08年全国初中数学联赛四川赛区初赛试卷

成都家教网整理的:20XX 年全国初中数学联赛四川初赛试题（3月23日下午2：30—4：30或3月24日上午9：00—11：00）一、选择题(本大题满分42分,每小题7分) 1.若a,b 为实数,满足a a -+11=bb+-11,则(1+a+b)(1－a －b)的值是( ). (A)－1 (B)0 (C)1 (D)22.设p 是正奇数,则p 2除以8的余数等于( ). (A)1 (B)3 (C)5 (D)73.已知△ABC 中,AB=AC=43,高AD=4,则△ABC 的外接圆半径是( ). (A)3 (B)4 (C)5 (D)64.设a,b 是整数,方程x 2＋ax ＋b=0的一根是324-,则a+b 的值是( ). (A)－1 (B)0 (C)1 (D)25.工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为450，腰长为12cm ；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为4cm 、10cm,且有一内角为600.现在我们把它们任意翻转,分别试图从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过,结果是( ). (A)甲板能穿过,乙板不能穿过 (B) 甲板不能穿过,乙板能穿过 (C)甲、乙两板都能穿过 (D)甲、乙两板都不能穿过6.设抛物线y=x 2＋kx ＋4与x 轴有两个不同的交点(x 1,0),(x 2,0),则下列结论中,一定成立的是( ).(A)x 12＋x 22=17 (B) x 12＋x 22=8 (C) x 12＋x 22﹤17 (D) x 12＋x 22﹥8 二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)1.已知不等式ax+3≧0的正整数解为1,2,3,则a 的取值范围是.2.如图,在直角梯形ABCD 中,AB=BC=4,M 为腰BC 上一点,且△ADM 为等边三角形,则S △CDM ：S △ABM =.MDCBA3.有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次.若工时不变,车间每天可生产最低档次(即第一档次)的产品40件,生产每件产品的利润为16元;如果每提高一个档次,每件产品利润可增加1元,但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品.要使利润最大,车间应生产第种档次的产品.4.方程2x2＋5xy＋2y2=2007的所有不同的整数解共有组.三、(本大题满分20分)已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(3,3+2),B(－1,3),C(c,2－c).求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值.四、(本大题满分25分)如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB.M是OC的中点,AM的延长线交⊙O于E,DE交BC 于N.求证:BN=CN.B五、(本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜。

四川省全国初中数学联赛初赛试卷及解析一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，将你选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是 （ ）A 、9504元B 、9600元C 、9900元D 、10000元2、如图，在凸四边形ABCD 中，80,AB BC BD ABC ==∠=︒，则ADC ∠等于（ ） A 、80° B 、100° C 、140° D 、160°3、如果方程2240()()x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是 （ ） A 、04m <≤ B 、3m ≥ C 、4m ≥ D 、34m <≤4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，60306,,,BAD ABC AB AD CD ∠=︒∠=︒==且,那么BD 的长度是 ( )AB 、4 C、 D、5、如果20140a -<<，那么20142014x a x x a -+++-+的最小值是 （ ）A 、2014B 、2014a +C 、4028D 、4028a +AABA B6、方程223()x xy y x y ++=+的整数解有 （ ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如图，扇形AOB 的圆心角90AOB ∠=︒，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 。

2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23、28、33、39、x 、y ，则x y += 。

3、已知6x y -=9=的值是 。

2008年四川初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若b a ,为实数，满足b a b a +=-111，则ba ab -的值是（ D ）． （A ）1- （B ）0 （C ）21（D ）１解：由题设条件知ab a b =-22，两边同时除以ab ，得1=-ba ab ．故答案选Ｄ．2、下面4种说法：（1）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； （2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； （3）两个无理数的和一定是无理数； （4）两个无理数的积一定是无理数. 其中，正确的说法种数为( A )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：在上述四种说法中（1）正确；（2）、（3）、（4）错误．故答案选Ａ．3、已知一次函数b kx y +=，其中0>kb ．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（ Ｂ ）．Ａ．第一、二象限 Ｂ．第二、三象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、四象限解：因为0>kb ，故b k 、同号．当b k 、同为正数时，则一次函数的图象通过第一、二、三象限；当b k 、同为负数时，则一次函数的图象通过第二、三、四象限．所以，符合条件的一次函数的图形一定通过第二、三象限．故答案选Ｂ．