上海大学06-07(秋)高数B1试题及解答(A卷)

高等数学b1期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在答案：D2. 设 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可导，则下列说法正确的是：A. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处连续B. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不可导C. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不连续D. \( f'(a) \) 不存在答案：A3. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \) 的导数是：A. \( 3x^2 + 6x - 9 \)B. \( 3x^2 + 6x + 9 \)C. \( x^2 + 6x - 9 \)D. \( 3x^2 + 6x - 9 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的切线方程是：A. \( y = 4x - 4 \)B. \( y = 4x + 4 \)C. \( y = 4x - 8 \)D. \( y = 4x + 8 \)答案：C6. 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) 的和是：A. 1B. \( \frac{1}{2} \)C. 0D. 无穷大答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的极值点是 \( \boxed{0} \)。

2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 \( \boxed{\frac{1}{x}} \)。

Mock1答⒈已知向量a =2i −3j +k , b =i −j +3k 和c =i −2j ，计算 ⑴(a +b )·(b +c )； ⑵(a +b )×(b +c )。

解 a +b =(3, −4,4)，b +c =(2, −3,3)。

(a +b )·(b +c )=30；(a +b )×(b +c )=344233--i j k =(0, −1, −1)。

⒉求过点P (3,0,−1)且与平面π：3x −7y +5z −12=0平行的平面方程。

解 3(x −3)−7y +5(z +1)=0即3x −7y +5z −4=0。

⒊求曲面S : z =24x +y 2与直线l :211232x y z +-==-的交点。

解 直线l : x =−2+2t , y =3t , z =11−2t 。

代入曲面S ，得：t 2=1，t =−1,1。

交点为：(−4, −3,13),(0,3,9)。

⒋设ƒ(x , y )=x +(y −ƒx (x ,1)。

解 ƒ(x , 1)=x ，ƒx (x ,1)=(,1)df x dx=(x )′=1。

⒌设z =x sin 2(x +2y )2，求z x ∂∂,2zx y∂∂∂。

解zx∂∂=sin 2(x +2y )+2x sin(x +2y )cos(x +2y )=sin 2(x +2y )+2x sin2(x +2y ) 2zx y∂∂∂=4sin(x +2y )cos(x +2y )+8x cos2(x +2y ) ⒍设z =ln(1+e 2x +3y )，求z 的全微分。

解 dz =222313x x e dx dye y+++。

⒎设z =ƒ(2x +5y , x 2y )，其中ƒ(x , y )可微，求全微分dz 。

解 dz =ƒx (2x +5y ,x 2y )(2dx+5dy )+ƒy (2x +5y ,x 2y )(2xydx+x 2dy )=2[ƒx (2x +5y ,x 2y )+xy ƒy (2x +5y x 2y )]dx +[5ƒx (2x +5y ,x 2y )+x 2ƒy (2x +5y ,x 2y )]dy 。

高数b1大一期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在[0,2]上是增函数，则c的取值范围是：A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案：C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(x)在(1,2)内有唯一的零点，则该零点是：A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，f(1)=____。

