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北师大版九年级上册菱形的性质与判定讲义要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1、.菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴〔对角线所在的直线〕，对称轴的交点就是对称中心.菱形的面积：〔1〕一种是平行四边形的面积公式：底×高〔2〕另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线相互垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例1、以下四边形中不一定为菱形的是〔〕A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线相互垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】A. 对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C. 对角线相互垂直的平行四边形是菱形；D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；例2、菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，那么菱形的周长为_____________。
【答案】16【解析】菱形有一个内角为60°，那么较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为4，那么菱形周长为16．【点睛】此题主要考察菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握假定菱形有一个内角为60°，那么较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形． 例3、菱形的两条对角线长区分是14cm 和20cm ，那么它的面积为__．【答案】140cm 2【解析】∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积S=12×14×20=140(cm 2). 例4、如下图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝10．求：(1)AB 的长．(2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵ 四边形ABCD 是菱形．∴ AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，OB ＝12BD ． 又∵ AC ＝8，BD ＝10．∴ AO ＝12×8＝4，OB ＝12×10＝5． 在Rt △ABO 中，222AB OA OB =+(2)由菱形的性质可知： 118104022S AC BD ==⨯⨯=菱形ABCD ． 例5、菱形的两条对角线长为6和8，那么菱形的边长为________．解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O ，AC ＝8，BD ＝6，由菱形性质知：AC 与BD 相互垂直平分，例6、菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，假定周长为8，那么此菱形的初等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的初等于12×2＝1. 例7、如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =5，AC =6，BD =8．〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形；〔2〕过点A 作AH ⊥BC 于点H ，求AH 的长．【答案】(1)证明见地析(2) 245【解析】试题剖析：〔1〕由平行四边形的对角线相互平分失掉△AOB 的两条边OA 、OB 的长度，那么依据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线相互垂直平分，故四边形ABCD是菱形．〔2〕依据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积=菱形的面积，可求解.试题解析：〔1〕证明：∵在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，∴AO=AC=3，BO=BD=4，∵AB=5，且32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；〔2〕解：如下图：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，∴×6×4=×5×AH，解得：AH=．例8、在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D.〔1〕求证：四边形ABCD为平行四边形；〔2〕假定点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.【解析】试题剖析：〔1〕依据平行线的性质战争行四边形的判定证明即可；〔2〕依据角平分线的性质和菱形的判定证明即可．试题解析：〔1〕∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，在△ADC与△ABC中，∴△ADC≌△ABC〔AAS〕，∴AB=DC，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形；〔2〕∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠DAB=∠DCB ，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE=PF ，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA ，∴AB=BC ，∴四边形ABCD 是菱形．课后习题：1．在以下说法中，菱形对角线不具有的性质是 ( )A. 对角线相互垂直；B. 对角线所在的直线是对称轴；C. 对角线相等；D. 对角线相互平分．【解析】菱形的对角线相互垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴， 应选C.2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE=2，那么菱形ABCD 的周长为〔 〕A. 12B. 16C. 8D. 4【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，∴△AOB 为直角三角形．∵OE=2，且点E 为线段AB 的中点，∴AB=2OE=4．C 菱形ABCD =4AB=4×4=16．应选B ．3．菱形的周长为40cm ，两条对角线之比3：4，那么菱形面积为〔 〕A. 96cm 2B. 48cm 2C. 24cm 2D. 12cm 2【答案】A如图，设3AO xcm = ， 4BO xcm = .∵菱形的周长为40cm ，有勾股定理得， ()()2223410x x += ， 21=1216=96cm 2S ∴⨯⨯菱形 ,应选A. 4．菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，那么菱形的周长为_____________。
北师大版九年级数学（上）册知识点1、菱形的性质与判定①菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
②菱形的性质：•具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
••菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
•••③菱形的判别方法：•一组邻边相等的平行四边形是菱形。
••对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
••四条边都相等的四边形是菱形。
•2、矩形的性质与判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
②矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）③矩形的判定：•有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
••对角线相等的平行四边形是矩形。
••四个角都相等的四边形是矩形。
•④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、正方形的性质与判定①正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
②正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）③正方形常用的判定：•有一个内角是直角的菱形是正方形；••邻边相等的矩形是正方形；••对角线相等的菱形是正方形；••对角线互相垂直的矩形是正方形。
•④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系⑤梯形定义：•一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
••两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
••一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
•⑥等腰梯形的性质：•等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
••同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
••三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
••夹在两条平行线间的平行线段相等。
••在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半•第二章一元二次方程1、认识一元二次方程•只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2+bx+c=0•（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
1.1菱形的性质与判定-重难点题型【题型1 菱形的性质（求角度）】【例1】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【变式1-1】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD 沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为°．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M 为垂足，连接DN ，则∠CDN 的大小是 ．【题型2 菱形的性质（求长度）】【例2】如图，在菱形ABCD 中，BC ＝10，点E 在BD 上，F 为AD 的中点，FE ⊥BD ，垂足为E ，EF ＝4，则BD 长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．16【变式2-1】如图四边形ABCD 为菱形，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若∠DAB ＝60°，∠DF A ＝2∠EAB ，AD ＝4，则CF 的长为（ ）A ．45B ．45√3C ．65D ．85 【变式2-2】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13cm ，AC ＝24cm ，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为 cm ．【变式2-3】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且CE ＝DF ，BF 与DE 交于点G ，若BG ＝3，DG ＝5，则CD ＝ ．【题型3 菱形的性质（等积法）】【例3】如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．过O 作OE ⊥AB 于点E ．延长EO 交CD 于点F ，若AC ＝8，BD ＝6，则EF 的值为（ ）A ．5B ．125C ．245D ．485【变式3-1】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE 的值为（ ）A ．512B ．725C ．718D ．524【变式3-2】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，AC ＝16，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为 ．【变式3-3】如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝3，点E在BC上，且BE＝2EC，BF⊥AE，垂足为F，则BF的值为．【题型4 菱形的判定（选择条件）】【例4】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．∠AOB＝60°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AB⊥BC【变式4-1】已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（）A．①③B．②③C．③④D．①②③【变式4-2】如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（）A．OM=12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【变式4-3】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF ∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有．（只填写序号）【题型5 菱形的判定（证明题）】【例5】如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．【变式5-2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE=12AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB 延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．【题型6 菱形的判定与性质综合（最值问题）】【例6】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．3√3B．3+3√3C．6+√3D．6√3【变式6-1】如图，菱形ABCD的边长为2√3，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（）A．4B．4+√3C．2+2√3D．6【变式6-2】如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．