４、在凸四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别为DA CD BC AB 、、、的中点，EG 与FH 相交于O ，设四边形CGOF BFOE AEOH 、、的面积分别为3、4、5，则四边形DHOG 的面积为（ C ）A ．215B ．415C ．4D ．6解：如图，连结OD OC OB OA ,,,，则BEO AEO S S ∆∆=，CFO BFO S S ∆∆=，DGO CGO S S ∆∆=，AHO DHO S S ∆∆=．于是D H O G BFO E CFO G AEO H S S S S +=+， 所以4453=-+=DH OG S ．故答案选Ｃ．５、20082007=x ，则x 除以10的余数是（ A ）．Ａ．1 Ｂ． 3 Ｃ．7 Ｄ．9 解：x 除以10的余数等于20087除以10的余数．又 、、、、、543277777除以10的余数分别为 、、、、、71397．它们以4为周期．又45022008⨯=，于是20087除以10的余数为1，即x 除以10的余数是1．故答案选A ．6、已知c b a ,,为互不相同的有理数，满足)2)(2()2(2++=+c a b .则符合条件的c b a ,,的组数共有( Ａ )Ａ．０组 Ｂ．１组 Ｃ．２组 Ｄ．４组解：因为)2)(2()2(2++=+c a b ，即2)(22222c a ac b b +++=++，则2b ac =，b c a 2=+．于是ac b c a ac c a 44)(22222==+=++．所以0)(2=-c a ，故c a =，这与条件矛盾．故答案选Ａ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式：6|12|<-x 的所有非负整数解的和为 ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧->-<-612612x x ，解得2725<<-x ．于是，符合条件的所有非负整数解为3210，，，=x ．所以，所有非负整数解的和为6． 故答案填６． 2、已知321+=x ，321-=y ，则=++3312y xy x .解：32-=x ，32+=y ，则4=+y x ．于是64)()(31233333=+=+++=++y x y x xy y x y xy x .故答案填64.３、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为z y x 、、，则zy x 111++的值为 ． 解：依题意，有360180218021802=⨯-+⨯-+⨯-zz y y x x ，化简得21111=++z y x ．故答案填21．４、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC AB =，DB DA =，90=∠ADB ， 则ACD ∠的度数等于 ．解：如图，过A 作CD AE ⊥交CD 延长线于E ，过D 作AB DF ⊥于F ．由DB DA =，90=∠ADB 知ADB ∆为等腰直角三角形． 故45=∠=∠DAF DBA ．因为AB ∥DC ，故45=∠ADE ． 因为AB DF ⊥，则AB DF 21=， 45=∠ADF ． 于是90=∠FDE ，即CD FD ⊥．又CD AE ⊥，故AE ∥FD ．又AF ∥ED ，故AFDE 为平行四边形． 从而AC AB DF AE 2121===．所以， 30=∠ACD ．故答案填 30．三、（本大题20分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DB AC ⊥，5=AC ， 30=∠DBC .（1）求对角线BD 的长度； （2）求梯形ABCD 的面积. 解：（１）如图，过A 作AE ∥DB 交CB 延长线于E∵ DB AC ⊥，AE ∥DB ．∴ AE AC ⊥，30=∠=∠DBC AEC ．∴90=∠EAC ，即EAC ∆为直角三角形． ∴ 102==ACEC ． ∴ 355102222=-=-=AC EC AE ．∵ AD ∥BC 且AE ∥DB ． ∴ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ 35==AE DB ．（２）记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作BC AF ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形． ∵30=∠AEF ． ∴ 23521==AE AF ，即梯形ABCD 的高235=AF ．∵ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ EB AD =． ∴475235352121)(21=⨯⨯=⨯=⨯+=AF EC AF BC AD S ．四、(本大题25分) 设实数x 满足：1013536324213--≥---x x x . 求|4||1|2++-x x 的最小值.解：原不等式两边同乘以30，得：39)36(6)24(10)13(15--≥---x x x 化简得：6231-≥-x .解得：2≤x ．记|4||1|2++-=x x y（１）当4-≤x 时，23)4()1(2--=+---=x x x y ． 所以，y 的最小值都为102)4()3(=--⨯-，此时4-=x ． （２）当14≤≤-x 时，6)4()1(2+-=++--=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．（３）当21≤≤x 时，23)4()1(2+=++-=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．综上所述，|4||1|2++-x x 的最小值为５，在1=x 时取到． 五、（本大题25分）已知正整数c b a ,,满足：c b a <<，且a b c ca bc ab =++．求所有符合条件的c b a ,,．解：由c b a <<≤1知bc ca bc ab abc 3<++=，所以3<a ．故1=a 或者2=a ．（１）当1=a 时，有bc c bc b =++，即0=+c b ，这与c b ,为正整数矛盾． （２）当2=a 时，有bc c bc b 222=++，即022=--c b bc ． 所以4)2)(2(=--c b ．又因为c b <<2，故220-<-<c b ． 于是42,12=-=-c b ．即6,3==c b ．所以，符合条件的正整数仅有一组：6,3,2===c b a ．。

