【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：小题综合限时练5

2015届高三（下）文科数学综合训练二参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．8； 14． 15．1； 16．1(0,]3．三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分）17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分． 解：（I ）∵点(,)n n S 在函数2()f x x =的图象上，∴2.n S n = ················································································································ 1分∴当1n =时，111a S ==, ······················································································· 2分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ··················································································· 3分22(1)21n n n =--=- ································································· 4分 又11a =满足21,n a n =- ························································································ 5分 ∴2 1.n a n =- ·········································································································· 6分(II) ∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+ ·································································· 7分111()22121n n =--+，············································································ 9分 ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111[(1)()()]23352121n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ ·················································· 11分 11(1)221n =-+.21nn =+ ················································································ 12分 18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（I ）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0) 共10个． ······························ 3分 （说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分） 其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为 (7.4,7.0),(7.4,7.9),(7.0,7.9),共3个． ······························································· 5分所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率3.10P = ·································· 6分（II ）∵1500140019001600210085001700,55x ++++=== ································ 7分 7.47.09.27.910.041.58.3.55y ++++=== ····························································· 8分 又直线 0.004y x a =+ 过点(,)x y ， ····································································· 9分 ∴8.30.0041700,a =⨯+ 解得 1.5a =，∴0.004 1.5y x =+． ······························································································· 10分 当1800x =时，0.0041800 1.58.79.0y =⨯+=<,··················································· 11分 所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）． ········································· 12分 19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，满分12分． 证法一：（I ）连接1AC 交1A C 于点N ，则N 为1A C 的中点．……1分∵M 为AB 的中点，∴1//MN BC ．……………………………………………3分又∵1MN ACM ⊂平面， ………………………………4分 11BC ACM ⊄平面， ……………………………………5分 ∴11//BC ACM 平面．……………………………………6分 （II ）∵CA CB =，M 为AB 的中点，∴CM AB ⊥． …………………………………………7分 ∵1A 在平面ABC 的射影为M ，∴1A M ACB ⊥平面，……………………………………8分 ∴1A M AB ⊥，…………………………………………9分 又1CMA M M =，∴1AB ACM ⊥平面，…………………………………10分 又11AB ABB A ⊂平面，………………………………11分 ∴111.ACM ABB A ⊥平面平面 …………………………12分 证法二：（I ）取11A B 中点N ，连结1,BN C N ，………1分∵M 为AB 的中点，∴1A N MB =，1A N //MB∴四边形1A MBN 为平行四边形，∴1//BN A M ．…………………………………………2分 同理可得1//C N CM ，又11C N ACM ⊄平面，1CM ACM ⊂平面，…………3分 ∴11//C N ACM 平面．…………………………………4分 同理1//BN ACM 平面． ∵1C NBN N =，∴11//BC N ACM 平面平面，……………………………5分 ∵11BC BC N ⊂平面，A 1ABC 1CMB 1N证法二图B 1 A 1 ABC 1 C MN证法一图∴11//BC ACM 平面． …………………………………6分 （II ）同解法一．20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分． 解：（I ）依题意得：1()2cos 222f x x x x ωωω=+- ····························································· 2分12cos 22x x ωω=+ ················································································· 3分 sin(2)6x πω=+， ···························································································· 4分 ∵0ω>，∴222T ππω==，∴12ω=， ··············································································································· 5分∴()sin()6f x x π=+． ······························································································ 6分（II ）∵0A π<<， ∴7666A πππ<+<． ∵()sin()6f x x π=+在x A =时取得最值，∴,623A A πππ+==． ···························································································· 8分∵1sin 2ABC S bc A ∆===，∴6bc =． ··············································································································· 9分 ∵5b c +=，∴2222cos a b c bc A =+- ·························································································· 10分22b c bc =+- 2()3b c bc =+- 2518=-7=， ·································································································· 11分∴a = ················································································································· 12分 21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．解法一：（I ）()1,x f x e '=- ···················································································· 1分由()0f x '>可得0,x >；由()0f x '<可得0,x < ············································ 2分 ∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． ······································ 3分(II) (),x g x e x '=- ································································································· 4分 由（I ）知()g x '在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)10,g x g ''≥=> ······························································································ 5分∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， ··············································································· 6分 ∴[0,)x ∈+∞时，min ()(0)0.g x g == ······································································· 7分 （III ）由(II) 知当0x >时，()0,g x >即0x >时，211,2x e x >+ ····················································································· 8分设函数221311()1(ln )ln ,2222h x x x x x =+-+=--则211()(0),x h x x x x x-'=-=> ············································································· 9分 由()0h x '>可得1x >；由()0h x '<可得01,x <<∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ··········································· 10分 ∴()(1)0,h x h ≥=∴0x >时，2131ln ,22x x +≥+ ·············································································· 11分∴3ln .2x e x >+ ······································································································ 12分解法二：（I ）(II)同解法一．