我国证券市场波动的Hurst指数

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Hurst指数以及MF-DFA

Hurst指数以及MF-DFA写在前⾯9⽉的时候说想把arch包加进去，昨⼉发现优矿已经加好了，由于优矿暂时没有开放历史⾼频接⼝，我索性就分享⼀个冷冷的⼩知识：分形市场假说（FMH），分析中玩的是低频数据（⽇线，或者分钟线）。

所谓分形市场假说，就是⼈们发现有效市场假说的种种不合理后，提出的⼀种假说，我曾经有仔细关注过这⼀块，因为这个假说真是太「中国特⾊」了：它有⼏个主要论点：1. 当市场是由各种投资期限的投资者组成时，市场是稳定的（长期投资者和短期投资者），当投资者单⼀时，则市场会出流动性问题； 2. 信息集对基本分析和技术分析来讲短期影响⽐长期影响要⼤； 3. 当某⼀事件的出现使得基础分析的有效性值得怀疑时，长期投资者或者停⽌⼊市操作或者基于短期信息进⾏买卖； 4. 价格是短期技术分析和长期基础分析的综合反应； 5. 如果某种证券与经济周期⽆关，那么它本⾝就不存在长期趋势。

此时，交易⾏为、市场流动性和短期信息将占主导地位。

总之就是⼀个具有「正反馈、⾮线性、分形、混沌、耗散」等等很⽜逼的概念，深深吸引着曾经学过物理学的我。

关于Hurst指数以及MF-DFA现在对于分形市场假说的主要⽅法论就是 Hurst指数，通过MF-DFA（Multifractal detrended fluctuation analysis）来计算，具体的可以维基百科⼀下，⼤体就是当hurst>0.5时时间序列是⼀个persistent的过程，当hurst>0.5时时间序列是⼀个anti-persistent的过程，当hurst=0.5时间序列是⼀个不存在记忆的随机游⾛过程。

⽽在实际计算中，不会以理论值0.5作为标准（⼀般会略⼤于0.5）写在最后这份⼯作来⾃于LADISLAV KRISTOUFEK这位教授在12年的⼯作，论⽂名叫做RACTAL MARKETS HYPOTHESIS AND THE GLOBAL FINANCIAL CRISIS: SCALING, INVESTMENT HORIZONS AND LIQUIDITY这位教授后来在13年把这项⼯作强化了⼀下（加了点⼩波的⽅法），把论⽂的图画得美美哒，竟然发表在了Nature的⼦刊Scientific Report上。

hurst 指数python

hurst 指数python摘要：1.介绍hurst 指数的概念2.阐述hurst 指数在时间序列分析中的应用3.给出使用Python 计算hurst 指数的代码及解释4.总结hurst 指数在实际问题中的应用及局限性正文：hurst 指数是一种衡量时间序列趋势性的指标，由英国数学家Alan G.Hurst 于1951 年首次提出。

它主要用于分析时间序列的长期记忆性，即序列中的信息是否会随着时间推移而逐渐消失。

hurst 指数的取值范围在0 到1 之间，其中0 表示无记忆性，1 表示完全记忆性。

在时间序列分析中，hurst 指数可以用于预测股票市场、分析汇率波动、评估金融风险等。

例如，通过计算股票市场的hurst 指数，我们可以了解市场是否存在趋势，从而制定相应的投资策略。

此外，hurst 指数还可以用于评估汇率波动的持续性，为政策制定者提供参考。

下面，我们通过Python 代码来计算hurst 指数。

首先，我们需要安装一个名为“tsa”的Python 库，用于时间序列分析。

在命令行中输入以下命令进行安装：```pip install tsa```安装完成后，我们可以使用以下代码计算hurst 指数：```pythonimport numpy as npimport pandas as pdfrom tsa import hurst# 读取数据data = pd.read_csv("your_data.csv")data_values = data["column_name"].values# 计算hurst 指数hurst_exponent = hurst(data_values)print("hurst 指数为:", hurst_exponent)```其中，“your_data.csv”为包含时间序列数据的CSV 文件，“column_name”为数据所在的列名。