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ B ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.提示：,a b 是方程2310x x -+=两个不同根，故3,1a b ab +==.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为 （ D ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 提示：AEF ABC ∆∆，可得185AE =，故AEB ∆中由勾股定理得245BE = 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ C ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 提示：卡片一共有20种取法，其中123,15246,459+=+=+=+=，满足条件的有428⨯=种.4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ B ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.提示：,BCM BCN ∆∆都是等腰三角形.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ B ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是986． 已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232x y -+3x3y -2007-的值为 （ D ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.提示：y x y x =-=，同理x y -=x y ==.二、填空题1．设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-_________.-2 提示：210a a +-=2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________.25 提示：DNA ABM ∆∆3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=__________. 提示：22111,,444b mn y x x y x =≤=++=-满足条件. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.第二试（A ）一、已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解：设)()1)(1()(bx x b bx ax x x a x f ------=，则)1()1()1()(2222x x b bx x x a x a x f --+---==)1()()1(2222x x b a bx x a -+-+-=)1()1(22x x bx x a --+-当0=x 时，0)0(≥=a f ，当1=x 时，0)1(≥=b f ，故0,0≥≥b a .若0=a ，则1=b ，x x x f -=22)(，不恒大于等于0，故,0≠a 即0>a ，同理0>b .当10<<x 时，)1()12(])1([)(2x x ab x b x a x f --+--= （1） 当x b x a =-)1(，即)1,0(∈+=b a ax 时，0)1()12()(≥--=x x ab x f ，故012≥-ab ，即41≥ab . （2） 当41≥ab ，即012≥-ab 时， 0)1()12(])1([)(2≥--+--=x x ab x b x a x f综上所述，ab 最小值是41，此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=426426b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=426426b a . 二、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解：(1)连接OC OB OA ,,，则OC OB OA ==，又AC AB =，故等腰BCO ABO ∆≅∆，CBO ABO ∠=∠.由于BC 为圆D 的切线，故弦切角ABC ∠所夹劣弧长为OBC ∠所夹劣弧长的2倍，即半径BO 所在直径通过弧AB 的中点，即点O 在圆D 上.（2）连接BD AD ,，则AB BD AD r ≥+=2，故AC AB AB r ⋅=≥224，又S AC AB 2≥⋅，故S r 242≥，即22S r ≥，且当AB 为圆D 的直径时可以取等号，故r 的最小值是22S.三、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ，b 的值.解：将原等式整理为关于b 的一元二次方程： 0509436)51150936(922=⨯-+⨯-+a a b a b ，由于b 为正整数，则方程判别式)72511(509)509436(94)51150936(2222a a a a -=⨯-⨯⨯-⨯-=∆是完全平方数，即a 725112-为完全平方数，设)(7251122N t t a ∈=-，则a t 7251122=-，即a t t 72)511)(511(=+-，由于1022)511()511(=++-t t ，故)511(),511(t t +-同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.当2=a 时，检验得2725112⨯-不是完全平方数当3=a 时，检验得3725112⨯-不是完全平方数当5≥a 时，由上面分析可知18436218436272⨯=⨯=⨯=⨯=a a a a a 共4种分解方式可能满足条件.当⎩⎨⎧=+=-a t t 365112511时，385=a 不是整数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 185114511时，9509=a 不是整数， 当⎩⎨⎧=+=-365112511t a t 或⎩⎨⎧=+=-at t 251136511时，2917493⨯==a 不是质数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 451118511时，251=a 是质数，此时只有7=b 满足条件， 综上所述，251=a ，7=b . 附：一。

2008年四川省初中数学联赛初赛(初二)
四川省数学竞赛委员会
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2008(000)011
【总页数】3页(P25-27)
【作者】四川省数学竞赛委员会
【作者单位】四川省数学竞赛委员会
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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5.2008年全国初中数学联赛四川省初赛 [J], 四川省数学竞赛委员会
