【高考冲刺模拟】2018年高考数学预测试题(二)含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）{}2340A x x x =∈--≤Z {}0ln 2B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,3,4{}3,4{}2,3,4{}1,0,1,2,3,4-【答案】C【解析】，{}{}{}2340141,0,1,2,3,4A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z ，所以．{}{}20ln 21e B x x x x =<<=<<{}2,3,4A B = 2．设复数（是虚数单位），则的值为（）1z=i z z+A ．B ．C．D ．21【答案】B【解析】，．2z z +=2z z +=3．“为假”是“为假”的（ ）条件．p q ∧p q ∨A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“为假”得出，中至少一个为假．当，为一假一真时，为真，故不充分；p q ∧p q p q p q ∨当“为假”时，，同时为假，所以为假，所以是必要的，所以选B ．p q ∨p q p q ∧4．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）x y 222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩3x z y =-+A ．B ．C ．D ．143-2-434【答案】C【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把改写为，当且仅当动直线3x z y =-+3xy z =+过点时，取得最大值为．3x y z =+()2,2z 435．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．n n A ．2B ．3C ．26D ．27【答案】C【解析】设顶层有灯盏，底层共有盏，由已知得，则，1a 9a ()91991132691262a a a a a =⎧⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以选C ．6．如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的值可以是（ ）n S a A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】依次运行流程图，结果如下：，；，；，；，，此时退出循环，所以的值可13S =12n =25S =11n =36S =10n =46S =9n =a 以取10．故选C ．7．设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲()2222:10,0x y C a b a b-=>>线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2BC ．D ．4【答案】B【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以．因2222:1x yC a b -=y x =±a b =为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，双曲线的方程为，所1=a b ==C 22122x y -=以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．b =8．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相对于原数据（ ）1x 2x 10x 21x 2x 10x A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断【答案】C【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，1x 2x 10x 21x 2x 10x 1x ，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，2x 10x 2()()102211222111i i x =⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦∑()10212=11i i x =-∑1x ，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不2x 10x ()102112=1.110ii x =-∑ 1.11>1x 2x 10x 稳定．9．设表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列的前n 项和为，那n a n {}n a n S 么（ ）21n S -=A ．B ．C ．D ．122n n +--11222433n n --+⋅-2nn -22nn +-【答案】B【解析】由已知得，当为偶数时，，当为奇数时，．n 2n n a a =n 12n na +=因为，12342121n n S a a a a a --=+++++ 所以1112342121n n S a a a a a ++--=+++++ ()()111352462122+n n a a a a a a a a ++--=++++++++ ()1123211113151212222n n a a a a +-⎛⎫++++-=+++++++++ ⎪⎝⎭ ，()()123211232n na a a a -=+++++++++ ()211222n nnS -+=+()211242n nn S -=++即，()121211242n n nn S S +--=++所以．()()()1112211112121111224242422422233n n n n n n n S S --------=+++++++=+⋅- 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，2y mx =()0m >P Q PQ ，则（ ）54PQ m =m =A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】因为，所以焦点到准线的距离，设，的横坐标分别是，，则2y mx =2mp =P Q 1x 2x ，，因为，所以，即，解得．1232x x +=126x x +=54PQ m =125+4x x p m +=5624m m +=8m =11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，，则此三棱锥外接球的12表面积为（）A ．B ．C ．D ．174π214π4π5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三1111ABCD A B C D -棱锥,且长方体的长、宽、高分别为2，1，，11A CB D -1111ABCD A B C D-12所以此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，半径，所以1111ABCD A B C D -R ==三棱锥外接球的表面积为．2221444S R π=π=π=12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则下列一定P sin ln y x x =+OP O k 成立的为（ ）A ．B ．C ．D ．1k <-0k <1k <1k ≥【答案】C【解析】任意取为一正实数，一方面，另一方面容易证成立，所以x sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤，因为与中两个等号成立条件不一样，所以sin ln y x x x =+≤sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤恒成立，所以，所以排除D ；当时，，所以，所以sin ln y x x x =+<1k <2x π≤<πsin ln 0y x x =+>0k >排除A ，B ．所以选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线x =的交点为，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 2【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 225x x x ++==．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =-2，得f (2)= f (-2)+ f (2)，所以f (-2)=0， 又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (-1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n na a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x （第12题）对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x = 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---= ，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以AD． 当且仅当5m =n =±AD 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分（第14题）CA DB（第15题）由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B+=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos A =，所以4sin A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 44111A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分 又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，ACBD（第16题）VE FO圆锥的体积为231111ππ33V r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππV r h r ==-，所以3222270903r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 （2）圆锥的侧面积21πS r r ==，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS ++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π23r a r r r⎡⎤=+-⎣⎦ ()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c aa =， …… 4分 所以222222()a c a b ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． (6)（2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧-⎪⎨=-⎪⎩ ①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=， 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =，11y =， 代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n n b b a ++=+，得1122n n n bb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯ 11()12()121nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()4n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n -+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x -'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数； 所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x+≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x -+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分 又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '-- ，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝ …… 7分 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以13xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分高三数学试卷参考答案 第 11 页 共 11 页 23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分 （2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数． 证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立， 所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数． 由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

