高等数学(下)练习卷2

《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母） 1．设有直线及平面，则直线（ A ） A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处（ C ） A．连续、偏导数存在；B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝（ B ） A．；B．；C． D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝（ D ）A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式（ B ） A．；B．；C．；D．. 二、填空题（每小题3分，本大题共15分） 1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则 0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数；5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 .三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解方程两边取全微分，则解出从而四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解，从而五、（本题8分）计算累次积分）. 解依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解先二后一比较方便，七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解由对称性从而八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧. 解补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．解由已知即十一、（本题4分）求方程的通解. 解解对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解设点的坐标为，则问题即在求最小值。

高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。

答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。

答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。

计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。

极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。

2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。

答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。

多元函数微分学测试题1. 求二元函数2arcsin 22y x x y z ++-=的定义域D ，并作D 的草图。

[ }2,0,0|),{(22≤+≥-≥=y x x y y y x D ]2. 设y x x e y y x f cos 2)(),(+=，求),(y x f y 和)0,1(x f 。

[ ]cos 2)ln(sin [)(22cos 2xx yx x y ey yxy e y y x e y f +++-+=，e f x 2)0,1(= ] 3. 设22),(y x xy y x f +=-，求),(y x df 。

[ dy xdx 22+ ]4. 设(,)()x y z f xy g y x =+， 求2zx y∂∂∂。

[ 121122232311x yf f xyf fg g y y x x '''''''''-+--- ] 5. 设3333z z x y +=+，求dz 和22zx∂∂。

[ dy z dx z x dz 111222+++=，22z x ∂∂=224232(1)2(1)x z x zz +-+ ] 6. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =分别由方程0=-y e xy 和0=-xz e z所确定，求dxdu 。

[ zf x xz z y f xy y x f ∂∂-+∂∂-+∂∂12 ] 7. 求曲线⎩⎨⎧=-+=++46222222x y z z y x 在点)2,1,1(处的法平面方程。

[ 02=-z y ]8. 求曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程。

[ 2230x y z +--=]9. 求2)1(ln ),(y x x x y x f -+=的极值。

[ 极小值ee f 1)0,1(-= ] 10. 求244)(),(y x y x y x f +-+=的极值。

高等数学练习题二一、填空题:1•设z=f(x.y),其中/具有连续的二阶偏导数，则2-将二次积分 I = j (V2 dy^ /(x, y)dx + j\〉/(x, y)dx 变为423•设幕级数在"0处收敛，而在“2处发散，则幕级数w=0岸的收敛域为[-1,1).;?=04.函数/(兀)= —关于兀的幕级数展开式为x + 无一25・微分方程dx- (xcos )' + sin 2y)dy = 0满足y(-2) = 0的特解为x = -2(1 4-sin y)・二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。

6・函数z = /(x,y)在点(心，沟)处两个偏导数(兀o ，)b )，/；(勺‘沟)存在是f^y)在该点可微分的【B ](A)充分条件(B)必要条件极坐标系下的二次积分后可得心加&加(厂COS& 4,rsin 0)rdrOOZ /?=0(-1严。

舁+132zdxd y(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件7•设厶是曲线＞' = -71^7上点A(l,0)与点3(0,-1)间的一段弧，则曲线积分[/(x, y)ds =(A) J ；；f (cos&,sin 0)d0T(C) Jo 2/ (cos 0,sin &)d& 8.下列级数中条件收敛的是oo(C) zn=l 9.曲面2” + y2 + 3z2 = 6在点(1,1,_1)处的切平面方程为(D) x+ y-3z = 610.微分方程嘤-3字+ 2尸(兀+1)0的一个特解可设为【D ]ax" dx(A) Axe 2x(B) (Ax-\-B)e 2x(C) Ax 2e 2x(D) (Ax+B)xe-X三、计算下列各题：11・求原点到曲面z 2 =xy-^x-y-^4的最短距离。

