2020年全国Ⅰ卷高考理科数学押题卷(四)

○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前2020年高考临考押题卷（四）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．已知集合{}43A x x =-<-≤，()(){}250B x x x =-+<，则A B =I （ ） A ．()5,4-B ．()3,2-C ．()2,4D ．[)3,2-3．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（ ） A ．66种B ．36种C ．30种D ．24种4．若a r =2，b r =2，且（a b -v r ）a ⊥r ，则a r 与b v 的夹角是A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 5．将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减 C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 6．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A ．116B ．164C ．2 D ．2 7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________A ．B ．C ．D ．10．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,10]C ．(2,4]D ．(4,)+∞11．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1412．“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．120,4⎧⎪⎡⎫⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭U B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．120,4⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.14．一个质量均匀的正四面体的表面上分别标有1，2，3，4，设函数22()2f x x bx c =---，若b ，c 是先后抛掷该正四面体两次得到的朝下面上的数字，则x ∀∈R ，()0f x <恒成立的概率为__________. 15．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，Q 是线段PF 上的点，且2PQ QF =u u u r u u u r，则直线OQ 的斜率的最大值为______.16．母线长为233的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入__________个．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N∈满足21nn Sa =-，数列{}nb 满足22log n n b a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=︒，2AB AC PA ===.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）过AC 的平面交PD 于点M ，若平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，求二面角M PC B --的余弦值.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 作斜率为22的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 附参考数据：6.92 2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________21．已知函数．Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值； Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23．已知函数()|||2|f x x a x b =-++，,a b ∈R . （1）若1a =，1b =-，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21a b+的最小值.。

全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2＋y2=4}，集合B={(x，y) |x，y为实数，且y=x－2}，则A ∩ B的元素个数为（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3（2）复数z＝1－3i1＋2i，则（A）|z|＝2 （B）z的实部为1（C）z的虚部为－i （D）z的共轭复数为－1＋i（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（A）0.22 （B）0.28（C）0.36 （D）0.64（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41) （B）[21，41]（C）(21，41] （D）[21，41)（5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 5 2，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n ＝（A ）4n －1 （B ）4n －1 （C ）2n －1（D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2（B ）2（C ） 5（D ） 3（7）已知函数f (x)＝cos (2x ＋π 3)，g (x)＝sin (2x ＋2π3)，将f (x)的图象经过下列哪种变换可以与g (x)的图象重合（A ）向左平移 π12（B ）向右平移π12（C ）向左平移π 6 （D ）向右平移 π6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a ）∥b ，c⊥（b+a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73，79） （C ）（ 73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有 （A ）24种 （B ）36种 （C ）48种（D ）60种（11）函数，其图像的对称中心是俯视图正视图（A）（－1，1）（B）（1，－1）（C）（0，1）（D）（0，－1）（12）关于曲线C：x 12＋y12＝1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴；②曲线C的长度l满足l＞2；③曲线C上的点到原点距离的最小值为24；④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 1 6上述命题中，真命题的个数是（A）4 （B）3（C）2 （D）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）在(1＋x2)(1－ 2x)5的展开式中，常数项为__________．（14）四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．（15）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1, d2,d 3 ，则d1+d2+d3的取值范围是_________．（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|－AC |＝2 5 ，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A＋3cos A＝2sin B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X的分布列和均值．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60 ，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．BCB1BAC1A1A（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数 x 轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知；（Ⅲ）已知：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD·CD ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsi n θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x)＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x)≤2；（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)一、选择题：CDBCD ABCDD BA二、填空题：（13）41；（14）100π；（15）[ 125，4]；（16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A＋3cos A＝2sin B即2sin(A＋π3)＝2sin B，则sin(A＋π3)＝sin B．