分形布朗运动和hurst指数

分形布朗运动和hurst指数
分形布朗运动是一种随机过程，其特性与布朗运动相似，但具有更复杂的分形结构。

布朗运动是指微观粒子在液体或气体中由于受到分子的不断碰撞而进行的无规则、连续且随机的运动。

而分形布朗运动则是在这种运动过程中引入了分形结构，使得其具有更为复杂的运动模式。

Hurst指数是用来描述分形布朗运动的一个重要参数。

它表示分形布朗运动在时间序列上的长期依赖性或持久性。

Hurst指数的值介于0和1之间，其中0.5表示随机游走，小于0.5表示负持久性，即过去的变化趋势对未来的影响逐渐减弱，而大于0.5则表示正持久性，即过去的变化趋势对未来的影响逐渐增强。

在金融领域中，分形布朗运动和Hurst指数被广泛应用于模拟股票价格等金融时间序列。

由于股票价格具有分形结构和持久性，因此分形布朗运动可以很好地描述股票价格的波动特征。

通过估计Hurst指数，我们可以了解股票价格的波动趋势和未来价格的变化情况。

除了金融领域，分形布朗运动和Hurst指数还在其他领域得到广泛应用。

例如，在地球物理学中，它们被用于模拟地震和海浪等自然现象；在生物学中，它们被用于描述生物种群的增长和变化趋势等。

此外，分形布朗运动和Hurst 指数还被应用于图像处理、信号处理等领域。

总之，分形布朗运动是一种具有复杂分形结构的随机过程，其特性与布朗运动相似但更为复杂。

Hurst指数是描述分形布朗运动的一个重要参数，可以用来估计时间序列的持久性和变化趋势。

在金融、地球物理学、生物学等领域中，分形布朗运动和Hurst指数得到了广泛应用，为我们提供了更准确、更有效的分析方法和工具。

资本市场的hurst指数估计

叶建萍：资本市场的Hurst 指数估计计，并得出这两种方法偏差. 我们可以通过数值模拟得出多尺度的估计方法得到的H 值更准确偏差更小，在实证部分中我们更倾向用多尺度的方法去估计广义的赫斯特指数. 本文实证部分以及数据处理主要使用R 2.5.0 和Excell 完成.本文可能的新颖之处有以下几点：1. 模拟分数布朗运动的程序.2. 数据选取不同. 从数据的类型来看，以往研究股市长记忆性时，大多以股票综合指数作为研究对象，本文研究的对象是股票市场上的金融板块，另外外汇的交换率的中间值是人民币.3. 方法的改进，本文利用多尺度方法改进了经典的R/S 分析方法，减少了偏差，估计Hurst 指数更加准确.本文一共分五章：第一章是引言部分；第二章模拟分数布朗运动和Hurst 指数的定义以及分数布朗运动与Hurst 指数之间的关系；第三章介绍了经典的R/S 估计和多尺度的广义赫斯特指数估计方法；第四章是本文的重点实证分析，分析了我国股票市场的金融板块和人民币对其他国家的外汇交换率；第五章是结论和展望.2 C H (t, s ) = E [B H (t ), B H (s )] = [|t|2H + |s|2H − |t − s|2H ]广西师范大学硕士学位论文第二章模拟分数布朗运动和 Hurst 指数的定义§2.1 模拟分数布朗运动1. 我们首先给出分数布朗运动的定义. Kolmogorov and Rozanov(1991, [1]) 给出如下概念定义 2.1. 称随机过程 B H (t ) 是分数布朗运动，若其连续且满足 P (B H (0) = 0) = 1,B H (t ) − B H (s )N (0, |t − s|2H )，其中 t,s 为两个不同时间点，H 为 Hurst 指数，且H ∈(0,1).B H (t ) 的分布可以表示为P (B H (t ) ≤ x ) = √1 2πt 2Hx −u 2 e 2t 2H du, 当 H=0.5 即为普通的布朗运动, 分数布朗运动以长期相关和统计自相似为特点，具有循环和趋势双重特征.