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2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00)学校___________________年级___________班 姓名_________________一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于（ ） （A ）－4x ＋3 （B ）5 （C ）2x ＋3 （D ）4x ＋32、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）21 （D ）313、已知a 为非负整数，关于x 的方程0412=+---a x a x 至少有一个整数根，则a 可能取值的个数为（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ） 14、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数是（ ） （A ）124o （B ）122o （C ）120o （D ）118o5、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有（ ） （A ）a ＋b ＋c ＞0 （B ）b ＞a ＋c（C ）abc ＜0 （D ）c ＞2b6、已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知a 是方程x 2－5x ＋1＝0的一个根，则44-+a a 的个位数字为_____________． 2、在凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，若S △OAD ＝4，S △OBC ＝9，则凸四边形ABCD 面积的最小值为__________________．3、实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________．4、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝25，则线段CD的长度为__________________．三、（本大题满分20分）已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．四、（本大题满分25分）如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3＝90o．五、（本大题满分25分）如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、B2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、7 2、25 3、29≤t 4、6 三、（本大题20分）解：∵方程x 2＋ax －b ＝0的根是a 和c ，∴a ＋c ＝－a ，ac ＝－b ∵x 2＋cx ＋d ＝0的根是b 和d ，∴b ＋d ＝－c ，bd ＝d ······································· 5分 （一）若d ≠0，则由bd ＝d 知b ＝1由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知－2a 2＝－1，解得22±=a ················· 10分 当22=a 时，2-=c 得d ＝－c －b ＝12-； ········································· （1） 当22-=a 时2=c ，得d ＝－c －b ＝12--． ······································· （2） 经验证，22±=a ，b ＝1，2 =c ，d ＝12-±是符合条件的两组解． ······· 15分 （二）若d ＝0，则b ＝－c ，由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知ac ＝c 若c ＝0，则a ＝0，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若c ≠0，则a ＝1，再由c ＝－2a 知c ＝－2，从而b ＝－c ＝2 经验证，a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝0也是符合条件的解． ································ 20分 四、（本大题25分） 证明：（1）如图，连结I 1A 1，I 1A 2，I 1A 3，I 2A 2和I 2A 3∵I 1是△A 1A 2A 3的内心，∴∠I 1A 1A 2＝∠I 1A 1A 3＝21∠A 2A 1A 3 ∠I 1A 2A 1＝∠I 1A 2A 3＝21∠A 1A 2A 3，∠I 1A 3A 1＝∠I 1A 3A 2＝21∠A 1A 3A 2 ···················· 5分延长A 1I 1交四边形A 1A 2A 3A 4外接圆于P ，则∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 1P ＋∠PI 1A 3＝∠I 1A 1A 2＋∠I 1A 2A 1＋∠I 1A 1A 3＋∠I 1A 3A 1 ＝21(∠A 2A 1A 3＋∠A 1A 2A 3＋∠A 2A 3A 1)＋21∠A 2A 1A 3＝90o ＋21∠A 2A 1A 3 ··············· 10分同理∠A 2I 2A 3＝90o ＋21∠A 2A 4A 3，又∵四边形A 1A 2A 3A 4内接于一圆 ∴∠A 2A 1A 3＝∠A 2A 4A 3，∴∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 2A 3．∴A 2、I 1、I 2、A 3四点共圆．········ 15分 （2）又连结I 3A 4，则由（1）知A 3、I 2、I 3、A 4四点共圆∴∠I 1I 2A 3＝180o －∠I 1A 2A 3＝180o －21∠A 1A 2A 3 同理∠I 3I 2A 3＝180o －∠I 3A 4A 3＝180o －21∠A 1A 4A 3 ··········································· 20分∴∠I 1I 2I 3＝360o －(∠I 1I 2A 3＋∠I 3I 2A 3)＝21(∠A 1A 2A 3＋∠A 1A 4A 3)＝90o ················· 25分五、（本大题25分）解：1、计算总的放法数N ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．所以，总的放法数N ＝16×15×14＝3360． ············································ 10分2、计算满足题目要求的放法数m ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．所以，满足题目要求的放法数m ＝16×9×4＝576． ·································· 20分所求概率P ＝3561415164916=⨯⨯⨯⨯=N m ． ·················································· 25分。

