高中数学知识点训练29 解析几何

训练29 解析几何(推荐时间：75分钟)1．(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD .(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．2．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；(2)设AM 、AN 为圆C 的两条切线，M 、N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程．3．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AF 2，AB ，BF 2成等差数列．(1)求AB ；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．4.已知，椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．5．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．答案1．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 2．解 (1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4.∴a ≥3或a ≤－ 3. (2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又MC ＝2，∴CD ＝4－45＝45， ∴cos∠MCA ＝452＝25，∵AC ＝225＝5， ∴OC ＝2，AM ＝1，MN 是以点A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4 或x 2＋(y ＋2)2＝4， ∴MN 所在直线的方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0 或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0， 因此，MN 所在直线的方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0. 3．解 (1)由椭圆定义知AF 2＋AB ＋BF 2＝4. 又2AB ＝AF 2＋BF 2，得AB ＝43.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0， 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以AB ＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|， 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b 41＋b22，解得b ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－22不合题意，故舍去. 4．(1)解 由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以1＋x E ＝－4k 3－2k 3＋4k 2， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x E ＋x F ＋2k x F －x E ＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.5．解 (1)易知a ＝2，b ＝1，c ＝a 2－b 2＝3， 所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x ，y )， 则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝x 2＋y 2－3＝x 2＋1－x 24－3＝14(3x 2－8)．因为x ∈[－2,2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2； 当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.(2)显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝－4kk 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14. 由Δ＝(4k )2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0，得k ＞32，或k ＜－32.① 又0°＜∠AOB ＜90°⇔cos∠AOB ＞0⇔OA →·OB →＞0. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＞0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14.∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14＞0.即k 2＜4，∴－2＜k ＜2. ② 故由①②得－2＜k ＜－32，或32＜k ＜2. 6．解 (1)由题意知抛物线的焦点F (3，0)， ∴c ＝ 3.又∵椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形， ∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为：y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k x －1消去y 得，(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，∴PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8mk 24k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1＝4m 2－8m ＋1k 2＋m 2－44k 2＋1 ＝4m 2－8m ＋1k 2＋14＋m 2－4－144m 2－8m ＋14k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1， ∴当2m －174＝0，即m ＝178时，PE →·QE →为定值3364.当直线l 的斜率不存在时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32. 由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，∴PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上所述，当E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0时，PE →·QE →为定值3364.。