布朗运动与分数布朗运动之间的区别为布朗运动的增量是独立的而分数布朗运动中的增量是不独立的，考虑零时刻过去增量 {B H (0) − B H (−t )} 和未来增量 {B H (t ) − B H (0)} 的相关系数 C(t). 有：C (t ) ==E{[B H (0) − B H (−t )][B H (t ) − B H (0)]}E [B H (t ) − B H (0)]2−E [B H (−t )B H (t )]E [B H (t )]2== − −1 E{[B H (−t )]2 + [B H (t )]2 − [B H (−t ) − B H (t )]2} 2 E [B H (t )]2 1 (−t )2H + t 2H − (−2t )2H 2 t 2H =2H −1 − 1分数布朗运动具有自相似性和长期相依性，应该更能切合实际地反映金融市场的变化特性. 并且实证研究发现，许多金融市场的 Hurst 参数 H=1/2; H 的不同取值范围对应相关系数 C(t) 的不同取值，同时也给出了序列的 3 种运动形式：当 H=0.5 时，相关系数为 0，序列独立；当 0<H <0.5 时，相关系数为负相关；当 0.5<H <1 时，相关系数为正，序列为正相关. 由此可见，分数布朗运动的参数 H 是度量序列相关性的. 分数布朗运动的自相关函数是：122. 模拟分数布朗运动的步骤：(1) 假设 {X t } ∼ B H (t ), 记 Cov (X ) = V , 利用 chol 分解 V ，令 C = chol (V ) (2) 产生 n 个正态随机变量 Z = (Z 1, · · · , Z n ) ∼ N n (0, I ) (3) 令 Y=C*Z ，则 Y 就是分数布朗运动，Y=X.5 −20 −15 −10 −5y100 20 40 60 80 100 120 140y0 −80 −60 −40 −20y20 2 r−3 −2 −10 1 3叶建萍：资本市场的 Hurst 指数估计持久性时间序列，其定义为 0.5<H <1 的，因为它们也可以用分数布朗运动来描述.Hurst 指数描述了两个相邻事件发生的可能性，如果 H=0.7，那么基本上可以说，要是上一个移动是正的，下一个移动也是正的概率更高，这不是一种真正的概率：它仅仅是” 偏倚” 的一个度量. 下面给定 H=0.50,0.72 和 0.90 的模拟序列，随着 H 越来越接近 1，序列变得噪声越来越小，具有相同符号的观测值越来越多。

赫斯特指数计算

赫斯特指数计算赫斯特指数（Herfindahl Index），又称赫斯特-奥林达指数（Herfindahl-Hirschman Index，简称HHI），是衡量一个行业市场集中度的常用指标。

它通过计算市场上各个参与者的市场份额的平方和来衡量市场的竞争程度。

赫斯特指数的数值范围在0到1之间，数值越高表示市场集中度越高，竞争程度越低。

赫斯特指数的计算公式如下：HHI = (s1^2 + s2^2 + ... + sn^2)其中，s1、s2、...、sn分别表示参与者的市场份额。

赫斯特指数的应用非常广泛，特别是在反垄断政策和市场监管中扮演着重要的角色。

通过计算赫斯特指数可以判断市场是否存在垄断行为，进而采取相应的监管措施。

赫斯特指数的数值解释如下：- 当赫斯特指数为0时，表示市场完全竞争，不存在市场集中度。

- 当赫斯特指数接近1时，表示市场高度集中，存在垄断或寡头垄断的情况。

- 当赫斯特指数大于1时，表示市场集中度较低，存在一些大型企业，但整体竞争程度仍然较高。

赫斯特指数的计算可以通过市场份额数据来进行。

例如，某个市场有4个参与者，他们的市场份额分别为30%、20%、25%和25%。

那么赫斯特指数的计算如下：HHI = (0.3^2 + 0.2^2 + 0.25^2 + 0.25^2) = 0.175赫斯特指数的数值可以帮助政府、监管机构和企业判断市场的竞争程度，从而制定相应的政策和策略。