答案：22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。

答案：1/x3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为an=____。

答案：2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。

答案：3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=____。

答案：3x^2-3三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。

答案：令f(x)=0，解得x=3/2，所以零点为3/2。

2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，代入x=1得到f'(1)=0。

切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。

答案：令f(x)=(e^x-1)/x，求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题考生注意：1 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚2 本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上一、 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1 已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m} 若B ⊆A ，则实数m ＝2 已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是3 若函数)(x f ＝x a （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ 4 计算：1lim 33+∞→n C nn ＝5 若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝6 如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝ 7 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是8 在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是9 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本 将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）10 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是11 若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是12 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）（A ）→--AB ＝→--DC ；（B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（D ）→--AD ＋→--CB ＝→14 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件15 若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M 16 如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标” 已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题： ①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为 （p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17 （本题满分12分）求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期18 （本题满分12分）C如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？19 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）20 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由21 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2 设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值22 （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 ）1 已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m} 若B ⊆A ，则实数m ＝ ； 解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求； 2 已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ；解：由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：d ； 3 若函数)(x f ＝xa （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ ； 解：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：1122a a -=⇒=；4 计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ；解：33223333321(1)(2)321lim limlim lim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-+---+====++++ ； 5 若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ； 解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；6 如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝ ； 解：已知cos()sin (2παα⇒+=-=-7 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；解：已知222222242,161164(b a b c y x a a b c F =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求；8 在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ； 解：如图△OAB 中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---=1545sin 526AOB S π∆⇒== (平方单位)；9 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本 将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）；解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：12448135C P P P =； 10 如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ； 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；11 若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是解：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；12 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ；解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2510x x +≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立； 且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立； 所以，2m i n 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；二、 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ）（A ）AB DC = ； （B ）AD AB AC += ；（C ）AB AD BD -=； （D ）0AD CB += ；解：由向量定义易得， （C ）选项错误；AB AD DB -=；14 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件；解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（A ）15 若关于x 的不等式x k)1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有[答]（ ）（A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ；C解：选（A ）方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法2：求出不等式的解集：xk )1(2+≤4k ＋4422min455(1)2[(1)2]2111k x k x k k k k +⇒≤=++-⇒≤++-=+++； 16 如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标” 已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：① 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；② 若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为 （p ，q ）的点有且仅有2个；③ 若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3解：选（D ）① 正确，此点为点O ； ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l相距为q 的两条平行线的交点；三 解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17 （本题满分12分）求函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域和最小正周期[解]2c o s ()c o s (3si n 244y x x x ππ=+-22112(cos sin )22cos22sin(2)6x x x x x x π=-==+∴函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域是[2,2]-,最小正周期是π；18（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1︒）？[解] 连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700于是,BC=107∵710120sin20sin︒=ACB, ∴sin∠ACB=73,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD 相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为∴四棱锥P-ABCD的体积V=31×23×3=2（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－3,0),B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3)E是PB的中点,则E(21)于是DE =(23,0, 23),AP=(0, 3,3)设AP 与DE的夹角为θ, 有cosθ=4233434923=+⋅+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)，在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ，于是, 在等腰Rt △POA 中， PA=6，则在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是20 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6) ∴OB OA ⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又 ∵ 22112211,22x y x y ==， ∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+= ， 综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0) 该命题是假命题例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3, 直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上； 说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0) 21 （本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2 设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ）， 求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值 (1) [证明] 当n=1时,a 2=2a,则12a a =a ； 2≤n≤2k －1时, a n+1=(a －1) S n +2, a n =(a －1) S n －1+2, a n+1－a n =(a －1) a n , ∴n n a a 1+=a, ∴数列{a n }是等比数列 (2) 解：由(1) 得a n =2a1-n , ∴a 1a 2…a n =2n a )1(21-+++n =2n a 2)1(-n n =212)1(--+k n n n , b n =1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n (n=1,2,…,2k) （3）设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n <23；当n≥k+1时, b n 23 原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －23) =(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k )=]12)10(21[]12)12(21[k k k k k k k k k +--+-+--+122-k k 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立22 （本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋x a 有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数（1）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2x a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x )1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） [解]（1）函数y=x+xb 2(x>0)的最小值是2b 2，则2b 2=6, ∴b=log 29 (2) 设0<x 1<x 2,y 2－y 1=)1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+ 当4c <x 1<x 2时, y 2>y 1, 函数y=22xc x +在[4c ,+∞)上是增函数； 当0<x 1<x 2<4c 时y 2<y 1, 函数y=22xc x +在(0,4c ]上是减函数 又y=22x c x +是偶函数，于是， 该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；(3) 可以把函数推广为y=nn x a x +(常数a>0),其中n 是正整数 当n 是奇数时,函数y=n n x a x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数； 当n 是偶数时,函数y=n n xa x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数； F(x)=n x x )1(2++n x x )1(2+=)1()1()1()1(323232321220n n n n r n r n r n n n n n n n x x C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此F(x) 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数所以，当x=21或x=2时，F(x)取得最大值(29)n +(49)n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1。

上海大学数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. \( \sqrt{2} \)是有理数B. \( \sqrt{2} \)是无理数C. \( \sqrt{2} \)是整数D. \( \sqrt{2} \)是复数答案：B2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上是：A. 增函数B. 减函数C. 常函数D. 非单调函数答案：A3. 以下哪个数列是等差数列？A. \( 1, 2, 4, 8, \ldots \)B. \( 2, 4, 6, 8, \ldots \)C. \( 1, 1, 1, 1, \ldots \)D. \( 3, 5, 7, 9, \ldots \)答案：D4. 圆的面积公式是：A. \( \pi r^2 \)B. \( \frac{1}{2} \pi r^2 \)C. \( \pi r \)D. \( 2\pi r \)答案：A5. 以下哪个选项是矩阵？A. 一个二维数组B. 一个一维数组C. 一个三维数组D. 一个四维数组答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆周率 \( \pi \) 的近似值是 ________。

