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第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dtdt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a tb ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
第二章 一阶微分方程的解的存在定理§2.1 一阶微分方程解的基本理论主要内容一 导数已解出方程初值问题解的存在唯一性定理 考虑导数已解出的一阶DE 的初值问题()()00,y f x y y x y '=⎧⎪⎨=⎪⎩(2.1)(2.2)这里()y x f ,是在闭矩形域R ： a x x ≤-0，b y y ≤-0上的连续函数。
定义2.1 如果存在常数0>L ，使得对于所有的点()1,y x ，()2,y x R ∈，都有不等式()()2121,,y y L y x f y x f -≤-成立，则称函数()y x f ,在R 上关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件。
1定理2.1 （毕卡存在唯一性定理） 如果()y x f ,在R 上满足条件： 1）连续；2）关于y 满足李普希兹条件，则初值（2.1）和（2.2）在区间h x x ≤-0上存在唯一解()x y y =，其中()M b a h ,m in=，()y x f M R y x ,max ),(∈=。
注1 取数h 的意义。
注意到()y x f M R y x ,max ),(∈=，从而积分曲线()x y y =在任一点()()R x y x ∈,处的切线斜率()M x y ≤'。
于是从点()o y x p ,0引两条斜率分别为M 和M -的直线1l 和2l ，便知过点P 的积分曲线必限制在图2.1和图2.2的阴影区域内。
而直线1l 和2l 相交情形有如下两种可能。
（i ）若相交成如图 2.1所示的情况，则a Mb>，积分曲线()x y y =在a x x ≤-0上不越出R ,从而应取a h =。
（ii ）若相交成如图 2.2所示的情况，则a Mb >，积分曲线()x y y =在Mb x x ≤-0上不越出R ,从而应取Mb h =。
总之，取()M ba h ,min =，就是为了使初值问题（2.1）和（2.2）的解在h x x ≤-0上总存在。
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
微分方程中的解的存在性理论微分方程是数学中一个重要的研究对象，而解的存在性理论更是其核心内容之一。
本文将会介绍微分方程中解的存在性理论，并着重讨论一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的解的存在性。
在介绍这些理论之前，我们需要先了解一些基本的概念和符号。
一、引言微分方程是描述变量之间关系的方程，其中涉及到未知函数及其导数。
解的存在性理论是研究微分方程是否存在满足特定条件的解的理论。
对于一阶常微分方程和二阶线性常微分方程，我们可以通过一些定理和方法来判断其解的存在性。
二、一阶常微分方程的解的存在性一阶常微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
在解的存在性理论中，我们主要关注两个定理：皮卡-林德洛夫定理和唯一性定理。
（此处应有相关的定义和定理的表述）根据皮卡-林德洛夫定理，如果给定一个初始条件，即y(x0)=y0，且满足f(x,y)在某个矩形区域内连续且满足利普希茨条件，则一阶常微分方程存在唯一解。
这个解存在于一个特定的区间内，并且在该区间上连续可导。
三、二阶线性常微分方程的解的存在性二阶线性常微分方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=r(x)，其中p(x)，q(x)，r(x)是已知函数。
在解的存在性理论中，我们主要关注两个定理：线性微分方程基本解组的存在性定理和边界值问题解的存在性定理。
（此处应有相关的定义和定理的表述）根据线性微分方程基本解组的存在性定理，如果已知p(x)，q(x)，r(x)在某个区间上连续，则存在两个线性无关的特解。
这两个特解组成了线性微分方程的基本解组，可以由它们线性组合得到任意解。
根据边界值问题解的存在性定理，如果已知p(x)，q(x)，r(x)在某个区间上连续，并给定边界条件，则存在满足这些边界条件的解。
四、总结微分方程中解的存在性理论是研究微分方程解的重要理论之一。
对于一阶常微分方程和二阶线性常微分方程，我们可以根据皮卡-林德洛夫定理、唯一性定理、线性微分方程基本解组的存在性定理和边界值问题解的存在性定理来判断解的存在性。
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第七章 常微分方程§7．1 基本概念和一阶微分方程A 基本内容一、基本概念 1、常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程。
2、微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3、微分方程的解、通解和特解(1) 解的定义：满足微分方程的函数称为微分方程的解； (2) 通解：含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解，但不一定是全部解；(3) 特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4、微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5、积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
二、变量可分离方程及其推广 1、变量可分离的方程 (1) 方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy 或()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M(2) 解法：先分离变量，再积分。
通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy注：1、在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）2、求出通解，要注意化简。
2、齐次方程 (1）方程形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy(2) 解法：令u xy =，则()u f dx du xu dx dy =+=()c x c xdx u u f du+=+=-⎰⎰||ln3、一阶线性方程(1)、一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy它也是变量可分离方程，通解公式()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数）(2)、一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy =+用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P e x C y ，代入方程求出()x C则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx ex Q ey dxx P dxx PB 典型例题一、变量可分离方程与齐次微分方程例1、求下列微分方程的通解。
微分方程中的解的存在性理论微分方程是研究变量之间的关系的重要数学工具。
解微分方程的存在性理论是微分方程理论中的核心内容之一。
本文将介绍微分方程中的解的存在性理论，并探讨其在实际应用中的意义。
微分方程解的存在性理论是指在何种条件下，微分方程一定存在解。
这个理论的研究主要涉及到微分方程的类型、边界条件和解的唯一性等方面。
解的存在性理论的研究对于解决各类实际问题具有重要意义。
一、常微分方程的解的存在性理论常微分方程是最常见的微分方程类型，其解的存在性理论相对较为简单。
常微分方程的解存在的条件主要有两个方面：存在定理和唯一性定理。
1. 存在定理存在定理又称为皮卡-林德洛夫定理，它告诉我们，如果常微分方程满足某些条件，那么在给定的初始条件下，方程一定存在解。
这个定理给出了解的存在的一个直接判定方法。
2. 唯一性定理唯一性定理是对解的唯一性进行了研究。
在某些情况下，方程的解不仅存在，而且是唯一的。
这个定理的证明方法多种多样，可以是解析的，也可以是几何的。
唯一性定理给出了解的精确性，使得我们可以准确地计算和预测物理现象。
二、偏微分方程的解的存在性理论偏微分方程相较于常微分方程更为复杂，解的存在性理论也更加丰富。