当赫斯特指数较高时，可能意味着市场存在垄断行为，需要采取措施来促进竞争，保护消费者利益。

而当赫斯特指数较低时，市场竞争程度较高，政府和企业可以采取一些措施来进一步推动市场发展，提高效率。

然而，赫斯特指数也存在一些局限性。

首先，它只能反映市场参与者的市场份额，而不能全面反映市场竞争的各个方面。

其次，赫斯特指数无法考虑到市场参与者的行为和策略，以及市场的动态变化。

因此，在使用赫斯特指数进行市场分析时，需要综合考虑其他因素，如市场结构、市场规模、市场需求等。

hurst指数法和盒子计数法

hurst指数法和盒子计数法Hurst指数法是由英国工程师H.E. Hurst在20世纪50年代提出的一种计算时间序列数据波动性的方法。

该方法基于赫斯特现象，即时间序列数据在不同时间尺度上的自相关性，通过计算数据的变化程度和趋势，来评估市场的波动性。

根据Hurst指数的计算结果，可以判断市场是处于随机漫步（H=0.5）、趋势性（H>0.5）还是反转性（H<0.5）的状态。

盒子计数法又称分形维数法，是一种基于分形理论的方法，通过计算数据的分形维数来评估市场波动性和分布规律。

分形维数是描述分形结构复杂程度的指标，可以帮助分析师了解市场的自相似性和规律性。

通过盒子计数法的分析，可以得出市场数据的分维特征，从而判断市场的波动性和趋势性。

Hurst指数法和盒子计数法都是基于时间序列数据的分析方法，但它们的原理和计算逻辑有所不同。

在实际应用中，投资者和分析师可以根据具体的市场情况和需求，选择合适的方法来进行分析和预测。

Hurst指数法的计算过程主要包括以下步骤：首先，对时间序列数据进行平均值化处理，然后计算累积离差序列，接着计算标准差序列，最后计算赫斯特统计量。

通过这些步骤的计算，可以得出数据的Hurst指数，从而判断市场的波动性和趋势性。

盒子计数法的计算过程主要包括以下步骤：首先，将数据序列分成不同的盒子，然后计算每个盒子内的数据点数量，接着计算盒子的尺寸和数量的关系，最后通过拟合分形维数来评估数据的分维特征。

通过这些步骤的计算，可以得出数据的分维特征，从而判断市场的波动性和分布规律。

在实际应用中，投资者和分析师可以根据Hurst指数法和盒子计数法的计算结果，来对市场进行分析和预测。

例如，通过Hurst指数法的计算结果，可以得出市场的趋势性和反转性特征，从而选择合适的交易策略和风险控制方法。

而通过盒子计数法的计算结果，可以了解市场数据的分维特征，从而评估市场的波动性和分布规律，为投资决策提供参考。

hurst指数2篇

hurst指数第一篇：Hurst指数简介及应用领域Hurst指数是一种用于衡量时间序列数据的长期记忆性的统计量，其应用广泛于金融分析、水文学、信号处理等领域。

本文将对Hurst指数进行详细介绍，并探讨其应用领域。

Hurst指数最初是由数学家H.E. Hurst于1951年提出的，其用于衡量时间序列数据的波动性和相关性。

时间序列数据是指一组按时间顺序排列的观测值，例如股票价格、气温记录等。

Hurst指数的取值范围在0到1之间，其中0表示完全反序列相关，1表示完全正序列相关，0.5表示完全随机。

Hurst 指数越接近于0.5，说明时间序列数据的波动性越接近于随机，没有长期记忆性；而越接近于0或1，说明时间序列数据存在较强的趋势性，即具有长期记忆性。

Hurst指数的计算需要借助于重叠子序列的均值计算，具体步骤如下：首先，将时间序列数据分解成不同长度的子序列；然后，计算每个子序列的均值；最后，计算不同子序列长度下的均值之比。