…3分因为0＜A，B＜π，又a≥b进而A≥B，所以A＋π3＝π－B，故A＋B＝2π3，C＝π3．……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋b c ＝sin A＋sin Bsin C＝23[sin A＋sin(A＋π3)]＝3sin A＋cos A＝2sin(A＋π6)．…10分当A＝π3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝ 18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝ 18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝ 18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316， 依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k)＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X)＝2×316＝8．……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB⊥BB 1．又AB⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz ．其中O 是BB 1的中点，Ox∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)．…6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0， 即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0， 即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)．…………………10分所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B-AC-A 1的余弦值为－77．……………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2． (6)分因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k(x 1＋2)＋k(x 2＋2)x 1－x 2＝k(x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分（Ⅲ）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k·(－k)＝－1，k ＝±1． 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意． 故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x) =当x∈(0，a)时，f '(x)＜0，f (x)单调递减， 当x∈(a ，＋∞)时，f '(x)＞0，f (x)单调递增． ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a ，0）．f (a)=lna ＋1=0，可知a=1. ……………………………4分 （Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于： .取，由（Ⅰ）知：当t∈(0，1)时，g '(t)＜0，g (t)单调递减， 当t∈(1，＋∞)时，g '(t)＞0，g (t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是.∴ . ……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：x 是正整数时，不等式也成立，可以令： x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得： 即. ……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE∥AB ，故DE∥AB ． ………………………… …5分OA（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ⇒∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ⇒△DAC∽△ECD ． ⇒AC CD ＝AD CE ⇒AD ·CD ＝AC ·CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·2CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·BC ． ……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4．……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ．……………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2．……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322， 故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（24）解： （Ⅰ）f (x)＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ＜3，1，3≤x≤4，2x －7，x ＞4． ……………………………2分作函数y ＝f (x)的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 9 2，由图象知 不等式f (x)≤2的解集为[ 5 2， 9 2]．……………………………5分（Ⅱ）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数y ＝f (x)与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ． 由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1 2，＋∞)． ………………………10分 ＝12。

2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试（四）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则A B =I （）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B 表示函数y =法，求出集合A 、B ，再求A B I 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即A B =I 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A. a b c << B. b a c << C. c b a << D. b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12ln ,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4.给出下列两个命题：命题p ：“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的必要不充分条件；命题q ：函数1ln 1xy x-=+是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∨D. p q ⌝∨【答案】C 【解析】 【分析】先判断出简单命题p 、q 的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假. 【详解】对于命题p ，若函数2y x ax b =++为偶函数，则其对称轴为02ax =-=，得0a =， 则“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的充分不必要条件，命题p 为假命题； 对于命题q ，令101x x->+，即101x x -<+，得11x -<<，则函数1ln 1xy x -=+的定义域为()1,1-， 关于原点对称，且()()11111ln ln ln ln 1111x x x x x x x x ----++⎛⎫===- ⎪+-+--⎝⎭， 所以，函数1ln1xy x-=+为奇函数，命题q 为真命题， 因此，p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题，故选C.