2018年高考(全国卷Ⅱ）最后一次适应性预测试题数 学（文科）注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分,考试时间120分钟。

答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用合乎要求的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

命题时间：2018-5-20第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合A={1，2，3｝，B={x ｜1122≥+x }，则A ⋂B=A 。

｛-3,1，2，3｝ B. {1,2，3} C. ｛1，2} D 。

{3｝2.函数f(x)=cosx+sinx 的最小值为: A.2 B 。

-2 C 。

2 D.—23。

设复数z=log 2（m 2-3m-3)+ilog 2（3—m)（m ∈R)，若z 是纯虚数,则m=A.—1 B 。

1 C.4 D 。

4或—14.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是:A 。

π B.2π C 。

4π D 。

6π 5。

以抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系是： A 。

相离 B.相交 C 。

相切 D 。

不确定6.已知椭圆 的一条弦AB 所在的直线方程为x+2y=2,则椭圆的弦AB 的中点P 为：A.（1，2) B 。

（-1,2) C.（1，—21） D.（1，21） 7。

2018年江苏高考预测试题(二)(对应学生用书第133页)(限时：120分钟)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ni ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ni ＝1x i . 棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝________.{x |－1≤x ≤3} [由x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. ∴A ＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B ＝{x |1＜x ≤3}， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3}．]2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．25 [z ＝－3＋4ii－i ＝3i ＋4－i ＝4＋2i ，则|z |＝|4＋2i|＝42＋22＝2 5.]3．表中是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为________.数据 [12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5]频数213419.7 [根据题意，样本容量为10，利用组中值近似计算本组数据的平均数x ， 则x ＝110×(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.]4．若双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________.【导学号：56394121】4 [∵双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)， ∴2＋4m ＝1，即4m ＝－1，m ＝－14，则双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1，则b ＝2，即双曲线的虚轴长2b ＝4.]5．根据如下所示的伪代码，可知输出的结果S 是________．17 [执行程序，有i ＝1； 满足条件i ＜6，i ＝3，S ＝9； 满足条件i ＜6，i ＝5，S ＝13； 满足条件i ＜6，i ＝7，S ＝17， 不满足条件i ＜6，输出S 的值为17.]6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13[设一、二等奖各用A ，B 表示，另1张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB 共6个，其中两人都中奖的有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13.]7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6 [由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12， ∴利用五点作图法可得φ＝π6.∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0在函数的图象上，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k 7，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27， ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6.]8．如图2，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B －ACC 1D 的体积为________．图223 [取AC 的中点O ，连接BO ，则BO ⊥AC ， ∴BO ⊥平面ACC 1D ，∵AB ＝2，∴BO ＝3， ∵D 为棱AA 1的中点，AA 1＝4， ∴SACC 1D ＝12(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥B －ACC 1D 的体积为2 3.]9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 [作出不等式组对应的平面区域，y ＋1x 的几何意义是区域内的点到定点D (0，－1)的斜率，由图象知，AD 的斜率最大， BD 的斜率最小，此时最小值为1， 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 此时AD 的斜率k ＝32＋11＝52，即1≤y ＋1x ≤52，故y ＋1x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52.]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n＝3n＋14，则a 3b 3＝________.9 [设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵S n T n＝3n＋14，∴n ＝1时，a 1＝b 1.n ＝2时，a 1＋a 1q b 1＋b 1q ′＝52.n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1(q ′)2＝7.∴2q －5q ′＝3,7q ′2＋7q ′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3， ∴a 3b 3＝a 1q 2b 1(q ′)2＝9.] 11．已知平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°，∴AE ＝32，BE ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (x,0)，0≤x ≤2，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，－32，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，－32，∴AP →·DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，∴当x ＝32时，有最小值，最小值为－14. 当x ＝0时，有最大值，最大值为2， 则AP →·DP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363[设椭圆的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF 1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sin π12，|BF |＝2c cos π12，由椭圆定义得 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝2a ，即e ＝c a ＝1cos π12＋sin π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝63.]13．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB →取得最大值时，ba 的值为________.【导学号：56394122】2＋3 [∵C ＝π3，∴B ＝2π3－A ， 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝232＝43，∴b ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2cos A ＋23sin A ，∴AC →·AB →＝bc cos A ＝2b cos A ＝4cos 2A ＋23sin 2A＝2＋2cos 2A ＋23sin 2A ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2A ＋32cos 2A ＋2＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2，∵A ＋B ＝2π3，∴0＜A ＜2π3，∴当2A ＋π3＝π2即A ＝π12时，AC →·AB →取得最大值， 此时，B ＝2π3－π12＝7π12，∴sin A ＝sin π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝32×22－12×22＝6－24，sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋12×22＝6＋24.