根据计算得到的比值，可得到Hurst指数。

在金融分析中，Hurst指数常被用于衡量股票价格的长期记忆性和预测性。

通过计算Hurst指数，可以评估股票价格的波动性，进而辅助投资者进行风险管理和决策制定。

例如，当股票价格的Hurst指数较高时，说明价格具有较强的趋势性，投资者可以选择更长期的持有策略，以获得更大的收益。

此外，Hurst指数在水文学领域也得到了广泛的应用。

水文学研究常关注各种水文变量的波动性，例如降水量、水位等。

通过计算Hurst指数，可以评估水文变量的长期趋势，进而为水资源管理、洪水预测等提供科学依据。

除金融分析和水文学外，Hurst指数在信号处理、网络分析等领域也有着重要的应用价值。

例如，对于信号处理，Hurst指数可以用于评估信号的分形特性和自相似性，从而指导滤波、数据压缩等算法的设计与优化。

综上所述，Hurst指数是一种用于衡量时间序列数据长期记忆性的统计量，在金融分析、水文学、信号处理等领域有广泛的应用。

衡量数据流趋势的重要指数hurst指数

衡量数据流趋势的重要指数——Hurst指数在科技文献搜索引擎中输入赫斯特指数（Hurst exponent），就会检索到大量的研究文章。

我随便以下列出部分论文的题目，或许你就会对这个指数的应用领域会有一个大概的了解。

（1）Using the Hurst’s exponent as a monitor and predictor of BWR reactor s（运用赫斯特指数来检测和预测BWR反应器的不稳定性），该论文发表于Annals of nuclear e 刊）；（2）Time-dependent Hurst exponent in financial time series（金融时间序列中赫斯特指数），发表于Physica A统计力学及其应用分刊；（3）Can one make any crash prediction in finance using the local Hurst expon 用局部赫斯特指数概念能否预测金融灾难？)，该文发表的期刊同上；（4）Determining the Hurst exponent of fractal time series and its applicat rocardiographic analysis（确定分形时间序列的赫斯特指数以及对心电图数据分析的应用）；该学与医学的计算杂志；等等可以这么说，只要涉及到数据流（时间序列）的地方，就会出现赫斯特指数。

那么赫斯个什么东西呢？1900—1978）是英国水文学家。

他在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时，发机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期存贮能力，并在此基础上提出了用重标极差(R/建立赫斯特指数(H)。

用这个指数可以作为判断时间序列数据是遵从布朗运动还是有偏的布朗运动洪水过程是时间系列曲线，具有正的长时间相关效应。

即干旱愈久，就可能出现持续的年过后仍然会有较大洪水。

这种特性可以用赫斯特指数来表示。

hurst指数分析

从图 2 看出：大约在 97 年之前（图上是 93 年左右，因为我们的滑动窗口选择是 1008，就是 4 年，其余的依次类推） hurst 指数呈下降的趋势，从 0.58 降到 0.45。从 97 年到 2006 年左右，上证综指的 hurst 指数 0.5 左右浮动，没有大幅度长时间的变化，但是从 2006 年到 2008 年 12 月， hurst 指数一路走高。我们用分段的线性回归估计每个阶段的趋势， a2t+b2,t1＜t＜t2 a= a3t+b3,t＞t2 其中 t1 大约是 1993 年 2 月，实际的年份大约就是 1997 年 2 月左右。 2 大约是 2002 年 10 月， t 实际的年份大约就是 2006 年 10 月。分段回归的拟合线见图 2 中的虚线。从图 3 我们看出，上证综指和深证成指的 hurst 指数的变化是不同的。 1991- 1997 之间，在上证综指和深证成指的 hurst 指数的变化趋势大致相同，但是深证成指的 hurst 指数的波动更加强烈，说明上证市场在这个阶段比深证市场更加有效，可能是因为深证市场刚刚建立，各项制度不够完善所导致的。在 1997 年到 2006 年之间，沪深两市的 hurst 指数特别是沪市表整体上来说是变小了， 0.5 附近波动，在沪、现比较有效，可能是因为 1996 年 12 月 16 日，深证券交易所上市的股票交易，实行涨跌幅不超过前日收市价 10％的限制。但是从 1997 年到 2000 年 11 月左
X 注：轴上的日期值代表了估计该 hurst 指数时的样本的开始值对应的日期。因此，对于一个 Apr- 91 的 hurst 指数是被估计样本的区间是 Apr- 91 到 Apr- 95,其余的依次向前类推。对于窗 1008 天每步 10 天的意思就是：我们用最先的 1008 个观测值， DFA 方法计算 hurst 指数，用然加入下 10 个观察值，然后重后向前滚动样本，去掉最初的 10 个观察值，新估计 hurst 指数，重复这个过程直到序列的结尾。