2008年四川省初中数学联赛初赛(初二) 一、选择题(每小题7分,共42分)1.若a 、b 为实数,满足1a -1b =1a +b ,则b a -ab的值是( ).(A )-1 (B )0 (C )12 (D )12.下面四种说法:①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数;②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数;③两个无理数的和一定是无理数;④两个无理数的积一定是无理数.其中,正确的说法种数为( ).(A )1(B )2(C )3(D )43.已知一次函数y =kx +b ,其中kb >0.则所有符合条件的一次函数的图像一定通过( ).(A )第一、二象限(B )第二、三象限(C )第三、四象限(D )第一、四象限4.在凸四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,EG 与FH 交于点O .设四边形AEOH 、BFOE 、CGOF 的面积分别为3、4、5.则四边形DHOG 的面积为( ).(A )152 (B )154 (C )4 (D )65.已知x =20072008.则x 除以10的余数是( ).(A )1(B )3(C )7(D )96.设a 、b 、c 为互不相同的有理数,满足(b +2)2=(a +2)(c +2).则符合条件的a 、b 、c 共有( )组.(A )0(B )1(C )2(D )4二、填空题(每小题7分,共28分)1.关于x 的不等式|2x -1|<6的所有非负整数解的和为.2.已知x =12+3,y =12-3.则x 3+12xy +y 3=.3.用三种边长相等的正多边形地砖铺地,其顶点拼在一起,刚好能完全铺满地面.设正多边形的边数为x 、y 、z .则1x+1y+1z的值为.4.如图1,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =AC ,DA =DB ,∠ADB =90°.则∠ACD 的度数等于.图1图2三、(20分)如图2,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥DB ,AC =5,∠DBC =30°.(1)求对角线BD 的长度;(2)求梯形ABCD 的面积.四、(25分)设实数x 满足3x -12-4x -23≥6x -35-1310.求2|x -1|+|x +4|的最小值.五、(25分)已知正整数a 、b 、c 满足a <b <c ,且ab +bc +ca =abc .求所有符合条件的a 、b 、c .参考答案一、1.D.由题设条件知b 2-a 2=ab .两边同时除以ab 得b a -a b=1.2.A.题目的四种说法中,①对,②、③、④错.3.B.由kb >0,知k 、b 同号.522008年第11期当k 、b 同为正数时,一次函数的图像通过第一、二、三象限;当k 、b 同为负数时,一次函数的图像通过第二、三、四象限.所以,符合条件的一次函数的图像一定通过第二、三象限.4. C.图3如图3,联结OA 、OB 、OC 、OD .则S △AEO =S △B EO , S △B FO =S △CFO , S △CG O =S △DG O , S △DH O =S △AH O .故S 四边形AEOH +S 四边形CFOG=S 四边形B FOE +S 四边形DH OG .所以,S 四边形DH OG =3+5-4=4.5.A.x 除以10的余数等于72008除以10的余数.又7,72,73,74,75,…除以10的余数分别为7,9,3,1,7,….它们以4为周期.又2008=502×4,于是,72008除以10的余数为1,即x 除以10的余数是1.6.A.因为(b +2)2=(a +2)(c +2),即b 2+2+22b =ac +2+(a +c )2,则　ac =b 2,a +c =2b .故a 2+c 2+2ac =(a +c )2=4b 2=4ac .所以,(a -c )2=0.因此,a =c ,与题设矛盾.二、1.6.原不等式等价于2x -1<6,2x -1>-6.解得-52<x <72.于是,符合条件的所有非负整数解为x =0,1,2,3.因此,所有非负整数解的和为6.2.64.易知x =2-3,y =2+ 3.于是,x +y =4.则x 3+12xy +y 3=x 3+y 3+3xy (x +y )=(x +y )3=64.3.12.依题意有x -2x×180°+y -2y×180°+z -2z×180°=360°.化简得1x+1y+1z=12.4.30°.图4如图4,过A 作AE ⊥CD 交CD 的延长线于E ,过D 作DF ⊥AB 于F .由DA =DB ,∠ADB =90°,知△ADB 为等腰直角三角形.故∠DBA =∠DAF =45°.因为AB ∥DC ,所以,∠ADE =45°.又DF ⊥AB ,则DF =12AB ,∠ADF =45°.所以,∠FDE =90°,即FD ⊥CD .由AE ⊥CD ,得AE ∥FD .又AF ∥ED ,故四边形AFDE 为平行四边形.从而,AE =DF =12AB =12AC .所以,∠ACD =30°.图5三、(1)如图5,过A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于E .由AC ⊥DB , AE ∥DB]AC ⊥AE ,　∠AEC =∠DBC =30°]∠EAC =90°,即△EAC 为直角三角形]EC =2AC =10]AE =EC 2-AC 2=102-52=5 3.又AD ∥BC 且AE ∥DB ,则四边形AEBD 为平行四边形.从而,DB =AE =5 3.(2)记梯形ABCD 的面积为S .过A 作AF 62中等数学⊥BC于F,则△AFE为直角三角形.因为∠AEF=30°,所以,AF=12AE=532,即梯形ABCD的高AF=532.又四边形AEBD为平行四边形,因此,AD=EB.故S=12(AD+BC)AF=12EC・AF=12×10×532=2532.四、原不等式两边同乘以30得15(3x-1)-10(4x-2)≥6(6x-3)-39.解得x≤2.记y=2|x-1|+|x+4|.(1)当x≤-4时,y=-2(x-1)-(x+4)=-3x-2.所以,y的最小值为(-3)×(-4)-2= 10,此时x=-4.