【解】设点M (兀,y,z)为曲面 z 2=xy + x- y + 4上任一点，则该点与原 点距离的平方和为:f(x,y\z) = d 2=x 2 + y 2 + z 2只要求距离的平方和最小即可，约束条件： xy + x-y + 4-z 2=0 设 F(x,y,z) = x 2+ y 2+z 2+2(小 + 兀一 y + 4-z?)⑻Jl 一兀$ 側(D) J jd&J ；/(厂cos0,厂sin&)厂d 厂(A ) £(-ir//=! n n+\(—1)"(A) x + 2y-3z = 6(B) x + 4y-3z = 6(D ) £(-irn=]xy + x-y^A-z 1=0故，原点到曲面 z 2 =xj + x-y + 4的最短距离为：V3 ■原式訂MM ：：；牛2血M几兀(、(7、=—(4cos 2(p-sec 2^jsin (pd(p = — --2^213.计算曲面积分 / = JJ 2xz 2dydz + y(z? +1)dz</r + (9-z 3)dxdy ,其中工是曲面z = x 2 + r+i 被平面*2所截下部分的下侧。

高数下试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)，因此有两个零点x=1和x=3。

2. 极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于（）。

A. 0B. 1C. eD. -e答案：C解析：根据极限的定义，lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于自然对数的底数e。

3. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数为（）。

A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，然后将x=1代入得到f'(1)=3(1)^2-6(1)=-3，因此答案为C。

4. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：首先求导数y'=2x+2，然后将x=1代入得到y'(1)=2(1)+2=4，因此答案为D。

5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为（）。

A. πB. 2πC. π/2D. 1答案：B解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为f(x)=√2sin(x+π/4)，因此周期为2π。

6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调增区间为（）。

A. (-∞, 1)∪(3, +∞)B. (1, 3)C. (-∞, 1)∪(3, +∞)D. (1, +∞)答案：B解析：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)>0，解得x<1或x>3，因此单调增区间为(1, 3)。

7. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为（）。

A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B解析：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，因此极值点为x=2。

高等数学（下）测试卷一．填空题（本大题满分20分，共有5小题，每小题4分）1．设则．2．设，则．3．化二次积分为极坐标形式：．4．设则曲线积分．5．微分方程的通解为．二．选择题（本大题满分20分，共有5小题，每小题4分）1．设则下面结论正确的是 [ ]与的对应坐标成比例；；；(是数)，则2．设，则下列等式成立的是 [ ] （A）；（B）；（C）；（D）3．设是由轴，轴及围成的区域，则[ ] （A）；（B）；（C）；（D）4．设连续可微，且曲线积分与路径无关，则[ ]5．级数的收敛域为 [ ]；；；.三．计算题（本大题满分35分，共有5小题，每小题7分）1．求过点且与直线垂直的平面方程．2．已知由方程所确定，求3．求其中是由所围的区域．4．判别级数的敛散性，如果收敛，问是绝对收敛还是条件收敛？5．求微分方程的通解．四．（本题满分10分）求其中是由点到点的直线段．五．（本题满分10分）设一条曲线经过点且曲线在上形成的曲边梯形面积的值等于该曲线终点的横坐标与纵坐标乘积的二倍减去求曲线的方程.六．（本题满分5分）试证：当时，若级数收敛，则级数也收敛．一．填空题：二．选择题：三．计算题：1．解：平面法线向量-----------分平面方程为即-----------分2．解：-----------分-----------分3．解：原式-----------分= -----------分4．解：所以级数收敛．-----------分各项取绝对值，级数变为，所以级数绝对收敛． -----------分5．解：特征方程 ----------分微分方程的通解为-----------分四．解：直线的方程为：-----------分的变化范围：-----------分原式-----------分-----------分五．解：设曲线方程为由题意得-----------分两边对求导：即：-----------分分离变量，积分得-----------分代入，得所求曲线的方程为 -----------分六．证：由根据比较判别法知，级数收敛--------分又，根据比较判别法的极限形式知，级数收敛. -------分。

财会系高等数学（下）测试题2一、填空题1.函数x x x f -=3)(在[0,3]上满足罗尔定理的ξ=_______2.函数x xy arctan 2-=单调递减区间_____________________3.函数xe y 1=的水平渐近线是__________________4.函数221)(xx x f -=在]1-,3[-上的最大值点为______。