∴b a ＝sin Bsin A ＝6＋26－2＝2＋ 3.]14．对于实数a ，b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(x －4) ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4) [由题意得，f (x )＝(x －4) ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4＝⎩⎪⎨⎪⎧－34x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2－3x ，x ＜0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )，即f (x )＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则⎩⎨⎧m ＋1＞3，0＜m －1＜3或⎩⎨⎧ 0＜m ＋1＜3，m －1＜0或⎩⎨⎧m ＋1＝3，m －1＝0，得2＜m ＜4或－1＜m ＜1.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)如图4，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.图4(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．[解] (1)在△AOB 中，由余弦定理得：AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB ， 所以，cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB ＝12＋12－⎝⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.6分(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513， 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.14分16．(本小题满分14分)在平面四边形ABCD (图5①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图5②所示的三棱锥C ′－ABD .① ②图5(1)当C ′D ＝2时，求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)当AC ′⊥BD 时，求三棱锥C ′－ABD 的高．[解] (1)证明：当C ′D ＝2时，取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt △ABC ′，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1，∵C ′D ＝2，∴C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ， 由∠BAC ＝45°得△ABC ′为等腰直角三角形， ∴C ′O ⊥AB ，又AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ， ∴C ′O ⊥平面ABD ，∵C ′O ⊂平面ABC ′， ∴平面C ′AB ⊥平面DAB .6分(2)由已知可求得AD ＝3，AC ′＝BC ′＝2，BD ＝1，当AC ′⊥BD 时，由已知AC ′⊥BC ′，得AC ′⊥平面BDC ′，∵C ′D ⊂平面BDC ′，∴AC ′⊥C ′D ，由勾股定理，得C ′D ＝AD 2－AC ′2＝3－2＝1， 而△BDC ′中，BD ＝1，BC ′＝2， ∴C ′D 2＋BD 2＝BC ′2，∴C ′D ⊥BD . ∴S △BDC ′＝12×1×1＝12.三棱锥C ′－ABD 的体积V ＝13·S △BDC ′·AC ′＝13×12×2＝26. S △ABD ＝12×1×3＝32，设三棱锥C ′－ABD 的高为h ，则由13×32×h ＝26，解得h ＝63.14分17．(本小题满分14分)如图6，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图7，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C －D －E －F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形，设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0＜t ≤13，8－1t ，13＜t ＜2.图6 图7(1)用t 表示线段EF 的长； (2)求修建参观线路的最低费用．[解] (1)设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ ⊥DE ， 以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴， 建立平面直角坐标系xOy .设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH ⊥OF ，垂足为H .∵EH ＝OG ，∠OFG ＝∠EFH ，∠GOF ＝∠HEF ， ∴Rt △EHF ≌Rt △OGF ，∴HF ＝FG ＝EF －12t . ∴EF 2＝1＋HF 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫EF －12t 2， 解得EF ＝t 4＋1t(0＜t ＜2).6分(2)设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当0＜t ≤13，由y ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ＋2t .y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2t 2＜0， 可得y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递减，∴t ＝13时，y 取得最小值为32.5.②当13＜t ＜2时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝12t ＋16t －32－2t 2.y ′＝12－16t 2＋4t 3＝4(t －1)(3t 2＋3t －1)t 3.∵13＜t ＜2，∴3t 2＋3t －1＞0.∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，y ′＜0，函数y 此时单调递减；t ∈(1,2)时，y ′＞0，函数y 此时单调递增．∴t ＝1时，函数y 取得最小值24.5.由①②知，t ＝1时，函数y 取得最小值为24.5. 即修建该参观线路的最低费用为24.5万元.14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论.【导学号：56394123】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ab c＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 4分(2)点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23， 即k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x .联立⎩⎨⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3(2y 0－3)6－3y 0，即A ⎝⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0. 10分因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎝⎛⎭⎪⎫3(2y 0－3)6－3y 023＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0＋3)3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上. 19．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k (n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以数列{a n }是等差数列． 设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n .6分(2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2. 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3. 由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列， 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3，当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3. 