（III ）设3()ln ,2x h x e x =--则1()(0),x h x e x x '=-> ························································································· 8分∵1()x h x e x '=-在 (0,)+∞上单调递增，且121()20,(1)10,2h e h e ''=-<=-> ()h x 在1(,1)2上连续， ·································· 9分∴存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()0h x '=，即00001,ln ,x e x x x ==-························· 10分∴0(0,)x x ∈时，()0,h x '<()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0,h x '>()h x 在0(,)x +∞上单调递增， …………………………11分∴0000031331()()ln 20,2222x h x h x e x x x ≥=--=+->-=>∴()0h x >， 即3ln .2x e x >+················································································ 12分 22．本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系；考查运算求解、抽象概括能力，化归与转化思想．满分14分．解法一：（I ）∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为(0,).2pF ···································· 1分椭圆22143y x +=的焦点为(0,1)± ············································································ 2分 ∴1,2,2pp == ∴抛物线的方程为24.x y = ····················································································· 3分（II ）（ⅰ）联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=······················································ 4分 216160,k ∆=+>设1122(,),(,)A x y B x y则12124,4x x k x x +=⋅=-， ···················································································· 5分由24x y =，得2,,42x x y y '==所以过A 的切线PA 的方程为：1111(),2y y x x x -=- 整理得： 2111124y x x x =- ⋅⋅⋅① …………………………………6分 同理切线PB 的方程为：2221124y x x x =- ⋅⋅⋅②联立①②解得122,1,2P P x xx k y +===-即(2,1).P k - ········································ 7分当0k =时，(0,1),(0,1),P F -有.PF AB ⊥……………………………………………8分当0k ≠时，1(1)1,02PF k k k--==--有.PF AB ⊥所以0PF AB ⋅=为定值． ······················································································ 9分（ⅱ）由（ⅰ）可设直线PF 的方程为：11(0)y x k k=-+≠．…………………10分由211,4y x k x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2440,x x k +-= 设223434(,),(,)44x x C x D x则34344,4,x x x x k+=-⋅=-…………………11分∵(2,1)P k -，(0,1).F∴PC FD PD CF ⋅-⋅2222334444331111(2,1)(,1)(2,1)(,1)4444x k x x x x k x x x =-+⋅---+⋅--2222343443431111(2)(1)(1)(2)(1)(1)4444x k x x x x k x x x =-⋅++⋅-+-++⋅-………12分22343434122()28x x k x x x x =-++-24182()(4)28k k =---+⋅--=0∴PC FD PD CF ⋅=⋅， ·························································································· 13分 又,,,P C F D 共线，∴||||||||.PC FD PD CF ⋅=⋅ ···················································································· 14分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ，则=⋃B A ( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且i iai +=++312，则=a ( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．向量()1,1-=a ，()2,1-=b ，则()=⋅+a b a 2 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．5B ．7C ．9D ．11 6.第6题图一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.157．已知三点()01，A ()30，B ，()32，C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.438.第8题图右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a ( )A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足411=a ，()14453-=a a a ，则=2a ( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C．144π D．256π11.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ________.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则y x z +=2的最大值为________． 15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为________．16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ________. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2=(1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分组频数281410 6 2015·新课标Ⅱ卷第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19.(本小题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，10=BC ,81=AA ，点E ,F 分别在11B A ,11C D 上，411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22，点()22，在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．(1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF ∥BC .（II ）若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN == ,求四边形EDCF 的面积23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；N M G OFE D C B A(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．2015·新课标Ⅱ卷第8页1、选A2、故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解：如图所示，选D.7、选B.8、故选B.9、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以， .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442=R ππ，故选C.11、解：如图，当点P 在BC 上时， ,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠ 当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B.xP O DC B A12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x x x x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得 故选A.第二卷一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y 取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 3 4D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EF BC；（II）若AG等于圆O半径,且AE MN【答案】（I）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,+>；（II ）>是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为22a b c d =++=++考点：不等式证明.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =U （ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 B.213 25C.3 4D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x=±,则该双曲线的标准方程为．【答案】2214xy-=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线lny x x=+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x=+++相切,则a= ．【答案】8【解析】试题分析：由11yx'=+可得曲线lny x x=+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x=-,与()221y ax a x=+++联立得220ax ax++=,显然0a≠,所以由2808a a a∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC∠∠；（II）若60BAC∠=o,求B∠.【答案】（I ）12；30o .考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=o o所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠, 所以3tan ,30.3B B ∠=∠=o考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 2,点(2在C 上.（I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF BC P ； （II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II 163考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()330,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明： （I ）若ab cd > ,a b c d +>； （II ）a b c d >是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22a b c d >,开方即得a b c d >（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析： 解：（I ）因为222,2,a b a b ab c d c d cd =++=++考点：不等式证明.。

