基本初等函数--复合函数

初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及
关系
1.初等函数：
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）与有限次复合形成的函数。

基本初等函数包括以下几种类型：-常数函数：如f（x）=C，C是常数。

-幂函数：如f（x）=x^n，n为实数。

-指数函数：如f（x）=a^x，a>0且a≠1.
-对数函数：如f（x）=log_a（x），a>0且a≠1.
-三角函数：sin（x），cos（x），tan（x），cot（x），sec（x），csc（x）及其逆函数（反三角函数）。

2.简单函数：
简单函数通常是指构成复杂函数的基本单元，它们相对独立且形式较为简单。

在解决具体问题时，简单函数可能指的就是上述基本初等函数，或者是通过基本初等函数进行一次或几次基本运算（如加法、乘法等）得到的函数。

3.复合函数：
复合函数是两个或多个函数通过变量的代换相互结合而成的新
函数。

如果存在两个函数f和g，那么可以定义一个复合函数h（x）=f（g（x）），其中g的值域需包含在f的定义域内。

例如，`h（x）
=sin（2x）`就是一个复合函数，其中`g（x）=2x`作为外层函数的“内层”被嵌套到`f（u）=sin（u）`中。

关系上：
-所有的基本初等函数都是简单函数。

-简单函数经过组合（包括复合和四则运算）可以形成更复杂的初等函数。

-复合函数是构造初等函数过程中的一种重要手段，它可以将几个简单函数联接起来构建新的、具有更丰富特性的函数表达式。

初等函数的运算与性质初等函数是数学中的重要概念，是指可以由有限次的加减乘除和函数复合得到的函数。

初等函数的运算与性质是数学中的基础知识，对于我们理解更高级的数学理论和应用具有重要意义。

本文将分别介绍初等函数的四则运算和函数复合运算，并讨论一些基本性质。

1. 初等函数的四则运算初等函数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

这些运算可以通过函数表达式的运算规则来实现。

例如，对于两个初等函数f(x)和g(x)，它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)、积f(x)g(x)和商f(x)/g(x)也都是初等函数。

在进行四则运算时，需要注意一些特殊情况。

例如，在除法运算中，要排除分母为零的情况，否则结果将无定义。

另外，在乘法和除法运算中，初等函数与常数的运算也是允许的，例如f(x)·a和f(x)/a，其中a是一个常数。

初等函数的四则运算满足基本的运算规律，例如交换律、结合律和分配律，这些规律使得初等函数的运算更加简洁和方便。

2. 初等函数的函数复合运算初等函数的函数复合运算是指将一个函数作为另一个函数的自变量，并用复合函数的形式表示。

例如，对于初等函数f(x)和g(x)，它们的复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))，其中g(x)作为f(x)的自变量，或者f(x)作为g(x)的自变量。

函数复合运算可以通过将内层函数的输出作为外层函数的输入来实现。

对于初等函数的函数复合运算，其结果往往也是一个初等函数，因为复合运算不会改变初等函数的基本特性。

函数复合运算的顺序非常重要，不同的顺序可能得到不同的结果。

因此，在进行函数复合运算时，我们需要注意函数的顺序以及括号的运用。

括号的使用可以清楚地表示函数复合的顺序，避免产生歧义。

3. 初等函数的基本性质初等函数具有许多基本性质，这些性质对于我们理解和应用初等函数具有重要意义。

首先，初等函数在其定义域内是连续的。

这意味着初等函数在定义域内的任意两个点之间都存在无限接近于它们的函数值，或者说函数没有间断点。

基本初等函数知识点1.函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入数值映射到唯一的输出数值。

函数通常用f(x)来表示，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。

函数可以用图形、符号或表格来表示。

2.定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的数值的集合，而函数的值域是所有可能的输出数值的集合。

定义域可写作D(f)，值域可写作R(f)。

3.线性函数：线性函数是一种具有常数斜率的函数。

它的形式为f(x) = mx + b，其中m是斜率，b是截距。

线性函数的图形是一条直线。

4.幂函数：幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数。

幂函数的图形通常是一条平滑的曲线。

当b为正偶数时，曲线在x轴的正半轴都是上升的；当b为负偶数时，曲线在x轴的正半轴是下降的。

5.指数函数：指数函数是以常数e为底的函数，它的形式为f(x)=a^x，其中a是指数底数。

指数函数的图形为一条逐渐增长（或逐渐减小）的曲线。

6.对数函数：对数函数是指以常数a为底的对数函数，它的形式为f(x) =log_a(x)，其中a为底数，x为函数的输入值。

对数函数是指数函数的反函数，即f(x) = a^x的反函数。

7.三角函数：三角函数是有关三角形角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的图形是周期性的曲线，周期为2π。