于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3， a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3， …a 3－a 2＝－2×2＋3， a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)， 所以a n ＝－2×n (n －1)2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于x 的不等式f (x )＜－43e x在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )极值点的个数． [解] (1)由f (x )＜－43e x ，得e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3(x －2)＝－13(x －2)2，记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0， 所以a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).6分(2)由题意，可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，可知f (x )只有一个极值点或有三个极值点．令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且仅有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即g (x )为单调递增函数或者g (x )极值同号.10分(ⅰ)当g (x )为单调递增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. (ⅱ)当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点，则g (x 1)·g (x 2)≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a ＝23[(a －1)x 1－a ]，同理，g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ]≥0， 化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0， 所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0，即a ≥0， 所以0≤a ＜1.所以，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点， 当a ＜0时，f (x )有三个极值点.16分数学Ⅱ(附加题)21．[选做题](本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图8A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图8，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C .若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC . [证明] 连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°，AB ＝2OB .因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°. 又因为DA ＝DC ，所以∠A ＝∠C ， 于是△ADB ≌△CDO ，从而AB ＝CO ， 即2OB ＝OB ＋BC ，得OB ＝BC . 故AB ＝2BC .10分B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值． [解] (1)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，这里a ，b ，c ，d ∈R ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，由于矩阵M 对应的变换将点(－1,2)换成(－2,4)． 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故矩阵M 的另一个特征值为2.10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋3sin θ)＋4＝0，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． [解] 将l 转化为直角坐标方程为x ＋3y ＋4＝0.在C 上任取一点A (6cos α，2sin α) ，α∈[0,2π)，则点A 到直线l 的距离为d ＝6cos α＋6sin α＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋42＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋42.当α＝π4时，d 取得最大值，最大值为2＋ 3.10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．[证明] 由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得 (a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得 (a －b )[(a )5－(b )5]＞0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).10分[必做题](第22题、第23题，每题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22．(本小题满分10分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD 是边长为2的等边三角形，PC ＝13，M 在PC 上，且P A ∥平面BDM .图9(1)求直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值； (2)求平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小．[解] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为正三角形，作AD 边上的高PO ， ∵平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，由面面垂直的性质定理，得PO ⊥平面ABCD ， 又ABCD 是矩形，同理可得CD ⊥平面P AD ，知CD ⊥PD ， ∵PC ＝13，PD ＝2，∴CD ＝3.以AD 中点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则P (0,0，3)，A (1,0,0)，B (1,3,0)，C (－1,3,0)， D (－1,0,0)，PC →＝(－1,3，－3)，连接AC 交BD 于点N ，由P A ∥平面MBD ，平面APC ∩平面MBD ＝MN ， ∴MN ∥P A ，又N 是AC 的中点，∴M 是PC 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，5分设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， BD →＝(－2，－3,0)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，则⎩⎨⎧－2x －3y ＝0x 2＋3y 2＋32z ＝0，令x ＝1，解得y ＝－23，z ＝13，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－23，33.(1)设PC 与平面BDM 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·n |PC →|·|n |＝31313， ∴直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值为31313.(2)平面P AD 的法向量为向量CD →＝(0，－3,0)，设平面BDM 与平面P AD 所成的锐二面角为φ，则cos φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →|·|n |＝12， 故平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小为π3.10分23．(本小题满分10分)已知F n (x )＝nk ＝0[(－1)k C k n f k (x )](n ∈N *)．(1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值； (2)若f k (x )＝xx ＋k (x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ). 【导学号：56394124】[解] (1)F n (x )＝nk ＝0[(－1)k C k n f k (x )]＝nk ＝0[(－x )k C kn ]＝(1－x )n ，∴F 2 015(2)＝－1. 2分(2)证明：①n ＝1时，左边＝1－x x ＋1＝1x ＋1＝右边． ②假设n ＝m 时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )， 有mk ＝0 (－1)k C k mxx ＋k ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )， 那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))，有m ＋1k ＝0 (－1)k C k m ＋1x x ＋k ＝1＋mk ＝1 (－1)k [C k m ＋C k －1m ]x x ＋k ＋(－1)m ＋1x x ＋m ＋1＝mk＝0(－1)k C k mxx＋k＋m＋1k＝1(－1)k C k－1mxx＋k＝mk＝0(－1)k C k m·xx＋k－⎝⎛⎭⎪⎫mk＝0(－1)k C k mx＋1x＋1＋k·xx＋1＝m！(x＋1)(x＋2)…(x＋m)－m！(x＋2)(x＋3)…(x＋1＋m)·xx＋1＝m！[(x＋m＋1)－x](x＋1)(x＋2)…(x＋m)(x＋m＋1)＝(m＋1)！(x＋1)(x＋2)…(x＋m＋1).即n＝m＋1时，等式成立．故对一切正整数n及一切实数x(x≠0，－1，…，－n)，有nk＝0(－1)k C k nxx＋k＝n！(x＋1)(x＋2)…(x＋n). 10分。

