan tan A BA B A B+∴+==-又∵,,A B C 为ABC ∆的内角，23A B π∴+=， ∴3C π=．（Ⅱ）由1sin 2ABC S ab C ∆==3C π=得6ab =，又22222()21cos 222a b c a b c ab C ab ab +-+--===，72c =． 112a b ∴+=． 18．【解析】（Ⅰ）证明：设AB 中点为D ，连结PD ，CD ， 因为AP BP =，所以PD AB ^. 又AC BC =，所以CD AB ^.所以PDC ∠就是二面角P AB C --的平面角. 又由已知90ACB?o ，2AC BC ==，所以AD BD CD ===AB =又PAB D 为正三角形，且PD AB ^，所以PD =因为PC =222PC CD PD =+. 所以90CDP?o .所以平面PAB ^平面ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知(0, 0, 0)D，C，(0,A -，(0, 0,P .所以AC =u u u r，PC =-u u u r.设平面PAC 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.AC PCìï?ïíï?ïïîuuu r uu u r n n即0,0.ìï+=ïíï-=ïî 令1x =，则1y =-，z =. 所以平面PAC的一个法向量为(1, 1,=-n .易知平面PAB的一个法向量为DC =u u u r.所以cos , 7||||DC DC DC ×<>==uuu ruuu r uuu r n n n .由图可知，二面角B AP C --为锐角. 所以二面角B AP C --的余弦值为7.19.【解析】（Ⅰ）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为53，所以50人中患心肺疾病的人数为30人，故可将列联表补充如下：222()50(2015510)()()()()(205)(1015)(2010)(515)n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++++++8.3337.879≈>.故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关. （Ⅱ）离散型随机变量ξ的所有可能取值为：0,1,2,3.373107(0)24C P C ξ===，217331021(1)40C C P C ξ===， 12733107(2)40C C P C ξ===，333101(3)120C P C ξ===.所以ξ的分布列如下：∴19012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 222297921979149(0)(1)(2)(3)10241040104010120100D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.20．【解析】（Ⅰ）由题意得3,c c a ==a =. 又因为222abc =+，∴23b =.所以椭圆的方程为131222=+y x . （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+， 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥. 因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=.即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， 将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a-+==---+-. 因为2322≤<e ，所以a <，21218a ≤<. 所以218k ≥，即2(,(,]k ∈-∞+∞.21．【解析】（Ⅰ）2()2x f x e x a b =-++，()2x f x e x '=-.由题意知(0)1201(0)11f a b a f b b =++==-⎧⎧⇒⎨⎨'===⎩⎩. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2()1x f x e x =--， ∴21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x ∈R 恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立.令215()122x h x e x x =+--，则5()2x h x e x '=+-. 由于()10x h x e ''=+>，所以()h x '在R 上单调递增.又3(0)02h '=-<，3(1)02h e '=->，121()202h e '=-<，343737()104444h e '=->+-=，所以存在唯一的013(,)24x ∈，使得0()0h x '=，且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以02min 00015()()122x h x h x e x x ==+--. 又0()0h x '=，即00502x e x +-=，∴0052x e x =-. ∴ 220000005151()1(73)2222h x x x x x x =-+--=-+. ∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328h x ∈--. 又因为215122x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立0()k h x ⇔≤， 又k ∈Z ，∴ max 1k =-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.选修4－4：坐标系与参数方程 【解析】（Ⅰ）由24cos sin =θρθ可得22sin 4cos =ρθρθ，即24y x =， ∴ 曲线C 表示的是焦点为(1,0)，准线为1x =-的抛物线.（Ⅱ）将(1,0)代入cos 1sin x t y t =⎧⎨=+⎩αα，得1cos 01sin t t =⎧⎨=+⎩αα，∴ tan 1=-α， ∵ 0≤<απ，∴ 34=πα，∴直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入24y x =得220t ++=，由直线参数方程的几何意义可知，12||||8AB t t =-===.23.选修4－5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集. 由于1270x x ++-->⇔1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩或12(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩. ⇔ 3x <-或无解或4x >.所以函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞.（Ⅱ）若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-.所以m 的取值范围是(,1]-∞-.西安中学高2017届高三第一次月考数学试题（理科）参考答案及评分参考三、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.四、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）tan tan tan1)A B A B +=-,tan tan tan()1tan tan A B A B A B +∴+==-…………3分 又∵,,A B C 为ABC ∆的内角，23A B π∴+=， ∴3C π=． …………6分（Ⅱ）由1sin 2ABC S ab C ∆==3C π=得6ab =， ……………9分又22222()21cos 222a b c a b c ab C ab ab +-+--===，7c =． 112a b ∴+=． ……………… 12分 18．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，因为AP BP =，所以PD AB ^.又AC BC =，所以CD AB ^.所以PDC ∠就是二面角P AB C --的平面角. ………2分又由已知90ACB ?o ，2AC BC ==，所以AD BD CD ===AB = 又PAB D 为正三角形，且PD AB ^，所以PD = ……………………4分因为PC =222PC CD PD =+.所以90CDP ?o .A所以平面PAB ^平面ABC .………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知(0, 0, 0)D，C，(0,A -，(0, 0,P .所以AC =u u u r，PC =-u u u r .…………………8分设平面PAC 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.AC PC ìï?ïíï?ïïîuuu r uu u r n n即0,0.ìï+=ïíï-=ïî 令1x =，则1y =-，3z =. 所以平面PAC 的一个法向量为(1, 1, )3=-n . ………………10分 易知平面PAB的一个法向量为DC =u u u r .所以cos , 7||||DC DC DC ×<>==uuu r uuu r uuu r n n n . 由图可知，二面角B AP C --为锐角.所以二面角B AP C --的余弦值为7.……………………12分 19.（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为53，所以50人中患心肺疾病的人数为30人，故可将列联表补充如下：……………………………………2分 222()50(2015510)()()()()(205)(1015)(2010)(515)n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++++++8.3337.879≈>. ………………………4分故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.……………………6分（Ⅱ）离散型随机变量ξ的所有可能取值为：0,1,2,3.373107(0)24C P C ξ===，217331021(1)40C C P C ξ===， 12733107(2)40C C P C ξ===，333101(3)120C P C ξ===.………………………8分 所以ξ的分布列如下：∴721012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………10分 222297921979149(0)(1)(2)(3)10241040104010120100D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. ……………………………………12分20．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由题意得3,c c a ==a =. ………………2分 又因为222a b c =+，∴23b =.所以椭圆的方程为131222=+y x . ………………4分 （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+，………………6分 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥.因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=.………………8分即 222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， 将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-. ………………10分因为2322≤<e ，所以a <，21218a ≤<.所以218k ≥，即2(,(,]k ∈-∞+∞.………………………………12分 21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）2()2x f x e x a b =-++，()2x f x e x '=-.由题意知(0)1201(0)11f a b a f b b =++==-⎧⎧⇒⎨⎨'===⎩⎩. ………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2()1x f x e x =--，∴21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x ∈R 恒成立 215122x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立. ………………………………6分 令215()122x h x e x x =+--，则5()2x h x e x '=+-. 由于()10x h x e ''=+>，所以()h x '在R 上单调递增.又3(0)02h '=-<，3(1)02h e '=->，121()202h e '=-<，343737()104444h e '=->+-=， 所以存在唯一的013(,)24x ∈，使得0()0h x '=，且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增.