第5讲 数列的综合应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·昆明调研)公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )．A ．－20B ．0C ．7D ．40解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2，即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，则S 4＝1×[1－(－3)4]1＋3＝－20.答案 A2．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝( )． A ．15 B ．－15 C ．±15D ．10解析 由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15. 答案 A3．(2014·德州模拟)数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是 ( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11. 答案 C4．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )．A ．35B ．33C ．31D ．29解析 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知， a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54， ∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16， ∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 答案 C5．(2014·兰州模拟)设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析 由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n . 答案 A 二、填空题6．(2014·绍兴调研)已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________． 解析 设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )， 解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12.答案 127．(2013·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________． 解析 每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，q ＝2.则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102.∴n ≥6，∴最少天数n ＝6. 答案 68．(2013·山东省实验中学诊断)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2 013＝________.解析 由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2 013＝3×671，所以A 2 013＝(－1)671＝－1. 答案 －1 三、解答题9．(2014·杭州模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)令b n ＝na n ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q . 又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.由题意得q ＞1，所以q ＝2.则a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝n ·2n －1，n ＝1,2，…， 则T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1， 所以2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝2n －n ×2n －1， 即T n ＝(n －1)2n ＋1.10．(2013·湛江二模)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4，数列{a n }是公差为d 的等差数列，若a 1＝f (d －1)，a 3＝f (d ＋1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n 为{a n }的前n 项和，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n≥13.(1)解 a 1＝f (d －1)＝d 2－4d ＋7，a 3＝f (d ＋1)＝d 2＋3， 又由a 3＝a 1＋2d ，可得d ＝2，所以a 1＝3，a n ＝2n ＋1. (2)证明 S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)， 1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以，1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－11＋1－11＋2＝13. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·福州模拟)在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝ ( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案 C2．已知f (x )＝bx ＋1是关于x 的一次函数，b 为不等于1的常数，且g (n )＝⎩⎨⎧1，n ＝0，f [g (n －1)]，n ≥1，设a n ＝g (n )－g (n －1)(n ∈N *)，则数列{a n }为( )． A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列D ．递减数列解析 a 1＝g (1)－g (0)＝f [g (0)]－g (0)＝b ＋1－1＝b ，当n ≥2时，a n ＝g (n )－g (n －1)＝f [g (n －1)]－f [g (n －2)]＝b [g (n －1)－g (n －2)]＝ba n －1，所以{a n }是等比数列． 答案 B 二、填空题3．(2013·浙江五校联考)设x 为实数，[x ]为不超过实数x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，则{x }的取值范围是[0,1)，现定义无穷数列{a n }如下：a 1＝{a }，当a n ≠0时，a n ＋1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；当a n ＝0时，a n ＋1＝0.如果a ＝3，则a 2 013＝________.解析 由题意可得a 1＝3－1，a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13－1＝3－12，a 3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23－1＝3－1，a 4＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13－1＝3－12，…，所以数列{a n }是周期为2的数列，所以a 2 013＝a 1＝3－1. 答案3－1三、解答题4．已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有⎩⎨⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，即⎩⎨⎧ a 1(2＋q 2)＝3a 1q ，a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4，①②由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意，舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2·2n －1＝2n . 故所求数列{a n }的通项公式a n ＝2n (n ∈N *)． (2)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n＋log 212n ＝2n －n .所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2.因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。