2018年高考数学押题预测试卷二（文科数学）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}A x x =-≤，{|13}B x x =-<≤，则A B =（ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,3]-C ．(1,)--∞D ．(,2](1,3]-∞-- 2.已知复数12z i =-，2z i =-，则122z z z +=（ ） A ．22i + B ．22i - C ．2i -+ D ．2i --3.函数1()1sin 22f x x =+的最小正周期与最小值分别为（ ） A ．2π，12 B ．π，12 C ．2π，1 D ．π，1 4.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡算（算：西汉的人头税）八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六.凡三乡，发徭三百七十八人.欲以算数多少衰分之，问各几何？”其意思是：“今有北乡应缴税8758‘算’，西乡应缴税7236‘算’，南乡应缴税8356‘算’，三乡总计应派徭役378人，要按‘算’数多少的比例出人，问各乡应派多少人？”此问题中涉及到统计中的抽样问题，请问是哪一种抽样（ ）A ．随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．不能确定5.某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的侧面积为（ ）A ．240cmB ．256cmC ．260cmD ．276cm6.若双曲线2221(0)9y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．4 C ．18 D ．367.若函数221,1()1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,3 B ．[)2,+∞ C ．[]1,3 D ．[)1,+∞ 8.执行如图所示的程序框图，则输出的x =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99.已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则'()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10.曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取.他们分别被哪个学校录取，同学们作了如下的猜测：同学甲猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取.同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取.同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取.同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取.结果，恰有三位同学的猜测都各对了一半，还有一位同学的猜测都不对.那么，曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大学可能分别是（ ）A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C ．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学11.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)(s i n s i n )()s i n b A B c b C -=-，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12.已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则PA PF +的最小值为（ ） A ．103 B ．113 C ．4 D ．133第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在平行四边形ABCD 中，若AB xAC yAD =+，则x y -= ．14.若平面α截球O 所得截面圆的面积为8π，且球心O 到α的距离为1，则球O 的体积为 ．15.设x ，y 满足约束条件36x y x y x -≤≤⎧⎨≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为 ．16.已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当15x <<时，12()log f x x =，当5x >时，()(2)f x f x =-，则(1)(8)f f -+= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{1}n a -是首项为2，公比为1a 的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{2}n a n -的前n 项和n S .18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）；（2）求这20位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；（3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，6AB =，2CD =，E 是PD 上一点，且1DE =，3PE =.