5.2)(x x f =，则=--→xf x f x )2()2(lim____________-。

6.函数x x x f 3)(3-=的极大值是_________。

7.=+→)21ln(2sin lim0x xx _____________.8.函数221)(x x x f -=在[-3,-1]上的最小值是____________.9.函数)1ln()(x x x f +-=的单调增区间是__________。

10.如果点(1,3)是曲线23bx ax y +=的拐点，则ab =____________-。

二、选择题1.设='=⎰-dx x x f e x f x)(ln ,)(（）A.x1-B.c x +-lnC.c x+1D.c x +ln 2.设x x f ln )(=，则)(xe f '与])(['xe f 分别为（）A.1,1xe B.1,0 C.xe11， D.xe10，3.设)()(x x f ϕ'='，则下列等式错误的是（）A.)()(x x f ϕ=B.c x x f +=)()(ϕC.])([])([''=''⎰⎰dx x dx x f ϕ D.)()(⎰⎰=x d x df ϕ4.设f (x )在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导，b x x a <<<21，则至少存在一点ξ，使（）必然成立。

A.),(),)(()()(b a a b f a f b f ∈-'=-ξξ B.),(),)(()()(21x x a b f a f b f ∈-'=-ξξC.),(,0)(21x x f ∈='ξξD.),(),)(()()(2112b a x x f x f x f ∈-'=-ξξ5.设函数g (x )可微，)(1)(x g e x h +=，1)1(='h ，2)1(='g ，则g (1)=______（）A.13ln - B.1-ln3- C.1-ln2- D.1-ln26.曲线)1ln(2-=x y 在),1(+∞上是（）。

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。

二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。

（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。

（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。

（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。

2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。

原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。

学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 黄寿生 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： --------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）三. 求解下列问题(共70分，每题7分)16．求过点(1,4,3)--，且与直线241:35-+=⎧⎨+=-⎩x y z L x y 平行的直线方程．17．求经过两点1(3,2,9)-M 和2(6,0,4)--M 且与平面2480-+-=x y z 垂直的平面的方程.18. 直线 L 通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线111:321x y z L -+==，又与平面1:23y z ∑-=平行，求直线 L 的方程．19. 求过点()2,3,4A -与1:2330x y z π-+-=及2:54370x y z π+--=平行的直线方程.20. 求过点(2,1,1)，平行于直线212321x y z -+-==-且垂直于平面2350x y z +-+=的平面方程．21. 求过点M （3，-1，2）且平行于直线⎩⎨⎧=++=++923212z y x z y x 和⎩⎨⎧=++=+--03032z y x z y x 的平面方程.班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）22. 求过直线223221-=-+=-z y x 且垂直于平面0523=--+z y x 的平面方程.23. 求过点)3,4,1(--并与下面两直线⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L 和⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=tz t y tx L 23142:2都垂直的直线方程.24. 直线过点)1,1,1(且与直线12121:-==-z y x L 相交，又平行于平面0522=++-z y x ，求此直线方程.25. 设直线l 1 : 158121x y z --+==-，直线l 2 : 623x y y z -=⎧⎨+=⎩求两直线的夹角又由于所求平面与平面2480-+-=x y z 垂直,由两平面垂直条件有240.-+=A B C --------------------------4分 从上面三个方程中解出,、、A B C 得 /2,=A D ,=-B D /2,=-C D代入所设方程，并约去因子/2,D 得所求的平面方程220.--+=x y z ---------------7分18. 直线 L 通过点(1,2,1)A ，且垂直于直线111:321x y z L -+==，又与平面1:23y z ∑-=平行，求直线 L 的方程．解：用点向式．所给直线的方向向量1{3,2,1}=s ，所给平面的法向量1{0,2,1}n =-．11321436021⨯==-++-ij ks n i j k ， （4分）由题设知，所求直线的方向向量1s ⊥s 且1s ⊥n ，取11()436s =⨯=-++s n i j k ，于是所求直线方程为121:436x y z L ---==- ． （7分）19. 求过点()2,3,4A -与1:2330x y z π-+-=及2:54370x y z π+--=平行的直线方程。

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。