矩阵乘法的性质
【教学目标】
一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律
二、过程与方法：比较演算法
三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义
【教学重难点】
结合律验证
【教学过程】
一、复习二阶矩阵的乘法运算规律与实数乘法性质
实数乘法运算性质：交换律ab=ba 结合律 (ab)c=a(bc) 消去律：ab=ac ，a ≠0则b=c
零律：0a=a0=0 1律：1a=a1=a 分配律 a(b+c)=ab+ac
问题：对于矩阵乘法，这些结论是否还成立？
二、矩阵的简单性质
1．由上节知识知：消去律未必成立，即AB=AC ，A ≠0，则未必有B=C
2．交换律呢？
例1．（1）已知P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001k ，Q=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1002k ，求PQ 及QP ，说明二者的几何意义及是否相等 （2）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，B=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-3241，求AB ．BA ，说明二者是否相等 解：（1）PQ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡120
0k k ，QP=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1200k k ，二者相等， PQ ：(x ，y)倍横坐标变为原来的2:k T Q (k 2x 2，y)倍纵坐标变为原来的1k (k 2x ，k 1y)
QP ：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y k x k k T y k x k T y x Q P 12211::倍横坐标变为原来的倍纵坐标变为原来的 （2）AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6441，BA=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-6281，AB ≠BA
说明：对于矩阵乘法，交换律未必成立
3．结合律是否成立？
A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111d c b a ，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222d c b a ，C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333d c b a ， 则AB=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++2121212121212121d d b c c d a c d b b a c b a a ， BC=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++32323
23232323232d d b c c d a c d b b a c b a a (AB)C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++2121212121212
121d d b c c d a c d b b a c b a a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3333d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++++++3213213213213
21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a A(BC)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111d c b a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++3232323232323232d d b c c d a c d b b a c b a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++++++3213213213213
21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a 说明：矩阵乘法满足结合律
4．自己验证：矩阵乘法满足结合律，即：A(B+C)=AB+AC
5．零律是否满足，证明你的结论，即AO=OA=O 是否成立？（成立）
6．一律是否满足？证明你的结论，即EA=AE=A 是否成立？（成立）
三、备用练习与例题
1．计算（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡011010210110 （2）32301⎥⎦
⎤⎢⎣⎡- （解答（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 （2）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-8901） 2．求使式子成立的a ．b ．c ．d ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡34120032d c b a （解答：a=1，b=4，c=1，d=1） 3．a ．b 为实数，矩阵A=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b a 10将直线L ：2x+y-7=0变为自身，求a ，b （解答a=1/2，b=1） 四、习题：
[补充习题]
1．对于三个非零二阶矩阵。下列式子中正确的序号是____________
①AB ≠BA ②AB ≠O ③AB=BC ⇒B=C ④A （BC ）=（AB ）C ⑤A2≠O ⑥AO=OA=O ⑦AE=EA=A
2．构造一个非零矩阵M ，使M2=O
[补充习题答案]
1．④⑥⑦
2．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡0010