……8分所以02min 00015()()122x h x h x e x x ==+--.又0()0h x '=，即00502x e x +-=，∴0052x e x =-. ∴ 220000005151()1(73)2222h x x x x x x =-+--=-+.………………………………10分 ∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328h x ∈--. 又因为215122x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立0()k h x ⇔≤， 又k ∈Z ，∴ max 1k =-. ………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）由24cos sin =θρθ可得22sin 4cos =ρθρθ，即24y x =， ∴ 曲线C 表示的是焦点为(1,0)，准线为1x =-的抛物线. ……………………5分（Ⅱ）将(1,0)代入cos 1sin x t y t =⎧⎨=+⎩αα，得1cos 01sin t t =⎧⎨=+⎩αα，∴ tan 1=-α，∵ 0≤<απ，∴ 34=πα，∴直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入24y x =得220t ++=，由直线参数方程的几何意义可知，12||||8AB t t =-===. ………………………………10分23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集. 由于1270x x ++-->⇔1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩或12(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩. ⇔ 3x <-或无解或4x >.所以函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞.………………………………5分（Ⅱ）若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-.-∞-. …………………………10分所以m的取值范围是(,1]。

2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题包括15小题，每小题5分，共75分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）2．（5分）下列各组函数中，表示相同函数的是（）A．f（x）=x与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=|x|与g（x）=D．f（x）=x0与g（x）=13．（5分）若条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”5．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=|x+1|C．f（x）=ln D．f（x）=（a x+a﹣x）6．（5分）若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣47．（5分）若f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．08．（5分）已知函数y=f（x）的定义域是（1，5），则等于y=的定义域是（）A．（1，5） B．（2，9） C．（2，3） D．（1，3）9．（5分）函数f（x）=log2（4x﹣x2）的单调递减区间是（）A．（0，4） B．（0，2） C．（2，4） D．（2，+∞）10．（5分）已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4] 11．（5分）函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．012．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1 C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 13．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）14．（5分）已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在（﹣∞，1]上是减函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数．若“（¬p）∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.16．（5分）已知f（1﹣2x）=，那么f（x）等于．17．（5分）函数f（x）=2x2+（a﹣1）x+1﹣2a在上为减函数，则f（1）的取值范围是．18．（5分）命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是．19．（5分）函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是．20．（5分）已知下列命题：①命题：∃m∈（﹣∞，1），方程x2﹣x+m=0有实根的逆否命题．②命题“若x+y＞2，则x＞1且y＞1”的否命题．③命题“∀x∈（﹣2，4），|x﹣2|＜3”的否定．④m＞1是方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根的必要条件．其中是真命题的有．三、解答题（本大题包括5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.21．（10分）计算：（1）0.027﹣（﹣）﹣2+256﹣3﹣1+（﹣1）0（2）．22．（10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．23．（10分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．24．（10分）已知定义在实数集R上的奇函数，f（x）有最小正周期2，且当x ∈（0，1]时，f（x）=（1）求函数f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）当λ取何值时，方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解？25．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的范围．2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括15小题，每小题5分，共75分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【分析】先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．【解答】解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=C U（A∪B）．故选D．【点评】本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．2．（5分）下列各组函数中，表示相同函数的是（）A．f（x）=x与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=|x|与g（x）=D．f（x）=x0与g（x）=1【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是相同函数．【解答】解：对于A，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是相同函数；对于B，f（x）=（x≤﹣1或x≥1），g（x）==（x≥1），两函数的定义域不同，不是相同函数；对于C，f（x）=|x|（x∈R），g（x）==|x|（x∈R），两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，f（x）=x0（x≠0），g（x）=1（x∈R），两函数的定义域不同，不是相同函数．故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为相同函数的应用问题，是基础题．3．（5分）若条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【分析】求出：|x+1|＞2，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得出q⊊p，再运用集合关系求解．【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴p：x＞1或x＜﹣3，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p充分不必要条件，∴p定义为集合P，q定义为集合q，∵q：x＞a，p：x＞1或x＜﹣3，∴a≥1故选：A【点评】本题综合考察了充分必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解，属于中档题．4．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，先写出原命题的逆命题，然后判断出其真假；由命题p⇒q，则p是q的充分条件，q是p必要条件，可判断出B错误；当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，据此可知C错误；命题“∃x∈R，结论p成立”的否定是“∀x∈R，结论p的反面成立”，因此D正确．【解答】解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，∵m=0时，am2=bm2，故其逆命题是假命题．B．我们知道：当x∈R时，由“x＞2”⇒“x＞1”；而由“x＞1”不一定得到“x＞2”，故“x＞1”是“x＞2”的必要而不充分条件．C．我们知道：当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，故C错误．D．由命题“∃x∈R，结论p成立”的否定是“∀x∈R，结论p的反面成立”，据此可知D正确．故选D．【点评】此题综合考查了命题的逆命题、充要条件、“或”命题及命题的否定的真假．准确把握上述有关知识是解决好本题的关键．5．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=|x+1|C．f（x）=ln D．f（x）=（a x+a﹣x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、f（x）=sinx为正弦函数，为奇函数，但在区间[﹣1，1]上为增函数，不符合题意；对于B、f（x）=|x+1|=，是非奇非偶函数，不符合题意；对于C、f（x）=ln，f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），函数f（x）为奇函数；对于y=ln，令t=，则y=lnt，分析可得t=在区间[﹣1，1]上为减函数，而y=lnt为增函数，则f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，符合题意；对于D、f（x）=（a x+a﹣x），f（﹣x）=（a﹣x+a x）=﹣（a x+a﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数；f（x）=（a x+a﹣x），不能确定a的取值范围，则不能确定函数f（x）=（a x+a﹣x）在区间[﹣1，1]上的单调性，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意掌握常见函数的奇偶性与单调性．6．（5分）若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4【分析】由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），可得h（x）也为R上的奇函数，由题意可得h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，即可得到答案．【解答】解：f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），h（﹣x）=f（g（﹣x））=f（﹣g（x））=﹣f（g（x））=﹣h（x），即h（x）为R上的奇函数．由F（x）在（0，+∞）上有最大值8，即h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，则F（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6+2=﹣4．故选D．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）若f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可．【解答】解：f（x）=，则f（f（﹣1））=f（|﹣1﹣1|）=f（2）=log22=1．故选：C．