答案：3.141592. 函数 \( y = \sin(x) \) 的周期是 ________。

答案：\( 2\pi \)3. 矩阵 \( A \) 和 \( B \) 的乘积记作 ________。

答案：\( AB \)4. 欧拉公式 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 中的 \( i \) 代表 ________。

答案：虚数单位5. 勾股定理表明在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 \( a^2 + b^2 = ________ \)。

答案：\( c^2 \)三、解答题（每题30分，共60分）1. 证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，并求出该极值。

上海大学2013 ～2014学年秋季学期研究生试题A卷课程名称：写作1 课程编号：001704G2学分：0.5(请在答题纸上答题，否则无效)Part One: Diction （20%）（10—20%可以来自于课本）Directions: Choose the right one from the following two choices marked A or B.1.The argument can only be settled by someone who is __________.A. disinterestedB. uninterested2.This is an interesting book with vivid account of __________ events and people.A. historicB. historical3.The information was __________ as a result of various experiments.A. obtainedB. acquired4.If no one takes the __________ and plan for the trip, we will never leave home.A. initialB. initiative5.From her conversation, I __________ that she had a happy family.A. induceB. deduce6.I don’t know the results of the tests yet. __________, why are you so interested in them?A. SomehowB. Anyhow7. He gave his clearest _____ yet that he will keep racing.A. indicationB. prediction8．He hoped the firm would _____ him to the Paris branch.A. transmitB. transfer9. Jim Lovell talked about the current situation at NASA during an _____ to mark the fortieth anniversary of Apollo Thirteen.A. eventB. incident10. A good scientist is highly __________ since he often has to look for relations in data which are oftencomplex and incomplete.A. imaginativeB. imaginary11. I seem to have _____ myself in something I don’t understand.A. evolvedB. involved12. I'm very sorry to have _____ you with so many questions on such an occasion.A. interferedB. bothered13. When you have filled in the questionnaire, copy it and send the _____ to your employer.A. originalB. initial14. People don’t like to ask questions for fear of app earing _____.A. illiterateB. ignorant15. From Mexico, President Obama traveled Friday to the Caribbean nation of Trinidad and Tobago for the Fifth _____ of the Americas.A. ConferenceB. Summit16. She was a woman of _____ talent and determination.A. singleB. unique17. FM radio stations _____ in a range of frequencies between eighty-eight and one hundred eight megahertz.A. transportB. transmit18. Police are still trying to _____ the identity of the dead man.A. establishB. find19. We all need the _____ escape route from the boring, routine aspects of our lives.A. occasionalB. incidental20. I work very _____ and am decisive, and accurate in my judgment.A. effectivelyB. efficientlyPart Two Sentence (20%) （80%--90%来自于课本）Section A. Combine the following sentences into compound or complex sentences or sentences with participial, prepositional, or other phrases. (10%)1.She appeared on the stage. A stormy applause broke forth.st night was a wild night. The thunder roared. The wind blew a gale. The rain fell in torrents.3. He heard that his father was ill. He was anxious to go home to see him. He went to the station earlyin the morning to buy a ticket.4. There were over two hundred passengers on board the plane. About one third of them wereforeigners.3. The new workers are young and inexperienced. They are eager to learn from the veteran workers. Section B Rewrite the following sentences to make them unified or coherent or concise. (10%)1. To get ready for the trip, all the things she needed were put into a suitcase.2. A well-dressed man admitted us to the house, and we later learned that he was a thief.3. I lost some important documents and found them five days later. The police had helped me.4. The plane circled around the airport for about ten minutes or so and then disappeared and could nolonger be seen.5. The students promised to be careful and that they would return home early.Part Three: Paragraph (20%) 课外Section A: Read the following paragraph and identify the topic sentence. (5%) Most of us have been taken in by the notion that speed of reading is a measure of our intelligence. There is no such thing as the right speed for intelligent reading. Some things should be read quickly and effortlessly, and some should be read slowly and even laboriously. The sign of intelligence in reading is the ability to read different things differently according to their worth. In the case of good books, the point is not to see how many of them you can get through but rather how many can get through you —how many you can make your own. A few friends are better than a thousand acquaintances. If this be your aim, as it should be, you will not be impatient if it takes more time and effort to read a great book than it does a newspaper.Topic