【变式6-3】如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【题型7 菱形的判定与性质综合（多结论问题）】【例7】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD=12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【变式7-1】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G 分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤【变式7-2】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF 相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF ≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE=√3DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（）个．A．1B．2C．3D．4【变式7-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE 的大小为定值．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【题型8 菱形的判定与性质综合（动点问题）】【例8】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm /s ，点F 的速度为2cm /s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为（ ）A ．34B ．43C ．32D ．53 【变式8-1】如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝8，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是线段OC 上一动点，F 是射线AD 上一动点，若∠BEF ＝120°，则在点E 运动的过程中，EF 长度为整数的个数有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【变式8-2】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．AB ＝10，AC ＝12，BD ＝16．（1）求证：▱ABCD 是菱形；（2）若点P 是对角线BD 上一动点（不与点B 、D 重合），PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PE +PF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式8-3】如图1，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 上的动点．（1）当AD ＝AE 时，OE ＝1，OD ＝5，求菱形ABCD 的面积；（2）如图2，当OE ＝OD 时，过点A 作CD 的垂线，垂足为F ，交ED 延长线于点G ，求证：GE=√2AO．。
例说菱形的判定
菱形，是四边相等的四边形，这是菱形的定义，要判断一个四边形是不是菱形，除用定义判断，还可用其它等价条件。
1. 证明四边形的四条边相等
例1 已知：如图1，C是线段BD上一点，和都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点。
求证：四边形RFGH是菱形。
证明：连结AD、BE
因为和都是等边三角形
所以
故四边形RFGH是菱形
2. 邻边相等的平行四边形一定是菱形
例2 已知：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。
求证：四边形MENF是菱形。
证明：因为E是BM的中点，N是BC的中点，F是CM的中点
3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例3 已知：如图3，梯形ABCD中，AD//BC，对角线，M、N为底边BC的三等分点，且BC=3AD，AM与BD交于点G，AC与DN交于点H。
求证：四边形AGHD是菱形。
证明：因为BC=3AD
M、N是BC的三等分点
又1= 2
所以四边形AGHD是平行四边形
又，所以四边形AGHD是菱形。
4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
例4 已知：如图4，中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F。
求证：四边形CDEF是菱形。
证明：连结CE交AD于点O
因为AC=AE
所以为等腰三角形因为AO平分CAE
所以，且OC=OE 因为EF//CD，
所以1= 2
所以OF=OD
于是CE垂直平分DF
所以四边形CDEF是菱形总结以上，得到下表。
第一章特殊平行四边形1．1．1菱形的性质一、教学目标1、知识与技能：经历菱形的性质的探究过程，熟练掌握菱形的两条特有的性质。
2、过程与方法：（1）经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.（2）根据菱形的性质进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力.3、情感态度：在探究菱形的性质的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、教学重难点教学重点：菱形性质的探求.教学难点：菱形性质的探求和应用.三、教具学具准备教具准备：多媒体矩形纸片直尺（或三角板）四、教学过程：（一）情境引入多媒体展示：生活中的菱形板书：菱形的性质（二）探索新知1、定义运用多媒体动态地展示将平行四边形的一边进行平移，即由平行四边形变菱形的过程。
学生活动：思考、交流、在老师指导下、归纳菱形的定义板书：一、菱形的定义：强调：菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．2、探索性质（1）.做一做下面我们一起做一个菱形将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开（同桌互相帮助）（2）．小组讨论。
引导学生从边、角、线及对称性方面进行探讨。
问题：1、从边来看（位置关系与数量关系）？2、从角来看（对角，邻角间有什么关系）？3、从对角线来看（位置关系与数量关系）？4、对角线分得的每组对角有什么关系？5、菱形是中心图形吗？如果是，对称中心在哪里？6、 菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴在哪里？对称轴之间有什么位置关系？（学生可能先大胆猜想或根据问题的提示，进而通过折叠、旋转各自手中菱形来推理验证自己的猜想，对于学生可能出现的合情的方法，老师应给予鼓励与肯定。
） （3）小组交流成果，概括菱形的性质1、菱形边的性质。
2、菱形角的性质。
3、菱形的对角线的性质。
4、菱形对称性。
教师强调，并板书：二、菱形的性质：（让学生动手操作后，有意识地利用自己的知识储备进行合理的研究，并合情地做出猜想.最后学由生口头表述性质，如所用的语言表述不恰当时及时给予纠正。
）（三）、例题精讲教师活动：屏幕呈现例题，指导学生观看问题，并点评解题思路及过程，最后屏幕呈现详细解题过程，供学生参考。
例1：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形解：（1）在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180°（两条线平行，同旁内角互补）又∵∠BAD=2∠B ∴∠B=60°（2）在菱形ABCD 中，AB=BC （菱形的四条边都相等） 又∵∠B=60°7 D5 O42 83 C A1 6B∴△ABC 是等边三角形（一个角为60º的等腰三角形是等边三角形）例2：如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=8cm ，BD=6cm,求这个菱形的周长。