衡量数据流趋势的重要指数——Hurst指数

衡量数据流趋势的重要指数——Hurst指数在科技文献搜索引擎中输入赫斯特指数（Hurst exponent），就会检索到大量的研究文章。

我随便以下列出部分论文的题目，或许你就会对这个指数的应用领域会有一个大概的了解。

（1）Using the Hurst’s exponent as a monitor and predictor of BWR reactor inst 用赫斯特指数来检测和预测BWR反应器的不稳定性），该论文发表于Annals of nuclear energy （2）Time-dependent Hurst exponent in financial time series（金融时间序列中的时特指数），发表于Physica A统计力学及其应用分刊；（3）Can one make any crash prediction in finance using the local Hurst exponen 局部赫斯特指数概念能否预测金融灾难？)，该文发表的期刊同上；（4）Determining the Hurst exponent of fractal time series and its application rdiographic analysis（确定分形时间序列的赫斯特指数以及对心电图数据分析的应用）；该文发医学的计算杂志；等等可以这么说，只要涉及到数据流（时间序列）的地方，就会出现赫斯特指数。

那么赫斯特指么东西呢？H.E.HURST（ 1900—1978）是英国水文学家。

他在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系偏的随机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期存贮能力，并在此基础上提出了用重标极方法来建立赫斯特指数(H)。