(2)当-4≤x≤1时,y=-2(x-1)+(x+4)=-x+6.所以,y的最小值为5,此时x=1.(3)当1≤x≤2时,y=2(x-1)+(x+4)=3x+2.所以,y的最小值为5,此时x=1.综上所述,2|x-1|+|x+4|的最小值为5,在x=1时取到.五、由1≤a<b<c,知abc=ab+bc+ca<3bc.所以,a<3.故a=1或a=2.(1)当a=1时,有b+bc+c=bc,即b+c=0,这与b、c为正整数矛盾.(2)当a=2时,有2b+bc+2c=2bc,即bc-2b-2c=0.所以,(b-2)(c-2)=4.又2<b<c,则0<b-2<c-2.于是,b-2=1,c-2=4.从而,b=3,c=6.所以,符合条件的正整数仅有一组:a=2,b=3,c=6.(四川省数学竞赛委员会　提供)2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数f(x)=cos4x+sin2x(x∈R)的最小正周期是( ).(A)π4(B)π2(C)π(D)2π2.已知平面上点的集合M={(x,y)|y=2x-x2},N={(x,y)|y=k(x+1)}.当M∩N≠ 时,k的取值范围是( ).(A)-33,33(B)0,33(C)-33,0(D)33,+∞3.“x2+y2<4”是“xy+4>2x+2y”成立的( ).(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)既不充分也不必要条件(D)充分必要条件4.已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a =0至少有一个模为3的复数根.则实数a 的所有取值为( ).(A)1,9(B)-1,9,2-13(C)1,9,2+13(D)1,9,2-13图15.设f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数.图1所示的是y=xf′(x)的图像的一部分.则f(x)的极大值与极722008年第11期。

12008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11.【答案】B【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）EFDCBA2A ．185B ．4C ．215D ．245【答案】D【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，于是AEF ABC △∽△，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=．故选D3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）A ．15B ．310C ．25D ．12. 【答案】C【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=o ，132ACB ∠=o ，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）3A ．BM CN >B ．BM CN =C ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】 ∵12ABC ∠=o ，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=-=o o o．又180********BCM ACB ∠=-∠=-=o o o o ，∴180844848BMC ∠=--=o o o o ，∴BM BC =．又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=o o o o，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠o o o 168(13224)=-+o o o12ABC ==∠o ，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．598⎛⎫⎪⎝⎭. D ．98.【答案】B.【解析】 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为4()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为自然数，且0k n ≤≤．要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 6．已知实数x ，y 满足(22200820082008x x y y --=，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A ．2008-B ．2008C ．1-D ．1.【答案】D ．【解析】 ∵(22200820082008x x y y --=，∴222200820082008x x y y y y -=---222200820082008y y x x x x -=---由以上两式可得x y =．所以(2220082008x x -=，解得22008x =，所以522222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．故选D ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -，则5432322a a a a a a a +---+=- ． 【答案】 2-【解析】 ∵2251351a a --==-⎝⎭，∴21a a +=， ∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM 135MAN ∠=o ，则四边形AMCN 的面积为 ．【答案】 52【解析】 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB = ()222223252MO AM AO ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭O MND CBA6∴2MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=o ，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠o o 45MAB AMB =-∠=∠o ，所以ADN MBA △∽△，故AD DN MB BA =，从而212AD DN BA MB =⋅=． 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积1122522222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△． 