解：∵AC=8cm ，BD=6cm∴AO=4cm, BO=3cm （菱形的对角线互相平分） ∴AB=5cm(勾股定理)∴菱形ABCD 的周长=4AB=20cm(菱形的四条边都相等) （四）知识检测，学习反馈学生活动：完成屏幕上展示的练习，并每题由一名学生来说出答案及原因。
教师活动：屏幕展示练习：1、对于以下图形（1）矩形（2）等边三角形（3）平行四边形（4）菱形（5）圆（6）线段， 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ D ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、已知菱形的两条对角线长分别是10和24,则菱形的周长为__52___。
3、 如图，在菱形ABCD 中，AB=5cm, AO=4cm ，求这一菱形的周长与两条对角线的长度。
解:这一菱形的周长=4AB=4×5=20cm 对角线AC=2AO=2×4=8cm∵BO=3cm(勾股定理)∴BD=2BO=2×3=6cm (五)、课堂小结 这堂课你学到了什么？1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质： （1）、菱形边的性质。
（2）、菱形角的性质。
（3）、菱形的对角线的性质。
（4）、菱形对称性。
3、应用：1.1.2菱形的判定一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法.OD A BCDABCO二、教学重点:菱形判定方法的探究.三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用.四、教学过程:活动1、引入新课，激发兴趣1、复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等；性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补；性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
2、导入(1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？根据菱形的定义可知：一组邻边相等的平行四边形是菱形.所以只要再有一组邻边相等的条件即可.(2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法【问题牵引】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。
问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？学生用几何语言表示命题如下：已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，ODCBA求证：□ABCD是菱形。
分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD是菱形。
【归纳定理】通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1):对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
活动3、菱形第二个判定方法的应用例3 如图，如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：□ABCD是菱形。
思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，•而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。
活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论?学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。
得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。
学生进行几何论证，教师规范学生的证明过程。
【归纳定理】从一般的四边形直接判定菱形的方法(判定定理2):四边相等的四边形是菱形。
活动5、菱形第三个判定方法的应用如图，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，求证:四边形EFGH 是菱形。
思路点拨：方法一，由中点联想到连接矩形对角线BD 、AC ，可得AC=BD 。
利用三角形中位线等于底边的一半，证明EF=FG=GH=EH 。
根据判定定理，所以四边形EFGH 是菱形。
方法二：通过证明图中四个Rt △全等，得到EF=FG=GH=EH 。
活动6、随堂练习练习1：判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 练习2：填空。
如图：□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， （1）若AB=AD ，则□ABCD 是 形； （2）若AC=BD ，则□ABCD 是 形； （3）若∠ABC 是直角，则□ABCD 是 形； （4）若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是 形。
活动7、评价和反思1、通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么认识？2、菱形的判定方法有哪些？2.1矩形的性质与判定一、教学目标：1. 知识与技能：经历并了解矩形判定方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方BCD AO法；掌握矩形的判定方法，能根据判定方法进行初步运用。
2. 过程与方法：在探索判定方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯，在画矩形的过程中，培养学生动手实践能力，积累数学活动经验。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神和独立思考合作交流的良好习惯，体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。
通过与他人的合作，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点与难点：教学重点：探索矩形的判定方法、突破方法：为了突出重点，以学生自主探索、合作交流为主，提出问题，让学生动眼观察，动脑猜想，动手验证，进而掌握矩形的判定方法。
教学难点：判定方法的理解和初步运用，突破方法采用教师引导和学生合作的教学方法，及化归的数学思想。
三、教具准备：教师：三角板、圆规学生：三角板、圆规、白纸四、教学过程（一）自学导纲1、创设情境导入新课师：请同学们观察教室的门窗是什么形状？工人师傅在制作这些门窗时，是怎样验证它们是矩形的？大家想不想知道？本节老师将带领大家一起探讨这一问题。
（板书课题 20.2 矩形的判定）2、出示导纲，学生自学师：请同学们自学教材P107，独立完成下列问题导纲知识性问题1~4。
（二）合作互动探究新知1、师：哪们同学愿意将你自学的成果展示给大家，其他同学注意倾，看有没有与自己不同的在方。
生、汇报师：大家完成的很好，请猜想它是真命题还是假命题？你能证明一下你的猜想吗？请同学们用圆规和直尺画对角线相等的平行四边形，并与同桌交流一下，这是个什么图形？生：汇报师：这像个矩形，如何用逻辑推理的方法验证，请同学们小组合作，讨论验证。
生：小组合作交流师：请同学们说说你的证明过程（学生回答） 你们为什么想到用这种方法？通过动手操作和逻辑推理明白它是个真命题，我们把它做为矩形的判定定理1（板书定理1）判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。
2、用几何符号应怎样表示？3 、刚才我们验证了猜想1，那么猜想2呢？还请同学们小组之间相互交流讨论合作完成导纲探究性问题3。