高考小题分项练(六 )(推荐时间： 40 分钟 )1．在R 上定义运算“? 〞： x? y ＝ (1－ x)(1＋ y)．假设不等式 (x － a)? ( x ＋ a)<1 对任意的实数x 都成立，那么 a 的取值X 围是 ( )A ．－ 1<a<1B ．－ 2<a<031C ． 0<a<2D ．－2<a<2答案 B解析由题意知， (x － a)? (x ＋ a)＝ (1－ x ＋a)(1 ＋ x ＋ a)＝ (1＋ a)2－ x 2<1 恒成立，即 x 2 >(1＋a)2－ 1 恒成立，故只要 (1＋a)2－1<0 恒成立，即 a 2＋ 2a<0，解得－ 2<a<0.1， x>0，2．符号函数 sgn(x)＝0， x ＝ 0， 那么函数 f(x)＝ sgn(ln x)－ ln 2 x 的零点个数为 ()－1， x<0，A ．1B ．2C ． 3D ．4答案B解析当 x>1 时， ln x>0， sgn(ln x)＝ 1，∴ f (x)＝ 1－ ln 2x ，令 f(x) ＝0，得 x ＝ e 满足．当 x ＝ 1 时， ln x ＝0， sgn(ln x)＝0，∴ f (x)＝－ ln 2x ，令 f(x)＝0，得 x ＝1 满足．当0<x<1 时， ln x<0， sgn(ln x)＝－ 1，∴ f (x)＝－ 1－ln 2x<0， f(x)＝ 0 无解．∴函数 f(x) 的零点为 x ＝1 与 x ＝ e.3．函数 f(x)的定义域为 D ，假设满足：① f( x)在 D 内是单调函数；②存在 [a ，b]? D 使得 f( x)在[ a ，b]上的值域为 a ，b，那么称函数 f(x)为“成功函数〞． 假设函数 f(x)＝ log c (c x ＋ t) (c>0，c ≠1)2 2是“成功函数〞，那么 t 的取值X 围为 ( )A ． (0，＋∞ )B.－∞，141D. 0， 1C. 4，＋∞4答案Df a ＝ a2解析 无论 c>1 还是 0<c<1， f(x)＝ log c (c x＋ t)都是R 上的单调增函数，故应有，bf b ＝2xxx那么问题可转化为求xx＋ t ＝ c 2在R 上有两个不相等的实数根的f(x)＝ ，即 log c (c＋ t)＝，即 c22xx问题，令 c 2＝mx＋ t ＝c 2可化为2y ＝t(m>0) ，那么ct ＝m － m ，问题进一步可转化为求函数 与 y ＝ m － m 2(m>0) 的图象有两个交点的问题，结合图形可得t ∈ 0，1.44．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中 a ，b ∈ {1,2,3,4,5,6} ，假设 |a － b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀〞． 现任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞的概率为( )127 4A. 9B.9C.18D.9答案D解析任意找两人玩这个游戏，共有6× 6＝ 36 种猜字结果，其中满足|a －b|≤ 1 的有如下情形：①假设 a ＝1，那么 b ＝1,2；②假设 a ＝ 2，那么 b ＝ 1,2,3；③ 假设 a ＝ 3，那么 b ＝ 2,3,4；④假设 a ＝ 4，那么 b ＝ 3,4,5 ；⑤ 假设 a ＝ 5，那么 b ＝ 4,5,6；⑥假设 a ＝ 6，那么 b ＝5,6，总共16 种，故他们“心有灵犀〞 的概率为 P ＝ 16 4＝ .36 95．设 A 1，A 2， A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设→→→A 1A 3＝λA 1A 2(λ∈R )，A 1A 4＝→C ，D 调和分割μA 1A 2(μ∈R )，且1＋1＝ 2，那么称 A 3， A 4调和分割 A 1， A 2，平面上的点λ μ点 A ， B ，那么下面说法正确的选项是()A ． C 可能是线段 AB 的中点 B ． D 可能是线段 AB 的中点C ． C ，D 可能同时在线段 AB 上D ． C ， D 不可能同时在线段AB 的延长线上答案 D解析 依题意，假设 C ， D 调和分割点→→ → → 1 1＝2.假设 C是 A ， B ，那么有 AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且 ＋λ μ线段 AB 的中点，那么有 → 1 →1 1 1 ＝2，所以1A 不AC ＝ AB ，此时λ＝ .又 ＋ ＝ 0，不可能成立．因此 2 2 λ μ μ 对，同理 B 不对．→ → →→1 1＞ 2，当 C ， D 同时在线段 AB 上时，由 AC ＝λAB ， AD ＝μAB 知 0＜λ＜ 1,0＜μ＜1，此时 ＋λ μ11与条件＋ ＝ 2 矛盾，因此C 不对．