偏微分方程的解的存在性理论主要有以下几个方面：1. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，解的存在性理论是电磁学和电子学研究的重要基础。
麦克斯韦方程组的解存在性主要通过矢量分析和偏微分方程理论进行证明，为电磁场的计算和应用提供了理论支持。
2. 热传导方程热传导方程是描述物体温度分布变化的方程，解的存在性理论对于热传导问题的研究至关重要。
热传导方程关于边界条件和初值条件的不同，解的存在性也存在差异，需要通过特定的数学方法进行证明。
3. 波动方程波动方程是描述波动现象的方程，它的解存在性理论与波动现象的特点密切相关。
波动方程的解的存在性主要通过分析波动现象的特性以及边界条件的规定来进行证明，对于解决声学、光学等领域的问题具有重要意义。
第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dx dy = （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ=（3.3） 其中,min(,),max (,)x y R b h a M f x y M ∈==,L 称为Lipschitz 常数. 思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的 y ，得到如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰ （3.4）于是得到函数序列{()}n x ϕ.3） 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即存在，对(3.4)取极限,得到即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰. 4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解. 这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似. 命题1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ= （3.3）的解,则()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有两边取0x 到x 的积分得到即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ 所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解. 反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n =L （3.7）命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤ （3.8）证明 用数学归纳法证明当1n =时，0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰，显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有即命题成立.假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 当1n k =+时，由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明 构造函数项级数011()[()()]k k k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+(3.9)它的部分和为于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.01000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)由Lipschitz 条件得知设对于正整数n ,有不等式成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k k k k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11) 由正项级数11!k K k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛.设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且 命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明 由Lipschitz 条件以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰ 故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明 设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得令0()()xx u x L g d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =, 0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.对定理说明几点:(1)存在唯一性定理中min(,)b h a M=的几何意义. 在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线. 当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b a M≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b x x x M M-≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内，故要求解的存在范围是0||x x h -≤. (2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数.(3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+. (4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由可得方程的通解为 x ce y e =±,其中x ce y e =为上半平面的通解, xce y e =-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的.但是因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得 所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0F y∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；ⅱ）000(,,)0F x y y '= ⅲ）000(,,)0F x y y y'∂≠'∂ 则方程（3.12）存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数）满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== （3.15）1、 近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式 1|()()|(1)!nn n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.16）此式可用数学归纳法证明.设有不等式成立,则例1 讨论初值问题22dy x y dx =+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, :11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y R b M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)可知3n =.于是3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05. §2 解的延拓 上节我们学习了解的存在唯一性定理，当),(y x f dx dy =的右端函数),(y x f 在R 上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解在0||x x h -≤上存在且唯一. 但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的. 可能随着),(y x f 的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。