用这个指数可以作为判断时间序列数据是遵从布朗运动还是有偏的布朗洪水过程是时间系列曲线，具有正的长时间相关效应。

即干旱愈久，就可能出现持续的干旱后仍然会有较大洪水。

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0 ∃
t# ∃ t# < 0
t (t ( 4)
t#) H- 0. 5- (- t#) H- 0. 5 式 ( 3) 其实是对布朗运动求 H
0. 5 阶积分。因此 , 对
4期
高红兵等 : 我国证券市场波动的 Hurst 指数
23
于布朗运动成立的规则 , 质点的位移与时间的平方根成正比 , 相应与分数布朗运动就变成位移与时间的 H 次方成正比。另外, 式 ( 3) 积分一般是发散的, 但增量 BH ( t + t ) - BH ( t ) 是有限的, 是平稳、相关的随机过程。而且, 分数布朗运动具有长期相关性。因为 H % 0. 5 时 , 观察值之间不独立。每个观察值对于发生在其前面的时间有一定的记忆。这种记忆能够表示长期记忆 , 也就是分数布朗运动的长程相关性 , 特别是它的未来增量与过去增量 BH ( - t ) 是相关的: 给定从 - t 到 0 的过去增量 BH ( 0) - BH ( - t ) , 就平均而言在过去增量的分布中含有未来增量 BH ( t ) - BH ( 0) 的概率是: E BH ( 0) - BH (- t ) BH ( t ) 这意味着其分形维数大于布朗运动的维数。
2
我国证券市场收益率序列的 Hurst 指数
Hurst 指数可由 R / S 统计法确定。这种方法是
Hurst 长期研究尼罗河的流量变化后提出的。为了合理控制水库的泄水量使其保持不枯不溢的理想状态, Hurst 测算了水库蓄水量随时间在平均水平附近波动的范围。 Hurst 用这个变动范围除以观察值的标准差得到一个无量纲的量, 使不同的序列具有可比性。这种分析称为重标极差法( rescaled range) , 也称 R/ S 法[ 3] 。 R n 是一个时间序列中 n 个数据偏离其均值的累加值的极差 , 称为 n 个数据的极差 , 表示时间序列最大的变化范围 ; S n 是时间序列的标准差, 表示偏离均值的程度, 是分散程度的测度。 R n / S n 表示极差的大小重新用 Sn 来衡量, 这就是重标极差法的名字的由来。 R/ S 统计分析可用来研究一大类问题, 对于方差发散或有长期记忆作用的随机过程都适用。下面我们具体给出 R/ S 分析的过程。考虑一个收益率序列 y 1, y 2 , (, y n 。y i 偏离均值的累积和为 :
Xt , n =
i= 1
( y i - mn )
( 7)
其中, X t, n 是 n 期的累积偏差 , m n 是 n 期的平均值。 n 个数据的极差就是式( 7) 最大和最小值之差: R n = 1max { X t , n } - 1min { Xt , n} ∃ t∃ n ∃ t∃ n 其中, R n 是 X 的极差。为了比较不同类型的时间序列, 用极差除以标准差 ( 即重标极差) 得到 :
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。正是在这一假设下 , 才有了著名的期权定价理论。但是, 人们发现证券市场的运行并不遵循布朗运动, 而是服从更为一般的分数布朗运动
[ 1]
布朗运动是一个特殊的随机过程。考虑在 x 轴上随机行走的微粒, 每隔秒跳跃的步长为 + 或 , 设步长服从正态分布 p( , ) =
t t
( 8)
Rn / S n =
max ( y i - m n ) - 1min ( y i - mn ) / Sn ( 9) 1∃ t ∃ n i = 1 ∃ t ∃ n i= 1 1 n
n
其中, Sn =
( yi - mn ) 2
i= 1
1 2
重标极差应该随时间而增加。Hurst 建立了以下关系: R/ S = a * nH 其中, a 为常数。如果序列是一个随机序列, H 应该等于 0. 5, 即累积离差的极差应该随时间的平方根增加。一般地, H ( 10)
( 1)
i
i= 1
则 t = n 时间后, 微粒的位移为 x ( n ) = 机过程
。当
时间步长趋于无穷小时, 离散变量 x 就成为连续的随布朗运动 , 用 B ( t ) 表示, 也叫维纳过程 ( Winer) 。维纳过程是独立、平稳增量过程 , 且 B ( t ) 的增量服从 Gauss 过程。
2H
对布朗运动进行非整数微积分可得分数布朗运动。 Mandelbrot 给出了分数布朗运动 BH ( t ) 的表达式为: BH ( t ) = 式中积分核 K ( t - t#) = ( t - t#)
H- 0. 5
成正比
[ 2]
,
1 # (H + 0. 5)
! K( tx - ∀
t