（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）若三棱锥E PAC -的体积为3，求四棱锥P ABCD -的体积.20.已知点01(,)2A y -是抛物线C ：212()2x px p =>上一点，且A 到C 的焦点的距离为58.（1）若直线5y x =+被抛物线C 截得的弦长；（2）若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：029y x y =+上，过P 作直线垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N .证明：2AMAN 为定值？并求该定值.21.已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(2sin cos )m ρθθ-=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与曲线C 相切，且l 与坐标轴交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()3f x x x =+-.（1）求不等式()7f x <的解集；（2）证明：当324k <<时，直线(4)y k x =+与函数()f x 的图象可以围成一个四边形.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）本试卷共5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则{}R 12,1,0,1,2,{|0}2x A B x x -=--=≥+ðA B ⋂=A. B. C . D. {}1,0,1-{}1,0-{}2,1,0--{}0,1,22.已知,αβ是相异两平面，,m n 是相异两直线，则下列命题中错误的是A.若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ= ，则//m n 3.变量服从正态分布，，则直线X ()()210,,12X N P X a σ>= ()810P X b ≤≤=过定点1ax by +=A ． B ． C ． D ．(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”aMODb 表示除以的余数），若输入的分别为675,125，a b ,a b 则输出的（ ）a =A. 0 B . 25 C. 50 D. 755.记不等式组表示的平面区域为，点的坐标为．222 20x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩ΩM (),x y 已知命题： ， 的最小值为6；p M ∀∈Ωx y -命题： ，； 则下列命题中的真命题是q M ∀∈Ω224205x y ≤+≤A. B ． C. D ．都是假命p q ∨p q ∧q ⌝p q p q q ∨∧⌝、、题6.设为椭圆的两个焦点，若点在圆上，21,F F 22:1C x my +=1F 2221:(2F x y n m++=则椭圆的方程为C A ． B ．C. D ．2212y x +=2221x y +=2212x y +=2221x y +=7.若，则的展开式中含项的系数为20cos a xdx π=⎰6(2)ax x+-5x A ． B ． C ． D ．24-12-12248.已知定义在上的奇函数满足，当时，R ()f x ()()2f x f x +=-[]0,1x ∈，则()21x f x =-A. B. ()()11672f f f ⎛⎫<-<⎪⎝⎭()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭C. D . ()()11762f f f ⎛⎫-<<⎪⎝⎭()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭9.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为A B C D E顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是512PT AT -=A ． B ．512BP TS RS +-= 512CQ TP ++= C ．D ． 512ES AP BQ --= 512AT BQ -+= 10.已知函数在上的最大值为，最小值为，则()2sin(26f x x π=+[,]()4a a a R π-∈1y 2y 的取值范围是1y 2y -A ．B ．C ．D ．[22][2,2][211.对于任一实数序列，定义为序列，它的{} ,,,321a a a A =A ∆{} ,,,342312a a a a a a ---第项是，假定序列的所有项都是，且，则n n n a a -+1)(A ∆∆10201718==a a =2018a A ． B ．1000C. 1009 D ．2018012.已知，，若存在，，使得}0)(|{==ααf M {|()0}N g ββ==M ∈αN ∈β，则称函数与互为“和谐函数”.若与1||<-βα)(x f )(x g 2()23x f x x -=+-互为“和谐函数”则实数的取值范围为3)(2+--=a ax x x g a A.B.C .D.),2(+∞),2[+∞)3,2(),3(+∞二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为_____，虚部为_____．23z i=-i z 14.点为双曲线的右焦点，点为双曲线上位于第二象限的F 2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>P 点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心P Q 2PF FQ =5OP a =E 率为_____．