【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前5项之和为（ ） A. 11 B. 16C. 10D. 15【答案】C 【解析】【分析】根据21n n S a =-，再写出一个等式1121n n S a ++=-，两式相减并化简，由此证明{}n a 是等比数列并求解出{}n a 的通项公式，然后求解出{}n b 的通项公式，根据通项公式即可求解前5项之和.【详解】11121,1,21n n n n S a a S a ++=-∴==-Q ①，21n n S a =-②， 由①和②得12n n a a +=，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，1123452,1,0123410n n n a b n b b b b b -∴=∴=-∴++++=++++=.故选C.【点睛】已知n a 与n S 的关系式，可通过将n 替换为1n +得到新的关系式，再根据()12n n n a S S n -=-≥得到{}n a 的递推公式，从而求解出{}n a 的通项公式.6.已知向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r 所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,4⋅<>===r rr r r r a b a b a b .故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.7.已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()=44xxf x x -+ B. ()()244log x xf x x -=-C. ()2()44log ||x xf x x -=+D. ()12()44logx xf x x -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据图像得到函数()f x 为偶函数，而且1x =时，()0f x =，通过排除法排除掉A 、B 选项，然后通过判断()0,1x ∈时，()f x 的值，排除D 选项，从而得到答案.【详解】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项．【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.8.若函数1sin 2ω=y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. [)4,0- B. [)2,0-C. [)[]4,04,6-⋃D. [4,6]【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到0ω<，函数()1sin 2ω=-y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为函数1sin 2ω=y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当0ω≥时，显然不可能，所以0ω<， 因此，函数()1sin 2ω=-y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以821220ππωππωω⎧⎛⎫-⋅-≥- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-⋅≤⎨⎪<⎪⎪⎩，解得：40ω-≤<. 故选：A【点睛】本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.9.已知M 是△ABC内的一点，且AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则4y xxy+的最小值是（ ） A. 2 B. 8C. 6D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，可知8bc =，进而求出1sin3022ABC S bc ∆=︒=，从而1x y +=，而41414y x xy x y x y ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭()45y x x y x y ⨯+=++，利用基本不等式求最小值即可．【详解】∵AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，∴cos30bc ︒=，化为8bc =． ∴111sin3082222ABC S bc ∆=︒=⨯⨯=． ∴12x y ++=．则1x y +=，而41414y x xy x y x y ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ ()455y x x y x y ⨯+=++≥+=5+4=9， 当且仅当4y xx y=，即2y x =时取等号， 故4y xxy+的最小值是9，故选D ． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了向量的数量积，三角形的面积公式，属于中档题．10.已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A. (,]e -∞ B. []0,eC. (),e -∞D. )0,e ⎡⎣【答案】A 【解析】 分析：由()f x 的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：Q 函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的定义域是()0,∞+，()()()24232221xx x e kx x e x xe f x k x xx x ---⎛⎫∴=--+= ⎪⎝⎭'， Q 2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，∴2x =是导函数()'0f x =的唯一一个极值点，0x e kx ∴-=在()0,∞+无变号零点，令()xg x e kx =-，()'x g x e k =-，①0k ≤时，()'0g x >恒成立，()g x 在()0,∞+时单调递增；()g x 的最小值为()01g =，()0g x =无解；②0k >时，()'0g x =有解为：ln x k =，0ln x k <<，()'0g x <，∴()g x 在()0,ln k 单调递减， ln x k >时，()'0g x >，∴()g x 在()ln ,k +∞单调递增，∴()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-， ∴ln 0k k k ->∴k e <，由xy e =和y ex =图象，它们切于()1,e ，综上所述，k e ≤. 故选：A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.11.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ︒∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）A.B. 1C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】先分别过点A 、B 作抛物线准线的垂线AQ 、BP ，垂直分别为Q 、P ，连接AF 、BF ，设=AF a 、=BF b ，根据抛物线的定义，得到==AQ AF a 、==BP BF b ，再由余弦定理，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】如图，分别过点A 、B 作抛物线准线的垂线AQ 、BP ，垂直分别为Q 、P ，连接AF 、BF ，设=AF a 、=BF b ，由抛物线的定义可得：==AQ AF a 、==BP BF b ，在梯形ABPQ中，2=+=+MN BP AQ a b，由余弦定理可得：222222cos120=+-=++oAB AF BF AF BF a b ab2222()3()()()44++=+-≥+-=a b a ba b ab a b，所以()22232234++=≤=+++a b a bMNAB a b aba b.故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC∠=︒，点B在AC上的射影为D，则三棱锥P ABD-体积的最大值为（）A. 334B. 3C. 38D. 338【答案】D【解析】【分析】先画出图形（见解析），求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥P ABD-体积最大时ABDn面积最大，进而求出ABDn的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥P ABD-体积最大值．【详解】如下图，由题意，2PA PB PC===，90ABC∠=︒，取AC的中点为G，则G为三角形ABC的外心，且为P在平面ABC上的射影，所以球心在PG的延长线上，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22424h h --=-，所以1h =. 