如果令 BH ( 0) = 0, 则未来增量 BH ( t ) 与过去增量 BH ( - t ) 间的相关函数可以写为: C( t ) = E - BH (- t ) BH ( t ) 2 E BH ( t ) = 2
2H- 1
- 1 ( 6)
其中 H 为 Hurst 指数 , C 为相关系数。由式 ( 6) 可得 : ( 1) 当 H = 0. 5 时 , 过去和未来增量间的相关系数为 0, 表明现在不影响未来 , 这说明增量过程是一个独立的随机过程 , 布朗运动是其特殊情况。 ( 2) 当 H % 0. 5 时, 为分数布朗运动。此时 , 增量之间不再相互独立。但是这个过程与马尔科夫过程所具有的短期记忆行为不同 , 分数布朗运动的记忆作用是长期的。 ( 而且长期记忆只与 Hurst 指数的大小有关 , 没有标度性, 因此它具有分形的特征 ) H 值指示了这种长期记忆作用的特性。 & 0. 5< H < 1, 有持久性效应。表明过去一直增长意味着未来这种趋势将继续下去 , 而且对任意大的时间 t 都是如此。反之 , 过去的减少趋势就平均而言 , 意味着未来的连续减少。H 越接近 1, 趋势越明显 ; H 越接近 0. 5, 逐渐趋于随机性。这种长期记忆作用使得随机过程呈现一定的趋势, 增量间有一定的正相关性。 ∋ 0< H < 0. 5, 增量间是负相关的 , 称为反持久性效应( antipersistent) 。如果过去是增长的 , 则下一时刻下降的可能性更大; 反之, 过去是下降的, 则下一时刻上升的可能性更大。反持久性效应的强度取决于 H 接近 0 的程度。H 越接近 0, 则 C 越接近- 0. 5, 负相关性越强。因为这种过程有更多的频繁反转 , 所以
t#) dB ( t#) ( 3)
其中, H 后来称为 Hurst 指数。对特殊情形 H = 0. 5 时, 就是布朗运动, 但一般情形 H 并不等于 0. 5。此后, Hurst 发现一大类自然现象随时间演化的行为都不能用布朗运动刻划, 即 2H 都不是整数, 因而称为分数布朗运动。
收稿日期 : 2000 05 03
0. 5 对式( 1) 进行标度变换 , ^ = ∀ , ^ = ∀ , 得:
1
分数布朗运动与 Hurst 指数
p ( ^ , ^) = ∀ p ( , ) ( 2) 0. 5 表明当时间标度增大 ∀ 倍, 长度标度增大 ∀ 时 , 布朗
- 0. 5 - 0. 5 随机过程的概率密度函数增大 ∀ 。因此 , 布朗运动
第 27 卷第 4 期 2001 年 8 月
东华大学学报 ( 自然科学版 )
JOURNAL OF DONG HUA UNIVERSITY
Vol. 27, No. 4 Aug. 2001
我国证券市场波动的 Hurst 指数
高红兵潘瑾陈宏民
( 上海交通大学管理学院 , 上海 , 200030)
摘要
对布朗运动, 由于重标极差是与时间成正比, 因此 V 统计量为常数。对一般的分数布朗运动, 可以从 V 统计量图分析系统运行的循环。图 2, 在横坐标为 5. 6 附近明显出现拐折现象, 而此数值是取了对数得到的。转换成天数就是 exp( 5. 6) , 即大约 270 d。再对照图 1, 在 270 d 的循环中 , 上证综指波动具有很强的持久性。一旦超出这个大循环, 持久性逐渐减弱, 系统的特征明显改变。因此, 上证综指具有一个 270 d 的循环 , 也就是一年多的交易天数。
2 1 exp 2 2!
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。Hurst 指数是描
述分数布朗运动的重要指标。布朗运动的 Hurst 指数为 0. 5, 分数布朗运动的 Hurst 指数不等于 0. 5。当 Hurst 指数大于 0. 5 时 , 系统表现出持久性 , 对证券市场来说 , 即若上一阶段指数是上升的 , 则下一阶段指数上升的可能性较大, 而且随着指数的增加, 这种持久性也逐渐增强。当 Hurst 指数小于 0. 5 时 , 系统具有反持久性 , 即上一阶段指数是上升的 , 则下一阶段指数极可能下降。可见 , Hurst 指数是研究证券市场波动的重要指标。
证券市场的波动不服从布朗运动 , 而服从分数布朗运动。Hurst 指数是描述分数布朗运动的重要指标。利用 R/ S 分析
方法计算出我国证券市场收益率序列的 Hurst 指数为 0. 68。从而说明我国证券市场的波动具有明显的持久性。关键词 : Hurst 指数 , 分数布朗运动 , R/ S 分析 , 证券市场 , 有效市场假设中图法分类号 : F832. 5
的概率密度函数具有标度不变性。 Hurst 是一个水文工作者 , 他长期研究尼罗河流量的变化, 以决定水库的排水量。在多年的水文数据中, 他发现数据不服从布朗运动及正态分布的特性。而且如果有一年水量较大, 次年的水量也往往较大。在布朗运动中 , 数据的方差与观察时间间隔 t 成正比。Hurst 却发现河流数据的方差与( t )