假设 C ，D 同时在线段→→→→11 ＜ AB 的延长线上， 那么 AC ＝λAB 时，λ＞ 1，AD ＝μAB 时，μ＞ 1，此时＋λ μ1＋1＝ 2 矛盾，故 C， D 不可能同时在线段AB 的延长线上．λμ2，与6．设 [x]表示不大于x 的最大整数，那么对任意实数x， y 有 ()A ． [ － x] ＝－ [x]B． [2x]＝ 2[x]C． [x＋ y]≤ [x] ＋ [y]D． [x－ y]≤ [x] － [y]答案D解析特殊值法．令 x＝ 1.5，∵ [－ 1.5]＝－ 2，－ [1.5] ＝－ 1，故 A 错； [2 ×1.5] ＝3,2[1.5] ＝ 2，故B 错；令 x＝ 1.5， y＝ 0.5，[x＋y]＝ 2， [x]＋ [y] ＝ 1＋ 0＝ 1，故 C 错．7．函数 f(x)的定义域为 D ，假设存在非零实数 l 使得对于任意x∈ M( M? D)，有 x＋ l∈ D，且f(x＋ l)≥ f(x)，那么称 f(x)为 M 上的 l 高调函数．如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)＝ |x－ a2|－ a2，且 f(x)为R上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值X围是 ()A ．－ 1≤ a≤ 1B． 0< a<1C．－ 2<a<2D．－ 2≤a≤ 2答案Ax≥ 0 时，函数 f(x)＝－x，0≤ x≤ a2，解析由于函数 f( x)是奇函数，所以函数 y＝ f(x)的图x－ 2a2， x>a2.象大致如以下图所示，根据函数图象的平移变换法那么可得函数y＝ f(x＋ 4)的图象，大致如以下图所示．如果在 R 上，f(x＋4)≥f(x)恒成立，必须且只需－4＋ 2a2≤－ 2a2(横轴上的截距 )，即2a ≤ 1，解得－ 1≤ a≤ 1.特例排除法也可解此题．8．在平面直角坐标系中，定义d(P， Q)＝ |x1－ x2|＋ |y1－y2|为两点P(x1， y1)， Q(x2， y2)之间的“折线距离〞．在这个定义下，给出以下命题：①到原点的“折线距离〞等于1 的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离〞等于 1 的点的集合是一个圆；③到 M(－ 1,0)， N(1,0) 两点的“折线距离〞相等的点的轨迹方程是x＝ 0；④到 M(－ 1,0)， N(1,0) 两点的“折线距离〞差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线．其中真命题有 ()A．1 个B．2 个C．3 个D．4个答案C解析设到原点的“折线距离〞为 1的点为 (x，y)，那么 |x|＋ |y|＝1，这是以点 (1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0，－ 1)为顶点的正方形，故命题① 为真命题，命题②为假命题．设到 M，N 的“折线距离〞相等的点为 (x，y)，那么 |x＋ 1|＋ |y|＝ |x－ 1|＋ |y|，即|x＋ 1|＝ |x－ 1|，两边平方即得 x＝0，命题③为真命题．设到 M，N 的“折线距离〞差的绝对值为 1 的点为 (x， y)，那么 ||x＋1|＋ |y| －|x－ 1|－ |y||＝ 1，即 ||x＋ 1|－ |x－ 1||＝ 1，当 x≥ 1 时，不成立，当 x≤ － 1 时也不成立，只有当－ 1<x<1 时可能成立，此时 ||x＋ 1|－ |x－1||＝1，即 |2x|＝ 1，即1x＝±，所以命题④为真命题．29．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，那么抽验一只是正品(甲级 )的概率为()A ． 0.95B． 0.97C． 0.92D． 0.08答案C解析记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级 )的概率为P(A)＝ 1－ P(B)－ P(C)＝ 1－5%－ 3%＝92%＝ 0.92，应选 C.222210．函数f(x)＝ x － 2(a＋ 2)x＋ a ，g(x)＝－ x ＋ 2(a－ 2)x－ a ＋ 8.设 H 1(x) ＝max{ f(x)，g(x)} ，H2(x)＝ min{ f(x)，g( x)}(max{ p，q} 表示 p，q 中的较大值， min{ p，q} 表示 p，q 中的较小值 )．记H1(x)的最小值为A， H2 (x)的最大值为B，那么 A－ B 等于 ()A．16B．