故G CG 3A ==，过B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =(023x <<)，则23CD x =-,设(03)BD m m =<≤，则~ABD BCD n n ，故23m xx -=， 所以()223m x x =-，则()23m x x =-，所以ABD n 的面积()3112322S xm x x ==-，令()()323f x x x =-，则()2'634f x x x =-（），因为20x >，所以当3032x <<时，()'0f x >，即()f x 此时单调递增；当33232x ≤<时，()'0f x ≤，此时()f x 单调递减．所以当332x =时，()f x 取到最大值为24316，即ABD n 的面积最大值为1243932168=． 当ABD n 的面积最大时，三棱锥P ABD -体积取得最大值为1933338⨯=. 故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥的体积公式、三角形的面积公式、导数等知识，是一道综合性很强的题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x ，y 满足2222x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z x y=+取值范围为________.【答案】[]0,6【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z x y =+为y x z =-+，得z 表示直线y x z =-+在y 轴截距，结合图像，即可求出结果.【详解】根据约束条件2222x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩作出可行域如下，由z x y =+得y x z =-+，所以z 表示直线y x z =-+在y 轴截距， 由图像可得，当直线y x z =-+过点A 时，在y 轴截距最小； 当y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大； 由222x y y +=⎧⎨=⎩得22x y =-⎧⎨=⎩，即(2,2)A -；由22x y y -=⎧⎨=⎩得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)B ；因此min 220=-+=z ，max 426=+=z ， 即z x y =+的取值范围为[]0,6； 故答案为：[]0,6【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，以及图像求解即可，属于常考题型.14.观察下列各式:2222221311511171,1,1222332344,+<++<+++<…根据上述规律,则第n 个不等式应该为_______ 【答案】222111211...23(1)1n n n +++++<++ 【解析】 【分析】根据规律，不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论.【详解】根据规律，不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以第n 个不等式应该是222111211...23(1)1n n n +++++<++， 故答案为222111211...23(1)1n n n +++++<++. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中得出不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=-()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅()()1222a a a =-=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项 (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n n b n a =+，n S 为数列{}n b 的前n项和，求nS ． 【答案】 (I)2n a n = (II)n S = ()21nn +【解析】 【分析】(I)根据已知求出{}2n d a =，再写出数列的通项公式. (II) 由题意可知()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为d ,因为2319a a a =，所以()()222228d d +=+，解得()2d 0d ==或舍，所以2n a n =. (II)由题意可知：()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以n S =()1111111...2223121n n n n ⎛⎫-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（22sin cos 222C A A -=1cos 26C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】解：（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B -=， 即()2sin cos sin A B BC =+，即2sin cos sin A B A =，又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=. （2）()2313cos sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+- 3123cos sin 2232C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π 31313cos sin cos 426C C C π⎛⎫=-+=++⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ， ∴33cos 262C ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭π，所以31333cos 42624C π⎛⎫<++<⎪⎝⎭. 所以23cos sin cos 222C A A-的取值范围为333,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.19.已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60o ，求二面角B AD C --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（23【解析】 【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，平面ADB的法向量()n =r，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB P ，且2AB OF =. 又DE AB ∥，2AB DE =，∴OF DE P ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ， ∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=o .∴tan 60DO EF BF ===o(D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =r ，()2,4,0AB =-uu u r，(AD =-uuu r ，则240x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =()n =r ，∴cos ,m n m n m n⋅<>==u r ru r r u r r ，∴二面角B AD C --【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.20.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）14；（Ⅱ）X的分布列见解析，数学期望是34【解析】【分析】（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.【详解】解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件A，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411 ()24 P A C⎛⎫==⎪⎝⎭.（Ⅱ）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0，1，2，3，∴303127(0)C 1464P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，2131127(1)C 14464P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：∴27279130123646464644EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础.21.设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【答案】（1）AM 的方程为2y x =-+2y x =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =.由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<直线MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.22.已知函数2()(0)1xe f x a x ax =≥-+，（1）试讨论函数()f x 单调区间；（2）若不等式(x)x f ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）[0,2)【解析】【详解】解: （1）：22/222222(12)((2)1)(1)((1))()(1)(1)(1)x x x e x ax x a e x a x a e x x a f x x ax x ax x ax -+-+-+++--+===-+-+-+ 当0a =时，函数定义域为R ，在R 上单调递增 当(0,2)a ∈时，2240,10a x ax ∆=-∴-+Q 恒成立，函数定义域为R ，又11,()a f x +>∴在(,1)-∞单调递增，(1,1)a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增当2a =时，函数定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，/(3)(),()(1)x e x f x f x x -=∴-在(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增当(2,)a ∈+∞时，240,a ∆=->Q 设210x ax -+=的两个根为12,,x x 且12x x <，由韦达定理易知两根均为正根，且1201x x <<<，所以函数的定义域为12(,)(,)x x -∞+∞U ，又对称轴12a x a =<+，且22(1)(1)1201a a a a x a +-++=+>∴<+，()f x ∴在11(,),(,1)x x -∞单调递增，22(1,),(,1)x x a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增（2）：由（1）可知当2a >时，12[,][0,1]x x x a ∈⊆+时，有()0f x <即(x)x f ≥不成立， 当0a =时，单调递增，所以(x)x f ≥在[0,1]x a ∈+上成立 当(0,2)a ∈时，，下面证明：1(1)12a e f a a a ++=≥++即证(1)0(1(1,3))x e x x x a -+≥=+∈ 令单调递增，使得在0(1,)x 上单调递减，在上单调递增，此时所以不等式(1)0(1(1,3))x e x x x a -+≥=+∈所以1(1)12a e f a a a ++=≥++ 又当2a =时，由函数定义域可知，显然不符合题意综上所述，当[0,2)a ∈时，不等式(x)x f ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立。

绝密 ★ 启用前2020年高考全国高考数学押题卷（全国I 卷）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列命题中： ①“”是“”的充分不必要条件 ②定义在上的偶函数最小值为5；此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号③命题“，都有”的否定是“，使得”④已知函数的定义域为，则函数的定义域为．正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，746．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）．A ．B ．C ．D ．22222正视图侧视图俯视图8．若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．812．若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0ω>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．的展开式中的系数为__________．14．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为__________．15．在中，，，边上的中线，则的面积为__________．16．已知单位向量，，两两的夹角均为(，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则； ②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值； ③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积．其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：共70分。

2020届高考数学仿真押题卷——全国卷（理4）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合}0,2|{},02|{2>==>-=x y y B x x x A x，R 是实数集，则()A B C R I 等于 A.[]1,0B.），（0∞-C. ]0，（∞-D.]1,0(2.已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是 （ ） A (1)(1)i i ++-B (1)(1)i i +--C (1)(1)i i +-D11ii+- 3.已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上不共线的三点到β的距离相等，则//αβ。

对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝且q ⌝”为假 4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+， 则使得nna b 为正偶数时，n 的值是 （ ） A ．1B ．2C ．5D ．3或115. 若函数f （x ）的导函数34)(2+-='x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈ （ ） A ．（0，1） B ．[0，2] C ．（2，3） D ．（2，4） 6. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最少坐2人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．707.如图,过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、C 、D,则CD AB •的值是（ ） A.8B.4C.2D.18. 在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为（ ）A.12B.24C.36D.489.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 （ ） A ．13π B．3 C ．23π D10. 点40(2,)30x y P t x y --≤⎧⎨+-≤⎩在不等式组表示的平面区域内，则点P （2,t ）到直线34100x y ++=距离的最大值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32xf f x =；③(1)1()f x f x -=-，则11()()38f f +等于 （ ）A ．34B ．12C ．1D ．2312.已知数列{}n a 满足：11a =，212a =，且2121n n n n a a a a +++=+(n ∈N *)，则右图中第9行所有数的和为A 90B 9! C1022 D1024第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

2020高考数学经典押题（含答案）满分：100分，时间：60分钟一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A ． BCD ． 2.已知，则A ∩B =（）A ．B ．C ．D ． 3. 在中，角的对边分别为，若且，则（）A ．B ．C ．D ． 4.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A． B ． C ．D ．5. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 6. 函数的部分图象大致是（） z ()(1)1z i i +-=z =21222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=1(0,)31[2,)3-1(,2]31(,2)3ABC ∆,,A B C ,,a b c sin 3sin ,A B c ==5cos 6C =a =348+6+6+8+,x y 22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩2y x z x y =-7[,1]2-7[2,]2-77[,]23--3[,1]2-()22x xe ef x x x --=+-7. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，若成立，则的最小值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则．