【点评】本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．（5分）已知函数y=f（x）的定义域是（1，5），则等于y=的定义域是（）A．（1，5） B．（2，9） C．（2，3） D．（1，3）【分析】由y=f（x）的定义域求出f（2x﹣1）的定义域，再由x﹣2＞0求出x的范围，取交集得答案．【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是（1，5），∴由1＜2x﹣1＜5，解得1＜x＜3，即函数f（2x﹣1）的定义域为（1，3），由，得2＜x＜3．∴y=的定义域是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．9．（5分）函数f（x）=log2（4x﹣x2）的单调递减区间是（）A．（0，4） B．（0，2） C．（2，4） D．（2，+∞）【分析】先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=log2g（x）、g （x）=4x﹣x2，因为y=log2z单调递增，要求原函数的单调递减区间即要求g（x）=4x﹣x2的减区间（根据同增异减的性质），再由定义域即可得到答案．【解答】解：∵函数y=log2（4x﹣x2）有意义∴4x﹣x2＞0即x（x﹣4）＜0则0＜x＜4∵2＞1∴函数y=log2（4x﹣x2）的单调递减区间就是g（x）=4x﹣x2的单调递减区间．对于y=g（x）=4x﹣x2，开口向下，对称轴为x=2∴g（x）=4x﹣x2的单调递减区间是（2，4）．∴函数y=log2（4x﹣x2）的单调递减区间是（2，4）故选C【点评】本题主要考查复合函数单调性的问题．求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可．但一定不要漏掉对函数的定义域的考虑10．（5分）已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]【分析】先求出函数的对称轴，根据函数的对称性，求出函数的单调区间，从而求出a的范围．【解答】解：∵f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴对称轴是x=2，又f（x）在[0，2]上是增函数，则抛物线的开口向下，且f（x）在[2，4]上是减函数，∵f（a）≥f（0），则f（a）≥f（4），所以根据二次函数的单调性并结合图象可得：0≤a≤4．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，对称性，是一道基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．0【分析】由f（x﹣1）是奇函数、f（x）是偶函数，可得f（x）=f（x﹣4），从而求得f（8.5）=f（0.5），即可得到答案．【解答】解：∵f（x﹣1）是奇函数，故有f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（﹣x）=﹣f（x﹣2）．又∵f（x）是偶函数，得f（x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4，∴f（0.5）=f（8.5）=9．故选：B．【点评】本题综合考查抽象的函数奇偶性、周期性的应用，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1 C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1【分析】利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，﹣1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．【解答】解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选A．【点评】本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．13．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【分析】求出函数值，利用分段函数求解不等式的解集即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（1）=3，不等式f（x）＞f（1）等价于：或，解得：x∈（﹣3，1）∪（3，+∞）．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，不等式组的解法，考查计算能力．14．（5分）已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在（﹣∞，1]上是减函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数．若“（¬p）∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】首先利用二次函数在（﹣∞，1]上是减函数，求出a的范围，进一步利用指数函数的单调性求出a的范围，最后利用“（¬p）∧q”为真命题，求出a的范围．【解答】解：命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在（﹣∞，1]上是减函数，则：解得：a．命题q：y=（2a﹣1）x为减函数．则：0＜2a﹣1＜1，解得：，若“（¬p）∧q”为真命题，则：p为假命题且q为真命题，所以：，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：二次函数对称轴的应用，指数函数的性质应用，复合命题的判定及相关的运算问题．15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数，然后将方程转化为两个函数，利用数形结合以及两个函数图象的交点个数，求得，由此求得a的范围．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x﹣2）=f（x+2）=f（2﹣x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．当x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，此时f（﹣x）=（）﹣x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1．分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=log a（x+2）（图中红色曲线）图象如图：由在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和y=log a（x+2）图象有3个交点，故有，求得＜a＜2，故选：D．【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.16．（5分）已知f（1﹣2x）=，那么f（x）等于f（x）=（x≠1）．【分析】令1﹣2x=t，由x≠0得t≠1，利用换元法，可得f（x）的解析式．【解答】解：令1﹣2x=t，x≠0，t≠1，则x=，∵f（1﹣2x）=（x≠0），∴f（t）==（t≠1），故答案为：f（x）=（x≠1）【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，难度不大，属于基础题17．（5分）函数f（x）=2x2+（a﹣1）x+1﹣2a在上为减函数，则f（1）的取值范围是[3，+∞）．【分析】利用二次函数的开口方向以及对称轴，结合已知条件列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=2x2+（a﹣1）x+1﹣2a的开口向上，对称轴为：x=，函数在上为减函数，可得：解得﹣a≥1，f（1）=2+（a﹣1）+1﹣2a=2﹣a≥3．则f（1）的取值范围是：[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．18．（5分）命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【分析】写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出﹣m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．【解答】解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题，∴在（1，2）上恒成立令x∈（1，2）∵∴﹣m≥5，∴m≤﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5]【点评】将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．19．（5分）函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是[1，2）．【分析】复合函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a如图所示：由图象可知当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a ＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故答案为：[1，2）【点评】y=f[g（x）]型函数可以看作由两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成，一般称其为复合函数．其中y=f（u）为外层函数，u=g（x）为内层函数．若内、外层函数的增减性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数的增减性相反，则复合函数为减函数．即复合函数单调性遵从同增异减的原则．20．（5分）已知下列命题：①命题：∃m∈（﹣∞，1），方程x2﹣x+m=0有实根的逆否命题．②命题“若x+y＞2，则x＞1且y＞1”的否命题．③命题“∀x∈（﹣2，4），|x﹣2|＜3”的否定．④m＞1是方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根的必要条件．其中是真命题的有①②③．【分析】①判断原命题的真假，可得逆否命题的真假；②判断逆命题的真假，可得否命题的真假；③判断原命题的真假，可得否定命题的真假；④根据充要条件的定义，可判断真假【解答】解：①命题：∃m∈（﹣∞，1），方程x2﹣x+m=0有实根为真命题，故其逆否命题也是真命题．②命题“若x+y＞2，则x＞1且y＞1”的逆命题为“若x＞1且y＞1，则x+y＞2”为真命题，故其否命题也是真命题．③命题“∀x∈（﹣2，4），|x﹣2|＜3”是假命题，故其否定为真命题．④方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根⇔，即m＞0，故m＞1是方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根的充分不必要条件．故错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题，充要条件，难度中档．三、解答题（本大题包括5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.21．（10分）计算：（1）0.027﹣（﹣）﹣2+256﹣3﹣1+（﹣1）0（2）．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式=（0.3）﹣49+﹣+1=﹣49+64﹣+1=19，（2）原式===﹣4．【点评】本题考查了指数幂的运算和对数的运算性质，属于基础题．22．（10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，先将二次函数进行配方，然后求出对称轴，结合函数的图象可求出函数的值域．（2）根据二次函数的性质可知二次项的系数为正数，函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3的对称轴是：x=﹣a．进行分类讨论：当=﹣a＞1时，当=﹣a＞1时，分别函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值，再根据最值在定点处取得建立等式关系，解之即可【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2+3x﹣3=（x+）2﹣，对称轴为x=﹣＜3，∴函数在[﹣2，﹣]上单调递减函数，在[﹣，3]上单调递增函数，∴f（）≤y≤f（3）f（3）=15，f（）=﹣∴该函数的值域为：[﹣，15]．（2）函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3的对称轴是：x=﹣a．当﹣a＞1时，函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为f（﹣1）=﹣2a﹣1=1∴a=﹣1；当﹣a≤1时，函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为f（3）=6a+3=1∴a=﹣；∴实数a的值a=﹣．或a=﹣1【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．23．（10分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．