15.在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的正整数均成立，那么就{}n a T n T n a a +=n 称数列为周期数列，其中叫数列的周期．已知数列满足:{}n a T {}n a {}n b ，21(*)n n n b b b n N ++=-∈若，当数列的周期最小时，该数列的前2018项的和是11b =，2(,0)b a a R a =∈≠{}n b _____．16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，M 为AC 的中点，且.44cos 3sin a b C c B =+(Ⅰ)求的大小；cos B (Ⅱ)若求的面积．45,52ABM a ∠==ABC ∆18. (本小题满分12分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）AQI （指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：AQIB 1（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统AQI 抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随AQI 机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为AQI （含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的0~50数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；ξξ（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？19.(本小题满分12分）如图，底面为直角三角形的三棱柱中，111ABC A B C -AB AC =，点在棱上，且平面01160A AB A AC ∠=∠=D BC 1//A C 1ADB （Ⅰ）求二面角的余弦值；11--A B C D（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.1AB ABC 20.(本小题满分12分）已知点为轴上的动点，以为边作菱形，使其对角线的交点恰好落01,AB （，）y AB ABCD 在轴上.x （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；D E （Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，分别过点作轨迹的切线，A l E M N 、M N 、E 12l l 、且与交于点.1l 2l P （ⅰ）证明：点在定直线上，并写出定直线的方程；P （ⅱ）求的面积的最小值.OMN ∆21.(本小题满分12分）已知函数.()()ln 1axf x x a R x =-∈+（Ⅰ）讨论函数的单调性；()f x （Ⅱ）若有两个极值点，证明: .()f x 12,x x ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），以xOy 1:4C x y +=坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．O x （I ）求曲线的极坐标方程；12,C C （II ）若射线与曲线的公共点分别为，求OBOA的最大值．)0(≥=ραθ12,C C ,A B 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知， ， ，函数．0a >0b >0c >()f x c a x x b =+-++（I ）当时，求不等式的解集；1a b c ===()3f x >（II ）当的最小值为时，求的值，并求的最小值．()f x 3a b c ++111a b c++2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）参考答案一、选择题： 二、填空题：15.16. 1,21346三、解答题17. (Ⅰ) 由题设知：4sin()4sin 4sin cos 3sin sin B C A B C C B+==+题号123456789101112答案CDDBAABDADBC4cos 3sin 0B B ∴=>即.………………4分29cos ,25B ∴=3cos 5B =（II ）取的中点，连，则且AB N MN //MN BC MN =，……………7分4sin sin 5BNM B ∴∠==由知： sin sin sin BM MN MN BNM NBM ABM ==∠∠∠0452145sin 45BM =⨯⨯=……………9分 (120243)2sin(45)4524255ABC MBC S S BM BC B ∆∆∴==-=⨯-= 分18.解：（1）系统抽样，分段间隔， 抽出的样本的编号依次是4号、9号、143056k ==号、19号、24号、29号， 对应的样本数据依次是、2856、94、48、40、221．……………3分（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2,3，且ξ33336()(0,1,2,3)k kC C P k k C ξ-===，，，，1(0)20P ξ∴==9(1)20P ξ==9(2)20P ξ==1(3)20P ξ==随机变量的分布列为：ξξ0123P120920920120所以．……………9分　1991()0123 1.520202020E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（3）2016年11月指数为一级的概率，2017年11月指数为一级的概率AQI 1730P =AQI ，21730P =，说明这些措施是有效的．