Sentence:Section B: Fill in the blanks with appropriate transitional words from the box. (10 %)Task 1A. becauseB. as soon asC. afterD. whereasE. considering that(1) ________ Harold Krents was totally blind by his eighth birthday, his achievements are extraordinary. Life is not easy when one’s vision is impaired. When he was in high school, Krents’classmates elected him president of his school. (2) ________ Krents was brilliant, he was accepted byHarvard. Before he went to college, he spent the summer as an arts counselor at camp. (3) ________ others have difficulty finding their way around the tents in the dark, Krents moved about easily and kept the campers quiet after taps. (4) ________ he had graduated cum laude from Harvard University, he was accepted at Harvard Law School. (5) ________ he heard Krent’s story, Leonard Gershe wrote the play Butterflies Are Free.Task 2A. whenB. whileC. sinceD. becauseE. although(1) ________ the earth revolves around the sun, different constellations can be seen at different times of the year. (2) ________it can be very helpful in locating constellations, you must learn how to use a star map effectively. Astronomers use both binoculars and telescopes to observe the stars. (3) ________ you look at a constellation, you may see a planet wandering through it. (4) ________ there are eighty eight constellations, only about ten dozen constellations are visible at any time. (5) ________ the earth revolves around the sun, some constellations can be seen only during certain seasons.Section C: Put the following sentences in a logical order. （5%）A. Visual learners usually learn best when the teacher provides written study notes, writes on thechalkboard and uses an overhead projector to explain concepts.B. Visual learners frequently take detailed notes in class, when studying from a textbook or listening tolectures.C. If this sounds like you then you are probably a visual learner—many people are.D. Individuals that learn best when ideas or subjects are presented in a visual format, whether that iswritten language, pictures, diagrams or videos are visual learners.E. They also create diagrams and use pictures to understand and remember concepts and ideas.Part Four:Essay Writing: (40%) 课外Directions: Write an essay in around 200 words according to ONE of the following pieces of information.1.The unemployment rate in China has been steadily rising. Graduates are forced to take up jobs asbutchers, shoe polishers and nursemaids and some fresh graduates are even in unpaid internships.Write an essay of about 200 words, expressing your views on the new graduates’ job expectations, and “Should New Graduates Lower Job Expectations?” can be a possible topic.2. “Technology has given people easy access to everyone’s lives. Fans are able to feel a part of theirfavorite celebrity’s everyday life by tracking their whereabouts.” What do you think are the impacts celebrities might produce on young people? Express your opinion in about 200 words and use specific details to support your answer.3. Many people believe that e-books will one day replace traditional books. Do you agree or disagreewith the opinion? Express your opinion in about 200 words and ensure that you take a clear-cut stand.4. Comment on the advantages or disadvantages of video games. Express your opinion in about 200words with specific details.上海大学2013 ～2014 学秋季学期研究生试题A卷课程名称：写作1 课程编号：考试日期：2013年11月应试人声明：我保证遵守《上海大学学位与研究生教育工作手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。

高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。

答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。

答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。

答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。

高等数学教材b1试题及答案题目一：1. 计算下列极限：a) $\lim_{{n \to \infty}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$b) $\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\ln x}}{{x}}$c) $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}}$解答一：a) 根据极限的定义，当$n$趋向无穷时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$b) 应用洛必达法则，得到$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\ln x}}{{x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{1}{x}}}{{1}} = 0$c) 根据极限的定义，得到$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1$题目二：2. 求函数$f(x) = \frac{{x^2-1}}{{x-1}}$的极限值。

解答二：当$x$趋向1时，$f(x)$的分母趋近于0，但分子并没有发散，所以我们可以尝试进行化简：$f(x) = \frac{{(x-1)(x+1)}}{{x-1}}$化简后得到：$f(x) = x + 1$所以，当$x$趋向1时，$f(x)$的极限值为2。

题目三：3. 求函数$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}}\right)^n$的极限值。

解答三：由题意可得：$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}} \right)^n$观察到这是一个形如$\left(1+\frac{a}{n}\right)^n$的极限，可以利用题目一中的结论：$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}} \right)^n =e^{x^2}$所以，函数$g(x)$的极限值为$e^{x^2}$。