【分析】（1）令x=y=1即可得出f（1）；（2）利用函数的性质和单调性列出不等式组得出x的范围．【解答】解：（1）f（1）=f（1•1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）∵f（1）=f（2）+f（）=0，∴f（2）=﹣f（）=﹣1，∴f（4）=f（2）+f（2）=﹣2，∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，∴f（x2﹣3x）≥f（4），∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，解得﹣1≤x＜0．∴不等式的解集为[﹣1，0）．【点评】本题考查了抽象函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．24．（10分）已知定义在实数集R上的奇函数，f（x）有最小正周期2，且当x ∈（0，1]时，f（x）=（1）求函数f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）当λ取何值时，方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解？【分析】（1）由已知可得f（0）=0，设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，代入x ∈（0，1]时的解析式即可求得x∈[﹣1，0）时的解析式，则分段函数解析式可求；（2）利用函数单调性定义证得f（x）在（0，1]上为减函数．求其值域，同理求得当x∈[﹣1，0）时的值域，结合f（0）=0，即可求得方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解的实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣，∴f（x）=；（2）设0＜x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）==，∵0＜x1＜x2≤1，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x）在（0，1]上为减函数．∴，即f（x）∈[，）；同理当x∈[﹣1，0）时，f（x）∈（﹣，]．又f（0）=0，∴当λ∈（﹣，]∪[，）∪{0}时，方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用定义证明函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的值域，是中档题．25．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的范围．【分析】（1）根据f（x）是定义域为R奇函数，可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x）即可求解a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，利用f（x）是奇函数以及单调即可将不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为二次函数问题求解．【解答】解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数．∴f（0）=0，即，可得b=1．那么f（x）=∵f（﹣x）=﹣f（x），即=可得：a=1∴a，b的值均为：1．（2）由f（x）===∵y=是R上的减函数，∴f（x）在R上为减函数，对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）为奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（﹣2t2+k），即不等式等价为f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），∵f（x）在R上为减函数，∴3t2﹣2t﹣k＞0，即3t2﹣2t＞k．∵3t2﹣2t=3（t﹣）2．当t=时，可得3t2﹣2t取得最小值为．∴k故得k的范围是（﹣∞，）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键。

2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]3．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），在R上是减函数，则函数g（x）=（a﹣2）x3在R上的单调性为（）A．单调递增B．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增C．单调递减D．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减5．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．26．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，0 B．2，C．2，﹣D．2，7．（5分）函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A．（5，π） B．（4，π） C．（﹣1，2π）D．（4，2π）8．（5分）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A． B．C． D．9．（5分）函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）10．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣e，+∞）C．（]D．（] 11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．912．（5分）如果函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f （x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sin，且0，则sinα=，cosα=．14．（5分）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017的值为．15．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为．16．（5分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，△ABC 的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB﹣1）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a+b的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2+2a+b（x∈R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（0≤α＜π，t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段C的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由=，得．故选：A．2．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]【解答】解：集合A={x|y=}={x|lg（1﹣x）≥0}={x|1﹣x≥1}={x|x≤0}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B={x|﹣1≤x≤0}=[﹣1，0]．故选：B．3．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．4．（5分）指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），在R上是减函数，则函数g（x）=（a﹣2）x3在R上的单调性为（）A．单调递增B．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增C．单调递减D．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减【解答】解：∵指数函数f（x）=a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，∴函数g（x）=（a﹣2）x3在R递减，故选：C．5．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：函数=2sin（ωx﹣），∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，可知：，可得T=12π，由T=，∴ω=，故选：A．6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，0 B．2，C．2，﹣D．2，【解答】解：由函数的图象可知：==，T=π，所以ω=2，A=1，函数的图象经过（），所以1=sin（2×+φ），因为|φ|＜，所以φ=．故选：D．7．（5分）函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A．（5，π） B．（4，π） C．（﹣1，2π）D．（4，2π）【解答】解：y=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx==故可得函数的最大值为4，函数的周期T=π故选：B．8．（5分）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A． B．C． D．【解答】解：∵，∴sinA•cos﹣cos A•sin=cosA，…（2分）∴sinA=cosA，tanA=．…（4分）又0＜A＜π，∴A=．…（5分）故选：D．9．（5分）函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）【解答】解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣e，+∞）C．（]D．（]【解答】解：∵函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，∴f′（x）=（2x+1）e x+2ax≥0，化为2a≥﹣，令g（x）=﹣，则g′（x）=﹣，可得：x=时，函数g（x）取得极大值即最大值，=﹣4．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．故选：A．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），∴f（）=f（），可得f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期为3，∵当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），令f（x）=0，则x2﹣x+1=1，解得x=0或1，又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[﹣，]上，有f（﹣1）=﹣f（1）=0，f（0）=0．由f（﹣+x）=f（+x），取x=0，得f（﹣）=f（），得f（）=f（﹣）=0，∴f（﹣1）=f（1）=f（0）=f（）=f（﹣）=0．又∵函数f（x）是周期为3的周期函数，∴方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，，2，3，4，，5，6．共9个，故选：D．12．（5分）如果函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f （x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C．D．【解答】解：由题意f′（x）=x2﹣a2当a2≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为f（0）=0，最小值为f（1）=﹣a2，故有，解得|a|≤，故可得﹣≤a≤当a2∈[0，1]，由导数知函数在[0，a]上减，在[a，1]上增，故最小值为f（a）=，最大值为f（0）或f（1），a∈[0，1]成立，同样a∈[﹣1，0]成立．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sin，且0，则sinα=，cosα=．【解答】解：∵已知sin=﹣sin（+α）•cos（+α）=﹣cosα•（﹣sinα），即sinαcosα=．结合0，sin2α+cos2α=1，求得sinα=，cosα=，故答案为：；．14．（5分）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017的值为7561．