－ 16C． a2－ 2a－ 16D． a2＋ 2a－16答案B解析∵ f(x)－ g(x) ＝2x2－4ax＋ 2a2－ 8＝2[ x－(a－ 2)][ x－ (a＋2)] ，f x ，x∈ －∞， a－ 2]，∴H 1(x)＝g x ， x∈ a－ 2，a＋ 2 ，f x ，x∈[ a＋ 2，＋∞，g x ， x∈ －∞， a－2]，g x ， x∈ [ a＋ 2，＋∞，可求得 H1(x)的最小值 A＝f(a＋ 2)＝－ 4a－ 4，H 2(x)的最大值B＝ g(a－ 2)＝－ 4a＋ 12，∴A－ B＝－ 16.应选 B.11．对于平面上的点集的凸集．给出平面上Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于 4 个点集的图形如下 (阴影区域及其边界 )：Ω，那么称Ω 为平面上其中为凸集的是 ________(写出所有凸集相应图形的序号 )．答案 ②③解析图 ①中连接左顶点和右上顶点的线段不在区域内， 故不是凸集， 图 ④ 中两圆的外公切线不在区域内，也不是凸集，②③ 符合凸集的定义．12．设 f(x)和 g(x)是定义在同一区间 [a ， b]上的两个函数，假设函数 y ＝ f( x)－ g(x)在 x ∈ [a ， b]上有两个不同的零点，那么称 f(x)和 g(x)在[a ，b]上是“关联函数〞，区间 [a ，b] 称为“关联区间〞．假设 f(x)＝ x 2－ 3x ＋ 4与 g(x)＝ 2x ＋ m 在 [0,3] 上是“关联函数〞，那么m 的取值X 围是________． 答案－9，－ 24解析f(x)＝x 2－ 3x ＋ 4 为开口向上的抛物线，g(x)＝2x ＋ m 是斜率 k ＝ 2的直线，可先求出g(x)＝ 2x ＋m 与 f(x)＝ x 2－ 3x ＋ 4 相切时的 m 值．由 f ′( x)＝ 2x －3＝ 2 得切点为5，11，此时 m ＝－9，因此 f(x)＝ x 2－ 3x ＋ 4 的图象与 g(x)＝2 442x ＋ m 的图象有两个交点，只需将g(x)＝ 2x －9向上平移即可．4再考虑区间 [0,3] ，可得点 (3,4) 为 f(x) ＝x 2－ 3x ＋ 4 图象上最右边的点，此时m ＝－ 2，所以m ∈－9，－ 2 .413．在数列 { a n } 中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1＝ k(k 为常数 )，那么称数列 { a n } 为等差比a n＋1－an数列， k 称为公差比．现给出以下命题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列；③假设 a n ＝－ 3n ＋ 2，那么数列 { a n } 是等差比数列； ④假设等比数列是等差比数列，那么其公比等于公差比．其中正确命题的序号为 ________．答案 ①③④解析假设 k ＝0，{ a n } 为常数列， 分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，a n ＋2－ a n ＋1a n ＋2－ a n ＋1n ＋1 n＝ 3，满足定义，③正确；设 a n ＝ a 1n －1＝ a 1q － a 1 q②错误；q ( q ≠ 0)，那么 a n ＋1－ a nn n － 1a n ＋1－ a na 1q － a 1q＝q ，④正确．14． y ＝ f(x)是以 2 为周期的偶函数，当 x ∈ [0,1] 时， f(x)＝ x ，那么在区间[－1,3] 内，关于 x 的方程 f(x)＝ kx ＋ k ＋ 1(k ∈R ， k ≠1)有 4 个根，那么 k 的取值X 围为 ________．答案 (－13， 0)解析上有由图象可知，在 l 1和 l2之间的直线都满足与函数图象在区间4 个交点，且f(x)＝ kx＋ k＋1 过定点 (－1,1)，结合图象可知[－ 1,3]k 的取值X围为(－ 13，0)．15．设 P1，P2，, ， P n为平面α内的 n 个点，在平面α内的所有点中，假设点 P 到点 P1，P2，, ，P n的距离之和最小，那么称点P 为点 P1，P2，, ， P n的一个“中位点〞．例如，线段AB 上的任意点都是端点 A、 B 的中位点．现有以下命题：①假设三个点 A， B， C 共线， C 在线段 AB 上，那么 C 是 A， B， C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③假设四个点 A， B， C，D 共线，那么它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是 ________． (写出所有真命题的序号 )答案①④解析①C 到 C 点距离为0， C 在 AB 上，所以 C 到 AB 距离和最小，所以①正确．②斜边上的高的垂足是中位点，所以② 错误．③共线的四点的中位点是中间两点连线线段上任何点，所以③ 错误．④ 用反证法易证④正确．。

