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分形图形（组图）*
对数学痛心疾首恨之入骨的同学一定不在少数呢。
说到数学都会想到昏昏欲睡的数学课、无法理解的公式、还有永远也算不出来的X 先生和α先生。
但是很少会有人知道。
其实数学也有非常柔美华丽的一面呢。
曼德尔布诺特给分形下的定义是：一个集合形状，可以细分为若
干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐。
这里整理了艺术家Silvia Kordedda创作的分形图形。
是不是觉得如果早一些看到这些，也会想要努力学习数学呢?。
牛顿迭代分形牛顿迭代分形，也被称为牛顿分形或牛顿法则，是一种基于数学原理的图像生成算法。
它利用牛顿迭代的思想和复数运算，通过不断迭代计算，可以生成一幅幅美丽而神奇的分形图形。
牛顿迭代分形的生成过程可以简单描述如下：首先，选择一个复数作为初始值，然后通过不断迭代计算来寻找该复数的根。
根据牛顿迭代法的原理，我们可以得到下一个近似根的值，然后再将该值作为新的初始值进行迭代计算，直到达到预设的迭代次数或者满足停止条件。
最终，我们可以将迭代过程中的所有值映射到一个二维平面上，从而生成一张牛顿迭代分形图。
牛顿迭代分形的生成过程中，不同的初始值会产生不同的分形图形。
在分形图中，我们可以看到许多迭代过程中的轨迹，这些轨迹形成了分形的结构。
分形通常具有自相似性，即无论观察整个图像还是它的一部分，都会发现相似的形态或图案。
牛顿迭代分形在数学研究、计算机图形学、艺术创作等领域都有广泛的应用。
它不仅可以帮助我们理解复数和迭代的概念，还可以产生出许多美丽而复杂的图像。
这些图像不仅能够为我们提供视觉上的享受，还可以激发我们对数学和艺术的兴趣。
通过牛顿迭代分形的创作过程，我们可以感受到数学的魅力和无穷的可能性。
每一次的迭代计算，都是在数学的世界中进行探索和发现。
而每一张生成的分形图像，都是对数学美的一次呈现和诠释。
当我们深入探索牛顿迭代分形时，我们会发现其中隐藏着无限的奥秘和惊喜。
这些分形图像不仅令人惊叹，还能够启发我们对数学和艺术的思考。
通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的美妙和艺术的魅力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。
牛顿迭代分形是一种令人着迷的图像生成算法。
它不仅展示了数学的美丽和复杂性，还激发了我们对数学和艺术的兴趣。
通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的魅力和艺术的魔力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。
让我们一起沉浸在牛顿迭代分形的世界中，探索数学与艺术的交汇之处！。
牛顿迭代法在图像处理中的应用随着计算机技术的发展，图像处理技术正变得越来越重要。
图像处理可以让我们更好地理解和分析图片中的信息。
其中，在图像处理中最常见的一个问题是：将一张图片缩放到需要的大小。
这时候就经常用到牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种求解方程的方法，而在图像处理中，它被用来求解一个像素点的新位置。
什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解方程的方法，用于计算一个函数的零点（函数零点就是函数值为零的位置）。
这种方法可以处理任何种类的函数，包括非线性函数。
它是一种迭代逼近方法。
其基本思想是：从一个猜测值开始，通过不断用函数的导数来逼近零点。
这个过程重复进行，直到求得相对精度足够高的零点或者达到最大迭代次数。
在图像处理中，牛顿迭代法被用来求解一个像素点的新位置，这个像素点的位置是通过对原始图像缩放所得到的像素位置进行插值计算得到的。
通常情况下，牛顿迭代法可以求解图像中任何一个像素点的位置，而且对于图像处理中的任何问题（如图像缩放、旋转、纠正等），都可以使用牛顿迭代法。
一个典型的例子是：我们知道图像中某一个像素点的位置和颜色值，但是我们想要得到缩放后该像素点的位置和颜色值。
这时候，通过插值计算，我们可以得到该像素点在缩放后的位置。
然而，插值计算得到的结果可能不是整数，而是一个小数。
因此，我们需要对其进行四舍五入，得到该像素点的最终位置。
对于这个问题，我们可以使用牛顿迭代法来得到更为精确的位置。
如何应用牛顿迭代法在使用牛顿迭代法时，需要注意一些细节。
首先，我们需要先计算导数。
其次，为了使牛顿迭代法能够得到更快的收敛结果，我们通常需要给出一个好的初始值。
最后，我们需要对迭代次数进行限制，以便避免无限循环和降低计算复杂度。
具体而言，我们可以使用以下公式进行牛顿迭代法计算：f(x)-y=0xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)其中，xn 是第n 次迭代的结果，xn+1 是第n+1 次迭代的结果。
f(x) 是一个代表原始函数的方程，f'(x) 是 f(x) 的导数。
基于牛顿迭代法的分形图的绘制作者：卜飞宇来源：《电脑知识与技术》2018年第34期摘要：自然界中存在着大量不规则的几何对象，它们都是传统欧氏几何学所不能描述的，而分形理论为千姿百态的自然景象的生成问题提供了一个新的方法。