……………12分21P P >19.(Ⅰ)解：连，得连；1A B 11,A B AB O = OD 则平面平面,且为的中点OD =1ADB 1A CB O 1A B ∵平面1//A C 1ADB ∴，且为的中点……………2分1//A C OD D BC ，1AB AC AA == 01160A AB A AC ∠=∠=∴111,A B AC A A ==1,A D BC AD BC ⊥⊥设，又底面为直角三角形得2BC a =11,2A D AD a AB AC AA a=====∴，即，得平面……………4分0190A DA ∠=1A D AD ⊥1A D ⊥ABC 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，D 1,,DA DB DA ,,x y z 则，1(,0,0),(0,,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a A a -由知：，得，111////AA BB CC 111(,0,)AA BB CC a a ===-1(,,)B a a a -；1(,,)C a a a --∴，……11111(0,2,0),(2,,),(,,),(0,0,)B C a AB a a a DB a a a DA a =-=-=-=…6分设且平面，则1(,,)n x y z =1n ⊥11AB C 1112020n B C ay n AB ax ay az ⎧=-=⎪⎨=-+-=⎪⎩取得；设平面，同理：1x =1(1,0,2)n =2n ⊥11DB C 且……………8分2(1,0,1)n =∴，故二面角；12cos ,n n ==11--A B C D …10分又为平面的法向量，且，1DA ABC 11cos ,DA AB ==∴与平面分1AB ABC 20.解：(Ⅰ)设，则由题设知：， 由知(,)D x y (0,)B y -AB AD =，222(1)(1)x y y +-=+得为动点的轨迹的方程；……………4分24(0)x y y =≠D E (Ⅱ) （ⅰ）由(Ⅰ)知：，设，则'2x y =1122()()M x y N x y ,、,221212,;44x x y y == 由题设知：，得221212(1)(1)44x x AM x AN x =-=- ,、,222112(1)(1)44x x x x -=-；124x x =-切线的方程为 切线的方程为∴1111:()2x l y y x x -=-211;24x x y x =-2l 222;24x x y x =-两者联立得：；即点在定直线上；1212124x x x x x y ===-+,P 1y =-……………9分 （ⅱ）由(Ⅰ)及（ⅰ）知：2212121212111()4()162;222OMN S OA x x x x x x x x ∆=-=+-=++≥即点时，.……………12分 (0,1)P -min ()2OMN S ∆=21.解：（Ⅰ），2221(1)(2)1'()(0)(1)(1)a x ax x a x f x x x x x x +-+-+=-=>++；2(2)4(4)a a a ∆=--=-当时，，在上单调递增；4a ≤'()0f x >()f x (0,)+∞当时，在上单调递增，在4a >()f x上单调递减，在上)+∞单调递增；……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，4a >12122,1x x a x x +=-=，1221121212(1)(1)()()ln (1)(1)ax x ax x f x f x x x a x x +++∴+=-=-++而，12122222()()ln ln (2)2222212a a x x a a a f f a a -+---==-=---+ 1212()()2()ln 2()2222x x f x f x a a f h a ++-∴-=-+=，得在上为减函数，又，214'()(1)0222(2)a h a a a -∴=-=<--()h a (4,)+∞(4)0h =即；则.……………12分()0h a <1212()()(22x x f x f x f ++<22．解：（I ）曲线的极坐标方程为，1C 4)sin (cos =+θθρ曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为. 2C 1)1(22=+-y x 2C θρcos 2=…………4分（II ）设，，因为是射线与曲线的公共点，所以不妨),(1αρA ),(2αρB ,A B αθ=12,C C 设，则，，24παπ≤<-ααρsin cos 41+=αρcos 22=21||12cos (cos sin )||4OB OA ραααρ∴==⨯+， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=1)42cos(241)12sin 2(cos 41πααα所以当时，取得最大值. ……………10分 8πα=||||OA OB 412+23．解：（I ）()111f x x x =-+++B1A1C C1A或或，解得1{ 123x x ≤-∴->11{ 33x -<<>1{ 213x x ≥+>或．……………5分{|1x x <-1}x >（II ）()3f x c a x x b a x x b c a b c a b c =+-++≥-+++=++=++=，()11111111333b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当且仅当时取得最小值．……………10分()1322233≥+++=1a b c ===319．如图，在三棱柱体，平面平面,．111ABC A B C -11A B C ⊥11AA C C 090BAC ∠=（I ）证明：；1AC CA ⊥（II ）若是正三角形，，求二面角的大小．11A B C 22AB AC ==1A AB C --3π。