【解答】解：∵数列{x n}满足：x1=1，）都在函数y=f（x）的图象上，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1∴x1=1，x n+1=f（x n），∴x1=1，x2=f（x1）=f（1）=3，x3=f（x2）=f（3）=5，x4=f（x3）=f（5）=6，x5=f（x4）=f（6）=1，x6=f（x5）=f（1）=3，x7=f（x6）=f（3）=6…∴{x n}是周期数列，周期为4，一个周期内的和为：1+3+5+6=15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017=504×15+1=7561．故答案为：7561．15．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为4．【解答】解：由y=，得，当x∈（0，1）时，y′＜0，当x∈（1，+∞）时，y′＞0，∴y=在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数．作出函数f（x）=的图象如图，设f（x）与y=6的交点的横坐标分别为t1、t2、t3，则，0＜t2＜1，t3＞1．由x2﹣4x=t1，得x2﹣4x﹣t1=0，此时△＜0，方程无解；由x2﹣4x=t2，得x2﹣4x﹣t2=0，此时△＞0，方程有两不同解；由x2﹣4x=t3，得x2﹣4x﹣t3=0，此时△＞0，方程有两不同解．综上，关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为4．故答案为：4．16．（5分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是①④．【解答】解：①由函数f（x）=（a是常数且a＞0）的图象可知，函数在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故①正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；所以②不正确；③只需说明f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，f（）=a﹣1≥0，可得a≥1，所以，若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a≥1，故③不正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，△ABC的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB﹣1）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a+b的值．【解答】解：（I）∵tanA+tanB=（tanAtanB﹣1），∴tan（A+B）==﹣，∴A+B=，从而C=．（7分）==，C=得ab=6，（II）由S△ABC又cosC==，c=，∴a+b=．（14分）18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）设AB中点为D，连结PD，CD，∵AP=BP，∴PD⊥AB．又AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠PDC就是二面角P﹣AB﹣C的平面角．又由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AD=BD=CD=，AB=2．又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴PD==．∵PC=2，∴PC2=CD2+PD2．∴PD⊥CD．又AB∩CD=D，∴PD⊥平面ABC，∵PD⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）由（1）知DC，DB，DP两两垂直．以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣，0），P（0，0，）．∴=（，0），=（）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=﹣1，z=．平面PAC的一个法向量为=（1，﹣1，）．平面PAB的一个法向量为=（）．∴cos＜＞==．由图可知，二面角B﹣AP﹣C为锐角．∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差． 下面的临界值表仅供参考：【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得 列联表补充如下（2）因为 K 2=，即K 2==，所以 K 2≈8.333又 P （k 2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查， 记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3． 故P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，P （ξ=3）=，则ξ的分布列：则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49 20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=﹣=﹣1﹣（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2+2a+b（x∈R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．【解答】解：（I）f′（x）=e x﹣2x，f′（0）=1=b，f（0）=1+2a+b=0，联立解得b=1，a=﹣1．（II）由（I）可得：f（x）=e2﹣x2﹣1．f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立⇔k≤e x+﹣x﹣1对∀x∈R恒成立．令h（x）=e x+﹣x﹣1，h′（x）=e x+x﹣，h″（x）=e x+1＞0恒成立．∴h′（x）在R上单调递增．h′（0）=＜0，h′（1）=＞0，=＜0，=﹣﹣=0．∴存在唯一零点x0∈，使得h′（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，h′（x0）＜0，函数h（x）在（﹣∞，x0）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h′（x0）＞0，函数h（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）=+﹣﹣1，又h′（x0）=+x0﹣=0，∴=﹣x0，∴h（x0）=﹣x0+﹣﹣1=，∵x0∈，∴h（x0）∈．又k≤e x+﹣x﹣1对∀x∈R恒成立⇔k≤h（x0），k∈Z．∴k的最大值为﹣1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（0≤α＜π，t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段C的长．【解答】解：（1）由可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，（y≠0）∴曲线C表示的是焦点为（1，0），准线为x=﹣1的抛物线（原点除外）．（2）将（1，0）代入，得，∴tanα=﹣1，∵0≤α＜π，∴，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入y2=4x：得，由直线参数方程的几何意义可知，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）． （2）不等式f （x ）≥2即|x +1|+|x ﹣2|≥m +4，∵x ∈R 时，恒有|x +1|+|x ﹣2|≥|（x +1）﹣（x ﹣2）|=3， 不等式|x +1|+|x ﹣2|≥m +4解集是R ， ∴m +4≤3，m 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2017-2018学年 数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数20141()1i z i+=-，则在复平面内z i -所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知R α∈，sin 2cos 2αα+=，则tan 2α=（ ） A ．43 B ．43 C ．34- D ．43- 3.若“0x R ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[6,2]--C ．(2,6)D ．(6,2)--4.将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（ ） A ．156 B ．170 C ．1336 D ．14205.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．22136108x y -= B ．221927x y -= C ．22110836x y -= D ．221279x y -= 6.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3,4AB AC ==,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．2B ．C ．132D ．7.已知在ABC ∆中，4AB AC ==，BC =P 为边BC 所在直线上的一个动点，则关于()AP AB AC ∙+的值，下列选项正确的是（ ）A ．最大值为16B ．为定值8C ．最小值为4D ．与P 的位置有关 8.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()2k k k Z πππ+∈ C ．2[,]()63k k k Z ππππ++∈ D ．[,]()2k k k Z πππ-∈ 9.如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610.使得(3n x+（n N +∈）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711.一个几何体的三视图如所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1234,,,V V V V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<12.设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，5[]14=），对于给定的*n N ∈，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+，[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数8x C 的值域是（ ）A ．16[,28]3 B ．16[,56)3 C ．28(4,)[28,56)3 D ．1628(4,](,28]33第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置上.）13.已知数列{}n a 满足1112,n n na a a a +-==，n S 是其前n 项和，则2014S =_________. 14.椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是________.15.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数48x yz =∙的最大值为__________.16. ABC ∆中，090C ∠=，M 是BC 的中点，若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2112121,33n n S a a n n n +==---，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为4（1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC； （2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知抛物线2(0)y px p =>与直线1y x =--相切. （1）求抛物线标准方程，及其准线方程；（2）若,P Q 是抛物线上相异的两点，且,P Q 的中点在直线1x =上，试证：线段PQ 的垂直平分线恒过定点T . 21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =；（3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t << 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，半圆O 的直径AB 的长为4，点C 平分弧AE ，过C 作AB 的垂线交AB 于D ，交AE 于F .（1）求证：2CE AE AF =∙；（2）若AE 是CAB ∠的角平分线，求CD 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（1）求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()12f x x x =+--.（1）若不等式()f x a ≤的解集为(,1)-∞，求a 的值； （2）若1()()g x f x m=+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.西安中学高2016届第一次仿真考试数 学(理科）答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上。

