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永磁同步电动机(PMSM)三相坐标系的数学模型2 PMSM 三相坐标系的数学模型为方便分析起见，将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机，也就是说它符合下列假设：(1) 转子上面没有阻尼绕组；定子中各个绕组的电枢电阻、电感值相等，三相定子的绕组按对称的星形分布；(2) 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计，感应电动势也服从正弦分布；(3) 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变；电机中的涡流、趋肤效应、电机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计；温度与频率不影响电机的参数。
坐标系正方向的选取： (1) 转子逆时针方向旋转为正； (2) 正向电流生出正向磁链；(3) 电压，电流的正方向按照电动机的惯例。
则静止三相坐标系里PMSM 的定子侧电压方程3333s s s s u R i p ψ=⋅+ (4-1)静止三相坐标系里PMSM 的定子侧磁链方程3333()s s s f s L i F ψψθ=⋅+⋅ (4-2) 式中，3A s B C i i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3000000s R R R R ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，3A s B C ψψψψ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3A s B C u u u u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3sin ()sin(120)sin(120)s F θθθθ⎡⎤⎢⎥=-︒⎢⎥⎢⎥+︒⎣⎦3331cos120cos 240100cos1201cos120010cos 240cos1201001s m l L L L ︒︒⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=︒︒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭⎝⎭电机统一理论和机电能量转换告诉我们，电机的电磁力矩[37]*I m ()s s e p T n i ψ=- (4-3) 式中，*代表取共轭复数，Im 代表取虚部。
3 PMSMdq 坐标系的数学模型三相交流电机是一个耦合强、非线性、阶次高的多变量系统，它在三相静止的坐标系里的数学模型相当复杂，应用传统的控制策略对其实现交流调速有很大的困难，所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法，采用坐标变换，把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两相直流的绕组，等效变换以后其产生的磁动势相等，系统的变量之间得到了部分的解耦，它的数学模型得到了大大简化，使得对于系统的分析和控制也简化了很多，使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似[52]。
由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系用矩阵表示为：（3-8）如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：（3-9）式中，k为待定系数。
一、概述如今，在工业界中，三相永磁同步电机因其结构简单、运行稳定、效率高等特点成为了一种常见的电机类型。
而电机的控制则是保证电机能够稳定高效运行的关键。
掌握三相永磁同步电机的控制原理对于工程师来说至关重要。
在三相永磁同步电机的控制中，坐标变换技术是一种常用的数学方法，通过坐标变换可以将三相电机的控制问题转换为直流电机控制问题，从而简化了控制器的设计。
二、三相永磁同步电机的数学模型1. 三相永磁同步电机是一种特殊的同步电机，它的定子绕组被连接到一个三相交流电源上。
它的转子上装有永磁体，因此在没有机械负载情况下依然能够产生恒定的磁场，这使得电机具有较高的效率和响应速度。
2. 为了完成对三相永磁同步电机的控制，我们需要建立其数学模型。
假设电机有a、b、c三个定子绕组，每个绕组的电流分别为ia、ib、ic，电机的磁链为Ψ，电机的控制变量为u，那么电机的数学模型可以表示为：其中，Ld和Lq分别表示d轴和q轴上的电感，ψp是永磁体的磁通，M是电机的磁链，J是电机的转动惯量，B是电机的阻尼系数，Te为电机的电磁转矩。
三、坐标变换推导1. 在三相永磁同步电机的控制中，我们通常使用dq坐标系来描述电机的运动状态。
在dq坐标系中，d轴与永磁体的磁通方向一致，q轴与d轴垂直。
通过dq坐标变换可以将三相电机的控制问题转换为直流电机的控制问题。
2. 我们可以通过以下的数学推导来实现坐标变换：在直角坐标系下，电机的三相电流可以表示为：假设θ为电机的旋转角度，那么dq坐标系转换可以表示为：在dq轴上，电机的电流可以表示为：通过以上推导，我们可以得到电机在dq坐标系下的控制方程，从而可以实现对电机的控制。
四、结论通过以上的推导，我们可以看到坐标变换技三相永磁同步电机坐标变换推导是电机控制中的关键步骤。
坐标变换可以让我们更方便地对电机进行控制，简化了控制器的设计流程，并且使得控制更加高效和稳定。
在坐标变换的基础上，我们可以进一步推导出电机的控制方程，从而实现对电机的精确控制。
交流电动机矢量控制变压变频调速系统（三）第三讲坐标变换的原理和实现方法收藏此信息打印该信息添加：李华德来源：未知由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
坐标变换的应用摘要：坐标变换理论从提出至今已经过去了将近一个世纪，其在电气工程领域被广泛应用，而且其不但在传统的电机矢量控制、瞬态分析领域被广泛采用，而且随着一些新的算法的产生，其在电机故障诊断、电网电能质量监测与控制领域也被采用。
由于其易于将复杂的、高阶的、非线性的、时变的问题得以简化，随着对其研究的深入，其应用范围与前景还将更加广阔。
关键词：坐标变换、矢量控制、瞬态分析、故障诊断、PQ问题一、坐标变换理论的提出坐标变换实质上是数学上的线性变换，电气工程领域的坐标变换理论的提出是有其背景的。
这种原理的基本出发点是：考虑到异步电机是一个多变量、强耦合、非线性的时变参数系统。
因此在20世纪20年代, Park 利用固定于转子上的参考坐标系上的量(如电压、电流、磁链等) 等效代替定子绕组中的量，从而消除了同步电机数学模型中的时变电感。
Park的这一思想一般被称为电机坐标变换理论，引起了电机分析方法的一场革命。
受此影响,Krause于1965 年将感应电机的定、转子绕组的变量同时变换到以任意速度旋转的参考坐标系中，建立了一般化无时变电感的感应电机数学模型【1】。
其实对电机进行分析时，所进行的坐标变换内容是十分丰富的，不但可将静止的坐标系变换到同一空间中另一个旋转的坐标系，或将实平面的坐标系变换到复平面的坐标系，还可以将坐标系统的空间扩展到N维，这都是对电机这种复杂的机电系统分析时所作的对策。
但这里需指出，既然是分析具体问题时提出的电机坐标变换理论，这里的坐标变换就是有约束的，一般有两种制约1）功率不变；2）气隙合成磁动势不变。
一般以第一种最为常用。
电机分析中常用的坐标变换有【2~3】：1）dq0系统及其派生的MT0系统dq0系统基于双反应理论，d轴与转子直轴重合，q轴超前d轴90度，坐标系与转子同向以同步速旋转；MT0左边系统又称磁场定向系统，M轴与电机合成磁场轴线一致，T轴超前M轴90度坐标系与转子同向以同步速旋转。
