第9章定积分9.1本章要点详解本章要点■定积分的概念■牛顿-莱布尼茨公式■可积条件■定积分的性质■微积分基本定理/定积分计算重难点导学一、定积分概念1．问题提出背景类似计算曲边梯形面积的几何问题和求变力做功的力学问题，求解的思想方法可以用“分割，近似求和，取极限”来概括，这也是产生定积分概念的背景．2．定积分的相关定义（1）设闭区间[,]a b 上有1n +个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，它们把[,]a b 分成n 个小区间1[,],1,2,,i i i x x i n -∆==L ，这些分点或这些闭子区间构成对[,]a b 的一个分割，记为{}01,,,n T x x x =L 或{}12,,,n ∆∆∆L小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-并记1||||max{}i i nT x ≤≤=∆称为分割T 的模．（2）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，对于的[,]a b 一个分割12{,,,}n T =∆∆∆L ，任取点,1,2,,i i i n ξ∈∆=L ，并作和式1()n i i i f x ξ=∆∑，称此和式为函数f 在[,]a b 上的一个积分和，又称黎曼和．（3）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要||||T δ<，就有1|()|ni i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积．数J 称为f 在[,]a b 的定积分或黎曼积分，记作()d ba J f x x =⎰其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[,]ab 称为积分区间，,a b 分别称为这个定积分的下限和上限．二、牛顿-莱布尼茨公式若函数f 在[,]a b 上连续，且存在原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈，则f 在[,]a b 上可积，且()d =()()ba f x x Fb F a -⎰上式称为牛顿-莱布尼茨公式．它也常写成()d =()b ba a f x x F x ⎰三、可积条件1.可积的必要条件若函数f 在[,]a b 上可积，则f 在上[,]a b 必定有界．2.可积的充要条件（1）可积准则函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的一个分割T ，使得()(T)S T s ε-<（2）可积准则的改述函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的某一分割T ，使得i i T xωε∆<∑3.可积的充分条件（1）若f 为[,]a b 上的连续函数，则f 在[,]a b 上可积．（2）若是f 区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[,]a b 上可积．（3）若f 是[,]a b 上的单调函数，则f 在[,]a b 上可积．四、定积分的性质1.定积分的基本性质（1）若f 在[,]a b 上可积，k 为常数，则kf 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a kf x x k f x x =⎰⎰（2）若f ，g 都在[,]a b 上可积，则f g ±在[,]a b 也可积，且()()[()()]d d d b b ba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰（3）若,f g 都在[,]ab 上可积，则f ·g 在[a ，b ]上也可积．（4）f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给(,)c a b ∈，f 在[,]a c 与[,]c b 上都可积，此时又有等式()()()d d d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（5）设f 为[,]a b 上的可积函数，若()0,[,]f x x a b ≥∈，则()d 0ba f x x ≥⎰推论：积分保不等式性若f 与g 为[,]a b ]上的两个可积函数，且()g(x),[,]f x x a b ≤∈，则有()()d d b ba a f x x g x x ≤⎰⎰（6）若f 在[,]ab 上可积，则||f 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a f x x f x x≤⎰⎰2．积分中值定理（1）积分第一中值定理若f 在[,]a b 连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()d =()()b a f x x f b a ξ-⎰（2）推广的积分第一中值定理若f 与g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()g()d =()d bba a f x x x f g x x ξ⎰⎰五、微积分学基本定理·定积分计算1．变限积分与原函数的存在性（1）定义设f 在[a ，b ]上可积，根据定积分的性质，对任何x ∈[a ，b ]，f 在[a ，x ]上也可积．于是，由（9-1）定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分．类似地，又可定义变下限的定积分Φ与ψ统称为变限积分．（2）变限积分的性质①若f在[a，b]上可积，则由式（9-1）所定义的函数φ在[a，b]上连续．②原函数存在定理（微积分学基本定理）若f在[a，b]上连续，则由式（9-1）所定义的函数函在[a，b]上处处可导，且（3）重要定理①积分第二中值定理设函数f在[a，b]上可积，则：a．若函数g在[a，b]上减，且g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使得b．若函数g在[a，b]上增，且g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得②推论设函数f在[a，b]上可积．若g为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得2．换元积分法与分部积分法（1）定积分换元积分法若函数f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，且满足则有定积分换元公式（2）定积分分部积分法若u（x），ν（z）为[a，b]上的可微函数，且u′（x）和ν′（x）都在[a，b]上可积，则有定积分分部积分公式3．泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U（x0）上有n＋1阶连续导函数．令x∈U（x0），则（1）积分型余项（2）拉格朗日型余项。