西安市曲江第一中学2017-2018学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，满分50分）1．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，那么A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆ðD ．R Q P ⊆ð 2．设0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，那么,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<3．已知函数()sin ()f x x x x R =∈，函数()f x ϕ+的图象关于直线0x =对称，那么ϕ的值可以是 A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4．在ABC ∆中，3,a b =60A ∠=︒，那么B ∠等于A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 5．方程111()()024x x a -++=有正数解，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞-C ．(3,2)--D ．(3,0)- 6．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若15160,0S S ><，那么11S a ，22S a ，315315,,S S a a 中，值最大的是 A ．1515S a B ．88S a C ．99S a D ．11S a7．若610a <<，22ab a ≤≤，c a b =+，那么c 的取值范围是 A ．918c ≤≤ B ．1530c << C ．930c ≤≤ D ．930c <<8．函数1||,(0)()0,(0)x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0c =D ．2b ≥-且0c =9．若,[,]22x y ππ∈-，且sin sin 0x x y y ->，那么下面关系正确的是A ．x y >B ．0x y +>C ．x y <D ．22x y >10．在平面直角坐标系中，若两点,P Q 满足条件：①,P Q 两点都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 两点关于坐标原点对称。

2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）已知为i虚数单位，若复数（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．5 B． C．D．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为（）A．∀x∈R，（2﹣x）≥0 B．∀x∈R，（2﹣x）＞0C．∃x0∈R，（2﹣x0）≥0 D．∃x0∈R，（2﹣x0）＞04．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．45．（5分）设a=log54﹣log52，b=ln+ln3，c=10lg5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）的解析式在下列四式中只有可能是（）A．B．C．2﹣x D．7．（5分）函数y=xe x的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣ C．D．510．（5分）若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C． D．11．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f （x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，） B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）计算=．14．（5分）已知（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=．15．（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为．16．（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0＜φ＜）的图象经过点（，1）（1）求f（x）．=2，角C为锐角（2）在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，S△ABC且f（﹣）=，求c边长．18．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．（1）求实数m．（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．22．（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．2．（5分）已知为i虚数单位，若复数（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．5 B． C．D．【解答】解：复数==﹣i（a∈R）的虚部为﹣3，∴=﹣3，解得a=5．∴z=﹣2﹣3i．则|z|==．故选：B．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为（）A．∀x∈R，（2﹣x）≥0 B．∀x∈R，（2﹣x）＞0C．∃x0∈R，（2﹣x0）≥0 D．∃x0∈R，（2﹣x0）＞0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为∃x0∈R，（2﹣x0）≥0．故选：C．4．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．4【解答】解：i=1，S=﹣1；i=2，S=；i=3，S=；i=4，S=4；i=5，S=﹣1；…；i=8，S=4；i=9，结束循环，输出S的值是4．故选：D．5．（5分）设a=log54﹣log52，b=ln+ln3，c=10lg5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵0=log51＜a=log54﹣log52=log52＜log55=1，a=log52＜b=ln+ln3=ln2＜lne=1，c=10lg5==＞1，∴a＜b＜c．故选：A．6．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）的解析式在下列四式中只有可能是（）A．B．C．2﹣x D．【解答】解：若f（x）=，则，故A错误；若f（x）=，则，故B错误；若f（x）=2﹣x，则，故C正确；若f（x）=，则，故D错误；故选：C．7．（5分）函数y=xe x的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=xe x，∴y′=e x+xe x=e x（x+1），故当x＞﹣1时，y′＞0，y单调递增；当x＜﹣1时，y′＜0，y单调递减，故排除A，C．再根据当x＜0时，y＜0，故排除D，故选：B．8．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域面积为4，而满足xy ∈[0，2]的区域如图阴影部分，面积为2×1=2+2ln2，由几何概型的概率公式得到概率是；故选：C．9．（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣ C．D．5【解答】解：作出平面区域如图所示：由平面区域可知过P（1，1）的直线过点A时斜率最小，解方程组得x=，y=．∴的最小值为=﹣．故选：B．10．（5分）若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C． D．【解答】解：把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin （2x+﹣2φ）．又所得图象关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈Z．∴当k=﹣1时，φ有最小正值是．故选：A．11．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选：A．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f （x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，） B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）【解答】解：设g（x）=，则g'（x）=＞0∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（1）＜g（2），即＜⇒＜；令h（x）=，则h'（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以h（1）＞h（2），即＞⇒＞综上，＜且＞．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）计算=60.7．【解答】解：原式=0.3+4+（﹣）﹣=0.3+64﹣0.6﹣3=60.7，故答案为：60.714．（5分）已知（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=1．【解答】解：在（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1，得（2﹣）4=a+a1+a2+a3+a4 ；令x=﹣1，得（2﹣）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4 ；两式相乘得（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=•=1，故答案为：1．15．（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为66．【解答】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n﹣1设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a n}，则有a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，a5﹣a4=7，…，a n﹣a n﹣1=2n﹣3，相加得a n﹣a2=3+5+…+（2n﹣3）=×（n﹣2）=n（n﹣2）a n=3+n（n﹣2）=n2﹣2n+3，所以第九行的第二个数为81﹣18+3=66．故答案为：66．16．（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为．【解答】解：根据题意：若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数240﹣120=120种，所有的发言顺序是=720种，∴甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为：=，故答案为：．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0＜φ＜）的图象经过点（，1）（1）求f（x）．=2，角C为锐角（2）在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，S△ABC且f（﹣）=，求c边长．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）=sin（2x+φ）+=sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ）+=sin（2x+φ﹣）+，∵图象经过点（，1），∴sin（2•+φ﹣）+=1，即sin（+φ）=，即cosφ=，∵0＜φ＜，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）+；（2）∵f（﹣）=sinC+=，∴sinC=∴cosC==，=absinC=••b•=2，∴b=6，∵S△ABC∴c2=a2+b2﹣2abcosC=5+36﹣2••6•=21∴c=．18．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，∴恰有2人不赞成的概率为：P（ξ=2）=+=．…（7分）（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是：…（10分）所以ξ的数学期望Eξ=．…（12分）20．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）21．（12分）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．（1）求实数m．