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=x-1<x<2$，$B=x<x<3$，则 $A\cup B=$A。

$(-1,3)$ B。

$(-1,0)$ C。

$(0,2)$ D。

$(2,3)$2.若 $a$ 是实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$A。

$-4$ B。

$-3$ C。

$3$ D。

$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落）4.已知向量 $a=(1,-1)$，$b=(-1,2)$，则 $(2a+b)\cdot a=$A。

$-1$ B。

$0$ C。

$1$ D。

$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

若$a_1+a_3+a_5=3$，则 $S_5=$A。

$5$ B。

$7$ C。

$9$ D。

$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。

$\frac{1}{1111}$ B。

$\frac{1}{8576}$ C。

$\frac{2}{1254}$ D。

$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$，$B(2,3)$，$C(2,3)$，则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。

$\sqrt{5}$ B。

$3$ C。

$2\sqrt{5}$ D。

$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的$a,b$ 分别为14,18，则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。

2015年普通高等学校招生全国统一考试 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 3 C.34D.3 【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.π36 B. π64 C.π144 D. π256 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A. 考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- . 考点：函数解析式 14. 若x ,y满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ． 【答案】8考点：线性规划15.已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin BC∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠. （II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2s i nsB C ∠=∠,所以tan 30.3B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体111A B C D A B CD -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220+-=,220x y y+-=,联立解x y考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,+=+.证明：a b c d均为正数,且a b c d（I）若ab cd> ,（II-<-的充要条件.a b c d【答案】【解析】试题分析：（I）由a b c d>,可证明22+=+及ab cd>,开（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I）因为22=++=++a b c d考点：不等式证明.。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2015普通高等学校招生全国统一考试II文科数学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则AB =（ ） A ．()1,3- B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,32.若为a 实数,且2i 3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．116. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.57. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 21B.3 25C.3 4D.38. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.149．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1D.810. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π25611. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin B C∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,则a b c d +>+； （II ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）文科数学一、 选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则A ∪B=（ ）A. )3,1(-B. )0,1(-C. )2,0(D. )3,2(2.若a 为实数，且i iai+=++312，则=a （ ） A. 4- B. 3- C. 3 D. 43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量a =(1，-1) b =(-1，2)，则（2a +b ）.a = （ ） A. 1- B. 0 C. 1 D.2 5. 设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ）A. 5B. 7C. 9D. 116. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A.81 B. 71 C. 61 D. 51 7.已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A.35 B. 321 C. 352 D. 348.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的=a （ ）A. 0B. 2C. 4D. 149.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） A. 2 B. 1 C. 21 D. 8110.已知A 、B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A. π36B. π64C. π144D. π256 11.如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记x BOP =∠.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为（ ）12. 设函数211|)|1ln()(xx x f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是（ ） A. )1,31( B. ),1()31,(+∞-∞U C. )31,31(- D. ),31()31,(+∞--∞U二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知函数x ax x f 2)(3-=的图象过点)4,1(-，则=a .14.若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+01201205y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .15.已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.（1）求sinsinBC∠∠；（2）若∠BAC=60°,求∠B.18、（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.（1）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.19、（本小题满分12分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8,点E ，分别在A 1B 1, D 1C 1上，A 1E= D 1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 20、（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0，点（2）在C 上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21、（本小题满分12分）已知函数f （x ）=ln x +a （1- x ） （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当f （x ）有最大值，且最大值大于2a -2时，求a 的取值范围. 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t ==αα｛（t 为参数，t ≠0）其中0≤α≤π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：p=2sin θ，C 3：cos θ。