14.在二项式的展开式中，其3项为，则．15.如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是．22221(0,0)x y a b a b-=>>x ,A B D ABD∆2))+∞U ()()231,ln 42x x f x eg x -==+()()f m g n =n m -1ln 22+ln 212ln 22+2ln 2m u r n r 2(11,2)m n -=-u r r 5m =u r n =r 6120x =E 1111ABCD A B C D -11C D 1//BD 1B CF 1BDCE A 2:2(0)C x py p =>O ,A B (0,8)M OA C ABO ∆p三、解答题（本大题共2小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数） （1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.{}n a 221111,n n n n a a a a a ++=+=-{}n b n n S 2n n S n a =+{}n a {}n b 11{}n n a b +n n T xOy 1C cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩2C 2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩1C 2C x l (cos 2sin )4ρθθ-=1C P 2πθ=Q 2C M PQ M l2020高考数学经典押（答案）一、选择题1-5: ACB CA 6-8: D D A二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）因为，所以，，因为，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知， 所以. 18.解：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆. （2）由已知得，设，则， 直线，点到直线的距离为 ， 所以 ，即到直线的距离的最小值为. 52232211n n n n a a a a +++=-()()1110n n n n a a a a +++--=10,0n n a a +>>10n n a a ++≠11n n a a +-={}n a 11n a n =2n ≥12n n n b S S n -=-=1n =12b =2n b n =111111()2(1)21n n a b n n n n +==-++11111111[(1)()()()]22233412(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L 1C 22(1)1x y +-=(0,1)12C 2214x y +=x (0,2)P (2cos ,sin )Q θθ1(cos ,1sin )2M θθ+:240l x y --=Ml d ==5d ≤=Ml 5。

年全国Ⅰ卷高考理科数学猜题卷（四）B.D.函数y =f(x)与y =g(x)的图象如图所示，则函数y =f(x)⋅g(x)的图象可能是( )B.D.若函数f(x)={(x −a)2,(x ≤0)x +1x +a,(x >0)的最小值为f(0)，则实数a 的取值范围（ ）[−1, 0] B.[−1, 2]C.[0, 2]D.[1, 2]设实数x ，y 满足条件{4x −y −10≤0x −2y +8≥0x ≥0,y ≥0 ，若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为12，则2a +3b 的） A.83B.256C.4D.113在封闭的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V ）A.9π2 B.4πC.6πD.32π312. 若椭圆x 2a 2+y 2b2=1的焦点在x 轴上，过点(1, 12 )作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（ ） A.x 24+y 25=1 B.x 29+y 24=1 C.x 29+y 25=1D.x 25+y 24=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知(x −ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为________cm ．双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线√3x +y =0的对称点A 是双曲线C 上的点，则双曲线C 的离心率为________．已知函数f(x)=x −(a +1)lnx −ax (a ∈R ，且a <1)，g(x)=12x 2+e x −xe x ，若存在x 1∈[e, e 2]，使得对任意x 2∈[−2, 0]，f(x 1)<g(x 2)恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或以暗算步骤△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 依次成等差数列．（1）若向量m →=(3, sinB)与n →=(2, sinC)共线，求cosA 的值；（2）若ac =8，求△ABC 的面积S 的最大值．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0, 10)，[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附参考公式与：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为梯形，平面PAD ⊥平面ABCD ，BC // AD ，PA ⊥PD ，AB ⊥AD ，∠PDA =60∘，E 为侧棱PD 的中点，且AB =BC =2，AD =4． （1）求证：CE // 平面PAB ；（2）求二面角A −PB −C 的余弦值．设O 为坐标原点，已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，抛物线C 2:x 2=−ay 的准线方程为y =12．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设过定点M(0, 2)的直线t 与椭圆C 1交于不同的两点P ，Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围．已知函数f(x)=ax +bx （其中a ，b ∈R ）在点（1, f(1)）处的切线斜率为1． （1）用a 表示b ；（2）设g(x)=f(x)−lnx ，若g(x)≥1对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果g(x 1)=g(x 2)，证明：x 1+x 2≥2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑[选修4-4参数方程与极坐标]在极坐标系中，已知圆C的圆心C(√2, π4)，半径r=√3．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若α∈[0, π4)，直线l的参数方程为{x=2+tcosα,y=2+tsinα（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|2x−1|−|x+2|．（1）解不等式f(x)>0；（2）若∃x0∈R，使得f(x0)+2m2<4m，求实数m的取值范围．此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】球内较多面绕球的体都连表面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】多面体水水转体表常育的最短距离问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲体的某性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】导数求根数的最助【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或以暗算步骤【答案】此题暂无答案【考点】数三的最用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】独根性冬验离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面射量空解析湖何惯的应用椭圆水明心率直线常椭圆至合业侧值问题抛物线正算准方程椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题导数求根数的最助【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑[选修4-4参数方程与极坐标]【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】绝对值射角不等开【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。