（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．【解答】解：（1）由题意可得g（x+4）=m﹣2|x+4﹣11|=m﹣2|x﹣7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，∴2|x+3|≥m﹣2|x﹣7|，即m≤2（|x+3|+|x﹣7|）．而由绝对值三角不等式可得2（|x+3|+|x﹣7|）≥2|（x+3）﹣（x﹣7）|=20，∴m≤20，故m的最大值t=20．（2）∵实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），由柯西不等式可得[++]•[++]≥．∴a×1≥（x+y+z）2，∴x+y+z≤．再根据x+y+z的最大值是=1，∴=1，∴a=1．22．（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）．∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=x2﹣（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1﹣2m=﹣（2m+1）．∴a=﹣2．…（2分）（2）解法1：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．…（4分）①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，，…（5分）则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②当m＜0时，由△＞0，得或，若，则，，故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，（苏元高考吧：www．gaokao8．net）∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值点．…（7分）若时，，，则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）解法2：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点等价于函数φ'（x）有两个不等的零点，且至少有一个零点在（1，+∞）上．…（4分）令φ'（x）==0，得x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0，（*）则△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m＞0，（**）…（5分）方程（*）的两个实根为，．设h（x）=x2﹣（2+k）x+k﹣m+1，①若x1＜1，x2＞1，则h（1）=﹣m＜0，得m＞0，此时，k取任意实数，（**）成立．则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②若x1＞1，x2＞1，则得又由（**）解得或，故．…（7分）则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任何实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）（3）证法1：∵m=1，∴g（x）=．∴==．…（10分）令T=，则T==．∵x＞0，∴2T=…（11分）≥…（12分）===2（2n﹣2）．…（13分）∴T≥2n﹣2，即[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2．…（14分）证法2：下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2．①当n=1时，左边=，右边=21﹣2=0，不等式成立；…（10分）②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即≥2k﹣2，则==…（11分）=2k+1﹣2．…（13分）也就是说，当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，对∀n∈N*，[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2都成立．…（14分）。

陕西省西安中学2018届高三期中考试数学试题（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，若复数1iz i=+，则z =（ ） A ．1122i - B ．112i + C ．112i - D ．1122i +2.若集合{A x y ==，{1}B x x =≥-，则A B =（ ）A ．[1,1)-B ．[1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(0,1]3.赵大姐常说“便宜没好货”她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4.指数函数()xf x a =（0,1a a >≠），在R 上是减函数，则函数3()(2)g x a x =-在R 上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增 C. 单调递减 D ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减5.若函数()sin f x x x ωω=，0ω>，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12x x -的最小值为3π，则ω的值为（ ） A ．16 B ．13 C. 43D ．2 6.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C. 2，3π- D ．2，6π7.函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ）A ．(5,)πB ．(4,)π C. (1,2)π- D ．(4,2)π 8.设ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin()cos 6A A π-=，则角A 的大小为（ ）A ．56π B ．6π C. 23π D ．3π9.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,2) C. (0,3) D ．(0,2)10.已知函数2()(21)3xf x x e ax a =-+-（0x >）在(0,)+∞上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)-+∞B ．3[,)2e -+∞ C. (,-∞- D ．3(,]2e -∞- 11.已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足33()()22f x f x -+=+，当3(0,)2x ∈时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ）上的零点个数是（ ）A ．3B ．5 C.7 D ．9 12.已知函数321()3f x x a x =-，若对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有12()()1f x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[B ．( C. 23[(0,]D ．23((0,) 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知712sin()cos()2225ππαα---+=，且04πα<<，则sin α= cos α= ．14.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则123420162017x x x x x x ++++++的值为 ．15.已知函数22,0()ln(1)4,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，则关于x 的方程2(4)6f x x -=的不同实根的个数为 ．16.已知函数2,(0)()21,(0)x e x f x ax x -⎧-≤=⎨->⎩（a 是常数且0a >），对于下列命题：①函数()f x 的最小值是1-； ②函数()f x 在R 上是单调函数；③若()0f x >在1[,)2+∞上恒成立，则a 的取值范围是1a >； ④对任意的120,0x x <<且12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f f++<其中正确命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知72c =，ABC ∆，又tan tan tan 1)A B A B +=-.（1）求角C 的大小； （2）求a b +的值.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，090ACB ∠=，侧面PAB 为等边三角形，侧棱PC =（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B AP C--的余弦值.19. 近年空气质量逐步雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望及方差，下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.）20. 已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为2(3,0)F，离心率为e.（1）若e =（2）设直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点，若坐标原点O 在以MN e <≤，求k 的取值范围. 21. 已知函数2()2xf x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（0απ≤<，t 为参数），曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C 的形状； （2）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段C 的长. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()log (12)f x x x m =++--. （1）当7m =，求函数()f x 的定义域；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围陕西省西安中学2018届高三期中考试数学试题（理科）参考答案选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）tan tan tan 1)A B A B +=-,tan tantan()1tan tan A BA B A B+∴+==-又∵,,A B C 为ABC ∆的内角，23A B π∴+=，∴3C π=．（Ⅱ）由1sin 2ABC S ab C ∆==3C π=得6ab =，又22222()21cos 222a b c a b c ab C ab ab +-+--===，72c =． 112a b ∴+=． 18．【解析】（Ⅰ）证明：设AB 中点为D ，连结PD ，CD ， 因为AP BP =，所以PD AB ^. 又AC BC =，所以CD AB ^.所以PDC ∠就是二面角P AB C --的平面角. 又由已知90ACB?o ，2AC BC ==，所以AD BD CD ===AB =.又PAB D 为正三角形，且PD AB ^，所以PD =因为PC =222PC CD PD =+. 所以90CDP?o .所以平面PAB ^平面ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知(0, 0, 0)D， 0, 0)C，(0, 0)A -，(0, 0,P .所以AC =u u u r，PC =-uu u r.设平面PAC 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.AC PCìï?ïíï?ïïîuuu r uu u r n n即0,0.ìï+=ïíï-=ïî 令1x =，则1y =-，3z =. 所以平面PAC的一个法向量为(1, 1,3=-n . 易知平面PAB的一个法向量为DC =u u u r.所以cos , 7||||DC DC DC ×<>==uuu ruuu r uuu r n n n .由图可知，二面角B AP C --为锐角.所以二面角B AP C --.19.【解析】（Ⅰ）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为53，所以50人中患心肺疾病的人数为30人，故可将列联表补充如下：222()50(2015510)()()()()(205)(1015)(2010)(515)n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++++++8.3337.879≈>.故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关. （Ⅱ）离散型随机变量ξ的所有可能取值为：0,1,2,3.373107(0)24C P C ξ===，217331021(1)40C C P C ξ===， 12733107(2)40C C P C ξ===，333101(3)120C P C ξ===. 