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．【答案】 12【解析】 根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m nb +=≤≤． 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当12m n =-=时取得；22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得．7所以14p =，14q =-，于是12p q +=．4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 ．【答案】 1【解析】 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．第二试 （A ）一．（本题满分20分）8已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．【解析】 整理不等式①并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥．由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=． 又因为0a ≥，所以62a -或62a +，9于是方程组③的解为6262a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为 62a -，62b +和62a +=，62b -=．二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值．【解析】 ⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠．因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠o o ，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知CE OABD10BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=． 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以BDO ABC △∽△，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =．所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥，即2S r 其中等号当a y =时成立，这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 2S三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且()()2925094511a b a b +=+①求a ，b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511m a n ab --== ②故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=③由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．11不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解．②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解． ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =．此时方程③的解为3m =或5023m =（舍去）． 把251a =，3m =代入②式，得5093625173b ⨯-⨯==．第二试 （B ）12一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1x y +=，0xy ≥的一切实数对()x y ，，不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.【解析】 由1x y +=，0xy ≥可知01x ≤≤，01y ≤≤．在①式中，令0x =，1y =，得0a ≥；令1x =，0y =，得0b ≥．将1y x =-代入①式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即()()21210a b x a x a ++-++≥ ②易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=，13又因为0a ≥，所以62a -或62a +． 于是方程组③的解为6262ab ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以满足条件的a ，b 的值有两组，分别为62a -=，62b +和62a +，62b -= 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，b ，c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①②14求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c+-+-⎛⎫=⎪⎝⎭， 设663509a b c m +-=，41022511509a b cn +-=，则5096509423511m a n ab c ---== ③ 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= ④由①式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程④有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解． ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解．③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．15⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =，此时方程④的解为3m =或5023m =（舍去）． 把251a =，3m =代入③式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-．代入②式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=．。