8.反函数：反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数对。

反函数可以通过交换函数的输入和输出得到。

9.复合函数：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数关系。

复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(x)是另一个函数。

10.奇偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数。

奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。

这些是基本初等函数的一些常见知识点，掌握了这些知识点可以帮助你理解函数的基本概念、性质和图像，为进一步学习更高级的数学知识打下坚实的基础。

函数的基本初等函数与复合函数函数作为数学中重要的概念，是数学研究的核心内容之一。

本文将探讨函数的基本初等函数与复合函数，并介绍它们的定义、性质和应用。

1. 基本初等函数基本初等函数是指一些常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

每个基本初等函数都有其独特的性质和特点。

1.1 常数函数常数函数是指函数图像上所有的点都位于同一条水平线上，即对于任意的x值，函数的取值都是一个常数。

常数函数的表达式为f(x) = C，其中C为常数。

1.2 幂函数幂函数是指函数的定义域为全体实数，并且函数表达式为f(x) = x^a，其中a为实数指数。

幂函数的图像呈现出平滑的曲线，且取决于指数a的不同而有不同的特征。

1.3 指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数，其定义域为全体实数。

指数函数的表达式为f(x) = e^x，其中e约等于2.71828。

指数函数具有快速上升的特点，是模型中常见的函数之一。

1.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数，其定义域为正实数集合。

对数函数的表达式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。

对数函数具有递增且变化逐渐减缓的特点。

1.5 三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，其定义域为全体实数。

三角函数具有周期性和周期性平移的特点。

反三角函数是指三角函数的反函数，其定义域和值域视情况而定。

2. 复合函数复合函数是指多个函数的组合形成的新的函数。

设有两个函数f(x)和g(x)，则其复合函数为f(g(x))。

复合函数的性质取决于原函数之间的关系。

复合函数的定义要求满足两个函数的定义域和值域相互对应，且内层函数的值域必须是外层函数的定义域。

复合函数的运算法则是由内到外进行运算。

3. 应用基本初等函数和复合函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。

在数学上，基本初等函数是构建更复杂函数的基础，通过组合使用这些基本函数，可以推导出其他函数的性质和特点。

基本初等函数公式及运算法则一、基本初等函数公式：1. 幂函数公式： $(a^m)^n=a^{mn}$；2. 对数函数公式： $\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab$；3. 指数函数公式： $a^{\log_ab}=b$；4.三角函数公式：$\begin{aligned} (\sin x)^2+(\cos x)^2&=1\\ (\secx)^2&=1+(\tan x)^2 \\ (\csc x)^2&=1+(\cot x)^2 \end{aligned}$。

5.反三角函数公式：$\begin{aligned} \sin^{-1}x+\cos^{-1} x&=\frac{\pi}{2}\\\tan^{-1}x+\cot^{-1} x&=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$。

6.双曲函数公式：$\begin{aligned} \cosh^2x-\sinh^2x&=1\\ \cos^2x+\sinh^2x&=1 \end{aligned}$。

二、基本初等函数运算法则：1.基本四则运算法则：加法、减法、乘法、除法；2. 复合函数法则：$(f\circ g)(x)=f(g(x))$；3. 取模运算法则：$(a+b)\bmod m=(a\bmod m+b\bmod m)\bmod m$；4. 取整函数法则：$\lfloor x+y\rfloor=\lfloorx\rfloor+\lfloor y\rfloor,\lceil x+y\rceil=\lceil x\rceil+\lceil y\rceil$；5.比较大小法则：对于正整数$a,b,c$，若。

$(1)\ a>b>0,c>0$，则$ac>bc$；$(2)\ a>b>0,c<0$，则$ac<bc$；$(3)\ a<b<0,c>0$，则$ac<bc$；$(4)\ a<b<0,c<0$，则$ac>bc$。

一、复合函数函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。

一般地，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。

二、复合函数。

定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，g(b)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上一定是单调函数，并有以下结论：同增异减判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。

例1.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。

例2.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

解：显然函数定义域为(0，+∞)。

令 u=log2x，y=u2+u∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，y=u2+u在(-∞，- ]上是减函数，在[- ，+∞)上是增函数(注意(-∞，-]及[-，+∞)是u的取值范围)因为u≤- log 2x≤- 0＜x≤，(u≥- log2x≥-x≥)所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。