所以ξ的分布列如下：∴721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 222297921979149(0)(1)(2)(3)10241040104010120100D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.20．【解析】（Ⅰ）由题意得3,c c a ==a =又因为222abc =+，∴23b =.所以椭圆的方程为131222=+y x . （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+， 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥. 因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=.即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， 将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-.因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<. 所以218k ≥，即2(,(,]44k ∈-∞-+∞. 21．【解析】（Ⅰ）2()2x f x e x a b =-++，()2x f x e x '=-.由题意知(0)1201(0)11f a b a f b b =++==-⎧⎧⇒⎨⎨'===⎩⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：2()1xf x e x =--，∴21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x ∈R 恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立.令215()122x h x e x x =+--，则5()2x h x e x '=+-. 由于()10x h x e ''=+>，所以()h x '在R 上单调递增.又3(0)02h '=-<，3(1)02h e '=->，121()202h e '=-<，343737()104444h e '=->+-=，所以存在唯一的013(,)24x ∈，使得0()0h x '=，且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增.所以02min 00015()()122x h x h x e x x ==+--. 又0()0h x '=，即00502x e x +-=，∴0052x e x =-. ∴ 220000005151()1(73)2222h x x x x x x =-+--=-+. ∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328h x ∈--.又因为215122x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立0()k h x ⇔≤， 又k ∈Z ，∴ max 1k =-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.选修4－4：坐标系与参数方程 【解析】（Ⅰ）由24cos sin =θρθ可得22sin 4cos =ρθρθ，即24y x =， ∴ 曲线C 表示的是焦点为(1,0)，准线为1x =-的抛物线.（Ⅱ）将(1,0)代入cos 1sin x t y t =⎧⎨=+⎩αα，得1cos 01sin t t =⎧⎨=+⎩αα，∴ tan 1=-α，∵ 0≤<απ，∴ 34=πα，∴直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).将直线l 的参数方程代入24y x =得220t ++=，由直线参数方程的几何意义可知，12||||8AB t t =-===.23.选修4－5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集. 由于1270x x ++-->⇔1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩或12(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩. ⇔ 3x <-或无解或4x >.所以函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞.（Ⅱ）若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-.所以m 的取值范围是(,1]-∞-.。

西安市第一中学2018学年度第一学期期中高三数学理科试题一、 选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2、P= log 23，Q= log 32，R= log 2(log 32)，则( )A. R<Q<PB. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q3、参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4、设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直 线x ＝π2对称．则下列判断正确的是 ( ) A ．p 为真 B ．q ⌝为假 C ．p 且q 为假 D ．p 或q 为真 5、若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 36、在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)7、若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤2B ．5≤a ≤7C ．4≤a ≤6D ．a ≤5或a ≥78、若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是( )A. [B.(-C.[-D.(- 9、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若3x y a b ==，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.1210、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba等于( ) A ．2 3B ．2 2C. 3D. 211、设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}12、函数y ＝11－x的图像与函数2sin y x π=(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每小题4分，共20分）：13、命题”“存在01,:2>+-∈x x R x P 的否定P ⌝为__________14、323(9)x dx --⎰＝________.15、若曲线4y x =的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 16、从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________3cm ．17、 关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题：①存在1x ，2x ，当12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像；④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三.解答题（本大题共有6个小题，满分70分）18、（本小题满分10分）函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式； (2)设(0,),()222f παα∈=，求α的值．19、（本小题满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．20、（本小题满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．21、（本小题满分12分）已知向量()x x m cos ,22sin 3+=，()x n cos 2,1=，n m x f ⋅=)(． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积a 的值． 22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．23、（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .西安市第一中学2018学年度第一学期期中考试高三数学理科参考答案二、填空题（共4小题，满分20分）：13. ”“任意01,2≤+-∈x x R x 14. 36 15. 4x －y －3＝016.144 17. ①③三、解答题（共6小题，满分70分）18、（满分10分）函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ……………………5分 (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，∴α＝π3. ……………………10分19、（满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， ……………………1分 当a ≥1时，y max ＝f (1)＝a ； ……………………3分 当0<a <1时，y max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； ……………………5分当a ≤0时，y max ＝f (0)＝1－a . ……………………7分根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. ……………………10分20、（满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解析：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． ……………………2分又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． ……………………6分(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . …………9分x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－－x －4. …………12分21、（满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积a 的值．解析：（Ⅰ）2()222cos 2cos 232sin(2)36f x x x x x x π=++=++=++．…………………4分所以最小正周期T=π，对称轴方程为,()26k x k Z ππ=+∈ …… (6分) （Ⅱ）依题意2sin(2)34,6A π++=即1sin(2)62A π+=,由于0A π<<,所以52,66A ππ+=A=3π ………………(9分)2222cos 3a b c bc A =+-=,所以a =…………………(12分)22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R)． …………………5分(2)方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)． ……………………7分当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，因此h (x )在此区间上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，因此h (x )是在此区间上是增加的． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ……………………10分 ∴方程h (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根． ……………………12分23、（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = ……………2分当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.……………………6分(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, ……………………7分 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- ………………10分令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, ………………12分 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--. ………………14分。