本文研究了牛顿迭代法生成分形图的基本原理和方法，并引申出一种简单快速的牛顿迭代分形图绘制方法。
分形图在VC++6.0的编译环境下生成。
关键词：分形;牛顿迭代法;分形图形;复平面中图分类号：TP391; ; ; ; 文献标识码：A; ; ; ; 文章编号：1009-3044（2018）34-0240-021引言用计算机生成具有真实感的自然景象，如山脉、树木、云朵、水面波形等，一直是计算机图形学的一个重要研究课题，也是一个难题。
直到分形几何学的出现，这个难题才得以解决。
用分形几何学，能构造出自然景物相应的模型。
“分形”一词是由数学家Benoit B. Mandelbrot 1975 年提出的。
分形图的“自相似”性，為计算机绘制美丽的分形图形开拓了一个广阔的天地。
分形几何在自然形状的不规则中探寻其规则，提出了许多生成分形图的方法，常用的有递归算法、LS文法构图算法、迭代函数系统算法、逃逸时间算法等[1]。
4 结论对牛顿迭代分形图的绘制作了一些研究，并实现了一种简单快速的牛顿迭代分形图绘制方法。
因为不再考虑迭代过程的收敛性，只进行一次迭代，该方法运算量相当小，且迭代过程中产生的参数几何意义明确。
通过改变方程[f（z）=0]的形式或改变着色方案，仍可以生成丰富多彩的分形图形。
参考文献：[1] 孙博文. 分形算法与程序设计：Visual C++实现[M].北京：科学出版社，2004.11.[2] 叶家鸣，蒋永花. 基于牛顿迭代算法的分形艺术图形设计[J].计算机技术与发展，2008 ，18（4）：88-91.[3] 任露，黄颖为. 基于牛顿迭代法的分形图像研究[J]. 西安理工大学学报， 2016 ， 32 （2）：247-252.[4] 苏晓红，李东，胡铭曾.用改进的Newton-Raphson方法生成对称的分形艺术图形[J]. 计算机学报，1999，22（11）：1147-1151.[5] 田兴彦，邓基园，朱永娇. 采用改进的牛顿迭代法的分形艺术图形设计[J]. 计算机系统应用，2011，20 （10）：164-167.【通联编辑：唐一东】。
改进的牛顿迭代法求解非线性方程史思总 西南科技大学摘要：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，是牛顿迭代法的基本思想。
牛顿法具有收敛快、稳定性好、精度高等优点，是目前求解非线性方程的有效方法之一。
牛顿法每次迭代时都需要计算函数值和导数值，计算量较大，当导数值提供有困难时，牛顿法将不再适用于求解非线性方程组。
针对这种情况，提出了一种改进牛顿法——弦截法。
为避免求导，弦截法采用差商近似导数，以差商方式解决求导问题。
实践证明，弦切法优于大部分迭代法，仅次于牛顿法。
关键词：牛顿法、弦截法、非线性方程、差商一、牛顿法的迭代公式设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当0x 充分接近*x 时，由Taylor 公式有：))(()()(000x x x f x f x f -'+≈ （1）以方程0))(()(000=-'+x x x f x f （2）近似方程0)(=x f ，其解)()(0001x f x f x x '-= （3） 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式),1,0(,)()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n （4） 该方法称为牛顿迭代法。
牛顿法是一种不动点迭代法，其迭代函数为()()()f x x x f x ϕ=-' （5） 从几何上看，牛顿法是以曲线的切线与x 轴的交点作为曲线与x 轴的交点的近似。
故牛顿法也是一种切线法。
二、牛顿法的改进——弦截法为了避免牛顿法中计算导数，弦截法中采用差商代替导数。
避免了某些情况下由于不能求取导数值而迭代失效。
2.1差商的定义设有函数012(),,,,...f x x x x 为一系列互不相等的点，称()()()i j i j f x f x i j x x -≠-为()f x 关于,i j x x 的一阶差商（也称均差），记为[,]i j f x x ，即()()[,]i j i j i j f x f x f x x x x -=- （6）2.2弦截法在牛顿迭代公式（3）中，用差商()()i j i j f x f x x x --代替导数'()n f x 得到迭代公式111()()()(1,2,...)n n n n n n n f x f x x x x x n x x -+--=--=- （7） 按式（7）计算方程的近似解称为弦截法。
牛顿分形图分类图鉴之多项式
牛顿迭代分形理论上可以使用任何基础数学公式，比如加减乘除，指数，三角函数，对数等，接下来几篇就做一下各个分类的专题，算是一个图谱吧，虽然各种可能性是无穷无尽的，这里只能挑一下具有代表性的展示
单项加常数项
规律性比较强，就看分支数量，就是最高次幂的次数，单项的如果次数过高，中间的洞会越来越大，影响观感，
多项混合三次以下
多项混合高次
总的规律就是次数越高，混合的项越多，图形越复杂。
太复杂的图形观感一般也不好，所以上面展示的基本就比较常用的公式了，至于变换因子继续混合，组合基本是无穷多的，但是只要是多项式，一般都比较类似，只是细节不同罢了。
相关参数供参考：
范围：{x,-1,1},{y,-1,1}
步长0.002
分辨率：1024*1024
最大迭代次数：1000
收敛半径：0.0001
逃逸半径10000。
